Об одной нестационарной задаче образования концентратора напряжений в нагруженном теле из несжимаемого вязкоупругого материала. Конечные деформации и их перераспределение Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1689-1690 1689

УДК 539.3,539.4,519.6

ОБ ОДНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧЕ ОБРАЗОВАНИЯКОНЦЕНТРАТОРА НАПРЯЖЕНИЙ В НАГРУЖЕННОМ ТЕЛЕ ИЗ НЕСЖИМАЕМОГО ВЯЗКОУПРУГОГО МАТЕРИАЛА. КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И ИХ ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ

© 2011 г. Г.Е. Пекарь

Московский госуниверситет им. М.В. Ломоносова

[email protected]

Поступила в редакцию 15.06.2011

Рассматривается нестационарная плоская задача об образовании отверстия круговой формы в нагруженном теле из несжимаемого вязкоупругого материала. Считается, что форма концентратора напряжений задается в момент образования. Учитывается, что образование концентратора напряжений приводит к нестационарному перераспределению в теле конечных деформаций («физическому» наложению конечных деформаций). Для постановки задач используется теория многократного наложения больших деформаций. Материал моделировался с помощью определяющих соотношений со слабосингулярным ядром [1]. При численном моделировании для расчета интеграла из вязкоупругих определяющих соотношений использовался метод с разложением в ряд Прони. На основе данного подхода реализован программный модуль для САЕ-пакета на основе метода конечных элементов - Fidesys [2] и задача решена для различных значений шага по времени и пространственных сеток.

Ключевые слова: конечно-элементный расчет, теория упругости, вязкоупругость, ряд Прони, большие деформации, наложение конечных деформаций, несжимаемый материал.

Механическая постановка задачи

Основные положения теории многократного наложения больших деформаций следующие [3, 4]:

— уравнение движения в координатах текущего состояния

к к д2 у

V- [(1 + А0,к)—1Е0,л - Ъп] = рк -т1, (1)

Г(') =

А ехр(—[3'т)

(2)

д'2

Рк =

р0

1 + А0,к

— граничные условия на границе отверстия:

кк Nn -Е0,П

= 0,

на внешней границе пластины:

О0,п ~ = О0,п-

Определяющие соотношения для несжимаемого вязкоупругого материала [1]:

Е0,п = — Т(^0,п : I)^0,П ^ — 1

3

0,п'

где ц — интегральный оператор вида

Ц[ф(')] = Ц 0

ф(') — | Г(' — т)ф(т) Жт

Если разложить интеграл в формуле (2) в ряд вида Г(') = Е а,е~а- (ряд Прони [5]), то его вычисление можно произвести по рекуррентной формуле:

I(п+1) - АЕ (а,е"(р+а- — 'п) 1'п) + Аф(?*)Jn,

где

Гп = | е_(в+а'' )('п—т)ф(т)Л~5 =

=е

—(Р+а,- )('п — 'п—1) Т'

'К —1 + Ф('п )

1 — е

-(Р+а,- )('п —'п—1)

р+а,

Ф('* ) = Ф('п ) + Ф('п —1)

Jn = а—7 (Г[у ] — Г[у, а('п+1 —'п)]), Г[у] = |' —Ж, Г[ у, х] = |' —Ж

Результаты

Отверстие образовывалось в растянутой по вертикали (О „= 0.1) однородной несжимае-

г

1690

Г.Е. Пекарь

мой вязкоупругой пластине в момент времени t = = 1.00.

Для моделирования использовались значения констант ц0 = 1, т = 1, а = 0.016, в = 0.001 е-т, А = = 0.0155 раста = 0.0139, которые соответствуют по-лидиенэпоксиуретану.

На рис. 1 представлено распределение первой главной компоненты тензора истинных напряжений в момент времени t =1.03 с.

,0.2

С ) I

Г

-0.01021

Рис. 1

На рис. 2а отображены материальные точки, для которых строилось значение напряжений от времени. На рис. 2б представлен график для этих

точек для разных шагов по времени.

Автор благодарит профессора В. А. Левина за постановку задачи и внимание к ее выполнению.

Работа выполнена при частичной поддержке Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере, корпорации «nVidia».

Список литературы

1. Адамов А.А., Матвеенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. 411 с.

2. www.saldlab.com

3. Левин В.А., Калинин В.В., Зингерман К.М., Вершинин А.В. Развитие дефектов при конечных деформациях. Компьютерное и физическое моделирование. М.: Физматлит; 2007. 392 с.

4. Levin V.A., Vershinin A.V. Non-stationary plane problem of the successive origination of stress concentrators in a loaded body. Finite deformations and their superposition // Communications in Numerical Methods in Engineering. 2008. V. 24.

5. Beylkin G., Monzyn L. On approximation of functions by exponential sums // Applied and Computational Harmonic Analysis. 2005. V. 19. P. 17-48.

ON A NON-STATIONARY PROBLEM OF THE ORIGINATION OF A STRESS CONCENTRATOR

IN A LOADED SOLID MADE OF INCOMPRESSIBLE VISCOELASTIC MATERIAL. FINITE STRAINS

AND THEIR REDISTRIBUTION

G.E. Pekar

A non-stationary problem of the origination of a circular hole in a 2D solid made of viscoelastic material is considered. It is supposed that the shape of the stress concentrator is given at the moment of its origination. It is taken into account that the stress concentrator origination leads to a non-stationary redistribution of finite strains («physical» superposition of finite strains) in a solid. The theory of repeated superposition of large deformations is used to formulate the problems. Adamov's constitutive relations are taken for material modeling. While numerical modeling method of Prony series expansion was applied for computing integral in viscoelastic constitutive relations. Prony method was used for Prony series expansion. Based on this approach, the software module for finite element CAE-package - Fidesys was implemented. Using the developed module the problem was solved for various time steps and meshes.

Keywords: finite element analysis, theory of elasticity, viscoelasticity, Prony series, large deformations, superposition of finite strains, incompressible material.