Теория нормальных форм А. Пуанкаре и ее приложения к теории устойчивости положений равновесия импульсных систем в особенных случаях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.36

Теория нормальных форм А. Пуанкаре и ее приложения к теории устойчивости положений равновесия импульсных систем в особенных случаях

А. И. Двирный*, В. И. Слынько

* Hedmark University College, 2418 Elverum, NORWAY, E-mail: dvirny@mail.ru; Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев, E-mail: vitstab@ukr.net

Аннотация. Рассматривается задача об устойчивости положений равновесия одного класса нелинейных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (импульсных систем) в особенных случаях. На основе идей теории нормальных форм задача сводится к проблеме существования функции Ляпунова для некоторой модельной системы, содержащей лишь критические переменные. При этом используется последовательность нелинейных преобразований с ограниченными переменными коэффициентами. В качестве приложения полученных результатов рассмотрены два особенных случая устойчивости импульсных систем, аналогичных классическим случаям А. М. Ляпунова. Ключевые слова: системы с импульсным воздействием, устойчивость по Ляпунову, нормальная форма, критические случаи теории устойчивости.

1. Введение

Вопросам устойчивости систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием посвящено значительное число публикаций, среди которых отметим [6, 7, 13, 14, 18, 19, 20]. В монографии А.М. Самойленко и Н.А. Перестюка [14] установлены достаточные условия устойчивости положений равновесия по линейному приближению. Несмотря на значительные достижения в теории устойчивости импульсных систем, задача об устойчивости положения равновесия в особенном случае является недостаточно исследованной [13]. Среди публикаций, посвященных этой проблеме, отметим прежде всего работу [17], где методом интегральных многообразий Н.Н.Боголюбова [12] обоснован принцип сведения для одного весьма частного случая нелинейных импульсных систем. Некоторые результаты, касающиеся устойчивости положений равновесия в особенных случаях, получены в работах [1, 2, 3, 5, 6, 7].

Целью настоящей статьи является исследование устойчивости положения равновесия в особенном случае для одного класса нелинейных импульсных систем, матрицы линейного приближения которых перестановочны. Используя классические методы теории нормальных форм [4, 15] и прямой метод Ляпунова [8, 9, 10, 11] в сочетании с идеями работы [5], мы указываем способ приведения исходной системы к модельной системе (по аналогии с [15]), содержащей только критические переменные. Сформулирован принцип сведения, согласно которому вопрос об устойчивости положений равновесия исходной системы сводится к проблеме существования функции Ляпунова для модельной системы. Полученные общие результаты применяются к исследованию некоторых частных

© А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО

особенных случаев. В этих случаях получены новые достаточные условия устойчивости импульсных систем по Ляпунову.

2. Постановка задачи

Введем некоторые обозначения и определения, необходимые для дальнейшего изложения. Как обычно, Мп (Сп) обозначает действительное (комплексное) п-мерное векторное пространство, || • || — некоторая норма в этом пространстве, N — множество натуральных чисел, Ъ — множество целых чисел, Ъ+ — множество целых неотрицательных чисел. Пусть {ти}0=1, ти € [а, ж), а € М — возрастающая последовательность чисел, имеющая единственную точку сгущения на бесконечности и удовлетворяющая неравенству

оо

8ир{ти+1 - тк} < +ж, Т = и {ти}, Л = [а, +ж) \ Т. ием к=1

Будем считать, что / € РС(Л; Сп) (или / € РС(Л; Мп)), если и только если функция / (Ь) непрерывна слева, а ее сужение на каждый из интервалов (ти ,ти+1) является

непрерывной функцией и вир ||/(Ь)Ц < +ж.

4€[а.,+о)

Аналогично, для последовательности {ди}0=1 С Сп будем считать, что ди € Р(Т; Сп), если и только если вир Цди || < +ж.

Пусть ш — связная окрестность точки х = 0 и / : [а, +ж) х ш Мп, д : ш Мп (или / : N х ш ^ Мп, д : ш ^ Мп), тогда будем обозначать / = О(д) равномерно по Ь € [а, ж) (равномерно по к € если существует положительная постоянная со > 0 и окрестность и С ш точки х = 0 такие, что при всех (Ь, х) € [а, +ж) х и (соответственно (к, х) € N х и) выполняется неравенство

/(Ь,х)Ц< соЦд(х)Ц, (/и(х)||< соЦд(х)Ц).

Напомним, что функция / : [а, ж) х ш ^ Мп называется локально-липшицевой в области ш по переменной х равномерно по переменной Ь € [а, +ж), если для любого компакта К С ш существует положительная постоянная Ь такая, что при всех х2, х1 € К и Ь € [а, +ж) выполняется неравенство

/(Ь,х2) - /(Ь,х1)Ц< Ь||х2 - х1|. Пусть х = (х1,..., хп)т € Мп, V = (и1,..., ип) € Ъ+, тогда будем считать, что хи =

п

х1 • •• хп, \ = |и1| +-----+ \ип|, (х,и) = ¿2 иихи.

и=1

Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений с импульсным воздействием

1* т

^ = ас +Е /^(ь)("+т+1(Ь,с), ь = ти,

И=2 (2.1)

т

с(Ь + 0)= Б((Ь) ди(и(Ь) + вт+1,и(С), Ь = ти, М=2

где ( € Мп, А, Б — постоянные п х п-матрицы, / € РС(Л; Мп), ди € Р(Т; Мп), ^+1 € С ([а, +ж) х ш; Мп), дт+1,и € С (ш; Мп), а € М, к € N ш — связная окрестность точки С = 0, ^т+1(Ь, 0) = 0, flm+l,k(0) = 0 при всех к € N.

Предположим, что ^т+1(Ь,() = 0(||(||т+1) и дт+1,к(С) = 0(||(||т+1) равномерно по переменной Ь € [а, +гс>) и по к € М, соответственно. Также будем считать, что функция ) является локально-липшицевой по переменной х в области ш равномерно по переменной Ь € [а, +гс>). Решение С(Ь, ¿о, Со) (¿о < т1) задачи Коши для системы (2.1) с начальным условием С(Ь; Ьо,(о) = Со предполагается непрерывным слева, т.е. С(Ь — 0; Ьо,(о) = С(Ь, ¿о, Со). Отметим, что решение задачи Коши С(Ь; Ьо,(о) существует и единственно (см. [14]).

Предположим, что матрицы А и В линейного приближения системы (2.1) перестановочны, АВ = В А, и имеют простую структуру. Последнее предположение позволяет упростить дальнейшие выкладки и не является принципиальным. Общий случай исследуется аналогично. В рассматриваемом случае существует линейное невырожденное преобразование Т с комплексными коэффициентами, одновременно приводящее матрицы А и В к диагональному виду. Пусть соответствующие диагональные матрицы А1 и В1 имеют вид

А1 = diag{A1,..., Ап1, гш1,..., гшп2, к1,..., кпз, 0,..., 0}, В1 = diag{0l,..., дт ,еЧв1,..., ечвп2 ,р1,...,рп3 ,°1,...,ап4},

где А3, д3 € С, в = 1,и1, Ш], в] € М, ] = 1,п2, кр, рр € М, р = 1,п3, ая € {—1, +1}, д = 1,п4. Здесь п1, п2, п3, п4 — неотрицательные целые числа. Предположим выполнение следующих неравенств

шах виреЙЛ,(тк+1-Тк)Ы < 1, шахвирвЯр(тк+1-Тк)\рр\ < 1. (2 2)

3 к р к К ' 7

(Здесь и далее КА есть вещественная часть комплексного числа А.)

Применяя линейное преобразование Т к исходной нелинейной системе дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (2.1) (по аналогии с подходом [15]), систему преобразуем к виду

dzs dt

\v\ + \ß\

J m

dwj _ „•, , „.. I V^ „(j) f+\ 4VK ßln, V2t„, ,*

dt

M+H + T\=2

j m

-Xtp = KpXp + Y гРт (t)zv1 (zT1 wV2 (w*r2 xT1 yT2 + Om+1, t = Tk,

\v\+\ß\ + \r\=2

\SZS + Y. №(t)zV1 (Z*)^1 WV2 (WT2 XT1 yT2 + Om+i, t = Tk,

\v\+\ß\+\T\=2 m

= iUj Wj + Y, j (t)zV1 (z*Y1 Wv2 (w*Y2 XT1 yT2 + Om+1, t = Tk,

m

-t- = E s(ir (t)zV1 (z* Г WV2 (W*Y2 XT1 yT2 + Om+1, t = Tk, \v\+M+\t\=2

m

zs (t + 0) = ßszs(t) + Y zV1 (z* Г WV2 (W*Y2 XT1 yT2 + Om+1, t = Tk,

\v\+\ß\+\T\=2

(2.3)

(t + 0) = eißj Wj (t) + Y j zV1 (z*)ß1 wV2 (W*Y2 xT1 yT2 + Om+i, t = Tk,

\v\+\ß\+\T\=2

хр(г + 0) = ррхр(г) + Е е^1 (гТ1 щ"2КГхТ1 уТ2 + от+1, г = гк,

М + И+|Т |=2

т

уч(г + 0) = адУ„(г)+ ^2 я^*"1 (гТ1 (™*Г2хТ1 уТ2 + От+1, г = Тк,

М + И+|Т |=2

где € С, звездочка * обозначает комплексное сопряжение, ¡щ!Т € РС(Л; С), Е^ € Р (Т; С), в =ТП € С, дЩт € РС (Л; С), О^Т € Р (Т; С), ^ = 1П2, хр € М, г{$т € РС (Л; С), Я^Т € Р (Т; С), р = Уд € М, € С, Б^Т € Р (Т; С), д = ТЩ, От+1 = О((\\*\\2 + \\ш\\2 + \\х\\2 + \\у\\2)) равномерно по г € [а, ж) или к € N. Кроме того, выполняются соотношения

^ (г) = (г$Т (г))*, е^т (г) = (ЯрТ (г))*, (г) = (*&(г))*, б<$т (г) = (Б$Т (г))*,

обеспечивающие вещественность переменных х и у.

Переменные (г,х) € СП1 х МП3 называются некритическими. Неравенства (2.2) обосновывают целесообразность использования этого термина. Переменные (ш,у) € СП2 х называются критическими.

3. Приведение к нормальной форме

Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (2.3). Покажем, что исследование устойчивости критического состояния равновесия * = 0, ш = 0, х = 0, у = 0 этой системы сводится к вопросу о существовании функции Ляпунова для следующей модельной системы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (т.е. системы, содержащей только критические переменные):

^ = ^ + £ ЩТ (гК (ш*УуТ, г = Тк,

V |+Н+|т |=2

^ = £ з^т (г)иГ (ы*ууТ, г = Тк,

М+Н + |Т |=2

N

= ев,,, .(г)+ V О^к\

(3.1)

Ш(г + 0) = (г) + £ О™-Ш*№*ууТ, г = Тк,

М+Н+Т-1=2

N

уд (г + 0) = ад уд (г) + £ Б^Т-Ш" (ш*Уут , г = Тк,

V |+н+|т |=2

Здесь д^т € РС (Л; С), сО^Т € Р (Т; С), зЦт € РС(Л; С), Б^Т € Р (Т; С), N — натуральное число, 2 < N < т, и З^т = (в^ *, Б^Т = (Б^) *, при всех V € ^+2, ц € ^+2, т € .

Рассмотрим нелинейное преобразование переменных (z,W,x,y) ^ (z,W,X,y) вида

Zs = zs + Y ZV% (t)zV1 (z*)ß1 WV2 (W*Y2 XT1 yT2 , \v\+\ß\+\T\=N

Wj = Wj + Y Wj (t)zV1 (z*)q1 WV2 (W*Y2 xT1 yT2,

\V\+\q\+\T\=N (3.2)

Xp = Xp + Y xi% (t)zV1 (z*r WV2 (W*Y2 xT1 yT2,

\ V \ + \ q\+\T\=N

Xq = yq + Y YVßT (t)zV1 (z*)q1 WV2 (W* )q2 XT yT2,

\ V \ + \ q \ + \ T \ = N

где Zi%, W$t, xvp)t, Yß € PC(Л, C), 2 < N < m. Коэффициенты xß(t), Yß(t) преобразования (3.2) удовлетворяют условиям

(xß(t)) * = xßi(t), YqT(t)) * = Y(qT(t).

Отметим, что преобразование (3.2) обратимо в достаточно малой окрестности точки z = 0, W = 0, X = 0, y = 0 и обратное преобразование имеет вид [15]

zs = Xs - Y Zß(t)Z1 (X*)q1 WV2 (W*)ß2XT1X2 + O2N-1, \ V\+\ß\+\T\=N

Wj = Wj - Y W jT(t)zV1 (X*)ß1 WV2(W*)ß2XT1 ZT2 + O2N-1,

\V\+\q\+\T\=N (3.3)

Xp = Xp - Y xß(t)X1 (X*)q1 WV2 (W*)ß2XT1 yT2 + O2N-1, \ v\+\q\+\t\=n

yq = Xq - Y Y(%(t)zV1 (X*)q1 WV2 (W*)ß2XT1 yT2 + O2N-1.

\ V\+\q\+\T\=N

В новых переменных (X, W, X, y) система дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (2.3) принимает вид

m

-X = XsXs + Y f$T (t)zXV1 (X*)ß1 WV2 (W*)ß2 XT1 yT2 + Om+1, t = Tk,

\ V \ + \ q \ + \ T\=2 m

-W = iu3Wj + Y j(t)zV1 (X*)ß1 WV2(W*)ß2XT1X2 + Om+1, t = Tk,

\ V \ + \ q \ + \ T\=2 m

-X = KpXp + Y XpT (t)X1 (X*)ß1 WV2 (W*)ß2 XT1 yT2 + Om+1, t = Tk,

\ V \ + \ q \ + \ T \ = 2 m

-X = Y X^T (t)X1 (X*)q1 WV2 (W*)q2 XT1X2 + Om+1, t = Tk,

\ V \ + \ q \ + \ T\=2

т

%(г + 0) = в8Ц(г) + £ Црг1 (ГУ1 Ш"2(Ш*у2хТ1 Ц2 + От+1, г = Тк,

М+Н + |Т |=2

т

ц?(г + 0) = е^ц(г) + £ О^Ц1 (гу1 Ц2(Ш*у2ЦТ1 Ц2 + От+1, г = тк,

м+н+т-1=2 (3 4)

т (.)

хр(г + 0) = ррхср(г) + £ е^Ц1 (ГУ1 Ц2 (Ш*У2хТ1 уТ2 + От+1, г = Тк,

И+Н+|Т |=2

т

Ц(г + 0) = ояЦ(г) + £ Б/Г1 (Ту1 Ц2(Ш*у2Ц1 Ц2 + От+1, г = Тк,

И+Н+|Т |=2

где € Р (Л, С), € Р (Т, С), € РС (Л, С), О? € Р (Т, С), € РС (Л, С), Е{рТ € Р (Т, С), € РС (Л, С), Б^Т € Р (Т, С).

Отметим, что коэффициенты исходной системы (2.3) при мономах порядка меньше N не изменяются при преобразовании этой системы к новым переменным, т.е. при V| + \ц\ + 1тI < N, к € N справедливы равенства

Ц^) (г) = f(г) Ц(5к) = е(г) = д(у) (г) О ?к) = О?к) Цр- (г) = г(р) (г) Я(рк) = я(рк) Цд) (г) = (г) Б(дк) = б(дк)

Рассмотрим подробно вопрос о формулах преобразования коэффициентов порядка N (IV\ + + \т\ = N при переходе от исходной системы (2.3) к системе (3.4). С учетом формул (2.3), (3.2) и (3.3) при г = Тк получим

d = dt + £ dZ(tT v wU2 wr xT1 yT2+

М+И+Т\=N

+ V zs

И+Н+Т\=N

dzvi d(z*)»i

(z*)»1 wV2 (w*y2xTlyT2 + zvi d(Z1) wV2 (w*y2xTlyT2 +

dt

dt

dwv2 d(w*)»2 + zvi(z*)ß1^d^~(w*y2xT1 yT2 + zvi(z*yiwV2 { t xT1 yT2 +

+ zvi (z*yi wV2 (w*)»2 ^ yT2 + zvi (z*)»1 wV2 (w*)»2 xTi

dt dt

+ ..

Очевидно, что (1хУ1

dt

= (Vl,X)zv1 + = (ßl,X*)(z*)»1 +

= i(v2,w)wV2 + . .

d(w*]»2 = -i(to,u>)(w* )»2 + ^ = (к, n)xTi + .

dy

T2

= 0 + ...

dг dг dг

где введены обозначения Л = (Л1,..., ХП1 )т, ш = (ш1,... ,шп2)т, к = (к1,..., кпз)т.

Поэтому

dzs dzs dt dt

+ £

dZt

(s)

VßT

dt

+ ((vi, X) + (ßi, X*) + i(v2 - ß2, w) + (k, n^ Zv%

\v\+\ß\ + \T\=N

X ZV1 (z*)ß1 WV2 (w*)ß2 XT1 yT2 + ... = XsZs +

+ Y, (t)zV1 (z*)ß1wV2 (w*r2 xT1 yT2 +

\v\+\ß\+\T\=N

+ £

H+M+\T\=N

dZ

(s)

VßT

dt

+ ((Vi, X) + (ßi, X*) + i(v2 - ß2,w) + (K, n^ ZV%

dZ

(s)

VßT

dt

+

X Г1 (ТУ1 й"2(й*У2ХТ1 уТ2 + ... = Х8% + Е

П+Ы+\т\=м

+ (V, Х) + (1ЛЬ Х*) + г(и2 - Ц2,ш) + (к, тг) - Х^ И^Т + (¿)

х Г1 (УУ1 йи2(й*У2ХТ1 уТ2 + ... = = Х3 % + Е (^ ( ¿Т1 (й*У2 ХТ1 уТ2 + ■■■■

П+Ы+\Т\=М

Здесь и далее многоточие обозначает нелинейные слагаемые, порядок которых отличен от N.

Таким образом, коэффициенты нелинейного преобразования (3.2) при t = ти удовлетворяют дифференциальному уравнению

dZ

(s)

^ + ((Vi, X) + (ßi, X*) + i(v2 - ß2,w) + (k, Ti) - Xs) z(% + f(% (t) = f$T (t), (3.5

dt

' VßT \

V\ + + \т\ = N. Рассмотрим связь коэффициентов исходной системы (2.3) и преобразованной системы (3.4) при t = ти

^ + 0) = zs(t + 0) +

+ Е ^ + 0)zV1 ^ + 0)(^*^ + 0))»1 ■и1"2^ + 0+ 0)У2 х

П+Ы+\т\=м

х хТ1 ^ + 0)уТ2 ^ + 0) =

= Qszs(t)+ е (шюг1 и»2 ти>*®у2 хт1 (м2 а)+

П+Ы+\Т\=М

+ Е г$т ^ + 0)би1 (бТ1 е^2-^ рТ1 аТ2 zVl Ш^^У1 х П+Ы+\Т\=М

х (^(и*(^У2хТ1 (^уТ2(^ + ... =

= (^ + Е [р(р + б1,1 (б*Гег^2-^рТ1 аТ2^ + 0) - баИ$т(^ х П+\^\+\т\=м

х Г1 (^(У^)У1 йи2^)№*(^У2ХТ1 (Щ2(^ + ■■■■

X

X

Здесь д = (дг,..., дщ )т, в = (вгвп2 )Т, Р = (рг,---, Рпз )Т, а = (а г,..., аш )т.

Следовательно, коэффициенты нелинейного преобразования (3.2) при £ = тк удовлетворяют уравнению

д., (дТг ^„^ргг ат2 ^(£ + 0) - дз2(3)т(£) + = рШ, (3.6)

V| + \ц\ + \т\ = N. Отметим, что коэффициенты при мономах порядках М, (т > \ + Ы + \т\ = М > N), преобразуются довольно сложным образом по формулам

= + /М[¡,9,8, г], Е$т = Е$т + Бм[Е, С, Б, Я], (3.7)

где /м представляет собой полиномиальную функцию от коэффициентов /т/, ди'^т*, , , \и'\ + + \т'\ < М исходной системы (2.3), Ем представляет собой полино-

миальную функцию от коэффициентов Еу*^т*, Си*^*т*, Б„*, *, \у'\ + \ \ + \ т'\ < М

исходной системы (2.3). Аналогичным образом, можно получить уравнения для остальных коэффициентов N-го порядка нелинейного преобразования (3.2):

dWVßT

(j)

+

dt

dX (p)

dXVßT dt

dY (q)

dY VßT dt

QV1(Q*)ß1 ei(ß'V—2)pT1 aT2 Wj(rk + 0) - WjT(rk) + Gj) = G™,

V ¡IT 1 JV ¡IT\") ÜVßT\

(jk) = G(jk)

V ¡T

(Vi, X) + (ßi, X*) + i(v2 - ß2,u) + (к, Ti) - ij WjT + gVjT (t) = j (t), t = Tk,

(3.8)

(Vi, X) + (ßi, X*) + i(V2 - ß2,u) + (к, Ti) - *p] X(pT + r^T (t) = rV$T (t), t = Tk, QV1 (Q*У1 ei(ß'V2-»2)pTlaT2XV?T(Tk + 0) - ppX$T(Tk) + R(pT =

(3.9)

(Vi, X) + (ßi, X*) + i(v2 - ß2, Ы) + (к, Ti)l + (t) = s$T (t), t = Tk,

+

(д*Г рт1 ат2у(я)т(тк + 0) - У^(тк) + = .

(3.10)

Здесь V\ + \ц,\ + \т\ = N.

Коэффициенты порядка выше N (\и\ + \ц\ + \т\ = М) преобразуется по формулам, аналогичным (3.7)

д[Лг(1)= 9{Дг(1)+ 9м[/,9,т,8], СНГ = С^т + См [№,С,Я,Б], (;т)

р$т№ = г^т№ + Рм[/, 9, г, 8], Я<$ = ярт + Ем [№, С, Я, Б] , (3.12)

рд)т(£) = в^т(£) + Рм[/, 9, г, 8], = Б^к + Бм № С, Е, Б]. (3.13)

Здесь дм, гм, 8м — представляют собой полиномиальные функции от коэффициентов /и'^'т', 9и'^'т', , г^^т*, у\ + \ц!\ + \т'\ < М исходной системы (2.3), (См, Ем, Бм

представляют собой полиномиальные функции от коэффициентов Еи*^*т*, Си*^*т*, Би*^*т*, Еи'^'т*, V\ + \ц1 \ + \т'\ < М исходной системы (2.3).

Уравнения (3.5), (3.6), (3.9), (3.10) для коэффициентов нелинейного преобразования (3.2) позволяют рассмотреть вопрос о возможности исключения членов ^го порядка из преобразованной системы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (3.4). С этой целью установим условия существования функций € РС(Л, С), Ш^т €

РС(А, С), Х(% € РС(А, С), У^т € РС(А, С), \и| + + \т\ = N, удовлетворяющих уравнениям (3.5), (3.6), (3.9)^(3.10), в которых = 0, = 0, 01т = 0, = 0, г®т = 0, К^Т = 0, т = 0, Б^? = 0. Поскольку

= е-К Я,Т1)-\3]АТк (д*)-^1 ) р-т1 а-т2 =

= е-[(Vl+Vl,Ш) + (я,т1)-^\3\(тк-Тк-1) | д^ || д|\р\-Т1,

где \р\ = (\р1\, \ р2 \, . . . , \рп2 |), |д| = (\gi\i д\,■ ■ ■ , \дп2 |). Из условия \их\ + + \Т1\ = 0 следует, что 0 < дк < по < 1. Следовательно, из включений ¡щ1т € РС (А, С), €

Р(Т, С) следует, что уравнение с импульсным воздействием (3.5), (3.6) имеет решение

ZÍs|}т € РС (А, С), V | + И + \т \ = N.

Таким образом, преобразование (3.2) в этом случае позволяет в правых частях уравнений для комплексных некритических переменных х^ исключить члены вида кш"2 (ш*)^2уТ2, к = 0, \и\ + \ц,\ + \т\ = N, содержащие только критические переменные. В случае, если \и1\ + \^1\ + = 0 будем считать, что Z(s|)т = 0 при \и\ + + \т\ = N. Аналогично, рассматривая величину

\-{vl+ßl)\ „I-Т1 _

\дк \ = е-[("1,л)+(^1 )+г(и2-^2,ш)+(я,Т1)-гШз\^тк |д|-(vl+^l)|р|

нетрудно видеть, что \дк\ > Щ > 1 при ^^ + \^1\ + |т1| = 0. . Таким образом, в правых частях уравнений для комплексных критических переменных , ] = 1,П2 преобразование (3.2) позволяет исключить все мономы вида кхи1 (х*(ш*)^2хТ1 уТ2, к € С, к = 0, V\ + \ц\ + \т\ = N, \и1\ + \^1\ + = 0. Другими словами, после преобразования (3.2) в правых частях соответствующих уравнений системы (3.4) для критических переменных могут быть ненулевыми лишь члены вида кго^2 (ъо*)^2 (у)т2, к € С, к = 0, V \ + И + \т \ = N.

В случае, если \р1\ + \ц,1\ + |т1| =0 будем считать, что соответствующий коэффициент

w(¡т(г) = 0, V\ + и + \т\ = N.

Аналогичные рассуждения, позволяют прийти к следующим выводам: функции Х^т (г) можно подобрать так, чтобы в правых частях уравнений для действительных критических переменных хр исключить все мономы вида кш^2 (ш*)^2ут2, к = 0, + \^2\ + \т2\ = N, содержащие только критические переменные. В случае, если \и1\ + \^1\ + \т1\ = 0, полагаем X(р)т = 0 при \и\ + + \т\ = N. Также функции У^т, V\ + + \т\ = N можно подобрать таким образом, чтобы в правых частях уравнений для действительных критических переменных уя исключить все мономы вида кг"1 (х*)^1 ш"2(ш*У2хт1 ут2, к = 0, \и\ + \р\ + \т\ = N, + + \т1\ = 0. Если же \и1\ + \ + \т1\ = 0, то будем считать У^т = 0, \и\ + + \т\ = N.

Подводя итоги приведенных выше результатов, приходим к выводу о существовании нелинейного преобразования , приводящего (в некоторой достаточно малой окрестности состояния равновесия) нелинейную систему (2.3) к виду (3.4) и обладающему следующими свойствами:

1° ■ Преобразование не изменяют членов порядка < N.

2°. Если € РС(Л, С), д^г € РС(Л, С), г$т € РС(Л, С), з^т € РС(Л, С), 2 < V \ + И + к I < т, то выполняются включения € РС (Л, С), д^т € РС (Л, С), € РС (Л, С), Ш$т € РС (Л, С), 2 < \ + И + \т \ < т.

3°. Если Г^У, 0(^т, К^т, € Р(Т, С), 2 < \и\ + \и\ + \т\< т, к € М, то ШР, 0, , € Р(Т, С), 2 <\и\ + И + \т\< т, к € N.

4°. Преобразованная система (3.4) в правых частях уравнений, определяющих эволюцию некритических переменных г-, хр, не содержит мономов вида кю"(ю*)^ут,

V\ + И + \т\ = N, к =0.

5°. Преобразованная система (3.4) в правых частях уравнений, определяющих эволюцию критических переменных ю-, уя, не содержит мономов вида кг"1 (г*)^ю"2хт1 ут2, \щ\ + \№\ + \п\ =0, к = 0, \и\ + \и\ + \т\ = N.

6°. Задача об устойчивости (асимптотической устойчивости) состояния равновесия г = 0, ю = 0, х = 0, у = 0 системы (2.3) эквивалентна задаче об устойчивости (асимптотической устойчивости) состояния равновесия Ш =0, Ю = 0, Ш = 0, Ш = 0 системы (3.4).

Свойства 1°-6° позволяют предложить следующий алгоритм упрощения системы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Этот алгоритм аналогичен классическому алгоритму приведения к нормальной форме А.Пуанкаре [4, 15].

Сначала строится преобразование (2 со свойствами 1°-6° и применяется к системе (2.3), потом к полученной системе применяется преобразование (з, и т.д. В результате применения к системе (2.3) композиции преобразований (м о (м— о ■ ■ ■ о (2 получим систему дифференциальных уравнений вида

= ХвХз + ^ (г,г,ю,х,у)+ Ом+1, 1 = тк,

йи)- М

= гш- ю- + Е д-^ (¿)ю" (ю*Уут + Ом+1, г = тк,

П+Н+\т\=2

dx. ~dt

—¡^ = крХр + tp(t,z,w,x,y) + On+1, t = тк,

d N

-У = E (t)wv (w*)ßyT + On+1, t = Tk,

dt П+Н+\т\=2 (3.14)

Zs(t + 0) = ßsZs(t) + Fsk (z(t),w(t),x(t),y(t)) + On+1, t = Tk,

N

w3 (t + 0) = eißj w3 (t) + E GjT wv (t)(w*(t)Y yT (t) + On+1, t = Tk,

\v\+H+\t\=2

xp(t + 0) = ppXp(t) + Rpk (z(t),w(t),x(t),y(t)) + On+1, t = Tk,

N

yq (t + 0) = aq yq (t) + E Siqk wv (t)(w* (t)Yyr (t) + On+1, t = Tk.

\v\ + \ß\ + \r\ = 2

При этом функции гр, ^вк, ^рк в достаточно малой окрестности состояния равновесия г = 0, ш = 0, х = 0, у = 0 удовлетворяют равномерно по £ € [а, ж), к € N оценкам

\^3(1,г,ш,х,у)\ = 0(\\г\2 + ||х||2 + у/\\г\\2 + \\х\\2/\Н\2 + \\у\\2), \хр(1,г,ш,х,у)\ = 0(\\г\\2 + \\х\2 + /\\г\\2 + \\х\\2/\Н\2 + \\у\\2), \&к (г,ш,х,у)\ = 0(\\г\\2 + \\х\\2 + /\И\2 + \\х\\2/\Н\2 + \\у\\2), \RRpk (г,ш,х,у)\ = 0(\\г\\2 + \\х\\2 + /\\г\\2 + \\х\\2/\Н\2 + \\у\\2).

Последние неравенства позволяют установить теоремы о сведении.

Рассмотрим модельную импульсную систему (3.1). Введем класс вспомогательных функций, которые далее будут применяться для исследования устойчивости критического положения равновесия г = 0, н = 0, х = 0, у = 0 системы (2.3). Рассмотрим функцию вида

ь

v(t,w,w*,y)= £ pVßT (t)wv (w* У yT

И+Н+|Т |=2

где Ри^т € РС(Л, С), Ри^т= р*^т(£) при 2 <\и\ + \ц\ + \т\ < Ь. Индуктивно определим функции Н,ш*,у), I = 0,1,... ,х + 1, £ € Л. Положим у0(1, н, ш*,у) = у(1, ш, ш*,у) и, по индукции,

vl(t,w,w*,y) = I = ^V— + ( ^w) Т (i"w + Е 9v,T (t)wv (w*yyT) +

' ' \v\ + \ß\+\T 1=2

ВТ N д Т N

+(дН^) (ЫН+ Е з^т(1Н(н*ГуТУ+(Е НТуТ.

М + И+|т|=2 У IV |+Н+|т|=2

Полная разность функции у(Ь,н,ш*,у) вдоль решений системы (3.1) при £ = тк имеет вид

( N

1)(ткШ Н*,у)= уЫ + 0, вгБш + £ СктНи(ш*Гут,

V М+Н + |т|=2

( N \ * N \

Л + £ (нТут) , Еш + £ Н Н*Гут) - у(тк ,ш,ш*,у).

V м+н + |т |=2 / | V | 1 ^ | 1 т |=2 /

Здесь ш = diag(w1,..., шП2), В = diag(вь..., (3П2), Е = diag(a1,..., аП4). Для заданных натуральных чисел к, х определим выражение

У^Х(ш,ш*,у) = - £(-1)1 ——ГЦ\к~11 (тк,н,ш*,у) + Ау ,,(тк,Н,Н*,у) 1=1 '

(3.1)

Относительно функции у(Ь, н, н*,у) и системы (3.1) сделаем следующие предположения.

Предположение 3.1. Существуют связные окрестности О С С""2 точки н = 0 и N С К"4 точки у = 0 такие, что модельная система дифференциальных уравнений (3.1) удовлетворяет условиям:

1) существуют функции класса Хана аг(-), Ъг(-) такие, что при всех (г,ы,ы*,у) € Л х Б х Б* х N выполняются неравенства

а1 МИ2 + ||у||2) < ь(г,ы,ы*,у) < ЪгММ|2 + ||у||2);

2) существует функция класса Хана с(-) такая, что при всех (к,ы,ы* ,у) € N х Б х Б* х N выполняется неравенство

мм*,у) < -сЫМ2 + м2);

3) существует функция класса Хана ё(-), для которой существует верхняя производная Дини Б+й(-) и при всех (г,ы,ы*,у) € Л х Б х Б* х N выполняется неравенство

\ух+1(г,мМ*,у)\< ¿ММ|2 + ||у||2);

4) существует положительная постоянная сг > 0 такая, что при всех ^ > 0 функции с(-) и с!(-) удовлетворяют при достаточно малых г соотношениям

ги+2 (М^Г)

\Б+й(г)\ < сгг, Пш __= 0, Иш -^- = 0.

г^0+0 у/с(г) г^0+0 с(г)

Теорема 3.1. Предположим, что для модельной системы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (3.1) существует функция Ляпунова у{ь,м,м*,у) удовлетворяющая условиям предположения 3.1. Тогда критическое положение равновесия ( = 0 системы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (2.1) равномерно асимптотически устойчиво.

4. Полунормальная форма модельной системы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием

Теорема о сведении (теорема 3.1) позволяет свести исследование устойчивости системы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в критическом случае к вопросу о существовании вспомогательной функции Ляпунова, удовлетворяющей условиям теоремы 3.1 для модельной системы (т.е. системы, содержащей только критические переменные), которая имеет вид

л т

Ы = ы + £ Мт (*м ы*уут ,

М + И+|т 1=2

Л т

= £ (гМ Ы*ГуТ, г = тк,

И+Н+|т 1=2

Wj (t + 0) = eißj Wj (t) + £ G^w" (w*rvT,

M+H + T 1=2

m

Vq (t + 0) = aq yq (t)+ £ SiqkTwv (wYvT, t = Tk, М + И+|т 1=2

(4.1)

где у е С"2, у е М"4, уе М, в е М, ад е {-1, +1}, ,д$ е РС(Л, С), С^^^ е Р(Т, С), ] = 1,П2, 9 = 1,П4, к е

В настоящем параграфе укажем некоторый способ упрощения модельной системы с импульсным воздействием. Предварительное применение этого подхода приводит в дальнейшем исследовании к менее громоздким формулам, чем в общем случае. Сущность предложенного упрощения модельной системы (4.1) сводится к преобразованию непрерывной или дискретной компонент системы к нормальной форме.

В качестве примера рассмотрим преобразование, приводящее дискретную компоненту системы к нормальной форме.

Введем нелинейную замену переменных

У („,*)» ут

w = w + Е WVßT (t)wv (w*r У

П+\^\+\т\=М

д = у + Е (ьУ (у*Гут,

П+\^\+\т\=М

где 2 < N < т, (Ь) — кусочно-постоянные функции класса РС (Л, С) с интервалами постоянства (тк,Тк+\], к е

Отметим некоторые очевидные свойства преобразования переменных (4.2):

1°. Преобразование (4.2) не изменяет членов порядка < N.

2°. Преобразование (4.2) не меняет существа задачи об устойчивости критического состояния равновесия w = 0, у = 0 системы (4.1).

Если Ь = тк, то система (4.1) в новых переменных (У,уд) имеет вид

(ЛУд ' т

У = + Е (У*)^ + От+1,

dt 11

\v\+\ß\+\T\=2

m

dyq = Е (t)Wv (WTY + Om+1.

\v\+\ß\+\T\=2

Здесь Уу е С, ¡Цт е РС (Л; С), уя е М, дЦт е РС (Л; С). В соответствии со свойством 1°, выполняются равенства

д%т(Ь)= д(%(Ь), 2 <\и\ + И + \т\ <N,

^г(Ь)= в^т(Ь), 2 <\и\ + И + \т\ < N.

Остальные коэффициенты д(^т (Ь), д^т (Ь) представляют собой полиномиальные функции коэффициентов исходной системы д^'т,(Ь), в^т'(Ь), V'\ + + \т'\ < \и\ + + \т\. При этом имеют место включения д^т (Ь),^^ (Ь) е РС (Л, С).

Если г = тк, то система (4.1) в новых переменных (и), у) преобразуется к виду

Ы(г + 0) = м (г + 0)+ £ (г + 0М (г + 0)(ы*(г + 0)Уут (г + 0) =

IV |+Н+|т 1=М

= Ыз (г) + £ с^М (г)Ы*(г)Гуг (г)+

М+И+|т ^

+ £ (г + 0)ег(в'иЫ» (г)(ы* (г)Уут (г) + ■■■ =

М + Н+|Т I=N

= егв>М(г) + £ - егв> шЗ(г) + е^-^(г + 0)) х

V |+Н+|т |=ЛТ

х Ы (г)(й*(г)уу (г) +...,

где точками обозначены не выписанные члены, порядок которых отличен от N. Аналогично,

у(г + 0) = уд (г + 0)+ £ (г + 0)ы " (г + 0)(ы *(г + 0)Гут (г + 0) =

М+И+|т ^

= а, у, (г) + £ б$>ы - (г)(ы *(г)Гут (г)+

V |+Н+|т |=ЛТ

+ £ (г + (г)(ы *(г)Гут (г) + ■■■ =

И+Н+|Т I=N

= а,Уя(г) + £ (Б<$ - а,(г) + (г + 0)) х

М+Н+|т |=^

х у (г)( й*(г)уу (г) +...

Функции Ш^т(г), У$т(г) постараемся выбрать так, чтобы

(тк + 0) - а,а-те-( (тк) = е-(4.3)

(тк + 0) - №-((тк) = е^^С™. (4.4)

Очевидно, что уравнения (4.3)—(4.4) не всегда разрешимы в классе функций РС(Л, С).

Определение 4.1. Моном Б^-)иои(и>*)рут (соответственно иои(и>*)рут) в ^-том уравнении (4.1) называется нерезонансным мономом порядка \и\ + + \т\, если уравнение (4.3) (соответственно уравнение (4.4)) имеет решение {У(тк + 0)}^=1 € Р(Т, С) (соответственно {ШЗТ(тк + 0)}~г € Р(Т, С)).

Определение 4.2. Моном Б^Т(ы*)рут (соответственно, Ы(ы*)рут) называется резонансным мономом порядка \и\ + + \т\, если уравнение (4.3) (соответственно, уравнение (4.4)) не имеет решений {У^рт(тк + 0)}^=1 принадлежащих классу Р(Т, С) (соответственно, (тк + 0)}^=1 € Р(Т, С)).

Определение 4.3. Резонансный моном Сикуои(и>*)рут (соответственно, Бщтт(ы*)рут) называется тождественно резонансным мономом порядка \и\ + + \т\, если равенство ег(в-= 1 выполняется независимо от в (соответственно, а-те-г( = 1 независимо от в и а).

Отметим, что если моном С„¡Г(у*)^ут (соответственно, БщГ(у*)^ут) является нерезонансным, то новые переменные У, у можно выбрать так, что в новых переменных этот моном отсутствует.

Обозначим через ©м, 2 < N < т, преобразование переменных (2.3). Применяя последовательно к системе (4.1) преобразования ©2 ,©3,..., ©м, приводим систему (4.1) в некоторой достаточно малой окрестности состояния равновесия У = 0, у = 0 к виду

ЛУ м

-У = гшу + Е дЦт (У*ТУ + Ом+1,

П+М + \т\=2

-уд м

— = Е ¿Чт (№ (У*ГУ + Ом+1, Ь = тк

dt

\v\+\ß\+\T\=2

(4.5)

¡(t + 0) = eißj Wj (t) + E 1 wv (w*yyr + On+1,

eißj

Ч"/ I

\v\+\ß\+\T\=2

N '

Уч(Ь + 0) = ачУч(Ь) + Е У(У*ГУ + Ом+1, Ь = тк,

П+Ц + \т\=2

где штрих возле знака суммирования означает, что сумма содержит лишь резонансные мономы.

Система дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (4.5) называется полунормальной формой модельной системы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.

Далее ограничимся рассмотрением модельных систем, которые приведены к полунормальной форме. Такое предположение приводит к некоторому упрощению дальнейших вычислений, но отнюдь не является принципиальным и может быть опущено.

5. Случай одной действительной критической переменной

Рассмотрим простейший критический случай, когда есть лишь одна критическая переменная и она является действительной. Модельное уравнение с импульсным воздействием имеет вид

л N

dy

EST (t)yT, t = Tk,

T=2 (5.1)

N

= У S^ ( Г )t 'T

dt

y(t + 0) = ay(t) + Y^ S(k)yT(t), t = Tk,

t=2

где у е М, вт е РС (Л; М), а е {-1, +1}, Б(тк) е Р (Т; М), N — натуральное число.

Ограничимся случаем, когда N = 5, поскольку общий случай существенно не отличается от рассматриваемого ниже. Сначала рассмотрим случай, когда а = -1 и введем вспомогательную функцию

5

2

'(t,y) = y2 + Е Ps(t)ys■

s=3

Полная производная вспомогательной функции ь(Ь,у) вдоль решений модельного уравнения (5.1) при Ь = тк имеет вид

dv dt

= (dtt + 2s2(t)) y3 + (d4 + 2S3(t) + 3ps(t)S2(t)j y4 + (% + 2S4(t)+

(5.1) \ dt ) \ dt ) \ dt

+ 3p3(t)S3(t) + 4p4(t)S2(t)^j y5 + ^ dt- + 2S5(t) + 3p3(t)S4 (t) + 4p4(t)S3(t) +

+ 5p5(t)s2(t)) y6 + O(\y\7). (5.2)

Относительно функций gT(t), t = 2, 5 сделаем дополнительное предположение

Предположение 5.1. Существуют постоянные фT, т = 3, N + 1 такие, что функции

t t P3(t) = fat - 2 j S2 (s) dS, p4 (t) = ^4t - j (2S3(S) + 3p3(s)s2(s)) dS,

a a

t

P5(t) = ф5t - j (2s4(s) + 3p3(s)s3(s) + 4p4(s)s2(s)) ds,

a

t

p-(t) = ф-t - J (2s5(s) + 3p3(s)s4(s) + 4p4(s)s3(s) + 5p5(s)s2(s)) ds

a

ограничены на интервале [a, ж). В этом случае, очевидно, что

t t

ф3 = lim - S2(s) ds, ф4 = lim - (2s3(s) + 3p3(s)s2(s)) ds, t^m t J t^m tj

aa t

ф5 = lim - / (2S4(s)+ 3p3(s)s3(s)+4p4(s)s2(s)) ds,

t^m tj

a

t

фб = lim - I (2S5(s)+ 3p3(s)s4(s) + 4p4(s)s3(s)+ 5p5(s)s2(s)) ds.

t^m tj a

Из предположения 5.1 следует, что полная производная вспомогательной функции v(t, y) вдоль решений модельного уравнения (5.1) имеет при t = Tk вид

dv

dt (51) = ф3У3 + ф4У4 + ф5У5 + ф-y6 + о (\y\7) ■ (5.3)

Оценим первую разность вспомогательной функции v(t, y) вдоль решений модельного ISSN 0203-3755 Динамические системы, том 3(31), No.1-2

уравнения (5.1) при t = Tk: v(Tk + 0,y(Tk + 0)) - v(Tk,y(Tk)) = ( - 2S{k) - 2p3(Tk))y3 + ( - 2Sjk) + (S{2k))2+

+ 2p3(Tk )S{2k)) y) + ( - 2Sf + 3p3(Tk )s3k) - 3p3(Tk )(s(k))2 - pfa )s(k)-- 2p5(Tk))y5 + ( - 2S5k) + (S3k))2 + 3p3(Tk)S4k) - 6S2k)S3k) +

2 3

+ (S2k))3 - 4p4(rk)S{3k) + 6p4(rk)(s2k))2 + 5p5(Tk)s2k))y6 + O (|y|7) . (5.4)

Теорема о сведении (теорема 3.1) позволяет установить следующие условия асимптотической устойчивости критического состояния равновесия ( = 0 системы (2.1):

s2k) + P3(Tk) = 0, фз = 0, MTk - Tk-1) - 2S3k) + (S(k))2 + 2рз(Tk)s2k)) < 0.

В случае дополнительного вырождения

sup UA(Tk - Tk-i) - 2S3k) + (s2k))2 + 2p3(Tk)S(2k)) = 0, k

ф4 = ф5 = 0, -2Sik) + 3p3(Tk)s3k) - 3p3(Tk)(s2k))2 - 4pA(Tk)s2k) - 2p5(Tk) = 0

условие асимптотической устойчивости критического состояния равновесия ( = 0 системы (2.1) имеет вид

sup U6(Tk - Tk-1) - 2S5k) + (S(k))2 + 3p3(Tk)S(k) - 6S2k)S(k) + (S2k)) 3 -k

- 4pA(Tk)S3k) + 6pA(Tk)(S2k)) 2 + 5p5(Tk)S2k)) < 0.

Рассмотрим случай, когда а = 1. Очевидно, что достаточно вычислить первую разность вспомогательной функции ь(г,у) при г = тк вдоль решений модельного уравнения (5.1):

'(Tk + о, y(Tk + 0)) - v(Tk, y(Tk)) = 2S2k)y3 + (2S3k) + 3фз(гк)S2k)) y4 + (2S4k) +

+ 2S2k)S3k) + 3p3(Tk)S3k) + 3p3(Tk)(S2k))2 + 4p4(Tk)S2k)) y5 + (2S5k) + +

>2 s3 +3P3('k )S3 + 3p3(Tk )(S2 ) +4P4('k )s2 JV + + 2S2 s4

+ 3p3(Tk)s4k) + 6S2k)s3k)p3(Tk)+ рз(тк)(s2k))3 + 4p4(Tk)S3k) + 6P4T)(s2k))2) y6+O(\y\7).

Теорема о сведении позволяет установить следующие условия асимптотической устойчивости критического состояния равновесия ( = 0 системы (2.1)

S2k) =0,фз = 0, sup (MTk - Tk-i) - 2S3k) + (S2k))2 + 2p3(Tk)s2k)) < 0.

В случае дополнительного вырождения

2s4k) + 2s2k) S3k) + 3p3(Tk )s3k) + 3p3(Tk )(s2k))2 + 4p4^ )S3k) = 0, ф3 = ф4 = 0, 2S3k) + 3p3(Tk )s2k) = 0

условия асимптотической устойчивости критического состояния равновесия ( = 0 системы (2.1) имеют вид

sup U6(Tk - т—) + 2Sih) + 2sik)sik) + 3p3(Tk)s[h) + 6S{2h)S{3h)p3(rk) + k v

+ P3(Tk)(sik))3 + 4p4(rk)sik) + 6p4(Tk)(sik))2) < 0.

6. Случай одной комплексной критической переменной

Теорема о сведении позволяет свести исследования этого критического случая к исследованию модельного дифференциального уравнения с импульсным воздействием

^ = гшш + Е Ь = тк,

3 (6Л)

+ о) = ш(Ь)+ Ё (г)(ш*(г)у, ь = тк,

где ш £ С, ш £ М, в £ К, V, ц £ д^ £ РС(Л; С), С$ £ Р(Т; С).

Изучим вопрос о существовании вспомогательной функции Ляпунова для модельного уравнения (6.1), ограничиваясь при этом случаем N = 3 без дополнительных вырождений.

Рассмотрим нелинейную замену переменных вида

3

П = ш + Е (ш*Г, (6.2)

где п £ С, — кусочно-постоянная функция, приводящая уравнение (6.2) к полу-

нормальной форме

§ = гшп + ^ (пТ + 0(\п\3), Ь = тк,

п(ь + 0)= егв п(Ь) + С2к^п(Ь)\п(Ь)\2 + 0(\п\3), Ь = тк.

Очевидно, что достаточно построить функцию Ляпунова для уравнения (6.3). Рассмотрим функцию

4

у(Ь,п,П*) = \п\2 + Е Р^Ш(п*Г, (6.4)

где р^ £ РС (Л; С), р*^(Ь) = р^ (Ь).

Полная производная функции (6.4) вдоль решений уравнения (6.3) при Ь = имеет

вид

dv dt

dp30 + Зшрзо + д*02^ П3 + (% + i^p2 1 + 7j2o(t)+ Гц®) rfrf +

(6.3) \ dt J \ dt

+ (% - iupi2 + gii(t)+ 9Ut)) п(п*)2 + (^ - 3iup03 + 902(t)^(v*)3+

\ dt J \ dt

+ (^dptt + 4^40 + 903(t) + p2i(t)g02(t) + 3p3o(t)g2o(t)jЦ4 + ^рР^ + 2iwp:ii + 93o(t)+

+ 9*i2(t) + 3p30(t)gii(t) + 2p2i(t)920(t)+ p2i(t)gli(t)+2pi2(t)g*2(t) n3n * +

>

+ ( ddf + 92i(t)+ 91 i(t)+3p30(t)902(t)+2p2l(t)9ll(t)+ p2i(t)9lo(t) + pi2(t)920(t) + + 2pi29*i(t)+3p03(t)9*2(t))\n\4 + (^ - 2iwpi3 + 9i2(t)+ 9*0(t) + 2p2i(t)902(t) +

+ pi2(t)9ii(t) +2pi2(t)9*0(t) +3p03(t)9*i(t)^j n(n*)3 + (% - 4iwpm + 903(t) +

dt

+ pi2 (t)902(t) + 3p03(t)9*0 (t)^j (П * )4 + O (INI5) .

Функции Рир(г), V + ц = 3, 4 выберем так, чтобы при г = тк выполнялись равенства dpзo

+ 3iwp30 + 9o2(t)=0, (6.5)

+ iwp2i + 920 (t) + 9* i(t) = 0, (6.6)

- iwpi2 + 9ii(t)+ 9*w(t) = 0, (6.7)

- 3iwp03 + 902(t) = 0, (6.8)

+ 4iwj)40 + g*3(t) + p2i (t)90 2 (t + 3p30(t)920(t) = 0, (6.9) + 2iwpj3i + 930 (t) + 9*u(t) + 3p30(t)9ii(t) + 2p2i(t)920(t) +

dt dp2i dt dpi2 dt dp03 dt dp40 dt dp3i dt

+ p2i(t)9* i(t)+2pi2(t)^*2(t) = 0, (6.10)

dpt3 - 2iwpi3 + 9i2(t)+ 9t0(t)+2p2i(t)902(t) + pi2(t)9ii(t) +

+ 2pi2(t)9*0(t) + 3p03(t)9* i(t) = 0, (6.11)

dp04 dt

- 4iupm + 903(t) + pi2(t)902(t) + 3p03(t)9*0(t) = 0. (6.12)

Тогда полная производная функции у(г,п,П*) вдоль решений системы (6.3) принимает вид

dv dt

(6 3) = (^ + 92i(t)+ 9*i(t) + 3p30(t)902(t) + 2p2i(t)^ii(t) + p2i(t)90(t) +

+ pi2(t)9™(t) +2pi29n(t) + 3p03(t)90*2(t)) \n\4 + o(\n\4). (6.13)

Выражение (6.13) называется нормальной формой производной функции v(t,n,n*). ISSN 0203-3755 Динамические системы, том 3(31), No.1-2

Для разности вспомогательной функции у(Ь,п,п*) вдоль решений системы (6.3) при Ь = тк имеет место равенство

у(тк + 0, п(тк + 0),п*(Тк + 0)) - у(тк, п(тк), п*(тк)) = (рзо(тк + 0)е3гв - Рэо(тк)) п3+

+ (ры(тк + 0)егв - Р21(тк)) п2п* + (р12(тк + 0)е-гв - ри(тк)) п(п*)2+

+ (роз(тк + 0)е-3гв - роз(тк)) (п*)3 + (р40(тк + 0)е4гв - рА0(тк)) п4+

+ [рз\(тк + 0)е2гв - рзг(тк)) п3п* + (р22(тк + 0) - р22(тк) + \п\4+

+ (ргз(тк + 0)е-2гв - р1з(тк)) п(п*)3 + (ро4(ть + 0)е-4гв - ро4(тк)) (п*)4 + о (\п\4) .

(6.14)

Функции ри^(Ь), (V, ¡) = (2, 2) при Ь = тк подчиним условиям

р^(тк + 0)ег("-^ - р„^(тк) = 0. (6.15)

Тогда полная разность вспомогательной функции ь(Ь,п,п*) принимает вид

у(тк + 0,п(тк +0),п * (тк +0)) - у(тк ,п(тк ),п * (тк)) = [р22(тк +0) - р22(тк) +

+ 2№{2кА \п\4 + 0(\п\5). (6.16)

Рассмотрим вопросы о существовании и вычислении функций € РС(Л; С), V+л = 3, 4, (V, л) = (2, 2). Уравнения (6.5)-(6.12) и (6.15) можно представить в виде

dpVß

+ (v - p)iwpVß(t) = wVß{t), t = Tk, (6.17)

йЬ

р^(Ь + 0)е(и-^)гв - р^(Ь) =0, Ь = тк, (6.18)

где € РС (Л; С). Интегрируя уравнение (6.17) на полуинтервале (тк ,тк+1], получим

г

р^(Ь) = е-г(—)ш(г-Тк^(ть + 0) + I е^^^ш^з) ¿8, Ь € (тк,тк+1 ]. (6.19)

Тк

Подставляя (6.19) в уравнение (6.18) при Ь = тк+1, получим

Тк + 1

р^(тк+1 + 0)= е-г("-^(в+"(тк+1-Тк))р^(тк + 0)+ е-г(—)13 I е-г(—)ш(7к+1-8)ш^(з) йз.

Тк

(6.20)

Очевидно, что для существования решения р^ € РС (Л; С), = (2, 2) необходимо

и достаточно, чтобы разностное уравнение (6.20) для рекуррентной последовательности [р^(тк + 0)}^=1, = (2, 2) имело хотя бы одно ограниченное решение, т.е. решение

класса Р(Т; С).

Определение 6.1. Набор (V, ¡) = (2, 2) для которого разностное уравнение

(6.20) имеет ограниченное решение называется нерезонансным набором порядка V+¡-1.

Определение 6.2. Набор (v,ß), (v,ß) = (2, 2) для которого разностное уравнение (6.20) не имеет ограниченных решение называется резонансным набором порядка v + ß - 1.

Замечание. Набор (2, 2) называется тождественно резонансным. В дальнейшем предполагаем отсутствие резонансных наборов.

Предположим, что существует постоянная ф0 и ограниченная функция ф(t), ф' € PC (А; C) такие, что

t

j [92i(s)+ 9*i(s) + 3p30(s)902(s) + 2p2l(s)9ll(s) + P2l(s)9lo(s) + pi2(s)920(s) + 0

+ 2pi2(s)9*i(s) + 3p03(s)9*2(s^ ds = 2фot + ф(Ь).

t

При этом ф0 = lim — [q2i(s) + 9*l(s) + 3p30(s)902(s) + 2p2i(s)9ii(s) + P2l(s)glo(s) + t^m 2t J 0

+pi2(s)920(s) +2pi2(s)9ill(s) +3p03(s)9*2(s)] ds. Выберем p22(t) = -Ф(t), p(Tk + 0) = p(Tk).

В этом случае находим: V^ = ^фо^ - Tk-i) + \n\4.

Теорема о сведении (теорема 3.1) позволяет установить следующие достаточные условия асимптотической устойчивости критического состояния равновесия ( = 0 исходной системы (2.1).

Теорема 6.1. Предположим, что система дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (2.1) такова, что:

1) имеет полунормальную форму, в которой отсутствуют нетождественные резонансные мономы;

2) отсутствуют резонансные наборы (v, ß), (v, ß) = (2, 2), v + ß = 2, 3;

3) существует действительная постоянная ф0 такая, что функция

J [У21 (в) + у* 1(5) + Зрзо(в)до2(в) + 2р21(в)дп(8)+ 0

+ Р21(5)д*2о(8) + Р12(в)д2о(в) + 2р12(в)д* ^в) + Зроз^в^Ш ds - 2фог принадлежит классу РС(Л; С); 4) выполняется неравенство: вир |фо(тк - тк-1) + КС21) | < 0.

Тогда критическое положение равновесия ( = 0 системы (2.1) асимптотически устойчиво.

7. Заключение

Основные результаты настоящей работы позволяют исследовать устойчивость равновесия в особенных случаях при условии АВ = В А. Перспективным для дальнейших

t

исследований является развитие методов построения вспомогательных функций Ляпунова, удовлетворяющим теоремам о сведении, для модельных импульсных систем. Кроме

того, представляет интерес освобождение от условия AB = BA.

Список цитируемых источников

1. Анашкин О. В., ДовжикТ.В., МитькоО.В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений при наличии импульсных воздействий // Динамические системы. — 2010. — Вып. 28. — C. 1-8.

2. Анашкин О. В., Митько О. В. Достаточные условия устойчивости для нелинейных систем с импульсным воздействием // Динамические системы. — 2011. — Т. 1(29), №1. — C. 5-14.

3. Анашкин О. В., Митько О. В. Неустойчивость в системах с импульсным воздействием // Ученые записки ТНУ, серия физ.-мат. науки — 2011. — T.24(63), №1. — C. 125-131.

4. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 304 с.

5. Двирный А. И., СлынькоВ.И. Аналог критического случая Каменкова для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием // Сиб. журн. индустр. матем. — 15:1. — 2012. — C. 22-33.

6. Двирный А. И., Слынько В. И. Об устойчивости решений нестационарных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в одном критическом случае // Нелшшш коливання. — 14,4. — 2011. — C. 445-467.

7. Двирный А. И., Слынько В. И. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в критических случаях //Сиб. мат. журнал. — 52,1 — 2011. — C. 7080.

8. Каменков Г. В. Избранные труды, т. I, II. — М.: Наука, 1971.

9. Красовский Н. Н. некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.

— 211 с.

10. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М.-Л.: Гостехиздат, 1950. — 473 с.

11. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966.

12. Митропольский Ю. А, Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике.

— М.: Наука, 1973. — 512 с.

13. ПерестюкМ. О., Черткова О. С. Деяш сучасш аспекти теорп диференщальних р1внянь з 1мпульсною д1ею // Укр. мат. журн. — 2008. — Т.60, №1. — C. 81-94.

14. Самойленко А. М, ПерестюкН. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. — К.: Вища школа, 1987. — 288 с.

15. Хазин Л. Г., Шноль Э. Э. Устойчивость критических положений равновесия. — Пущино. — Изд-во НЦБИ АН СССР. — 1985. — 216 с.

16. Хапаев М.М. Усреднение в теории устойчивости. — М.: Наука, 1986. — 192 с.

17. Черникова О. С. Принцип сведения для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием // Укр. мат. журнал. — 1982. — 34, 6. — C. 601-607.

18. Ignat'evA. O., Ignat'ev O. A. Stability of Solutions of Systems with Impulse Effect // In:Progress in Nonlinear Analisys Research. — Nova Science Publishers, Inc. — 2009. — P. 363-389.

19. Lakshmikantham V.,Bainov D. D, SimeonovP. S. Theory of Impulsive Differential Equations — Singapore: World Scientific, 1989.

20. LiuX, Williams D. Stability analisis and applications to large scale impulsive systems: a new approach // Canadian Applied Mathematics Quarterly. — Vol. 3, no.4 — 1985. — P. 419-444.

Получена 20.06.2012