CC BY
49
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 18 Выпуск 3
УДК 539.3, 519.6, 539.4 Б01 10.22405/2226-8383-2017-18-3-518-537
ТЕОРИЯ МНОГОКРАТНОГО НАЛОЖЕНИЯ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ, РАЗВИТИЕ
МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫХ ЗАДАЧ. ПУТИ
ЕЕ РЕАЛИЗАЦИИ В ПАКЕТЕ ФИДЕСИС
ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОЧНОСТНОГО
АНАЛИЗА В НОВЫХ ОТРАСЛЯХ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Отмечается, что теория многократного наложения больших деформаций позволяет формулировать задачи, в которых в процессе нагру-жения неоднократно дискретно или непрерывно изменяются границы, граничные условия, включая связность области, занимаемой телом, свойства материала части тела, причем каждое изменение приводит к перераспределению в теле больших деформаций и напряжений. Указывается, что в рамках данной теории под термином «последовательность нагружения» понимается последовательность механических и немеханических воздействий на тело (изделие, элемент конструкции, горный массив), изменение в процессе нагружения (эксплуатации) свойств материала части тела, добавление (включая послойное) или удаление (например, принудительное образование дефектов) частей нагруженного тела.
Приведена постановка задач теории многократного наложения больших деформаций, позволяющая формулировать и решать междисциплинарные (связанные) задачи для двух основных случаев. В первом случае учитываются внешние не механические воздействия на тело (включая изменения свойств материала тела или его части от их воздействия): температурные, электромагнитные, химические, радиационные воздействия, твердотельный фазовый переход и иные воздействия, не описываемые в рамках соотношений механики деформируемого твердого тела. Во втором случае учитывается взаимодействие деформируемого твердого тела с внешней (иной) средой.
1 Левин Владимир Анатольевич, профессор кафедры вычислительная механика механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, [email protected]
ДЛЯ РЕШЕНИЯ
Аннотация
Отмечается, что промышленная программная реализация решения междисциплинарных задач теории многократного наложения больших деформаций в пакете Фидесис потребует для первого случая разработку дополнительных модулей и (или) изменения в расчетных ядрах пакета Фидесис. Сообщается, что для ряда задач исследовательский программный код разработан и научно апробирован в рамках работ дорожной карты развития пакета Фидесис. Во втором случае, с промышленной точки зрения, программная реализация может достаточно качественно и относительно быстро выполнена путем интеграции пакета Фидесис с соответствующими промышленными пакетами, позволяющими проводить моделирование внешней среды. Такая интеграция предусмотрена в дорожной карте развития пакета, и такие работы ведутся.
Ключевые слова: Многократное наложение больших деформаций, междисциплинарные задачи, инженерное программное обеспечение, инженерный анализ
Библиография: 50 названий.
THEORY OF REPEATED SUPERPOSITION OF LARGE STRAINS. DEVELOPMENT OF THIS THEORY FOR SOLUTION OF MULTIDISCIPLINARY PROBLEMS. METHODS OF IMPLEMENTATION OF THIS
THEORY FOR STRENGTH ANALYSIS IN NEW BRANCHES OF INDUSTRY
V. A. Levin (Moscow)
Abstract
It is noted that the theory of repeatedly superimposed large strains permits one to formulate the problems in which the boundaries or boundary conditions are multiply changed step by step or continuously, including the changes of connectedness of the region occupied by the body and the changes of material properties of parts of the body. Every change leads to redistribution of large strains and stresses in the body. It is pointed out that the term "loading sequence" within the framework of this theory denotes the sequence of mechanical and non-mechanical actions on the body (article, element of construction, rock massif), changes of properties of a body part during loading (exploitation), addition or removal of parts of loaded bodies (including layered growth or forced origination of defects).
The problem statement of the theory of repeatedly superimposed large strains is developed for two basic cases of interdisciplinary (coupled)
problems. In the first case external non-mechanical actions on the body are taken into account: thermal, electromagnetic, chemical, radiation actions, solid-state phase transformations, and other actions that can not be described within the scope of solid body mechanics. This case involves the changes of material properties of the body or its part due to external actions. In the second case the interaction between deformable solids and other (external) surroundings is taken into account.
It is noted that the industrial software implementation of interdisciplinary problems of the theory of repeatedly superimposed large strains in the FIDESYS program package in the first case requires the development of additional modules and (or) changes in computational kernels of the FIDESYS package. It is reported that for some problems in the first case the software is developed and scientifically approved within the framework of development roadmap of the FIDESYS package. In the second case, for industrial purposes, the implementation can be performed with proper quality and quickly enough by integration of the FIDESYS package with respective industrial packages that permits one to model the environment. Such integration is provided in the development roadmap of the package, and such works are carried out.
Keywords: Theory of repeatedly superimposed large strains, mechanics of deformable solids, engineering software, computer-aided engineering, engineering analysis
Bibliography: 50 titles.
С разрешения редакции автор нарушает формат научно-технической статьи и включает в статью благодарность коллегам и редакции.
Автор благодарен редакции журнала, предложившей выпустить этот номер журнала в юбилейном формате, редакционному совету данного номера и коллегам, подготовившим столь значимые статьи для этого выпуска журнала.
На взгляд автора, данные статьи относятся к четырем основным направлениям, определяющим развитие CAE (Computer Aided Engineering) — инженерного программного обеспечения (НПО) для инженерного анализа (НА):
1. Фундаментальным научным результатам, позволяющим развивать функциональность CAE на основе актуальных запросов промышленности,
2. реализации разработчиками CAE этой функциональности на промышленном уровне с использованием новых для промышленного использования моделей и методов в CAE,
3. решению промышленных наукоемких задач с использованием CAE,
4. подготовке специалистов как для разработки CAE, так и для их профессионального использования.
С развитием CAE у ученого, занимающегося прочностным анализом и смежными областями, за последнюю треть века существенно изменился подход к решению новой задачи. Если исследователь работает в рамках малых деформаций, ему достаточно предложить и обосновать модель и провести расчет с использованием промышленного CAE, иногда дописать на внешнем языке пакета небольшие возможные дополнения. Это связано с тем, что проблема создания программы для ЭВМ для решения задачи «с нуля» практически полностью решена с введением в расчетную практику промышленных CAE2. Если деформации не малые, то это не так. В ряде случаев (особенно связанных с ключевыми направлениями развития промышленности) требуется развитие функционала CAE и научной составляющей для такого развития. Дорожная карта совершенствования пакета Фпдеснс предусматривает такое развитие функционала для многомасштабного (разномасштабного) моделирования, необходимого при применении наноетруктурированных материалов, метаматериалов, учета структуры материала при моделировании высоких давлений, разрушения, использования аддитивных технологий [3,11,12,13,15,17,18, 22,26, 27, 28, 29, 32,42,43,44,47]. Кроме того, в дорожной карте предусмотрено создание специализированных, в ряде случаев междисциплинарных отраслевых решений (СТОР) с заложенной в них соответствующей функциональностью [1, 2, 4,7, 16, 25, 30,31,35, 36,44,46,48], с упором на повышение точности [5,9], производительности [14,40,41]. Еще сложнее развитие функционала CAE для случая учета перераспределения конечных деформаций в процессе нагружения.
Поэтому одним из направлений развития функциональности промышленных CAE для прочностного инженерного анализа является учет нелинейных эффектов[6,8,10,24,33,37,38], связанных с конечностью деформаций и последовательностью нагружения [19,22]. Под термином «последовательность нагружения» понимается:
1. последовательность механических и немеханических воздействий на тело (изделие, элемент конструкции, горный массив),
2. изменение в процессе нагружения (эксплуатации) свойств материала части тела,
3. добавление (включая послойное) или удаление (например, принудительное образование дефектов) частей нагруженного тела.
Постановку и решение таких задач при больших деформациях позволяет осуществлять теория многократного наложения больших деформаций [19, 20]. Это связано с тем, что данная теория позволяет формулировать задачи,
2Следует отметить, что стремительное развитие CAE (включая облачный сервис), вероятно, в ближайшее время позволит исследователю сосредоточиться на построении моделей прочности и их обосновании, но поставит исследователя новых наукоемких задач в зависимость от качества расчетов CAE-системы, в том числе от заложенных в нее систем уравнений, описывающих расчетную модель и методы решения.
в которых в процессе нагружения неоднократно дискретно или непрерывно изменяются границы, граничные условия, включая связность области, занимаемой телом, свойства материала части тела, причем каждое изменение приводит к перераспределению в теле больших деформаций и напряжений. На рис, 1 укрупнено приведены некоторые, по мнению автора, ключевые модели, которые позволяет описывать данная теория, на их основе постановки классов задач (модели) и некоторые конкретные типы задач для различных отраслей промышленности, в которых следует учитывать перераспределение больших деформаций.
и тз
с с В
В
с к
с
с в
В
с с •о
с
£
в и: В Я В В К
в
В И
С И
С ©
в В
- с
•о
В & Я
в в
с 5
£ с
с ^
с Е с\
с хз 2 с с ь в с в в к
с
Т) в
г.
•о
с
г.
в Г-
в •о в в
с
с в в
И
с _
Н и
с г
в
в
и; с
| То
в Я5
В КЗ
в ±1
в "
в ^
В о;
2 £
с в © в
в с-
г. с
В ^ Г. С __в
ю И
а £
В г.
В
•о в
•о о
с
в в
в
с И г.
в
в •о с
ю
о
со
О
в в
с г.
в с
Н В
с ~
И
в в с
е
в
г. г.
"а с
В
с в в
И ф
в г.
в
с ^
с
в •о с
с
В ■'
в я с\
с Й
в Е в И
с
5
Р ►Я- 5-
^ 5
1 5 р; В
и;
В р; В! £ В В В
С В В
г. £
в в
с §
£
с
н с с •о в с В!
в с >п с в •о в н в с >п с
в в
Теория многократного наложения больших деформаций
Теория для решения задач о перераспределении е теле больших деформаций, то есть задач, е которых е процессе нагружения изменяются неоднократно границы, граничные условия (добавляются или удаляются части тела, изменяются свойства части материала тела)
Задача (включая связанные) о последовательном дискретном или непрерывном образовании в нагруженном теле концентраторов напряжений (полости, включение, послойное изменение формы тела) и их взаимодействии и взаимовлиянии.
-Модели образования и развития дефектов в нагруженном теле. — Модели образования и эволюции зон предразрушения. —Модели, учитывающие поврежденность
Модели
поэтапного (в том числе, послойного) изменения (уменьшения, увеличения) формы напряженного тела или его части
Модели для
описания
твердотельных
фазовых
переходов
Модели
поведения телг,
материал
иоторых
изменяет
свойства при
погружении
Методы оценки эффективных свойств при конечных деформациях и их перераспределении (включая пористые, композиционные и мета-материалы]
Критерии прочности, критерии изменения свойств материала (включая нелокальные)
Модели роста трещины не нулевого раскрытия; Модель вязкого роста трещины (дефекта).
Модели
принудительного образования и послойного развития полости или (и) включения
Модели как для непрерывного, так и для дискретного развития твердотельного фазового перехода, (связанная задача)
Модели с использованием кинетических соотношений для описания изменения свойств материла при нагружении
Модели для м ногома сшта бного моделирования с использованием моментной теории (связанная задача)
Модели пластичности с учетом
изменения зон разгрузки в процессе нагружения
Геомеханика, сейсмика, цифровой керн, Трещина гидроразрыва
Ресурс
элемента
конструкции
(-■-промышленный интернет вешей)
Аддитивные технологии
Композиционные материалы [+«умные») и изделия из них. Разрушение таких материалов
Кристаллические материалы (Модели с
использованием теории Ландау-Гинзбурга одноразмерные образцы)
Метаматериалы и изделия из них
нано структур И рОЕ: энные материалы (+эффект поверхностного слоя)
н и с
Т)
а
а
^
а с
Л1
с я
Т)
5
а с
Л1
с
а
>
а
с *
и а а а
Сл
ю со
мер, оценка эффективных механических, прочностных и термоупругих характеристик различных типов материалов при конечных деформациях[19]3, По мнению автора, естественным развитием теории многократного наложения больших деформаций является ее обобщение на случай междисциплинарных задач, В [19] получена на основе подходов [24,34,35] и методологии [33] постановка термоупругой задачи теории многократного наложения больших деформаций, в [47] рассмотрена задача о твердотельном фазовом переходе с учетом перераспределения конечных деформаций с использованием теории Гинзбурга-Ландау,
В общем случае учет междисциплинарности в постановке задачи укрупнено можно свести к двум случаям. Первый случай - когда учитываются внешние не механические воздействия на тело, включая изменения его свойств от их воздействия: температурные, электромагнитные, химические, радиационные воздействия, твердотельный фазовый переход и иные воздействия, не описываемые в рамках соотношений механики деформируемого твердого тела. Второй случай - когда учитывается взаимодействие деформируемого твердого тела с внешней (иной) средой,
В первом случае приходим к совместному решению уравнений равновесия (движения) теории многократного наложения больших деформаций и эволюционных уравнений. Эволюционные уравнения позволяют учесть не механические и иные воздействия на тело с учетом зависимости напряжений и деформаций от параметров (или в общем случае тензорных инвариантов) воздействий, не описываемых в рамках механики, а их, в свою очередь, от напряженно-деформированного состояния тела. Постановка задачи в общем виде имеет следующий вид [19,20] Уравнение движения
р-1
V ■
д-1 0
здесь £ = Ф0а-1 ■ £ 'Фоа-1 - тензор обобщенных пол пых для д-го со-
о,д 0,д
стояния напряжений, отнесенных к базису (д — 1)-го состояния, Фд-1,д -аффинор полных деформаций при переходе из (д — 1)-го в д-е состояние; 1 + Д0,д-1 = det Ф0,д-1- кратность изменения объема при переходе из начального в (д — 1)-е состоянне; рд-1 - плотность частицы тела в (д — 1)-м состоянии. Определяющие соотношения для выбранного потенциала:
3Темп внедрения данных разработок в пакет Фидесис связан с тем, что пакет разработан и развивается по принципу «развитие функциональности должно добавляться для всех типов анализов (статический расчет, динамический расчет, собственные частоты, устойчивость, контактная задача и т.д.) и всех типов элементов (трехмерные, оболочеч-ные, балочные) и вариантов, используемых в пакете, причем как для метода конечного элемента, так и метода спектрального элемента», что с одной стороны замедляет работы по увеличению функциональности (особенно ее наукоемких составляющих), но с другой стороны делает эту функциональность доступной для качественного промышленного использования.
(1+Д0,д-1) 1 £
0,д
1,9
Рд-1'
д 2ид Ы2
, о
дА
о
£ = — 0 0'9 5 Е
^Е, г/1, ...^
Кинематические соотношения [201
о 1
е 2
Е =1(Фе ■ Ф* - I) , Фе = Ф-1 ■ Фо>д,
9-1
Фо,д = Фо,«-1 ■ Ф«-1>д, Ф«-1>д = I + V Ид,
о
здесь ид - вектор перемещений из 0-го в д-е состояние, Е - тензор упру-
е
гой деформации; Фе - аффинор упругой деформации; Фор - аффинор полных деформаций при переходе из начального в р-е состояние; Ф4 - аффинор собственных деформаций, обусловленных изменением параметров. Эволюционные уравнения для параметров к = 1,... ,п):
^■ = 2Л[3 V ■ ( 'V1 + ЛXfc ,к = 1,..., п,
здесь (к = 1,...,п) - движущие силы эволюционных процессов, о
Р = £ 'Фо,д _ первый тензор напряжений Пиолы (при q=l) Л - кинетиче-о,я
ский коэффициент, характеризующий скорость эволюционных процессов; ¡3 - константа.
Упругий потенциал А может быть задан, например, в форме, соответствующей потенциалу Мурнагана, с учетом зависимости модулей упругости от параметров [47]:
А (Е , т, ...г^ = ^^^ №)2 + М^, -ЧП)Е2+ + С3(Г11, ...Цо) (^1)3 + С4(щ, ...Цо)Е1Е2 + С5(Г11, ...Цо)Е;з
о
здесь Ек- инварианты тепзора Е.
е
На внешней границе тела задаются напряжения ао,р = а^, па контурах отверстий задается давление р:
д-1 д- 1 д- 1 „ 1 _-,
N ■ £ = -р(1 + До,,) N ■ (Фд-1,^ ■ (Ф,-1>д) 1,
о,я
9-1
здесь N - вектор единичной нормали. Для параметров на внешней гра-
я-1 А-1 \
нице и контурах отверстий задаются условия N ■ V % I = 0, к = 1,... ,п.
Во втором случае приходим к совместной (связанной) задаче взаимодействия двух и более сред. На промышленном уровне это может быть достигнуто и интеграцией с имеющимися пакетами Постановка задачи в общем виде имеет следующий вид
д-1
V
(1+До>9_1) 1 Е -Фд-1,,
0,д
Ч-1"
д2щ
т2
(1)
я_1 о
здесь Е = Ф0 а-1 ■ Е -Ф0 а-1 - тензор обобщенных полных для д-го состоя-
нпя напряжений, отнесенных к базису (д — 1)-го состояния, Фд_1д- аффинор деформаций при переходе из (д — 1)-го в д-е состояние; 1 + Д0,д-1 = det Ф0,д-1 - кратность изменения объема при переходе из начального в (д — 1)-е состояние; рд_1 - плотность частицы тела в (д — 1)-м состоянии. Определяющие соотношения для выбранного потенциала:
0 Е
0,д
Кинематические соотношения
ЗА
(I)
0
д ]Е
0,я
(2)
0
]
0,я
1 (Ф0Л ■ Ф0,в — I)
Ф0,д = Ф0,д_1 ■ Фд_1,д, Фд_1,д
<?_1
1+ V Щ,
(3)
(4)
здесь и„ - вектор перемещений из (д — 1)-го в д-е состояние, Ё~ тензор
деформации при переходе из начального в д-е состояние; Ф0,д- аффинор полных деформаций при переходе из начального в д-е состояние.
Соответственно в сжимаемой жидкой или газообразной средах распределение поля давлений и скоростей среды описывается следующей системой уравнений Навье-Стокса в Эйлеровой системе координат: Уравнение неразрывности:
I + V <рУ ) = а
Здесь Ь - время, р - плотность, V - скорость потока в среде.
Уравнение импульсов:
(5)
дрУ
+ V (рV 0 V) = ^Р + V ■ ге// + рд,
(6)
Ге//
(р + — 3 (V ■ V)/
Здесь р - давление, д - ускорение свободного падения, те // - эффективный тензор вязких напряжений, р - динамический коэффициент вязкости, р -
динамический коэффициент турбулентной вязкости, Б - тензор скоростей деформации.
Уравнение энергии, записанное через полную энтальпию Н:
+ V (рУН) = -Р + рV •д — У^, + (те„ • V), (7)
Н = К + V2/2. или через термодинамическую энтальпию К:
ддК) + V ^К) = -Р + V • УР — + ¿) тг18г1 +ре, (8) К = Ко (298.15)+ [ Ср (Т) сТ.
./298.15
Здесь К0 (298.15) - энтальпия образования при 298,15 К, Ср (Т) - его удель-
Т
температура. Уравнение (7) решается при моделировании транс- и сверхзвуковых течений. Уравнение (8) решается при моделировании течений без ударных волн, В уравнениях (7) и (8) - эффективный тепловой поток:
■'« = - (А+1С ) ут.
Здесь А - коэффициент теплопроводноети, Рг4 - турбулентное число Прандтля, Индексы, указывающие номер состояния, в уравнениях (5)-(8) для краткости опущены.
Система (5), (6), (7) или (5), (6), (8) дополняется уравнением состояния среды и уравнениями используемой модели турбулентности.
На границе между двумя средами задается условие равенства нормальных напряжений в твердом теле и давления в жидкости или газе:
9-1 9-1 ж ч 9-1 / г \-1 , , 1
N • £ = —р(1 + До,,) N • (Ф^) • (Фд-1,д) 1,
0,9
9_1
здесь N - вектор единичной нормали к грапице тела в (д — 1)-м состоянии, а также условия непротекания (равенства нормальных компонент вектора скоростей) N • (Фд-1,д\-1 • ^т = N • (Фд-1,д\-1 • V.
Отметим, что при разработке программного кода для решения конкретных задач в общем случае строится пошаговый процесс последовательного решения уравнений (1)-(4), определение изменения параметров НДС и формы границы, решения уравнений (5)-(8) с определением изменения параметров влияния внешней среды на деформируемое твердое тело и т, д,
В обоих случаях следует помнить, что при конечных деформациях принцип суперпозиции не применим[19,23],
В заключении отметим основные результаты статьи,
1, Сформулирована (обобщена) постановка задачи теории многократного наложения больших деформаций [19,20] для двух основных типов мульти-дисциплинарных (связанных) задач,
• Первый случай, учитывающий внешние не механические воздействия на тело, включая изменения его свойств от их воздействия: термические, электромагнитные, химические, радиационные и иные воздействия, твердотельный фазовый переход,
• Второй случай, учитывающий взаимодействие деформируемого твердого тела с внешней (иной) средой,
2, Промышленная программная реализация в пакете Фидесис потребует выполнения следующих работ,
• для первого случая потребуется разработка дополнительных модулей и (или) изменения в расчетных ядрах пакета Фидесис (для ряда вариантов исследовательский программный код разработан и научно апробирован, например, [20,47] ), что предусмотрено в дорожной карте развития пакета;
• во втором случае, с промышленной точки зрения, по мнению автора, задача может достаточно качественно и относительно быстро реализована путем интеграции пакета Фидесис с соответствующими промышленными пакетами, позволяющими проводить моделирование внешней среды. Такая интеграция предусмотрена в дорожной карте развития пакета, и такие работы ведутся.
Еще раз, нарушая формат научно-технической статьи, автор отмечает, что когда в современной науке (далее речь идет о механике деформируемого твердого тела) предлагается новая механическая модель, описывающая тот или иной процесс нагружения и реакцию тела на него, исследователь должен дать адекватное математическое описание такой модели и обязательно получить решение нетривиальных 21) и 31) задач, сформулированных в рамках предложенной модели. Крайне желательно также получить точные решения задач, последнее позволяет «верифицировать» численные результаты,
С точки зрения промышленности важно, чтобы решения сложных задач 2Б и 31) осуществлялось либо с помощью создаваемых на основе предложенной теории специализированных программных комплексов, либо с помощью модулей, дополняющих функциональность имеющихся САЕ,
При создании и развитии теории многократного наложения больших деформаций автор стремился поступать именно таким образом: модель, математический аппарат, промышленный программный пакет для прочностного инженерного анализа [49,50],
К пониманию такого подхода к развитию научного направления автор пришел в процессе длительного ученического и личностного общения с
Л, И, Седовым, В, П, Мяениковым, Л, А. Толоконниковым, Г, С, Тара-еьевым.
Автор отмечает крайне важную и существенную поддержку данному направлению в наиболее сложные моменты его развития Г,И, Марчука, Б, Е, Победри, Е, И, Шемякина,
Автор выражает благодарность руководителю ТБН-групп А. А. Галенко за поддержку при создании пакета Фпдеснс и внешним членам Совета директоров инжиниринговой компании Фидесис, приложивших на разных этапах создания пакета Фидесис много усилий для поступательного его развития Н, И, Касперской, М. Г, Король, И, Н, Протопопову, А. А. Тарасову,
Автор отмечает ежедневную как творческую, так и «рутинно кропотливую» многолетнюю работу по созданию и развитию пакета Фидесис основных его разработчиков А, В, Вершинина, Д. А. Коновалова, Е, Д, Комо-ловой, К, Ю, Крапивина, А. В, Кукушкина, К, А. Петровского, Д. А. Уль-кина, М. Я, Яковлева и значительный вклад в развитие пакета ключевых профессоров-консультантов К, М. Зингермана, Л, М. Зубова, Е, М. Морозова,
Автор выражает благодарность В, В, Лохину, В, Левитасу (Valéry I, Levitas), Д. Фишу (Jacob Fish), И, Цукрову (I. Tsukrov) за многочисленные собеседования.
Автор еще раз выражает благодарность редакции журнала, предложившей выпустить этот номер журнала в юбилейном формате, редакционному совету данного номера и коллегам, подготовившим столь значимые статьи для этого выпуска журнала,
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1, Адамов А, А,, Матвеенко В, П., Труфанов Н, А,, Шардаков И, Н, Методы прикладной вязкоупругости, — Екатеринбург: УрО РАН, 2003, — 411 с,
2, Аксенов A.A., Жлуктов C.B., Кудимов Н.М., Сон Э.Е., Савицкий Д.В., Третьякова О.Н., Шишаева A.C., Исследование теплообмена в силовых трансформаторах большой емкости с учетом конструкционных особенностей, обеспечивающих взрывобезопаеноеть Известия РАН. Энергетика, 2014, № 1, с. 102-111.
3, Алымов М. И, Порошковая металлургия нанокристаллических материалов, — М,: Наука, 2007, — 169 с,
4, Варях А. А,, Самоделкина Н, А,, Паньков И,Л, Разрушение водоупорных толщ при крупномасштабных горных работах, Ч, 1, // Физ.-тех, проблемы разработки полезных ископаемых, 2012, 5,
5, Бахвалов Н, С,, Жидков Н, П., Кобельков Г, М. Численные методы, М,: Физматлит, 2001, 630с,
6, Белых C.B., Бормотин К,С,, Буренин A.A., Ковтанюк Л.В., 11року, uni А.H. О больших изотермических деформациях материалов с упругими, вязкими и пластическими свойствами // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2014. № 4(22). С. 144-156
7, Блох В. И. Теория упругости. — Харьков: Изд-во Харьк. ун-т, 1964. — 483 с.
8. Бондарь В.Д. Осредненные повороты при конечной плоской деформации // Прикл. мех. и техн. физ. 2000. Т. 41, № 3. С. 187- 196.
9. Василевский Ю.В., Данилов A.A. , Липников К.Н., Чугунов В.Н. Нелинейная вычислительная механика прочности в 5 томах (под общей редакцией В.А. Левина). Т. 4. Автоматизированные технологии построения пеструкторизироваппых расчетных сеток (предисловие проф. В.А. Левина), М,:Физматлит , 2016, 214с.
10. Георгиевский Д.В., Победря Б.Е. О понятии устойчивости деформирования в упругой и вязкоупругой моделях Известия РАН М'Г'Г , 2002, 4, с. 46-56
11. Горбачев В.И., Победря Б.Е. О некоторых критериях разрушения. Известия Армянской ССР, Т. 38, № 4, 1985, с. 30-37
12. Гузь А. П.. Роджер А. А., Гузь И. А. О построении теории разрушения нанокомпозитов при сжатии // Прикл. мех. 2005. Т. 41, 3. С. 3-29.
13. Индейцев Д. А., Наумов В. П.. Семенов Б. Н.Динамические эффекты в материалах со сложной структурой // Известия РАН. Механика твердого тела. N5, стр.17-39, 2007.
14. Климов Ю.А. , Шворин А.Б., Хренов А.Ю., Адамович И.А., Орлов А.Ю., Абрамов С.М., Шевчук Ю.В., Пономарев А.Ю. Паутина: высокоскоростная коммуникационная сеть // Программные системы: теория и приложения: электронный научный журнал. — 2015. — Т. 6, JVS 1 (22). — С. 109-120.
15. Кондауров В.П., Петров И.Б. Расчет процессов динамического деформирования упругопластических тел с учетом континуального разрушения //ДАН СССР т. 285. №6., 1985, с. 1344-1347
16. Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. Нелинейные волны в упругих средах. — М,: Московский Лицей, 1998. — 412 с.
17. Кривцов A.M. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. - М,: Физматлит, 2007. - 304 с.
18, Лавит И, М.. Толоконников Л, А. Термоупругопластическая задача механики разрушения для полого цилиндра е внутренними трещинами // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения. Горький: Изд-во Горьк, гос. ун-та, 1990, С, 55-60
19, Левин В, А, Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах, (Предисловие академика Л,И, Седова)— М,: Наука, Физматлит, 1999, — 223 с,
20, Левин В,А, Нелинейная вычислительная механика прочности в 5 томах (предисловие академика Г.11. Марчука) т,1 Модели и методы. Образование и развитие дефектов, М,: ФИЗМАТЛИТ, 2015 — 454 с,
21, Левин В,А,, Вершинин A.B. Нелинейная вычислительная механика прочности в 5 томах (под общей редакцией В, А, Левина) т, 2 Численные методы, Реализация на высокопроизводительных вычислительных системах, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015 - 543с.
22, Левин В,А,, Морозов K.M. Нелокальные критерии для определения зоны предразрушения при описании роста дефекта при конечных деформациях // Доклады РАН. 2007. Т. 415. № 1. С. 52-54.
23. Левин В.А., Зубов Л.М., Зингерман K.M. Точное решение задачи о нелинейном изгибе составного бруса с предварительно деформированным слоем при конечных деформациях// Доклады РАН, 2015, т. 460, JVS 2, с. 155-158.
24. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. — М,: Наука, 1980. — 512 с.
25. Махутов Н, А, Конструкционная прочность, ресурс и техногенная безопасность, - В двух частях, Новосибирск: Наука, 2005, Часть 1: Критерии прочности и ресурса, - 494 с. Часть 2: Обоснование ресурса и безопасности, - 610 с,
26, Морозов Н, Ф,, Фрейдин А, Б, Зоны фазовых переходов и фазовые превращения упругих тел при различных видах напряженного состояния // Тр. Матем, ин-та им. В, А, Стеклова, Т. 223, — М,: Наука, 1998, — С, 220-232.
27. My. покои P.P., Пшеничнюк А.И., Баимова Ю.А. Демпфирование нано-кристаллических материалов: обзор . Письма о материалах 2015. Т.5. Ж. С.485-490 DOI: 10.22226/2410-3535-2015-4-485-490
28. Мясников В. П. Уравнения движения упругоплаетичееких материалов при больших деформациях // Вестн. ДВО РАН. 1996. JVS 4. С. 8-13.
29. Новожилов В. В., Кадашевич Ю. И. Микронапряжения в конструкционных материалах. — Л.: Машиностроение, 1990. — 222 с.
30. Победря Б, Е,, Шешенин С, В., Холматов Т. Задача в напряжениях, — Ташкент: Изд-во ФАН, 1988, - 197 е,
31. Пиеецкий В,В., Абатурова И,В., Савинцев И,А,, Патрушев К).В.. Чев-дарь С.М., Вершинин A.B., Левин В,А,Оптимизация инженерно-геофизического обеспечения проектов разработки месторождений твердого сырья на основе геомеханических исследований 12th Conference and Exhibition Engineering Geophysics 2016, серия Изыскания под инженерные сооружения и применение геофизики на техногенных объектах, геотехнический мониторинг, с, 444-451
32. Псахье С,Г., Смолин А.К).. Коростелев С.Ю., Дмитриев А,И,, Шиль-ко К.В.. Астафуров СВ. Метод подвижных клеточных автоматов и его применение при моделировании на разных масштабах // Механика — от дискретного к сплошному / А.Н, Андреев и др; Отв. ред. В.М. Фомин; Рос, акад. наук, ('но. отд-ние, Ин-т теоретической и прикладной механики им. С.А. Хрнстиановпча. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2008. Гл. 2. - С. 88-128.
33. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. — М,: Физматгиз, 1962. - 284 с.
34. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. — М,: Наука, 1994. — 528 с.
35. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 2. — М,: Наука, 1994. — 560 с.
36. Тарасьев Г. С., Толокоппиков Л. А. Концентрация напряжений около полостей в несжимаемом материале // Концентрация напряжений. Вып. 1. — Киев: Наук, думка. 1965. — С. 251.
37. Тарасьев Г. С. Конечные деформации упругого изотропного материала // ДАН СССР. 1970. Т. 194, № 4. С. 162-166.
38. Тарасьев Г. С. Об одной оценке «малого» параметра в одной задаче нелинейной теории упругости // Прикл. мех. 1980. Т. 16, JVS 7. С. 137-139.
39. Чернышев С.Л. Новый этап применения композиционных материалов в авиастроении. // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2013. JVS 1. С. 3-10.
40. Четверушкин Б.Н., Шильников Е.В. Вычислительный и программный инструментарий для моделирования трехмерных течений вязкого газа на многопроцессорных системах Ж. вычисл. матем. и матем. физ,, 2008, Т. 8, №2, с. 309-320
41. Antonov A., Voevodin V., Dongarra J., "Algowiki: an Open encyclopedia of parallel algorithmic features"// Journal of Supercomputing Frontiers and Innovations, vol. 2, no. 1, 2015, pp. 4-18.
42. Bailakanavar М.. Fish J., Aitharaju V. ,RodgersW. Coupling of moisture diffusion and mechanical deformation in polymer matrix composites Volume 98, Issue 12, pages 859-880, 2014.
43. Goryacheva I.G., Makhovskava Y. Y. Sliding of a wavy indentor on a viscoelastic layer surface in the case of adhesion. Mechanics of Solids, Allerton Press Inc. (United , 50, № 4, 2015 p.439-450,
44. Kanel G.I. , Razorenov S.V. ,. Fortov V.E. Shock-Wave Phenomena and the Properties of Condensed Matter. Springer, New York, 2004, 320 pp.
45. Kuzmina S,, Karas O,, Ishmuratov F,, Zichenkov M,, Chedrik V. Analysis of static and dynamic aeroelastic characteristics of airplane in transonic flow // В сборнике: 28th Congress of the International Council of the Aeronautical Sciences 2012, ICAS 2012. C. 2081-2090.
46. Levin V. A., Manuylovich I. S,, Markov V. V. Numerical simulation of multidimensional modes of gaseous detonation // Combustion Science and Technology. - 2016. - Vol. 188, no. 11-12. - P. 2236-2249.
47. Levitas V. I., Levin V. A., Zingerman К. M,, Freiman E. I. Displaeive Phase Transitions at Large Strains: Phase-Field Theory and Simulations // Phvs, Rev. Lett. 2009. V. 103. P. 025702.
48. Nozhnitskv Yu, Karimbaev K,, Servetnik A. Numerical simulation of spin testing for turbo machine disks using energy-based fracture criteria. ASME TURBO EXPO, Copenhagen, 2012 [Электронный ресурс].
49. Официальный сайт ООО «Фидесис» [Электронный ресурс] https://eae-fidesvs.com/ru
50. Официальный сайт SimStreamlinedForDesign [Электронный ресурс] https: //www.sim4design.com
REFERENCES
1. Adamov, А.А., Matveenko, V.P., Trufanov, N.A. & Shardakov I.N. 2003, Methods of applied viscoelasticity, UrO RAN, Ekaterinburg.
2. Aksenov, A.A., Zhluktov, S.V., Kudimov, N.M., Son, E.E., Savitskv, D.V., Tretvakova & O.N., Shishaeva, A.S. 2014, "Investigation of heat transfer in power transformers large capacity taking into account the design features ensuring explosion safety", Izvestiya RAN. Power Engineering, no. 1, pp. 102-111.
3. Alvmov, M.I. 2007, Powder metallurgy of nanocrystalline materials, Nauka, Moscow.
4, Baryakh, A,A,, Samodelkina, N.A, & Pankov, I.L. 2012, "Destruction of waterproof strata in large-scale mining operations. Part 1", Phys.-Tech. problems of mining, no, 5,
5, Bakhvalov, N.S., Zhidkov, N.P, & Kobelkov, G.M, 2001, Numerical methods, Fizmatlit, Moscow,
6, Belykh, S.V., Bormotin, K.S., Burenin, A,A,, Kovtanyuk, LA7, & Prokudin, A.N, 2014, "On large isothermal deformations of materials with elastic, viscous and plastic properties", Vestnik Chuvashskogo Gosudarstvennogo Pedagogicheskogo Universiteta im. I. Ya. Yakovleva. Series: Mechanics of the Ultimate State, no. 4 (22), pp. 144-156.
7, Blokh, V.I. 1964, Theory of Elasticity, Kharkov University, Kharkov.
8, Bondar ,V,D, 2000, "Averaged rotations for a finite plane deformation", Prikl. mech. and techn, vol. 41, no. 3, pp. 187-196.
9, Vasilevskv, Yu.V., Danilov, A.A., Lipnikov, K.N. & Chugunov, V.N. 2016, Nonlinear computational 'mechanics of strength in 5 volumes (under the general editorship of VA Levin). Vol. 4- Automated technologies for constructing unstructured computed grids (foreword by Prof. VA Levin), Fizmatlit, Moscow.
10. Georgievsky, D.V. & Pobedrva, B.E. 2002, "On the concept of stability of deformation in elastic and viscoelastic models", Izvestiya RAN. Mechanics of a solid body, no 4, pp. 46-56
11. Gorbachev, V.I. & Pobedrva, B.E 1985, "About some criteria of destruction", Izvestiya Armyanskoy SSR, vol. 38, no. 4, pp. 30-37.
12. Guz', A.N., Roger, A. A. & Guz', I. A. 2005, "On the construction of the theory of destruction of nanocomposites under compression", Prikl. mech., vol. 41, no. 3, pp. 3-29.
13. Indevtsev, D.A., Naumov, V.N. & Semenov, B.N. 2007, "Dynamic effects in materials with a complex structure", Izvestiya RAN. Mechanics of a solid body. no. 5, pp. 17-39.
14. Klimov, Y.A., Shvorin A.B., Khrenov, A.Y., Adamovich, I.A., Orlov, A.Y., Abramov, S.M., Shevchuk, Y.V. & Ponomarev, A.Y. 2015, "Web: highspeed communication network", Software systems: theory and applications: electronic scientific journal, vol. 6, no. 1 (24), pp. 109-120.
15. Kondaurov, V.I. & Petrov, I.B. 1985, "Calculation of the processes of dynamic deformation of elastoplastic bodies with allowance for continual destruction", DAN USSR, vol. 285, no. 6, pp. 1344-1347.
16. Kulikovskii, A.G. & Sveshnikova, E.I. 1998, Nonlinear waves in elastic media, Moscow Lyceum, Moscow.
17. Krivtsov, A.M. 2007, Deformation and destruction of solids with micro structure, Fizmatlit, Moscow.
18. Lavit, I.M. & Tolokonnikov L.A. 1990, "Thermoelastoplastic problem of fracture mechanics for a hollow cylinder with internal cracks", Applied problems of strength and plasticity. Methods of solution, pp. 55-60.
19. Levin, V.A. 1999, Multiple imposition of large deformations in elastic and viscoelastic bodies. (Foreword by Academician LI Sedov), Fizmatlit, Moscow.
20. Levin, V.A. 2015, Nonlinear computational 'mechanics of strength in 5 volumes (preface by Academician GI Marchuk), vol.1 Models and methods. Education and development of defects, Fizmatlit, Moscow.
21. Levin, V.A. & Vershinin, A.V. 2015, Nonlinear computational 'mechanics of strength in 5 volumes (under the general editorship of VA Levin), vol. 2 Numerical methods. Implementation on high-performance computing systems, Fizmatlit, Moscow.
22. Levin, V.A. & Morozov, E.M. 2007, Nonlocal criteria for determining the pre-destruction zone in describing defect growth at finite deformations, Reports of the Russian Academy of Sciences, vol. 415, no 1, pp. 52-54.
23. Levin, V.A,, Zubov, L.M. & Zingerman, K.M. 2015, Exact solution of the problem of nonlinear bending of a composite bar with a previously deformed layer under finite deformations, Doklady RAN, vol, 460, no, 2, pp. 155-158,
24. Lur'e, A.I. 1980, Nonlinear theory of elasticity, Nauka, Moscow.
25. Makhutov, N. A. 2005, Structural strength, resource and technogenic safety. -In two parts. Novosibirsk: Science. Part 1: Criteria of Strength and Resource. Part 2: Justification of the resource and safety, Nauka, Novosibirsk.
26. Morozov, N.F. & Freidin, A.B. 1998, "Zones of Phase Transitions and Phase Transformations of Elastic Bodies for Various Types of Stress State", Tr. Matem.In-ta vm.V.A.Steklova,vol. 223, pp. 220-232.
27. Mulvukov, E.E., Psheniehnvuk, A.I., & Baimova, Y.A. 2015, "Damping of nanoervstalline materials: a review", Letters on 'materials, vol.5, no 4, pp. 485-490, DOI: 10.22226 / 2410-3535-2015-4-485-490.
28. Mvasnikov, V.P. 1996, "Equations of motion of elastoplastic materials for large deformations", Vestn. DVO RAN, no 4, pp. 8-13.
29. Novozhilov, V.V. & Kadashevich, Y. I. 1990, Microvoltage in structural materials, Mechanical Engineering, Leningrad.
30. Pobedrva, B.E,, Sheshenin, S.V, & Kholmatov, T. 1988, The problem in stresses, FAN, Tashkent.
31. Pisetskiv, V.B., Abaturova, I.V., Savintsev, I.A., Patrushev, Y.V., Chevdar, S.M., Vershinin, A.V. & Levin, V.A. 2016, "Optimization of engineering and geophysical support for development projects deposits of solid raw materials on the basis of geomechanical studies", 12th Conference and Exhibition Engineering Geophysics 2016, a series Research of engineering structures and application of geophysics on man-made objects, geotechnical monitoring, pp. 444-451
32. Psakhier, S.G., Smolin, A.Y., Korostelev, S.Y., Dmitriev A.I., Shilko E.V. & Astafurov, S.V. 2008, "The method of mobile cellular automata and its application in modeling on different scales", Mechanics - from discrete to continuous, ch. 2, pp. 88-128.
33. Sedov, L.I. 1962, Introduction to Continuum Mechanics, Fizmatgiz, Moscow.
34. Sedov, L.I. 1994, Continuum Mechanics, vol. 1, Nauka, Moscow.
35. Sedov, L.I. 1994, Mechanics of a continuous medium, vol. 2, Nauka, Moscow.
36. Tarasiev, G.S. & Tolokonnikov, L.A, 1965, "Concentration of stresses near cavities in an incompressible material", Concentration of stresses, vol. 1.
37. Tarasiev, G.S. 1970, "Finite deformations of an elastic isotropic material", DAN USSR, vol. 194, no. 4, pp. 162-166.
38. Tarasiev, G.S. 1980, "On an estimate of a small parameter in a problem in the nonlinear theory of elasticity Prikl. mech, vol. 16, no. 7, pp. 137-139.
39. Chernvshev, S.L. 2013, "A new stage in the use of composite materials in the aircraft industry", Problems of mechanical engineering and automation, no. 1, pp. 3-10.
40. Chetverushkin, B.N. & Shilnikov E.V. 2008, "Computing and software tools for modeling three-dimensional flows of viscous gas on multiprocessor systems", Zh. vychisl. math, and math, fiz., vol. 8, no. 2, pp. 309-320.
41. Antonov, A., Voevodin, V. & Dongarra, J. 2015, "Algowiki: an Open encyclopedia of parallel algorithmic features Journal of Supercomputing Frontiers and Innovations, vol. 2, no. 1, pp. 4-18.
42. Bailakanavar, M,, Fish, J., Aitharaju, V. & Eodgers, W, 2014, "Coupling of moisture diffusion and mechanical deformation in polymer matrix composites", vol. 98, no 12, pp. 859-880.
43. Gorvacheva, I.G. & Makhovskava, Y.Y. 2015, "Sliding of a wavy indentor on a viscoelastic layer surface in the case of adhesion", Mechanics of Solids, vol. 50, no 4, pp. 439-450.
44. Kanel, G.I., Razorenov, S.V. & Fortov V.E. 2004, Shock-Wave Phenomena and the Properties of Condensed Matter, Springer, New York.
45. Kuzmina, S,, Karas, O,, Ishmuratov, F,, Ziehenkov, M. & Chedrik, V. 2012, "Analysis of static and dynamic aeroelastic characteristics of airplane in transonic flow", 28th Congress of the International Council of the Aeronautical Sciences, ICAS 2012, pp. 2081-2090.
46. Levin, V.A., Manuvlovich, I.S., Markov, V.V. 2016, "Numerical simulation of multidimensional modes of gaseous detonation", Combustion Science and Technology, vol. 188, no. 11-12, pp. 2236-2249.
47. Levitas, V. I., Levin, V. A., Zingerman, К. M,, Freiman, E. I. 2009, "Displaeive Phase Transitions at Large Strains: Phase-Field Theory and Simulations", Phys. Rev. Lett., vol. 103, pp. 025702.
48. Nozhnitskv, Y,, Karimbaev, K,, Servetnik, A. 2012, "Numerical simulation of spin testing for turbo machine disks using energy-based fracture criteria", ASME TURBO EXPO, Copenhagen.
49. Available at: https://cae-fidesvs.com/ru
50. Available at: https://www.sim4design.com
Получено 19.05.2017
принято в печать 14.09.2017
