CC BY
81Д.С. Жуков, С.К. Лямин D.S. Zhukov, S.K. Lyamin
Теория самоорганизованной критичности в исследованиях социо-политических процессов: инструментарий идентификации 1/-шума
The theory of self-organized criticality in the socio-political research: 1/f-noise identification tools
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 14-06-00093а «Приложение теории самоорганизованной критичности к изучению исторических процессов»
Аннотация, abstract: Авторы излагают инструментарий идентификации розового шума (l/f-шума) в социо-политических процессах. Статья преследует цель сделать доступными для социо-гуманитарных исследований подходы теории самоорганизованной критичности, методы и процедуры спектрального анализа. The authors present a toolkit for identification pink noise (l/f-noise) in the socio-political processes.
Ключевые слова, keywords: самоорганизованная критичность, социальные явления, исторические процессы, спектральный анализ, междисциплинарные исследования, self-organized criticality, social phenomena, historical processes, spectral analysis, interdisciplinary research
Авторы, authors: Жуков Дмитрий Сергеевич - Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, кандидат исторических
наук, доцент кафедры международных отношений и политологии, [email protected]
Лямин Сергей Константинович - Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, кандидат исторических наук, доцент кафедры Российской истории, [email protected]
Zhukov, Dmitry S. - Tambov State University, Tambov, Russian Federation, PhD in History, Associate Professor of the International Relations and Political Science Department, [email protected]
Lyamin, Sergey K. - Tambov State University, Tambov, Russian Federation, PhD in History, Associate Professor of the Russian History Department, [email protected]
УДК 303.094
Статья поступила в редакцию: 07.08.2014 Статья принята к печати: 09.08.2014 © Д.С. Жуков, С.К. Лямин, 2014
Статья подготовлена в рамках большого проекта, посвящённого приложению теории самоорганизованной критичности к исследованию исторических феноменов. Здесь мы стремились изложить инструментарий идентификации розового шума (.¿//-шума) в социо-политических процессах. Это первый и необходимый шаг в наших исследованиях. Обнаружив розовый шум в том или ином процессе, мы получаем право выдвигать гипотезы, объяснительные схемы этого процесса на основании
весьма развитых и изящных построений теории СОК. Именно поэтому для нас столь важно уметь фиксировать и формализовать это явление.
Безусловно, инструментарий, применимый для исследования социо-политических процессов, мало отличается от инструментария, используемого в естественных дисциплинах. Однако данная статья написана из соображений междисциплинарного диалога и поэтому имеет весьма значительную специфику.
Рисунок 1. Розовый шум, искусственно сгенерированный в помощью алгоритма powernoise1; 1000 точек данных
1 Little M.A., McSharry P.E., Roberts S.J., Costello D.A.E., Moroz I.M. Exploiting Nonlinear Recurrence and Fractal Scaling Properties for Voice Disorder Detection, BioMedical Engineering OnLine. 2007. Vol. 6. P. 23.
РЯАСТАЬ S1MULAT10N. 2014. N 1.
Мы стремились изложить определения и процедуры спектрального, в некоторых случаях, несколько усечено и, вместе с тем, в некоторых отношениях, весьма детально, чтобы они были прозрачны для широкого круга исследователей-гуманитариев. Такое раскрытие методов и инструментов, как мы полагаем, будет содействовать тому, чтобы подобные междисциплинарные исследования стали действительно реплицируемыми в социо-гуманитарном исследовательском пространстве.
Атрибутация розового шума: общие соображения и определения
Для обнаружения и анализа розового шума используется специфический математический и аналитический аппарат, специфические форматы представления данных, - как бы сказали историки, специфический дискурс. Рассмотрим этот аналитический инструментарий.
Итак, розовый шум - это некоторый процесс. Самый простой формат представления процесса - график, выражающий изменение изучаемой характеристики (спады, подъёмы, депрессии - в общем, события) во времени. В этом формате представления розовый шум похож на большие волны, по которым идёт рябь, по ряби - рябь и т.д. (рисунок 1) Это хорошее интуитивное представление подсказывает нам, что розовый шум включает в себя множество масштабов: здесь каждое крупное событие (спад, подъём) включает в себя более мелкие события, а те, в свою очередь, - ещё более мелкие. Это фрактальный процесс.
Но для точной - формальной - идентификации розового шума, как и любого другого физического явления, не достаточно лишь интуитивного видения. Нужно провести спектральный анализ исследуемого процесса.
Для спектрального анализа используется математическая процедура, называемая «быстрое преобразование Фурье». Быстрое преобразование Фурье разлагает шум (сигнал - запись любого процесса) на совокупность гармоник - составляющих сигналов с постоянной частотой и амплитудой. В результате мы можем знать, какая амплитуда какой частоте сопоставлена в каждой конкретной гармонике.
В системе координат, где по оси х откладывается частота, а по оси у - амплитуда, можно одной точкой обозначить эти две характеристики гармоники. Если сигнал предельно прост (состоит только из колебания одной частоты и амплитуды), то в нашей системе координат будет только одна точка. Но розовый шум состоит из множества компонентов (гармоник), он сложен -поэтому на нашем изображении (спектрограмме) будет множество точек.
Если мы имеем дело с розовым шумом в нашей системе координат множество полученных точек выстроится в гиперболу - рисунок 2. (Точнее в гиперболу выстроится линия степенного тренда этих точек, ведь сами точки, то есть отдельные гармоники, могут не подчиняться статистическому закону и отклоняться от него. Статистический закон на то и статистический, что верен для всей совокупности объектов и может быть не применим к единичному объекту).
Гипербола, как известно, - выражение обратной пропорциональности исследуемых характеристик. Розовый шум - это такой сигнал, который подчинён некоторому степенному закону, а именно - статистической закономерности «чем выше частота сигнала (то есть больше число колебаний за единицу времени), тем меньше их амплитуда, и наоборот».
Spectral analysis: образец: искусственный розовый шум No. of cases: 1024
0,0007
0,0006
0,0005
¡2 0,0004
О
0 X
3"
1 0,0003
0,0002
0,0001
0,0000
■
•
•
•S
и
0,0007
0,0006
0,0005
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
0,0000
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
частота
Рисунок 2. Спектрограмма искусственного розового шума в линейных координатах, результат работы Statistica
Однако чтобы дать формальное определение розового шума, нужно учесть два нюанса, которые прекрасно изложены «Опусе 1/Р Р. Уфимцева: «В реальности, на спектрах сигналов по оси у принято отображать не амплитуду сигнала на определенной частоте, а квадрат амплитуды и его называют мощностью сигнала на этой частоте. Эта привычка пришла из физики, которая первая взялась за исследование различных колебаний. А для физики важнее не амплитуда колебаний, а количество энергии, в них заключенное. И это количество пропорционально именно квадрату амплитуды колебаний, поэтому на
спектрах принято отражать именно квадраты амплитуд.
Очень часто спектры строят не в линейной шкале, а в логарифмической [и по оси х и по оси у]... Логарифмические шкалы позволяют в одном спектре сразу уложить большой диапазон частот и мощностей сигнала...»2
Дадим несколько пояснений относительно логарифмической шкалы. На обычной - линейной - шкале одно деление (отрезок шка-
2 Уфимцев Р. Опус 1Д // Сайт Ателье ER <http://www.metaphor.ru/er/misc/1f_noise. xml> (дата доступа: 21.07.2014 г.)
РЯАСТАЬ S1MULAT10N. 2014. N 1.
лы) всегда равно некоторому неизменному количеству единиц (не важно: первое ли это деление, третье или пятое). Получаем, например, что два первых два деления соответствуют двум единицам. На логарифмической шкале, если первое деление равно, например, единице, то второе деление равно десяти
единицам, а третье деление - ста единицам и т.д. То есть обычно каждое последующее деление представляет на порядок (в десять раз) больше единиц, чем предыдущее деление.
Вот пример системы координат, где каждая ось представляет собой логарифмическую шкалу - рисунок 3.
Рисунок 3. Двойные логарифмические координаты, спектрограмма искусственного розового шума, серая линия - степенная линия тренда, результат работы Statistica.
Двойные (то есть по двум осям) логарифмические координаты как бы сжимают пространство. Причём, чем дальше к краям, тем сильнее сжатие. Наша гипербола в таких координатах превращается в прямую линию. Кстати на рисунке 2 представлено именно
общепринятое изображение спектра розового шума - прямая наклонная линия в двойных логарифмических координатах. (Правда, это искусственно сгенерированный шум - в природных шумах не все точки располагаются так точно на прямой тренда.
Р1ГАСТА1 S1MULAT10N. 2014. N 1.
На этом изображении по оси х - частота процесса (розовый шум - это, напомним, объединение множества частот). Далее эту величину мы по традиции будем обозначать как /. А по оси у - мощность, точнее - спектральная плотность (распределение) мощности (или просто «спектральная плотность». Хотя плотность может быть и амплитудная, чаще всего под спектральной плотностью подразумевают плотность мощности). Мощность, напомним, пропорционально квадрату амплитуды. То есть по оси у откладывается квадрат амплитуды каждой гармоники. Обозначим мощность как 5.
Важен именно наклон прямой тренда в спектрограмме. Ведь именно от наклона зависит распределение мощности по частотам: если наклон не тот, то это будет уже не розовый шум. Например, мощности белого шума равномерно распределены по частотам, ведь это случайный процесс и здесь все гармоники имеют шанс быть одинаково «мощными». Соответственно, линия тренда белого шума представляет собой горизонтальную прямую.
Конечно, спектрограмма уже сама по себе является хорошим идентификатором розового шума, равно как и любого другого типа шума (сигнала, процесса). Но есть ещё и формула (1), которая определяет эту прямую и связывает величины / и 5. Это обратная пропорциональность. И эта формула и является формальным определением розового шума. (Хотя, как мы увидим из дальнейшего изложения, это частное определение).
ВД^ (1)
Формула (1) означает, что спектральная плотность мощности розового шума обратно пропорциональна частоте. Возникает вопрос, почему здесь не поставлен знак равно
(а стоит знак «приблизительно»). Строго говоря, на определённой конкретной частоте мощность в разных сигналах, относящихся к типу «розовый шум» может быть весьма различной: мощность как таковая от конкретной величины конкретной частоты не зависит. Но мы знаем, что если имеем дело с розовым шумом, то распределение мощностей подчиняется статистической закономерности по формуле (1). Поэтому, зная мощность на некоторой одной частоте (если мы уверены, что это идеальный розовый шум), мы можем вычислить по этой формуле мощность на других частотах. Для этого нужно поставить в эту формулу некоторый коэффициент. Этот коэффициент позволит нам получить точные величины искомой мощности, но не изменит наклона прямой на спектрограмме. Наклон определяется показателем степени для/(в формуле (1) этот показатель равен 1 и не записывается). А ведь именно от наклона прямой зависит, следует ли отнести шум к розовому или нет, поскольку именно от наклона зависит распределение мощности по частотам.
Формула (1) полезна ещё и тем, что мы можем приравнять её левые и правые части (поставив в правую часть некоторый коэффициент) и построить спектрограмму идеального розового шума в некотором диапазоне частот и мощностей. Речь идёт именно о спектрограмме, а не о самом сигнале.
Для чего нам это? Представим, что мы имеем спектрограмму некоторого сигнала в некотором диапазоне частот/мощностей. Мы всегда можем построить спектрограмму идеального розового шума в том же диапазоне частот/мощностей - и посмотреть, близок ли наклон прямой в спектрограмме идеального розового шума к наклону прямой в спектрограмме исследуемого шума (если там вообще есть какие-либо прямые).
Формальные определения всегда выглядят безукоризненно... Но увы, идеальных розовых шумов в природе нет - ни в физической, ни в социальной реальности. Во-первых, как уже упоминалось, в действительности соотношения мощностей и частот (то есть те самые точки на спектрограмме) могут несколько отклоняться от прямой. Да и никакой прямой в действительности тоже нет -это просто линия степенного тренда, которая получена с использованием некоторого математического аппарата.
Во-вторых, с этим связан и тот факт, что к типу розового шума относятся некоторые сигналы, процессы, которые не совсем описываются формулой (1). Можно сказать, что эта формула подходит именно для идеального розового шума. Формула для розового шума в его расширенном толковании - (2); и формула (1) является её частным случаем. (То есть идеальный процесс является частным случаем всего класса процессов).
Здесь а («альфа») - показатель степени -есть некоторое число от 0 до бесконечности. От а зависит наклон прямой в спектрограмме. Если а = 0, то прямая в спектрограмме параллельна оси х и такой шум считается белым (абсолютно хаотическим сигналом). А если а = 2, то прямая получается круче, чем у идеального розового шума, и такой шум считается коричневым. Если а = 1, то мы имеем дело с идеальным розовым шумом и формула (2) сводится к формуле (1).
В каких пределах должен находиться показатель степени а, чтобы шум считался розовым?
Ш.М. Коган в статье «Фликкер-шум» в Физической энциклопедии указывает, что а
«обычно находится в пределах от 0,8 до 1,2, может изменяться с температурой, но чаще всего близок к 1». Конечно, это утверждение относится к физическим системам и является не нормативным, а обобщением наблюдений3. Пер Бак указывает: «Иногда спектр [1/f-шума] имеет вид не 1/f, а 1/fа, где степень а может принимать значения от 0 до 2»4.
То есть, в действительности, розовый шум не имеет строгого общепринятого определения в части значения показателя степени. Какой же диапазон а нам считать удовлетворительным для атрибутации розового шума? Не имеет смысла размышлять, является ли шум розовым при а = 0,2 или 0,4. «Розовый» -это всего лишь термин, имеющий функциональное эвристическое значение в рамках некоторой системы представлений и методов. Такой системой для нас является теория СОК. Значит мы вполне можем пользоваться определением, данным в рамках этой теории Пером Баком. А он, фактически, относит к розовому шуму широкий класс сигналов в пределах от белого до коричневого.
Как на практике проводится идентификация розового шума? Возьмём исследуемый процесс - ряд чисел, выражающих величины некоторого свойства системы в упорядоченной последовательности равных хронологических отрезков. Исследуемый процесс должен содержать достаточное количество данных. Быстрое преобразование Фурье можно проделать и над небольшим количеством данных, но результаты вряд ли будут убедительно интерпретабельным. Затем в SPSS или Statistica (или любой другой спе-
3 Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. М.: Советская энциклопедия. Под. ред. А. М. Прохорова и др. 1988.
4 Бак Пер. Как работает природа: теория са-моорганизованнной критичности. М.: УРСС, 2014. С. 69.
циальной программе) можно построить спектрограмму «частота / спектральная плотность мощности». До построения спектрограммы данные специальным образом подготавливаются.
Подготовка данных для построения спектрограммы и настройка модуля в Statistica
Рассмотрим функции и настройки модуля построения спектрограмм «Временные ряды» в 81аЙ811са. Смыслы всех этих настроек весьма подробно обсуждаются в руководстве по 81аи$иса (это редкое исключение, когда руководство к программному обеспечению хорошо раскрывает смыслы и практику его применения). Обратимся к этому руководству, чтобы посмотреть какие подготовительные операции над исходными данными мы может совершить и зачем нам это делать или не делать.
Во-первых, добавление констант во временной ряд (пэддинг): «... Можно просто добавить в ряд константы (например, нули)... Фактически, если вы добавите в файл данных, [например], десять нулей, результаты не изменятся. Добавление констант во временной ряд также часто желательно для увеличения вычислительной эффективности. Недостаток стандартного алгоритма БПФ (быстрое преобразование Фурье) в том, что число данных ряда должно быть равным степени 2 (т.е. 16, 64, 128, 256, ...). Обычно это делает необходимым добавление нулей во временной ряд, который, как описано выше, в большинстве случаев не меняет характерные пики периодограммы или оценки спектральной плотности. Тем не менее, в некоторых случаях, когда единица времени значительна, добавление констант во временной ряд может сделать результаты более громоздкими. Выполнение спектрального анализа в модуле Временные ряды не накла-
дывает никаких ограничений на длину исходного ряда»5.
Во-вторых, вычитание среднего и тренда: «Обычно, [при подготовке к спектральному анализу] полезно вычесть [из исходных данных] среднее из значений ряда и удалить тренд (чтобы добиться стационарности) перед анализом. Иначе периодограмма и спектральная плотность «забьются» очень большим значением первого коэффициента при косинусе (с частотой 0.0). По существу, среднее - это цикл частоты 0 (нуль) в единицу времени; т.е. константа. Аналогично, тренд также не представляет интереса, когда нужно выделить периодичность в ряде. Фактически оба этих эффекта могут заслонить более интересные периодичности в данных, поэтому и среднее, и (линейный) тренд следует удалить из ряда перед анализом (по умолчанию, они удаляются в модуле Временные ряды)»6.
В третьих, сглаживание данных: «Иногда также полезно сгладить данные перед анализом, чтобы убрать случайный шум, который может засорять существенные периодические циклы в периодограмме. На практике, при анализе данных обычно не очень важно точно определить частоты основных функций синусов или косинусов. Скорее, т.к. значения периодограммы - объект существенного случайного колебания, можно столкнуться с проблемой многих хаотических пиков периодограммы. В этом случае хотелось бы найти частоты с большими спектральными плотностями, т.е. частотные области, состоящие из многих близких ча-
5 StatSoft, Inc. (2012). Электронный учебник по статистике. Москва, StatSoft. Web: http:// www.statsoft.ru/home/textbook/default.htm
6 StatSoft, Inc. (2012). Электронный учебник по статистике. Москва, StatSoft. Web: http:// www.statsoft.ru/home/textbook/default.htm
стот, которые вносят наибольший вклад в периодическое поведение всего ряда. Это может быть достигнуто путем сглаживания значений периодограммы с помощью преобразования взвешенного скользящего среднего. [Методы сглаживания]: Окно Даниэля, Окно Тьюки, Окно Хемминга, Окно Парзена, Окно Бартлетта»7.
Мы не производим сглаживание, ибо преследуем несколько иную цель, чем та, которая подразумевается авторами руководства. Ведь обычно спектральный анализ используют для выделения небольшого числа «основных» гармоник, поэтому сглаживанием добиваются слипания схожих гармоник. Мы же стремимся исследовать все возможные гармоники, поэтому готовы «терпеть» случайный шум и не будем применять (или будем применять с особой осторожностью) сглаживание, которое могло бы избавить нас от некоторых искомых эффектов.
Как идентифицировать розовый шум по спектрограмме?
Полученная спектрограмма является по существу таблицей, в которой поставлены в соответствие частоты и мощности. Мы можем построить спектрограмму в графической форме в двойных логарифмических координатах. Каждая точка спектрограммы будет иметь координаты, соответствующие частоте и мощности некоторой гармоники.
Затем полученную спектрограмму уже можно оценить визуально. Обычно удобно построить степенную линию тренда. Репрезентативность тренда, как правило, можно оценить визуально, посмотрев на плотность точек вокруг линии тренда. В особых случаях требуются точно оценить репрезентатив-
7 StatSoft, Inc. (2012). Электронный учебник по статистике. Москва, StatSoft. Web: http:// www.statsoft.ru/home/textbook/default.htm
ность, вычислив тем или иным способом величину разброса данных.
Линия тренда сверху-вниз слева-направо свидетельствует о возможном наличии розового шума, но на глаз его бывает трудно отличить от коричневого (а с белым шумом исследуемый сигнал, как правило, трудно перепутать, поскольку в спектрограмме белого шума горизонтальная линия).
Для того, чтобы более точно визуально представить и пронаблюдать тип исследуемого шума, в том же диапазоне мощностей/ частот, что и исследуемый шум, мы можем построить спектрограммы идеального розового (а = 1) и коричневого (а = 2) шумов в качестве эталонов. Мы увидим, к наклону какого эталона более близок спектр исследуемого шума. Белый шум имеет в спектрограмме горизонтальную линию тренда, а линия тренда в спектрограмме коричневого шума более близка к вертикали (по сравнению с розовым шумом), хотя также не является строгой вертикалью.
Визуальное и визуально-сравнительное изучение спектра хорошо подходит лишь для предварительного отбора исследуемых процессов и для презентации результатов. Формальная идентификация розового шума предполагает вычисление показателя степени а. В формуле (2) приравняем левую и правую части (при приравнивании возникает коэффициент V, который выражает соотношение единиц 5 и /).
Если на спектрограмме мы видим чётко выраженный тренд, близкий к прямой, наклонённой сверху-вниз слева-направо, то мы можем выдвинуть гипотезу, что каждая пара чисел/и 5 связана формулой (3). Нужно только
найти в этой формуле константы V и а. Эти величины мы можем легко обнаружить в автоматически сгенерированной программой формуле степенного тренда, которая, собственно, и является формулой (3). Но можем обнаружить эти величины и «вручную».
Для этого проведём подбор величин V и а. Цель подбора - построить такую «эталонную» спектрограмму, которая совпала бы с некоторым чётко выраженным трендом реальной спектрограммы. Естественно, «вручную» подбирать V и а нет прямой необходимости, да и возможно это в том случае на спектрограмме чётко прослеживается тренд или мы по какой-то причине не можем построить степенную линию тренд. Впрочем, результат всё равно получится весьма приблизительный. Тем не менее, мы проделали «ручной» подбор, чтобы «в ручном режиме» проверить адекватность всех аналитических процедур.
В кратком виде опишем процедуру подбора. Возьмём все значения / из исходных данных и, подставив в формулу (3) некоторые произвольные значения V и а (например, v=1, а=1) получим числовой ряд эталонных 5. . Если мы представим результаты этого построения в тех же координатах, что и результаты реальной спектрограммы, то мы увидим прямой ряд точек.
Теперь этот ряд нужно максимально (насколько это возможно) совместить с трендом реальной спектрограммы. Мы знаем, что коэффициент V отвечает за вертикальное смещение тренда вверх-вниз, а искомый а регулирует наклон тренда - причём так, что правая нижняя точка тренда представляет собой своего рода почти неподвижную ось часовой стрелки (вспомните изображения спектрограмм коричневого и белого шума, которые отличаются именно величиной а). Таким образом, методом проб и ошибок мы получим величину а, посред-
ством которой сможем формально описать характер процесса.
Несмотря на то, что мы осуществили подбор а «на глазок», мы можем вполне формально оценить разброс точек реальной спектрограммы вокруг тренда (то есть вокруг линии эталонной спектрограммы) вычислив среднее отклонение реальных S от эталонных S..
Нет опять-таки особой необходимости делать это вручную, поскольку при построении степенного тренда например в Excel мы можем вывести на экран не только формулу степенного тренда (в которой уже есть v и а), но и рассчитать R2 - стандартный инструмент, применяемый в Excel для определения степени достоверности тренда. R2 может принимать значения в интервале [0.1]. Чем ближе значение R2 к единице, тем надежнее линия тренда аппроксимирует исследуемый процесс. Формулу для расчета R2 можно найти здесь8.
Как мы проверили наши аналитические процедуры?
Мы стремились убедиться, что принятая нами и описанная выше процедура обнаружения розового шума достаточно корректна. Поэтому мы провели проверку этой идентификационной процедуры, применив её для образца, о котором заранее точно было известно, что это розовый шум. Для проверки мы использовали искусственно сгенерировнный розовый шум. Для генерирования «хорошего» искусственного розового шума мы воспользовались свободно распространяемым кодом powernoise9, реа-
8 http://www.comizdat.com/index_.php?id= 289&in=kpp_articles_id
9 Little M.A., McSharry P.E., Roberts S.J., Costello D.A.E., Moroz I.M. Exploiting Nonlinear Recurrence and Fractal Scaling Properties for Voice Disorder Detection, BioMedical Engineering OnLine. 2007. Vol. 6. P. 23.
лизуемым в МаЙаЬ. Вот описание этого генератора шума: «Программное обеспечение для Ма^аЬ для генерации шума (временного ряда), спектр мощности которого соотносится по степенному закону с некоторой частотой... Особые случаи включают 1// -шум (а=1) и белый шум (а=0). Используется обратное БПФ (быстрое преобразование Фурье). Алгоритм генерирует в соответствии со степенными законами рандомизированные данные мощности в каждом диапазоне частот.». Обратим внимание - этот алгоритм основан на генераторе случайных чисел. То есть он создаёт, в частности, искусственный розовый шум, который невозможно ни интерпретировать, ни связать с
физическими и социальными смыслами. Это нечто противоположенное тому, что пытаемся создать мы, но весьма полезное для получения «хорошего» образца.
С помощью рс^егпо1$е мы сгенерировали розовый шум (а=1). Этот временной ряд состоит изначально из 1000 позиций - рисунок 1. Но для проверки наших идентификационных процедур мы использует количество позиций (200 точек данных), не превосходящее количество позиций в наших исследуемых исторических данных.
Вот результат (рисунок 4) описанных процедур формальной идентификации типа шума для искусственно сгенерированного шума.
♦ ♦
♦ \ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ * ;, ¿ч♦
♦ * ♦ ♦ ♦ ♦ * «ч* *и «% . t
у = 0,0000014х1'01
спектрограмма тестового образца "эталонная" спектрограмма -степенная линия тренда, тестовый образец ^-0 702
Рисунок 4. Результат обработки в Excel спектрограммы искусственного розового шума (тестовый образец, 200 точек данных); слева внизу: формула для степенной линии тренда спектрограммы тестового образца и индекс достоверности аппроксимации для этой же линии R2
Эталонная спектрограмма, которая совпала со степенной линией тренда спектрограммы тестируемого образца, имеет определённые параметры V и а, которые мы будем считать также и параметрами исследуемого реального шума (в данном случае - тестируемого образца): а=1,01; v=0,0000014. Для качественной интерпретации результатов коэффициент V не важен, но мы приводим его для реплицируемости аналитических процедур.
Такая величина а демонстрирует, что мы имеем дело с розовым шумом. Само по себе это не удивительно, поскольку мы изначально знали это и стремились лишь проверить наши инструменты.
Что мы видим на спектрограмме?
Рассмотрим спектрограмму на рисунке и укажем, что, собственно, означают те или иные её элементы. На оси х представлена частота - количество циклов (или количество событий) за единицу времени для каждой гармоники.
Обратимся к блогу портала Статосфера: «Частота - это число циклов в единицу времени (где каждое наблюдение составляет одну единицу времени). Таким образом, частота 0,0909 соответствует значению 11 периодов (число единиц времени, требующихся на полный цикл)»10.
10 http://statosphere.ru/blog/113-timeser-fourier.html
Следовательно, число единиц времени на полный цикл найдём по формуле 1=1//, где / - частота на спектрограмме (величина х изучаемой точки-гармоники); а t - количество моментов времени (в нашем случае лет, ведь историки обычно используют погодичные исходные данные), которое необходимо на полный цикл.
По оси у - просто квадрат амплитуды (мощность). Заметим, что амплитуда - это не абсолютная величина наблюдения (например, количество рождений за некоторый год), а величина колебания в рамках данной гармоники: «от среднего и до максимума (или минимума)». Если говорить грубо метафорически, это - размер события (если считать событием изменение характеристики системы в рамках данной гармоники от среднего тренда).
Заметим также, что в этом виде спектрограмму можно лишь с некоторыми оговорками рассматривать как отображение имевших место в реальности гармоник: сама математическая процедура спектрального анализа обнаруживает гармоники, возможные математически, но не обязательно возможные физически. Тем самым обозначается наличие некоторой статистической закономерности в данных, но, конечно, не утверждается, что эта закономерность «должна» полностью (даже в своих «экстремальных» вариациях как в приведённом примере) реализоваться в исторической действительности.
Литература
1. Bak P. How Nature Works: The Science of Self-Organized Criticality. New York: Copernicus, 1996.
2. Brunk G.G. Understanding self-organized criticality as a statistical process // Complexity. 2000. Vol. 5. № 3. Pp. 26-33.
3. Cederman L.-E. Modeling the Size of Wars: From Billiard Balls to Sandpiles // American Political Science Review. 2003. № 1. Pp. 135-150.
4. Clauset A., Shalizi C., Newman M. Power-Law Distributions in Empirical Data // SIAM Rev. 2009. Vol. 51. № 4. Pp. 661-703.
5. Little M.A., McSharry P.E., Roberts S.J., Costello D.A.E., Moroz I.M. Exploiting Nonlinear Recurrence and Fractal Scaling Properties for Voice Disorder Detection // BioMedical Engineering OnLine. 2007. Vol. 6. P. 23.
6. Petukhov A.Y. Branched Chain Reaction in Complex Social Systems // Fractal simulation (English ed.). 2013. № 1. Pp. 20-28.
7. Picoli S., Castillo-Mussot M. del, Ribeiro H. V., Lenzi E. K., Mendes R. S. Universal bursty behaviour in human violent conflicts // Sci. Rep. 2014. Vol. 4. Pp. 1-3.
8. Roberts D.C., Turcotte D.L. Fractality and Self-Organized Criticality of Wars // Fractals. 1998. Vol. 6. № 4. Pp. 351-358.
9. Sneppen K., Bak P., Flyvbjerg H., Jensen M. H. Evolution as a self-organized critical phenomenon // Proceedings of the National Academy of Sciences. 1995. Vol. 92. № 11. Pp. 5209-5213.
10. StatSoft Inc. Электронный учебник по статистике. Москва: StatSoft, 2012. Web: http:// www.statsoft.ru/home/textbook/default.htm
11. Turcotte D.L. Self-organized criticality // Reports on Progress in Physics. 1999. Vol. 62. № 10. Pp. 1377.
12. Turcotte D.L., Rundle J.B. Self-organized complexity in the physical, biological, and social sciences // PNAS. 2002. Vol. 99. № 1. Pp. 2463-2465.
13. Zhukov D.S., Kanishchev VV., Lyamin S.K. Fractal Modeling of Historical Demographic Processes // Historical Social Research. 2013. Vol. 38. № 2. Pp. 271 - 287.
14. Zhukov D.S., Kanishchev VV., Lyamin S.K. Fractal Modeling of Historical Dynamics of Frontier Territories: the Heuristic Potential // Fractal simulation (English ed.). 2013. № 1. Pp. 43-58.
15. Алексеев В.В., Бородкин Л.И., Коротаев А.В., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В., Малков С.Ю., Турчин П.В. Международная конференция «Математическое моделирование исторических процессов» // Вестник Российского фонда фундаментальных исследований. 2007. № 6. С. 37-47.
16. Артемов А.А., Дьячков В.Л., Канищев В.В. Длинные ряды демографических данных: поиск оптимальных методов математической обработки и визуального представления // Информационный бюллетень ассоциации История и компьютер. 2010. № 36. С. 58-60.
17. Бак П. Как работает природа: Теория самоорганизованной критичности. М: УРСС, 2013.
18. Бородкин Л.И. «Порядок из хаоса»: концепции синергетики в методологии исторических исследований // Новая и новейшая история. 2003. № 2.
19. Бородкин Л.И. Концепции синергетики в исследованиях неустойчивых исторических процессов: современные дискуссии // Информационный бюллетень ассоциации История и компьютер. 2008. № 35.
20. Бородкин Л.И. Методология анализа неустойчивых состояний в политико-исторических процессах // Международные процессы. 2005. Т.3. №7.
21. Гагарина Д. А. Моделирование в истории: подходы, методы, исследования // Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2009. № 7. С. 26-33.
22. Гагарина Д.А., Кирьянов И.К., Корниенко С.И. Историко-ориентированные информационные системы: опыт реализации «пермских» проектов // Вестник Пермского университета. Серия: История. 2011. №2. С. 35 - 39.
23. Гарскова И.М. Основные направления развития исторической информатики в конце ХХ -начале XXI в. // Вестник Московского университета. Серия 8: История. 2010. № 6. С. 75-103.
24. Головашина О.В., Жуков Д.С. Нелинейные эффекты динамики социально-политических институтов // Ineternum. 2012. № 2.
25. Жуков Д.С., Канищев В.В., Лямин С. К. Фрактальное моделирование демографических процессов в российском аграрном социуме (1926 - 1939 гг.) // Fractal simulation. 2012. № 1. С. 33 - 60.
26. Жуков Д.С., Лямин С.К.Изучение компьютерных моделей скоротечного разрушения социальных и политических институтов // Инноватика и экспертиза. Научные труды Федерального государственного бюджетного учреждения «Научно-исследовательский институт - Республиканский исследовательский научно-консультационный центр экспертизы (ФГБНУ НИИ РИНКЦЭ)». 2012. № 2.
27. Зудов Н.Е. Исследования социо-политических феноменов средствами компьютерного моделирования в ЦФМ: некоторые результаты и перспективы / / Fractal Simulation. 2012. № 2. С. 6-10.
28. Капица С., Курдюмов С., Малинецкий Г. Синергетика и прогнозы будущего. М., 2001.
29. Малинецкий Г.Г. Чудо самоорганизованной критичности // Бак П. Как работает природа: Теория самоорганизованной критичности. М: УРСС, 2013.
30. Малков А.С., Малинецкий Г.Г., Чернавский Д.С. Математические модели исторических процессов: мечта или реальность? // Информационные войны. 2009. № 1. С. 54-61.
31. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия Природы. М., 2002.
32. Оськин А.Ф. Фрактальный анализ кризисов в социальных системах // Информационный бюллетень Ассоциации история и компьютер. 2014. № 42. С. 81-82.
РЯАСТА1 S1MULAT10N. 2014. N 1.
33. Сморгунов Л.В. Сложность в политике: некоторые методологические направления исследований // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 6: Философия. Культурология. Политология. Право. Международные отношения. 2012. № 4. С. 90-101.
34. Уфимцев Р. Опус 1Д // Сайт «Ателье ЕВ.» <http://www.metaphor.ru/er/misc/1f_noise. хт1> (дата доступа: 21.07.2014 г.)
35. Шибков А.А., Желтов М.А., Михлик Д.В., Золотов А.Е. Физика и геометрия фракталов. Тамбов: Издательский дом ТГУ им. Г. Р. Державина, 2011.
