ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И КОНСТРУКТИВНАЯ МАТЕМАТИКА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 510.22

Губанов Р. Г. пенсионер Россия, Санкт-Петербург ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И КОНСТРУКТИВНАЯ МАТЕМАТИКА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ

Аннотация. Указываются понятия, которые по-разному трактуются в этих подразделах математики. Предлагается сравнить эти подразделы, применяя единую методологию, не выходя за рамки арифметики. Уточняются такие понятия как число и предел. Бесконечные множества рассматриваются как математическая модель движения. Для их сравнения применяются понятия физики: время и скорость.

Ключевые слова. Теория множеств, арифметика, конструктивная математика, натуральный ряд, дискрет.

Gubanov R. G. senior citizen Russia, Saint-Petersburg

THEORY OF SETS AND CONSTRUCTIVE MATHEMATICS FROM THE POINT OF VIEW OF CLASSICAL MATHEMATICS

Annotation. The concepts that are interpreted differently in these sections of mathematics are indicated. It is proposed to compare these subsections, applying a single methodology, without going beyond arithmetic. Such concepts as number and limit are specified. Infinite sets are considered as a mathematical model of motion. To compare them, the concepts of physics are used: time and speed.

Keywords. Set theory, arithmetic, constructive mathematics, natural series, discrete.

Теория множеств, классическая и конструктивная математика относятся к одному и тому же разделу науки - к математике. Но есть понятия, к которым эти подразделы относятся по -разному. В одном его принимают, в другом отвергают или не упоминают. Из сложившейся ситуации можно извлечь пользу. Целесообразно провести как бы перекрёстный допрос теории множеств и конструктивной математики, а по результатам допроса откорректировать некоторые понятия классической математики. Понятие актуальная бесконечность применяется в теории множеств и классической математике, но отвергается в конструктивной, закон исключённого третьего применяется в теории множеств и в классической математике, но отвергается в конструктивной. Понятие потенциальная осуществимость применяется в конструктивной математике и не упоминается в классической и в теории множеств.

Определение множества

Рассмотрим некоторые понятия теории множеств. Множество определяется как совокупность элементов, имеющих общее свойство. Вопрос об определении этого общего свойства не ставится. С точки зрения потенциальной осуществимости надо указать, как его определить. Понятие совокупность подразумевает целостность, у конечных множеств целостность есть, а у бесконечных нет. При переходе от конечных множеств к бесконечным происходит переход количества в качество.

Определим качество как единицу измерения количества. Тогда за общее свойство элементов множества можно принять общую единицу измерения. В этом случае все элементы множества можно заменить их числовыми эквивалентами и рассматривать множество как совокупность чисел. Единицей измерения конечного множества является количество элементов в нём. Эта единица называется мощностью множества. Бесконечные множества качественно отличаются от конечных и должны иметь другую единицу измерения, обсуждение этого вопроса оставим на закуску.

Следует различать единицу измерения элементов множества и единицу измерения самого множества. Например, если взять конечное множество яблок, то единицей измерения элементов этого множества будет яблоко, а единицей измерения множества в целом будет мощность, то есть число яблок в нём. Так как бесконечное множество не имеет свойства целостность, то его лучше обозначать как последовательность. Тогда конечное множество можно определить как совокупность чисел, а бесконечное как последовательность чисел. Для обозначения последовательности можно применить сокращение pos. Тогда число e в обычной записи - это число с конечным числом знаков (цифр), а в записи pos e - с бесконечным. Понятие предел в классической математике следует рассматривать как последовательность.

Определение числа

Примем за основу определение Ньютона. «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой -нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Числа необходимы для выполнения арифметических действий. Число является конечным результатом этих действий. Сравнение с единицей - это сравнение с эталоном и получение числового эквивалента. В физике существует система единиц измерения, которая позволяет получить числовые эквиваленты физических величин. Математические действия с числовыми эквивалентами должны давать такой же результат, как при выполнении аналогичных физических действий с самими физическими величинами. Например, можно перевести деньги на банковскую карту с другой, не прикасаясь к деньгам. Так как на выполнение математических действий тратится гораздо меньше энергии, чем на выполнение физических, числа позволяют обходить закон сохранения энергии, не нарушая его.

Из определения числа следует, что все числа должны быть именованными, в физике физические величины выражаются в именованных единицах, но в математике используются числа, у которых нет явных именованных единиц. С методологической точки зрения числа в математике тоже должны быть именованными. Чтобы обнаружить именованную часть числа, надо представить его в виде записи с плавающей запятой, какая применяется в компьютерах. Число имеет две части мантиссу и порядок. Мантисса записывается в виде числа от 1 до 10, 1 включено, 10 - нет. Запятая предусматривается после первой значащей цифры, порядок показывает степень числа 10, на которую должна умножаться мантисса. Знаки мантиссы и порядка записываются отдельно. Порядок занимает место после мантиссы, у физических величин на этом месте указывается единица измерения. Поэтому порядок числа при его записи в виде с плавающей запятой можно считать единицей измерения числа. При обычной записи числа порядку соответствует единица младшего разряда или дискрет числа. Следовательно, любое число должно иметь дискрет. Числа с бесконечным числом знаков после запятой не имеют дискрета и не могут считаться числами.

Возрастающие числа могут иметь бесконечное число знаков перед запятой, но они не будут обозначать определённый результат, а отношение - это результат, поэтому числа, имеющие бесконечное число знаков перед запятой, не могут считаться числами. Числа с бесконечным числом знаков до или после запятой следует отнести к последовательностям. Последовательности не могут участвовать в арифметических действиях. Для выполнения арифметических действий с числом, его надо записать, но для числа с бесконечным числом знаков на этот процесс не хватит ни времени, ни пространства, у него нет потенциальной осуществимости. Поэтому трансцендентные, иррациональные и подобные числа могут практически применяться только с конечным числом знаков, то есть с определённым дискретом. В классической математике целесообразно понятие предел переформулировать с учётом понятия дискрет. Проще всего определить предел как член последовательности с заданным дискретом или значение функции с заданным дискретом.

Закон исключённого третьего

Конструктивная математика справедливо отмечает, что в рамках логики невозможно определить, какое из двух взаимоинверсных высказываний равно логической единице, а какое логическому нулю. В логике отсутствует операция сравнение и нельзя указать, что больше логическая единица или логический нуль. Обычно логическая единица означает истинное высказывание, а логический нуль - ложное. Следовательно, оставаясь в рамках логики, истину найти невозможно. На основании этого конструктивная математика отказывается от закона

исключённого третьего, но она не даёт алгоритма, позволяющего выполнить операцию сравнение, решая только формальные вопросы.

Классическая математика должна признать факт невозможности определить истину, оставаясь в рамках логики, и разработать алгоритм, позволяющий выполнить операцию сравнение. Для этого надо выйти за рамки логики, но истина будет зависеть от способа её определения, от способа потенциальной осуществимости. В арифметике существует операция сравнение - это операция вычитание. Деление тоже сравнение, но делить на нуль нельзя, поэтому обойдёмся без этой операции. Чтобы выполнить любую арифметическую операцию, надо иметь числа. Алгебраическая операция с буквами вместо чисел только обозначает действие, но не даёт единственный результат.

Чтобы сравнить логические высказывания с помощью арифметики, надо сначала получить числовые эквиваленты этих высказываний, например, путём голосования. Больший числовой эквивалент будет соответствовать исинному высказыванию, а меньший ложному. Если числовые эквиваленты равны, то надо найти другие числовые эквиваленты, например, с помощью физики. При физическом методе определения истины надо сначала получить физические эквиваленты сравниваемых понятий, а затем их физически сравнить, например, массы можно сравнивать с помощью рычажных весов, устанавливая их на разные чашки. Это метод прямого сравнения. В обществе это спорт. Если взвесить массы на электронных весах, то получатся числовые эквиваленты для арифметического сравнения. Это метод косвенного сравнения. В обществе его использует экономика. Таким образом, числовые эквиваленты можно получить с помощью либо общественных либо естественных наук, но вне рамок логики.

Частным случаем прямого сравнения является тотальное сравнение, когда один или оба физических эквивалента уничтожаются. Например, огонь и вода на пожаре. Либо огонь погаснет, либо вода испарится. В обществе пример тотального сравнения - война. Операция сравнение необходима в точке разветвления алгоритма. Если допустить, что общественный процесс идёт по алгоритму, то точки сравнения необходимы, хотя война не единственный метод. В принципе можно говорить об экономической, спортивной и военной истине, но это предмет политики.

Понятие континуум и понятие соответствие

Понятие континуум связано с геометрическим представлением натурального ряда. Континуум получается при делении единичного отрезка на точки. Уточним некоторые понятия. Линейная ось - это геометрический аналог натурального ряда. Единичный отрезок аналог числовой единицы, а точка аналог арифметического нуля. Деление отрезка на точки эквивалентно делению единицы на нуль, а это запрещённая

операция, с юридической точки зрения континуум - результат правонарушения.

Понятие соответствие устанавливает однозначную связь между элементами различных множеств, обычно заданную формулой. Рассмотрим его на примере соответствия множества чётных чисел и натурального ряда. Пусть а - чётное число, а п - число натурального ряда, тогда а=2п. Формула справедлива для любого п, но любое п - это конечное число, а не О) Бесконечность вообще не число, она не может участвовать в арифметических операциях. Если всё-таки подставить п=Щ то получим а=2а=О Несмотря на то, что получается п=О и а=Щ нельзя записать О5=Щ так как вытекающая из него формула О-О=0 неверна, так как разность бесконечностей это неопределённость, а не нуль. Отсутствие равенства означает отсутствие соответствия. Таким образом, понятие соответствие не распространяется на область бесконечности и не может служить основанием для сравнения мощности бесконечных множеств. Сравнение мощности бесконечных множеств это раскрытие неопределённости вида (ГО-О).

Сравнение бесконечных множеств

Ранее мы упоминали, что для сравнения нужна единица измерения, отличная от единицы измерения для конечных множеств. Рассмотрим бесконечное множество как математическую модель движения. При движении пройденный путь непрерывно увеличивается. Движение первичное свойство природы, оно источник энергии, поэтому закон сохранения энергии эквивалентен закону сохранения количества движения, что порождает бесконечные множества как математическую модель. Движение изучает физика, поэтому для измерения движения можно применить методы физики. Измерение - это сравнение с эталоном, поэтому для измерения движения необходим эталон движения, естественно он тоже должен двигаться. В физике за эталон движения принято вращение Земли. Вращательное движение удобно, так как имеет естественную единицу измерения - один полный оборот. В физике движение описывается формулой: путь равен произведению скорости на время. Угол поворота вращающегося тела - это путь, а полный оборот эталона - это время. Отмечая углы поворота различных вращающихся тел, соответствующие полному обороту эталона, можно получить числовые эквиваленты и сравнивать различные движения. Можно отложить угол поворота по линейной оси игрек( у), а число оборотов по оси икс(х), тогда мы получим графическое представление движения. Производная этого графика скорость движения.

Чтобы получить числовые эквиваленты поступательного движения, надо вначале нанести линейную шкалу и отмечать изменение положения движущегося тела по этой шкале за один оборот эталона движения. Время для поступательного и вращательного движения одно и то же, а путь измеряется в разных единицах. В международной системе единиц единица

длины определяется через единицу времени с помощью постоянного коэффициента равного скорости света. На практике движение Земли моделируется стрелкой часов, она вращается синхронно с Землёй, для получения нужного разрешения применяется несколько стрелок. Время периодический процесс, и его можно моделировать не только механически, но и электрически с помощью генератора электрических колебаний. Этот принцип применяется в электронных часах.

Уместно вспомнить апории Зенона. Они описывают движение с помощью расстояния, а расстояние измеряется неподвижным эталоном. Это приводит к неразрешимым противоречиям. В апориях Зенона отсутствует время, как эталон движения. Движения Ахиллеса и черепахи можно характеризовать как счётные множества с одинаковой мощностью, но это не даёт ответа на вопрос: «Догонит ли Ахиллес черепаху?» Этот же вопрос можно поставить в рамках потенциальной осуществимости. Но апории Зенона в теории множеств и в конструктивной математике не рассматриваются. В классической математике принято решение Аристотеля, но не все математики с ним согласны. Но с точки зрения методологии апории легко решаются, если определить, что измерение движения возможно только с помощью движущегося эталона.

В математике за аналог эталонного движения можно принять натуральный ряд чисел и сравнивать конечные и бесконечные множества с этим рядом, получая числовые эквиваленты скорости. Скорость натурального ряда наименьшая, она принимается за единицу. Чтобы сравнивать множества, их надо представить в нормированном виде, записанными в последовательные ячейки, пронумерованные, начиная с нуля, как натуральный ряд (0,1,2,3...). Все числа натурального ряда имеют единый дискрет десять в нулевой степени, все числа в ячейках целые, приращение между соседними ячейками всюду единица, поэтому натуральный ряд движется равномерно, моделируя как поступательное, так и вращательное движение. Число натурального ряда с одной стороны определяет количество, а с другой порядок в последовательности. Число в смысле количество эквивалентно пути, а в смысле порядок - времени. Единицу натурального ряда можно рассматривать как единицу пути и единицу времени, а кроме того скорости, она как бог едина в трёх лицах, её можно принять за символ бога. У древних викингов имя бога было Один с ударением на первом слоге.

Бесконечное множество не может участвовать в арифметических действиях как единое целое, поэтому вначале надо выбрать конечный участок для сравнения. На участке не должно быть разрывов, крайние числа входят в состав участка. Начальное число должно быть меньше или равно конечному, если это не так, надо переписать участок в обратном порядке, приняв последний элемент за первый, и учесть, что на участке отрицательная скорость, убывание. Затем надо записать все числа в виде целых с одинаковым дискретом для всех и расположить их

в ячейках, в ячейках будут только целые числа. Например, число 10 можно представить как единицу с дискретом десять в степени плюс один, или как 10 с дискретом десять в степени 0, или как 100 с дискретом десять в степени минус 1. Такая форма записи позволяет любое число представить в виде целого и производить арифметические действия только с целыми числами. При сложении и вычитании все числа должны иметь одинаковый дискрет, а при умножении и делении любой. Эта форма немного отличается от формы записи с плавающей запятой в компьютерах, но представляется более удобной для логического анализа.

Если обозначить дискрет буквой А, то можно после неё указывать только степень 10, тогда 10=1А1=10А0=100А(-1), по умолчанию А0 можно не писать.

Далее надо вычесть число, записанное в нулевой ячейке, поочерёдно из всех ячеек и получить в нулевой ячейке нуль, а в остальных целые числа. Если в первой ячейке тоже оказался нуль, то надо переходить к следующей и так далее, продолжение анализа с ячейки, в которой записано число, а не нуль, она становиться первой. Если для сравнения выбран начальный участок множества, то в нулевую ячейку по умолчанию записывается 0, а в первую начальный элемент множества. Далее надо разделить числа в ячейках на число, записанное в первой ячейке. результат деления представить с одинаковым дискретом во всех ячейках, он может отличаться от первоначального. Целесообразно дискрет и знак множества указывать в отдельных ячейках. В результате получим нормализованную запись множества: в нулевой ячейке будет нуль, в первой ,единица, в остальных целые числа в том числе нуль.

Теперь надо записать приращение между соседними ячейками во вторую из двух. Для записи приращений надо подготовить отдельную строку. В нулевой ячейке этой строки будет 0, в первой 1, в остальных целые числа со знаком. Если все приращения равны, то ряд движется равномерно со скоростью кратной скорости натурального ряда, частный случай: все приращения равны единице, и ряд движется со скоростью натурального ряда. Нулевое приращение означает остановку, отрицательное - движение в обратном направлении, знакопеременные приращения свидетельствуют о колебательном движении. Можно определить среднюю скорость для нескольких отрезков. Главное, что бесконечные множества можно сравнивать, хотя бы по участкам. Можно конструировать множества с заданной кратностью. Если кратность скорости множества обозначить р, то элемент соответствующего множества определяется по формуле р(п-1)+1, где п-число натурального ряда, начиная с 1.

Для примера можно взять множество чётных чисел, множество нечётных чисел и множество квадратов целых чисел. Оказывается, что множества чётных и нечётных чисел имеют скорость равную скорости натурального ряда, а множество квадратов имеет возрастающую скорость

пропорциональную номеру числа. Можно сказать, что оно движется с ускорением. При сравнении этих множеств по мощности они не различаются, так как все они счётные. Следовательно, сравнение по скорости имеет более высокое разрешение и намного проще. Сравнение по скорости применяется при раскрытии неопределённости вида 0/0, при этом отношение функций, стремящихся к нулю, заменяется отношением их производных, а производная - это скорость. Вывод. Теория множеств напоминает современную абстрактную живопись, но возможен и классический вариант: арифметическая теория множеств в дополнение к аксиоматической.

Применение в общественных науках

Предложенную методику определения скорости множества можно применить в общественных науках. Для этого надо взять какой-либо исторический отрезок, выбрать какую -нибудь единицу измерения и получить числовой ряд. Далее по описанной методике рассчитать скорость исторического процесса при выбранной единице измерения. Сравнивая скорости при разных единицах измерения можно получить дополнительные данные для анализа и сравнения различных периодов истории или различных государств.

Приведём примеры единиц измерения: численность населения, объём производства, произведение этих величин и так далее. Если удастся найти единицу измерения, при которой скорость постоянна и равна единице, то её можно считать собственной единицей развития. Если предположить, что развитие идёт по натуральному ряду с собственной единицей развития, то можно прогнозировать будущее и восстанавливать утраченные фрагменты прошлого. Методику можно проверить по тем историческим периодам, которые хорошо известны. Аналогично можно применять предложенную методику в экономике. Арифметическая теория множеств может быть полезна на практике.