Математический путь к лучшей количественной информационной технике Текст научной статьи по специальности «Математика»

2007

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика Вып. 7(12)

УДК 51: 004

Математический путь к лучшей количественной информационной технике

Н. А. Филиппов

Вятский государственный университет, 610000, Киров, ул. Московская, 36

Рассматриваются традиционные, непреходящие по важности задачи улучшения характеристик устройств счета, измерений и вычислений информационной техники. За основу решения данной задачи взяты результаты оценки существующего, именно математического фундамента устройств современной количественной информационной техники и его развитие. Поскольку современная информационная техника в основном дискретна и потому значения параметров решаемых ею задач представляются числами, то по этой причине нами оцениваются характеристики традиционных систем счисления и логарифмов и излагаются найденные новые, лишенные обнаруженных и описываемых недостатков. Доказательно излагается совокупность преимуществ всех трех разновидностей устройств количественной информационной техники на основе разработанной математической базы. Вместе с этим кратко описываются алгоритмы и разработанные ранее и предлагаемые новые устройства счета со сжатием, аналого-цифровых измерений и вычислений, а также дополнительные возможности, открывающиеся для них на этой основе.

1. Введение

Количественная информационная техника (КИТ) составляется из трех типов устройств, отвечающих на вопрос "Сколько?": устройств счета и пересчета со сжатием, устройств измерений, в особенности аналогоцифровых, и устройств вычислений. Улучшение характеристик КИТ определяется требованиями получения нужных характеристик счета, измерений и вычислений. Важнейшими из них являются точность, сложность и быстродействие - особенно вычислений.

Исторически имеются две взаимно противоположные тенденции к точности вычислений. В начале прошлого века, еще до первой мировой войны, академик Н.А.Крылов [1] призывал к экономной, именно только к достаточной точности вычислений, призывал не выполнять вычислений с излишней точно-

© Н. А. Филиппов, 2007

стью. Последнее вызывает недоуменное возражение даже в настоящее время у некоторых специалистов, пока им не раскрыта суть этого требования. Н.А.Крылов, будучи последовательным, однажды даже выгнал с работы своего инженера за то, что он вычислял много дробных разрядов одного аргумента, в то время как другой аргумент решаемой функции был с большой погрешностью, из-за которой даже идеальная точность первого не могла бы повысить точность результата вычисления.

На основании читаемых им лекций

Н.А.Крылов опубликовал книгу [1]. Это же направление обеспечения только достаточной точности результатов вычислений продолжается и в настоящее время с той лишь существенной разницей, что из-за резкого увеличения сложности задач, именно из-за увеличения количества последовательных арифметических действий, необходимых для получения

каждого единичного результата вычислений, встала необходимость резкого повышения

точности как кодирования исходных значений аргументов, так и возможного снижения погрешностей каждых единичных арифметических операций.

Вместе с этим вынужденными в последние десятилетия усилиями по увеличению точности упорно уточняются малые количественные изменения больших величин, в частности, изменения уровней мирового океана, высоты самых больших гор Земли и др., а также метрологическими институтами проводятся многолетние уточнения важнейших мировых констант, добавляющие к ним дополнительные единицы дробных их частей.

Нельзя не отметить в связи с этим и особенности значений некоторых известных параметров, являющихся, во-первых, следствием сути процесса движения, открытого Ф.Энгельсом и состоящего в том, что движущееся тело одновременно находится и в данной точке пути и в соседней. Во-вторых, являющихся дополнением к причинам предположения Л.Н.Ясницкого [2] о наступившем кризисе математики: неопределенность значений местоположения частицы микромира и ее импульса, являющиеся взаимосвязанными, как это нашел Гайзенберг, значением константы Планка. И этот пример не единичен. Такая неопределенность, помимо физики, найдена в биологии, социологии, психологии и др. науках [3, с.38].

Для наиболее экономной и эффективной реализации указанного академиком

Н.А.Крыловым обеспечения только достаточных точностей результатов вычислений без их излишества Г.Г.Гинкиным [4] был указан путь - замена традиционных арифметических прогрессий (АП) геометрическими (ГП), для использования которых он, в свою очередь, призывал разработать "логарифмическую систему счисления" [4, c.242]. Это было мною осуществлено. Правда, разработанную при этом систему счисления я назвал мультипликативной (МСС) [5], поскольку логарифмы деформируют единицы измерения, что для пользователя недопустимо. А поскольку МСС органически включают в себя несколько понятий математики (ГП, традиционные аддитивные системы счисления (АСС); логарифмы, к тому же целочисленные (ЦЛ), да еще их разнообразие - одно- и многочисловые и двойные ЦЛ, из-за чего этот объект математики мог использоваться в конкретных случаях нужной своей стороной), мною он назван чи-

словыми системами [6]. Они обеспечили не только провозглашенную академиком

Н.А.Крыловым безызбыточность точности результатов вычислений, но и их равноточно-сти по относительной погрешности, минимальность их количества на сравниваемых диапазонах и повышенное быстродействие -особенно вычислений из-за проведения их на логарифмах, к тому же целочисленных. Ниже приведена детальная оценка традиционных АСС; указаны их положительные стороны и недостатки; как качественно, так и количественно показана необходимость и особенности использования ГП, кодирующие их значения МСС и ЦЛ; алгоритмы использования последних для построения устройств КИТгп, а также даны ранее найденные и новые структуры последних.

2. Современные системы счисления -аддитивные (АСС)

Чтобы иметь основания предлагать новые системы счисления (СС), необходимо оценить преимущества и недостатки уже используемых. Для этого следует рассмотреть не только их предельно экономную обобщенную структуру, известную с детства каждому современному человеку, но и полную обобщенную свернутую форму с детальным получением последней.

В настоящее время в математике и в информатике используются аддитивные системы счисления (АСС), кодирующие значения одномерных вещественных чисел соседними значениями членов АП путем суммирования значений цифр в соответствии с занимаемыми ими разрядами. Предельно экономная обобщенная (буквенная) форма представления одномерных вещественных чисел Zx АСС имеет вид

Zx « sign(Zx)(km km-1... kj... k k ,

k-1 k-2 ... k-j ... k--n)a , (1)

где j - номера разрядов, знак которых и значение определяются их удалением от запятой, разделяющей целую часть числа (левую) от дробной, причем, первый разряд, стоящий перед запятой - нулевой, является разрядом единиц, крайний слева, обозначенный буквой m, -старший значащий (не нулевой) разряд целой части числа, а крайний справа, помеченный

буквой n,- младший разряд дробной части

числа; kj е{0, 1, 2,..., (a-1)} - цифры j-го раз

ряда; sign(Zx) - знак числа Zx, наконец, конечный индекс а - основание АСС, проставляемое в случаях, если оно неизвестно по контексту. (Его можно определять для АСС тремя способами - количеством всех разных цифр, отношением значений соседних ненулевых цифр, именно старшей к младшей, и количеством цифр предшествующего разряда, содержащихся в единице данного разряда).

Полная обобщенная свернутая форма представления Zx получается методом индукции на основе известных правил записи чисел (1), установленных для чтений чисел, например: Zxi = 236.27 = 200 + 30 + 6 + 0,2 + 0,07 = 2*102 + З^Ю1 + 6*10°+ 2*10-1 + 7*10-2. Обозначив все основания 10 одной буквой а, все показатели степеней (номера разрядов) буквой j , сомножители перед всеми основаниями (цифры) буквами k с индексами j, указывающими их положения относительно разделительной точки (номера разрядов), приняв для обозначения старшего разряда букву m, а для младшего дробного букву n и заменив все знаки сложения одной заглавной буквой 2, получим искомую формулу

m

Zxi ~ sІgn(ZXІ)lZПOІ 2 jj . (2)

j=-n

В ней ZM - нулевое представительное значение результата измерения (кодирования), как правило, равное единице измерения, - представляет масштаб числа с его размерностью (единицей измерения). Непосредственно из разности АП, равной единице младшего разряда дробной части числа г = 1*a-n, выражение (2) получается следующим образом:

„ , . . . -n +n . -n . +n

Zxi « ±r*i = ±r*i*a *a = ±r*a *i*a =

m-n m

= ±r*a n* ( 2 kjaj ) *a n = ±ZM* 2 kjaj . j=0 j=-n

Данное значение Zxi с позиции измерения получается сопоставлением конкретного Zxi с кортежем образцовых значений ±Zоi следующим двухсторонним неравенством:

Zxi ~ ZПІ = Zoi + M(Zoi+1 - Zoi)

при Zoi+1 < Zxi < Zoi , (3)

где 0 < М < 1, а разность

Zoi+1 - Zoi = ^Zmaxi - (4)

значению i-го идеального шага квантования (ШК). Из изложенного вытекает тот факт, что АСС основаны на квантовании по АП.

2.1. Положительные свойства АП и АСС

АСС хотя и содержат дробные части в кодах чисел, но эти дроби составляются из равных частей единицы измерения. Коды значений параметров АСС составляются из кортежей значений единиц разрядов (КЗЕР) [6], получаемых из единицы измерения двумя взаимно противоположными рекуррентными операциями. Для целых частей чисел они образуются рекуррентным пакетированием единицы измерения по основанию АСС, а для дробных - рекуррентным делением единицы измерения на равные части, равные основанию АСС. Следовательно, коды АСС наглядны, легко представимы и сопоставимы по величине.

В связи с изложенным коды АСС наиболее правомерно используется в устройствах позиционирования точек одно-, двух- и трехмерных объектов, в расчетах и представлениях их результатов в точках двух- и трехмерных, особенно динамических (изменяемых во времени) объектов, а также в финансовых и статистических расчетах. Однако АСС, различающиеся основаниями, как одинаковыми, так и разными в разрядах, как с целочисленными, так и с вещественными основаниями [7], имеющими цифры, как обычно, только положительные, так и отрицательные [8], широко используются и в технических расчетах, в которых они (АСС) имеют свои изложенные ранее особенности и существенные недостатки.

2.2. Недостатки АП и АСС

Выявление недостатков и возможных преимуществ АП и АСС, как и кодов любых других СС, базируется на качественном и в особенности количественном определении точности измерений и кодирования.

Точность качественно есть близость к истинному значению. Точность количественно определяется абсолютной и относительными погрешностями.

Абсолютная погрешность измерения и кодирования любого вещественного одномерного Zx для общего случая (для непрерывных параметров) при его представлении значением Zm (индекс "п" - представительное) определяется выражением

±AZi = Zm - Zxi. (5)

Относительная погрешность простая

±у = AZi / Zxi « AZi / Zm, (6)

а процентная

±5max = AZi* 100% / Zxi * AZi* 100% / Zm,

(7)

в которых замена Zxi на Zm произведена по той причине, что истинное значение Zxi неизвестно, а измеренное (представительное) хотя и с погрешностью, но известно.

Модули ±8maxi максимально допустимой процентной относительной погрешности разных знаков в оптимальных случаях принимаются для всех i-х результатов одинаковыми:

I ±5maxi | = const = 5max. (8)

Если распределение максимальной абсолютной погрешности разных знаков по диапазону всех значений Zxi неизменно и, учитывая (3),

|—г при М = 0, |±AZmaxi| = const = |+г при М = 1, (9)

|±г/2 при М = 0.5, то АП и АСС оказываются полезными только в перечисленных в пункте 2 трех случаях, а в большинстве технических расчетов, именно требующих постоянство не абсолютных, а относительных погрешностей Smax (8), как более полно отражающих точность, АП и АСС неполноценны.

Действительно, если рассмотреть представление чисел в форме с фиксированной точкой, то при Zxi < г (см. (7)) относительная погрешность бесконечно велика, при 2г > Zxi > г, Smax = 100%, при 3г > Zxi > 2г Smax = 50%, и с ростом Zxi Smax падает до нуля по гиперболе.

При представлении чисел в форме с плавающей точкой [9] ±Smax в каждом поддиапазоне (иначе - при каждом порядке) представляет собой часть ±Smax, наблюдаемой при представлении чисел в форме с фиксированной точкой. При этом все ±Smax только в начале каждых поддиапазонов равны друг другу, в концах же они равны 1/а-й части ±5max начала поддиапазона (а - основание АСС, в которой представляются числа), потому в началах каждого поддиапазона все ±5max являются ±Smaxmax. Длительность падающего по гиперболе зубца каждого очередного поддиапаона в "а" раз больше предыдущего.

Значение ±Smaxmax для минимальной нормализванной мантиссы при а=2, имеющей код 0.1000.0, следущее:

Smaxmax = 1* |-2 п | 100 / 2 1 , (10)

так как после младшего, именно n-го разряда мантиссы могут быть любые последовательности цифр в диапазоне от 00....0... до (а-1) (а-1)... (а-1). в общем случае, а при а=2 до 1111.11. Последние стремятся к 1 *2 п.

Для очередного значения мантиссы после данного, именно для 2 1+2 п, абсолюлют-

ная погрешность, как и для любого другого её

-n

числа, равна тому же значению 2 , поскольку она определяется теми же любыми последовательностями цифр, стоящими после - n-го разряда. При этом

Smax(2-1 + 2-п) =

=1* |-а-п | 100 / ( 2-1 + 2-п), (11)

т.е. данное значение процентной максимальной относительной погрешности меньше значения предшествующей (10), поскольку при равных их числителях знаменатель второго больше знаменателя первого. Следовательно, если количество разрядов мантиссы n принято обеспечивающим непревышение заданной максимальной относительной погрешности Smax (8), то для очередного и всех последующих чисел мантиссы их максимальная относительная погрешность будет меньше заданной Smax (8), более того, она будет падать с каждым повышением значения мантиссы по гиперболе. Отсюда вытекает тот факт, что если нам требуется постоянство допустимой максимальной относительной погрешности, то ШК не должны быть постоянными, а должны увеличиваться при каждом новом приращении мантиссы. Выясним требуемый для этого закон роста ТТТК. При этом исходное квантование по АП теоретически имеет три разновидности (9), из которых рассмотрим в основном М=0 и М=0.5, поскольку при М=1 количество кодов, заменяющих коды исходных ТТТК на АП, остается тем же, что и при М=0.

3. Выявление закона изменения ШК традиционной мантиссы, обеспечивающего Smax = const (8)

Выясним требуемый для этого закон роста исходных ТК из АП для следующих двух важных случаев.

Первый случай, отличающийся тем, что представительное значение (результат измерения, кодирования) Zm в нем берется с недостатком (М=0 (3)), т.е. равным Zoi (3), максимальная абсолютная погрешность при кото-

ром только отрицательная, а положительная равна нулю.

Второй случай является результатом использования М=0,5 (3), имеющим место при квантовании по АП.

3.1 Закон изменения ШК в первом случае

Максимальная процентная относительная погрешность Smax n разрядной мантиссы, представляющей минимальное число при а=2

0,1000.0 = 2-', когда всё несчетное множество её разрядов, следующих после младшего (n-го), не вошедших в регистр мантиссы и состоящих только из единиц и потому в пределе составляющих максимальную абсолютную погрешность -2 п, равна с учетом М=0

(3), при котором Zro = Zoо = 2-1 (3), 2 п *100% / 2-'. При дополнении мантиссы очередным ШК, который должен в такое число С раз быть большим 2 п, стоящего после 2-', чтобы

2 п*Са*100% / (2 1+2 п) = Smax. Из полученных при этом двух равенств для

Smax = |-2 п| *100% / 2 1 =

= |-2-п|*С1*100% / (2-1 + 2-п) (12)

С: = (2n-1 + 1) / 2n-1 = (1 + (1/(2n-1)). (13) Взаимосвязи полученных ШК и организуемых ими новых значений мантисс определим из следующих операций. Заменив в (12) значение |-2 п| его семантикой (смыслом), именно нулевым по номеру ШК AZmaxo, а значение 2-1 соответственно нулевым образцовым значением Zoo, а также аналогично пере-

обозначив значение (2-'+2 п) первым образцовым значением Zo1 и сократив обе стороны равенства на 100%, получим AZmaxo / Zoo = AZmaxo*^ / Zo1. Изменив это равенство на Zo1 / Zoo = AZmaxo * С / AZmaxo и сократив последнее на AZmaxo, получим Zo1 = Zoo*^. Эта связь распространяется на все последующие образцовые значения, т.е.

Zoi+1 / Zoi = AZmaxi+1 / AZmaxi, (14)

отчего они оказываются членами ГП:

Zoi = ZooC^ (15)

Если первая часть равенства (14) является ГП, то и вторая его часть, т.е. ШК, также являются членами ГП с тем же знаменателем: AZmaxi = AZmaxo*^±\ (16)

Эти же соотношения имеют место и для второго случая (с С2).

3.2 Закон изменения ШК во втором случае

Он имеет место при М=0,5 (3) и получается теоретически при полной реализации округления всех остатков: остатки, меньшие

0,5, не изменяют код мантиссы, оставляя его с недостатком. Они определяют отрицательные абсолютные и относительные погрешности. Остатки равные и превышающие 0,5, сопровождаются добавлением в мантиссы единицы, обеспечивающей код с избытком, приводящий к положительным абсолютным и относительным погрешностям. Значение максимальной абсолютной погрешности при этом оказывается (при квантовании по АП) равной половине ШК, иначе - половине разности г АП

AZmaxi = const = г / 2 = 2 n / 2 = 2 (n+1). (17)

В этом случае из-за AZmaxi = const и Zxi = vaг относительные погрешности с ростом Zxi, как и в предшествующем случае квантования по АП, падают по гиперболе. И для обеспечения постоянства максимальной

относительной погрешности ШК, начиная с

-n

первого, равного 2 , следует использовать ШК, составляющие ГП. Знаменатель её вычисляется для |-Smax| = = |+Smax|) при а=2, из двух последних равенств цепочки

Smax = | (+2-n / 2 ) | *100 / 2-1 =

= |(-2-n/2)| * C2*100 / [ 2-1 + | (+2-n / 2 ) | + + | (-2-n / 2 ) | * C2)]. (18)

Из них C2 = (1+1/2n) / (1 - 1/2n) =

= (2n +1) / (2n - 1). (19).

4. Сравнение количеств кодов традиционной двоичной нормализованной мантиссы с количеством кодов членов ГП, помещаемых в той же нормализованной мантиссе, обеспечивающих непревышение процентной максимально допустимой относительной погрешности

4.1. Количество кодов нормализованной традиционной n разрядной мантиссы при а=2. из ШК - членов АП при для всех случаев.

" Nan = 2n-1' (20)

4.2. Количество кодов членов ГП m2 в нормализованной мантиссе из n разрядов,

i-1 -»-n

укладывающихся в диапазоне от 2 до 2 -го разряда, для первого случая (при М=0)

рассчитывалось определением суммы ШК от

0-n 0-1

младшего, равного 2 до 2 , из выражения

2-"{[(2"-1 +1) / 2п-1] Ш - 1} /

/{[(2”"‘ +1) / (2”"1] -1)} = 2-1. (21)

Отсюда искомое

Ш1 = ц.ч. {[Ьп [2П / (2й-1 + 1)] /

/ [(2П-1 +1) / 2П-1]} - 1. (22) Здесь и ниже ц.ч. - целая часть значения результата вычисления. В формуле (22) вычитается единица потому, что предел суммы, обозначенный в (21) числом 2 1, уже занят самой нормализованной мантиссой, обозначенной в (21) числом 2 1.

Пример для п=11 при а=2. Выражением (22) находим, что Ш1=709. Поскольку при данном и количество всех кодов данной мантиссы согласно (20) равно 1024, то переход на ГП сокращает количество кодов в 1024/709 =

1,444 раз.

4.3. Количество кодов членов ГП m2 в нормализованной мантиссе из П разрядов, ук-

--1 --и

ладывающихся в диапазоне от 2 до 2 -го разряда, для второго случая (М=0.5) расчитывалось определением суммы ШК от млад-~-п 0-1

шего, равного 2 до 2 , из выражения [1/(2П- 1)]{[(2п +1) / (2п - 1)]Ш2 - 1} /

/{[(2п +1) / (2п - 1)] -1)} = 2-1. (23)

Отсюда искомое

Ш2 = ц.ч.[Ьп [(2п+1-1) / (2п - 1)] /

/ [(2п+1) / (2п - 1)] - 1. (24)

Пояснения. Выражение (23) до его знака

равенства представляет стандартную сумму

членов ГП без единицы. После равенства про-1

ставлено известное значение 2 , превышающее искомую сумму на единицу из-за того, что само значение 2-1 уже отображено минимальной нормализованной мантиссой 0,10.0, равной 2 . Последний факт и заставил из выражения суммы членов ГП вычесть единицу.

Первый член ГП имеет значение 1/(2п-1), а не

2 п/2, потому что кортеж значений

2-п/2 , (2-п/2)С2 , (2-п/2)С2 , (2-п/2)С22,

(2-п/2)С22 , (2-п/2)С23, (2-п/2)С23, (2-п/2)С24,

(2-п/2)С24, (2-п/2)*С25, (2-п/2)*С25 , (25)

заменяющий исходные коды стандартной мантиссы, не является кортежем членов ГП,

поскольку все нечетные члены (25) начиная с третьего равны своим предшествующим. Суммы же всех пар соседних членов ряда (25) начиная с первого составляют члены ГП.

Действительно, вынеся за скобки из

суммы второй пары ряда (25) (2 п/2)С2 + (2

п/2)С22 значение С2, в скобках получим сумму первой пары (первый член ГП), которая умножается на С2: С2[2 п/2 + (2 п/2 ) С2] (второй член ГП). Аналогично, вычтя из суммы третьей пары ряда (25) значение С22, получим С22 [2 п/2 + (2 п/2)С2] (третий член ГП). Поменяв местами их сомножители, получим кортеж членов ГП

[2-п/2+(2-п/2)С2]], [2-п/2+(2-п/2)С2]С2, [2-п/2+(2-п/2)С2]С22,

первый из которых, с учетом

С 2 = (2п+1) / (2п- 1), (19),

окажется равным 1 /(2 -1). Он и проставлен в начале (23), из которого и определено искомое количество Ш2 выражением (24).

Вычисление же значения 5тах проводится начальной половиной первого ШК 2 /2 исходного кортежа ШК АП согласно (18).

При а=2 и п=11 выражением (24) находим, что ш2 = 708. Поскольку при данном п количество всех кодов данной мантиссы согласно (20) равно 1024, то переход на ГП сокращает количество кодов в 1024/708 = 1,446 раз.

5. Квантование по геометрическим прогрессиям непрерывных параметров

— основа построения новых устройств: цифровых измерительных и вычислительных

5.1. Мантиссы обоих рассмотренных случаев, несмотря на замены в них ШК с АП на ГП, содержат и члены АП. Действительно, на--2 -п

чиная с разряда 2 до последнего - 2 -го, ШК с АП заменены на ШК, составляющие ГП. Однако, 2 1-й разряд остался составленным из ШК АП с разностью 2 п. Следователь -но, приведенные примеры лишь показали не-равноточность традиционных кодов (по относительной погрешности) и возможности сокращения количеств кодов мантисс из АП, кодами на ГП, обеспечивающими к тому же получение целочисленных логарифмов (ЦЛ), и возможности повышения быстродействия устройств, но полное представление чисел на

ГП они не обеспечивают. Последнее достигается кодированием вещественных одномерных чисел 2х мультипликативными системами счисления.

5.2. Мультипликативные системы счисления (МСС). Их получение и суть видны из следующей цепочки равенств [5, 6]:

т т

2х * ±2поС±1 = ±2поС±^к’аЛ’ = ±2поПС±1даА’ = 1=0 1=0

т

= гівпга |гпо| П с81®1"4 кіаА (26)

1=0

Здесь 2по - нулевое по номеру представительное значение 2х (результат его измерения, кодирования),

С = (100+|5тах|) / (100 - |5тах|) - (27)

знаменатель ГП, в котором 5тах описан в (8), 1 > 0 - номер разряда, а - количество используемых цифр, одинаковое во всех разрядах, к1 є{0, 1, 2, ... , (а -1)} - цифры 1-го разряда, т - старший разряд кода.

5.3. Целочисленные логарифмы (ЦЛ)

Прологарифмировав 2поС±1 * 2х > 0 при обычном 2по = 1 по основанию С, получим тот факт, что 2х с погрешностью, не превышающей 5тах, представляется ЦЛ ±і:

Ьо®оС±1 = Ь С±1 = ±і. (28)

(Здесь Logc, составленный из четырех букв, заменен на двухбуквенный не только ради экономии места и времени написания, но и чтобы побудить читателя к выяснению особенности основания логарифма, тем более что есть прецеденты: логарифмы при основании 10 пишут Lg, а при основании е - Ьп).

Для получения этих ЦЛ и для 2х<0, запишем ±2поС±1 в виде sign(Zх) |2по| || С§ ® ( )1 " 1, в котором || - символ учета знака предшествующего числа. Прологарифмируем по основанию С при Zпо=1 приближенное равенство

. г^1®п(1)| 1 1

Zх * slgn(Zх)|Zпо| || С в виде

Lf Zх * s1gn(Zх)|Zпо| || Lf С81®П(1)| 1 | =

= s1gn(Zх) || 81®п(1)| 1 | = ±(±1). (29)

Здесь, если не использовать символ учета знака предшествующего числа ||, получим вместо ±(±1), говорящего о четырех диапазонах чисел: (++), (+-), (—) и (-+), только два диапазона: умножения стоящих рядом двух разных знаков дадут -, а умножения

двух одинаковых знаков дадут +, введенный же знак || предотвращает эти умножения.

Таким образом, переход на ГП не только сокращает количества кодов, но и приводит к получению логарифмов, к тому же целочисленных, что дополнительно увеличивает быстродействие вычислений. Однако с ростом диапазона чисел растет и количество ЦЛ. В связи с этим найдены возможности и их сокращения, что, в свою очередь, сокращает аппаратурные затраты. Сначала были найдены двухчисловые ЦЛ, затем и многочисловые.

5.4. Двухчисловые ЦЛ получены исходя из наложения на члены ГП условия

ZпоС±1+n / ZпоС±1 = СП = а, (30)

где а - основание обычной АСС. При данном условии каждое п-е значение члена ГП относительно любого предшествующего ±1-го будет отличаться только сдвигом вправо на один разряд разделительной точки, а последовательность их цифр будет одной и той же. Если при этом условие (30) усилить до

2поС±1+п(±р)/2поС±1 = сп(±р) = а(±р), (3,)

в котором р =.-2, -1, 0, +1, +2,. - порядок числа, то именованные числа Zх будут представляться уже не одночисловыми ЦЛ (29), а двухчисловыми, первые числа которых

1о Є {0, 1, 2, ... , (п-1)}, (32)

а вторые р =.-2, -1, 0, +1, +2,. . (33)

Поскольку процесс вычисления п из С

= а (30) выдает п в общем случае дробным, что возвращает ЦЛ к обычным непрерывным, а нам нужны только ЦЛ

п = ц.ч. Ln а /ЬпС, (34)

то необходимо уточнение значения С по принятым а и вычисленному согласно (34) целому п в виде

_ Ьп а / Ьп С

С = е . (35)

Таким образом, все Zх могут представляться как именованными числами-кодами МСС, так и их ЦЛ, одно- и двухчисловыми:

Lf Zх * 81®п^х) | 81®п(1)| 1 | = ( ±(±1) =

= (1о , ±р). (36)

5.5. Многочисловые ЦЛ

Для 5тах=1% количество п (34) менее полусотни, а для 5тах== 0,1% в десять раз больше, при 5тах=0,01% - больше в сто раз и т.д. Следовательно, для сокращения аппаратурных затрат необходимо и двухчисловые

ЦЛ заменять на многочисловые ЦЛ. Например, п =1000 можно разбить на три сомножителя по 10 [18]. При этом их произведение даст 1000, т.е. сохранится все исходное множество кодов, а вместо 1000 сумма количеств трех этих кодов будет равна только 30. Полнее многочисловые ЦЛ описаны в работе [6].

5.6. Сопоставление мантисс традиционных и целочисленных логарифмов

Первые числа двухчисловых ЦЛ являются разновидностями мантисс традиционных (непрерывных) логарифмов. Однако они имеют следующие существенные отличия от них. Традиционные - меньше единицы, но больше нуля, а двухчисловые "мантиссы" начинаются с нуля и неограниченно растут. Последний факт заставляет для двух- и многочисловых ЦЛ по сравнению с традиционными логарифмами соответственно сокращать значения их порядков. Вместе с этим данные "мантиссы" двулики - они представляют не только ЦЛ, но и сами именованные значения параметров 2х. Для получения последних целочисленное число 10 (32) данной мантиссы следует использовать как показатель степени

С10 при основании С, равном знаменателю С ГП (27).

5.7. Цифровые измерительные приборы

Цифровые измерительные приборы, обычно именуемые в технической литературе аналогоцифровыми преобразователями

(АЦП), традиционно строятся с квантованием по АП. Мною разработаны приборы на основе квантования по ГП (АЦПгп) для измерения напряжений (а.с.: №663102, №752788,

№788373), углов поворота валов, (а.с. №521468), измерителя объема жидкости (а.с. №679806), временных интервалов. Для таких АЦПгп предварительно разработаны цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП) -формирователи образцовых значений напряжения (а.с.: №729825, №972656, №1182643), последовательного (а.с №752172), параллельно-последовательного действия (а.с. №752784) и множительно-делительный формирователь значений напряжения, составляющих ГП (а.с. №972656). Для сравнения в АЦП измеряемого напряжения с образцовыми разработан на основе симметричного триггера импульсный нуль-орган (а.с. №229600).

5.8. Вычислительные устройства

На основе ГП, МСС и ЦЛ разработано измерительно-вычислительное устройство -цифровой равноточный ваттметр. (а.с. №819732) и ЦВМ (а.с. №647656). Операции умножения и деления в нем проводятся на ЦЛ соответственно сложением и вычитанием, операции возведения в вещественные степени и извлечения вещественных корней проводятся на двойных ЦЛ (ЦЛ от ЦЛ [5, 6]), именно их сложением и вычитанием. Операции же собственно сложения и вычитания проводятся на именованных аргументах, в которые преобразуются ЦЛ разработанным одноактным устройством (а.с.№1146665). Если же после этих операций требуются операции умножения и деления, то именованные аргументы также одноактными преобразователями переводят в одночисловые ЦЛ (а.с. № 1697089) или в двухчисловые ЦЛ (а.с.:№ 1298741, №1427363).

5.9. Другие возможные пути разработок ЦВМ на ГП, МСС и ЦЛ

1. В работе [10] показана возможность программной реализации этой математической основы на традиционных ЦВМ с квантованием по АП.

2. Есть возможность замены операций сложения и вычитания на именованных аргументах, проводимых ЦВМ (а.с. №647656), на самих ЦЛ, как это предложено, правда для обычных непрерывных логарифмов в работах [11, 12]. Суть их состоит в том, что значение логарифмов второго слагаемого при суммировании и вычитаемого в операции вычитания так деформируются (изменяются), что сложение логарифма первого слагаемого с деформированным вторым выдает логарифм суммы, а вычитание из логарифма уменьшаемого деформированного логарифма вычитаемого выдает логарифм разности.

3. ГП и ЦЛ позволяют строить ЦВМ с перестраиваемыми в процессе их работы точностями, сложностями и быстродействиями изменения знаменателя ГП путем удаления некоторых членов ГП из исходных, более близких к единице [13].

4. Тот факт, что количества кодов ГП, МСС и ЦЛ существенно меньше количества кодов на АП и АСС того же диапазона открывает для первых лучшие возможности построения ЦВМ на основе использования одно-и двухместных вычислительных операций, проводимых методом считывания предвари-

тельно подготовленных и записанных в быструю память результатов вычислений. При этом все количество п элементарных арифметических операций, необходимых для вычисления конкретного единичного значения искомой функции, разбивается попарно (если нет одноместных операций - для вычислений, например, тригонометрических задач по углам.) Эти пары подаются одновременно на парные входы соответствующих п/2 считывающих решателей, выдающих одновременно их частичные результаты с уменьшенным вдвое их количеством. Последние вновь подаются на п/4 считывающих решателей и т.д., пока не останется одна двухместная операция, подаваемая уже на один считывающий решатель, выдающий искомый требуемый результат. В этом суть параллельнопоследовательного считывающего устройства, обещающего построение ЦВМ максимального быстродействия. Частное решение этой задачи изложено в работе [14].

Минимальное количество кодов, к тому же составляющих члены ГП, является и лучшей основой цифровой телефонии [15], цифрового телевидения [16] и цифрового фото. Действительно, согласно закону Вебера-Фехнера о работе любых биорецепторов (суть его состоит в том, что отношение замечаемого любым биорецептором изменения уровня поступающего на него сигнала не зависит от полного его значения) их работа подчиняется ГП. Однако технически в настоящее время этот закон реализуется двумя операциями. Сигнал сначала деформируется так, что последующее его оцифровывание по АП стандартными АЦП становится близким к ГП [17]. Если же использовать перечисленные разработанные АЦПгп, то это двойное преобразование заменится одним. Погрешности уменьшатся и результат будет не приближенной ГП, а чистой.

6. Квантование целочисленных параметров по геометрическим прогрессиям - основа построения счетчиков со сжатием

Распространение понятия квантования с непрерывных параметров и на целочисленные [5] позволило разработать счетчики с потенциальным сжатием (а.с.№ 204691). Однако удаление при организации новых ШК пустот между соседними считаемыми единицами,

равных единицам, позволило дополнительно сократить количество кодов, представляющих данное множество считаемых единиц. Если для измерения значений непрерывных параметров 2х необходимо его сопоставление с кортежем образцовых значений <...2о1...> рабочей меры в соответствии с (3), то и описываемое квантование требует аналогично каждый 1-й считаемый импульс Кх1 сравнивать с набором значений образцовой числовой шкалы, составленной из кортежа целых чисел N01. При этом

№1 = №1 = ^1 при №1 = ^1. (37)

Детали счета целых чисел таким квантованием следующие. Начало каждого нового 1го шага квантования определяется образцовым значением Nоi,н. От него начинает вычисляться начальная часть ШК ДNmaxi,н исходя из выражения ДNmaxiн * 100% / ^1,н = 5шах согласно

ДNmaxiн = ц.ч.( N0^ * 5шах / 100%), (38) где ц.ч.- целая часть, поскольку между считаемыми единицами никаких значений нет. Следствием этого является сокращение ДNmaxiн относительно идеального его значения, имеющего место при квантовании по ГП непрерывных параметров (Это сокращение имеет место и в счетчике импульсов (а.с. №204691). Сумма N0^ и вычисленного целого значения ДNmaxiн определяет представительное значение результата счета:

N0) = N0^ + ДNmaxiн. (39)

Далее вычисляется вторая, именно конечная часть ШК ДNmaxi,к, также целая из ДNmaxiк* * 100% / (N0) + ДNmaxiк) = 5max согласно

ДNmaxiк = ц.ч.^ц) *100% / (100 - 5max)]. (40) Ее сумма с N0) определит конечную точку данного )-го ШК:

N0^ = N0) + ДNmaxiк. (41)

Полученные значения вместе с текущим считаемым числом Nxi, распечатываются. Первой в строке печатается Nxi, потом N0), затем номер пакета ) единиц, составляющих ) -й ШК и вычисленные из них

SGна = - ) * 100% / N0), (42)

указывающие на сколько процентов сократилось (сжато) считаемое число Ш1. Для расчета обобщенного значения SGна для всех Nxi данного ) пакета в (42) вместо Nxi ставим значение N0), а для конкретных Nxi оставляем сами значения Nxi. Наконец вычисляется и печатается значение

80у = №1 / ) , (43)

указывающее во сколько раз сократилось количество единиц (сжато) начиная от нуля до Nxi. Аналогично предшествующему показателю в (43) для общей оценки всех единиц конкретного пакета вместо Nxi следует помещать их представительные значения Nqj.

Далее определяем начало Noi+^н следующего ШК. Поскольку между любыми соседними считаемыми целыми числами имеется расстояние, равное единице, то

Noi+^н = Noi^ + 1. (44)

Затем возвращаемся к (38) с очередным значением i, т.е. к вычислению очередного j -го ШК и продолжаем эти вычисления до заданного максимального Nxi.

6.1. Суть программы счета со сжатием средств представления результатов состоит в описании типа переменных, вычисления начиная с нулевого значения считаемых единиц, печати результатов вычислений, нахождения начала очередного ШК и продолжения рекуррентных вычислений до заданного максимального считаемого числа. Ее детали представлены следующей программой:

Program Pascal;

Uses crt;

Var

Dm, SGna, SGv: Real;

Nx, No, Nk, Np, dNn, dNk, j: Integer;

BEGIN

clrscr;

Dm := 1.0;

Np := 0;

SGna := 0;

SGv := 0;

J := 0;

Repeat Nx := No;

Np := No + trunc(No*Dm/100);

Nk := Np + trunc(Np*Dm)/(100 - Dm);

Writeln(’-------Пакет ’ , j , ’------------

While (Nx<=Nk) do begin

If (Nx>0) then SGna := abs(Np- j)*100/Np;

If (Nx>0) then SGv := Np/j;

Writeln (Nx, ’ ’ , Np, ’ ’ , j, SGan := 0: 5,’

’ , SGv:0:5);

Nx := Nx + j + 1;

if((Nx + j +1) mod 24=0) then ReadKey; end; j := j + 1;

No := Nk + 1;

Until (Nx > 1000);

ReadKey;

END.

Здесь: Dm имя 5maxi, SGna (сжатие Nx на %) - имя значения (Nqj - j)* 100% / Nqj,

SGv (сжатие Nx в разы) — имя значения Nqj/j, Nx - имя текущей считаемой единицы, No -имя текущего начального значения образцового числа, Nk - имя текущего конечного значения образцового числа, Np - имя текущего представительного значения, dNn - имя текущего значения начальной части НТК. dNk -имя текущего значения конечной части ШК, j - имя номера пакета.

Для экономичности и наглядности результатов вычислений их распечатывание следует проводить в соответствии с заданными поддиапазонами счета и с заданной максимально допустимой погрешностью 5max (8).

6.2. Пример результата расчетов сжимающим счетчиком

Если |±5maxi| = const = 1%, то таблица результатов расчетов следующая:

Nxi Nnj j Sgna% SGv

0 0 0 0 0

Nxi Nnj j Sgna% SGv

1 1 1 0 1

2 2 2 0 1

3 3 3 0 1

98 98 98 0 1

99 99 0 1

100 100 99 1 1,01

101 0,99 0,98

102 102 100 1,96 1,02

103 2,91 0,98

104 2,88 1,03

105 105 101 3,81 1,04

10б 4,72 1,05

197 32,99 1,40

198 198 132 33,33 1,50

199 33,б7 1,51

200 34,00 1,515

201 34,83 1,51

202 34,16 1,52

203 203 133 33,48 1,53

204 34,80 1,53

205 35,12 1,54

298 152

305

296

297

298

299 399

301

302

303

304

305

306

307

308

393

394

395

Nxi

396

397

398

399

400

401 405 409 491 495

500

501 506 511

589

594 594

48,99

1,96

153 49,84

1,99

Nnj j Sgna%

396 166 58,08

SGv

2,38

405

167

58,76

2,42

495

177

44,04

2,79

406

178 56,16

2,28

186 68,68

3,19

698 194 72,21

3,59

803 201 74,97 3,99

692 698 705 796 803 811 897

905 905 207 71,13 4,37

Nxi Nnj j Sgna% SGv 914

991

1000 1000 212 78,8

011

4,72

----- (эта черта означает наличие всех единиц до очередной единицы).

Особенности данного сжимающего счетчика

В начале счета сжатия нет: считаемые единицы представляются неизменными - в пакетах содержатся только единицы счета (одно число). Затем пакет составляется из двух единиц. При 5max = 1%, как это видно из приведенной таблицы расчета, Nnj = Nxi от нуля до Nxi = 98. А следующий пакет состоит из двух единиц: 99 и 100, Nnj которых равно 100 и оно представляет с 5max = 1% 99, число 100 - точно, а номер пакета j = 99. Следующий пакет состоит из 3 единиц: 101, 102 и 103, любая из которых представляется числом Nnj = 102 и пакетом j = 100. Пакеты, как правило, составляются из нечетных чисел, но до Nnj могут быть на единицу меньше, чем чисел после Nnj, например, в 132-м пакете, в 152-м и в др. Четвертый и пятый столбцы говорят о

степени сжатия считаемых единиц. И оно весьма велико!

Заключение

Со времени становления цивилизации и до сегодняшнего дня развивается количественная информационная техника, именно счет, измерения и вычисления, на основе квантования по арифметическим прогрессиям, поддержанная аддитивными системами счисления и непрерывными логарифмами. Она правомерно используется в бухгалтерских расчетах, в устройствах позиционирования и в двух- и трехмерных устройствах. Однако в большинстве технических расчетов, требующих равноточность по относительной погрешности результатов кодирования значений параметров и результатов вычислений, необходимо использовать квантование по геометрическим прогрессиям, поддержанным мультипликативными системами счисления и целочисленными логарифмами, отличающимися от традиционных на арифметических прогрессиях сочетанием равноточности по относительной погрешности и меньшим, именно минимальным количеством, всех результатов их функционирования и большим быстродействием, особенно вычислений из-за проведения их на логарифмах, к тому же целочисленных.

Распространение понятия квантования с непрывных параметров на целочисленные позволило разработать описанные здесь счетчики с предельным сжатием средств представления результатов их работы.

Квантование по геометрическим прогрессиям открыло несколько новых путей совершенствования ЦВМ, в особенности повышения их быстродействия как за счет повышения быстродействия самих их процессоров, так и за счет организации многопроцессорных систем.

Возможности изложенных дискретных ГП существенно дополняются работой [19] по непрерывным ГП (к понятию и использованию которых при вычислении своих таблиц целочисленных логарифмов впервые пришел еще Непер). Они обеспечивают сжатия и растяжения временных функций без изменения их ординат, организацию новых каналов связи, модуляцию изменением плотности информационных точек любой энергии, новую разновидность криптографии и аналоговые

вычислительные машины, кодирующие значения аргументов временными интервалами.

Разработанные математические основы

- мультипликативные системы счисления и целочисленные логарифмы - целесообразно внедрять в учебный процесс как для студентов, изучающих математику, информатику, устройства счета, измерений и вычислений, так и для старшеклассников средних школ.

Список литературы

1. Крылов Н.А. Лекции о приближенных вычислениях. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 372 с.

2. Ясницкий Л.Н. Современный кризис прикладной математики и искусственный интеллект // Актуальные проблемы математики, механики, информатики: Матер. междунар. науч.-метод. конф., посвященной 90-летию высшего матем. образования на Урале. Пермь, 2006.

3. Баранцев. Р. Г. Синергетика в современном естествознании. УРСС. М., 2003. 140 с.

4. Гинкин. Г.Г. Логарифмы, децибелы, деци-логи. ГЭИ. М.-Л., 1962. 352 с.

5. Филиппов Н.А. Теория и устройства неравномерного квантования. Илим. Бишкек, 1994. 280 с.

6. Филиппов Н.А. Числовые системы: Учеб. пособие ВятГУ. Киров, 2003. 80 с.

7. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. М.: Радио и связь, 1984. 152 с.

8. Касаткин В.С. Новое о системах счисления. Киев: Вища школа, 1982. 96 с.

9. Цилькер Б.Я., Орлов С.А. Организация

ЭВМ и систем. М.-СПб.: Питер,

2004.668 с.

10. Филиппов Н.А. Вычислительные устройства, работающие на технических целочисленных логарифмах: Учеб. пос. Фрунзенского политехн. ин-та. Фрунзе, 1990. 87 с.

11. Kingsbury N.S., Reiner P.J. Digital filtering using logarithmic arithmetic // Electron. Letters. Vol.7. №2. 1971. P.56-58.

12. Волков В.Л., Гущзин Щ.Г., Пакшин П.В. Алгоритмы управления и обработки информации с использованием логарифмической арифметики. М.: МАИ, 1991. 51 с.

13. Filippov N.A. The account, Measurement and calculation with reformation of accuracy. Quantity codes and speed on numerical systems from geometrical progressions / 50. In-

ternationales Wissenschaftliches Kolloquium 19-23.09.2005. Mechanical Engineering from Macro to Nano. Proceеdings Technische Un-iversitat ILMENAU. 2005. P.281-282.

14. Филиппов Н А. Считывающие решатели для умножений и делений чисел сложением и вычитанием их многочисловых целочисленных логарифмов // Вестник Вятского научного центра Верхне-Волжского отделения Академии технологических наук Российской Федерации. Сер. Проблемы обработки информации. 2005. 1(6). Киров. С.35-40.

15. Филиппов Н А. Экономное кодирование амплитуд непрерывного сигнала речи: Доклад на XXXIV-й областной НТК по узловым проблемам радиотехники, электроники и связи. 1979. Л.,1979.

16. Филиппов Н.А. Экономичный быстродействующий кодирователь изображений // Проблемы цифрового кодирования и преобразования изображений: Тез. докл. Всесоюзн. симпозиума. Тбилиси, 1980. С.72-73.

17. Беллами. Джон К. Цифровая телефония.

3-е изд. М.: Эко-Тренда, 2004. 640 с.

18. Филиппов Н.А. Дробление номеров членов геометрических прогрессий для убыстрения вычислений методом считывания // Супервычисления и математическое моделирование: матер. междунар. семинара. Саров, 2004.

19. Филиппов Н.А. Задержки времен временных функций // Известия МАН ВШ. 2006. №2 (36). С.65-81.

Mathematical way to the best quantitative information technics

N. A. Filippov

Wyatka State University, 610000, Kirov, st. Moscow, 36

Traditional tasks of improvement of characteristics of devices of the account lasting on importance, measurements and calculations of information technical equipment are considered. For a basis of the decision of the given task results of an estimation of the existing, mathematical base of devices of modern quantitative information technics and its development are used. As the modern information technics basically discrete and consequently values of parameters of tasks decided by it are represented by numbers for this reason we estimate characteristics of traditional notations and logarithms and are stated found new, deprived the found out and described lacks. Set of advantages of all three versions of devices of quantitative information technics is demonstratively stated on the basis of the developed mathematical base. Together with it algorithms both the developed earlier and suggested new devices of the account developed earlier with compression, analog-digital measurements and calculations, and also the additional opportunities opening for them on this basis are briefly described.