CC BY
331
Инвестиционная политика
УДК 330.322.01
ТЕОРИЯ И МОДЕЛИ ИНВЕСТИЦИЙ
в.а. царьков,
кандидат технических наук, старший научный сотрудник, начальник аналитического управления E-mail: VATsarkov@bfgbank.ru ООО «КБ БФГ-Кредит»
Исследование посвящено обзору моделей инвестиций. Целью обзора является исследование общепринятых моделей и новой инновационной модели оценки эффективности инвестиционных проектов на принципе заемного капитала.
В первой части рассмотрены две экономико-математические модели расширенного воспроизводства капитала: с дискретным циклом и непрерывным воспроизводством капитала. В работе показано, что процесс дисконтирования инвестиций по существу отражает формирование траектории роста капитала в результате регулирующего воздействия положительной обратной связи в экономической системе расширенного воспроизводства капитала. Исследована взаимосвязь динамики роста капитала с формулой дисконтирования.
На основе общепринятого метода оценки эффективности инвестиций проведен анализ простого проекта с инвестицией (покупки актива) в начале проекта и поступлением дохода (от продажи актива) в конце проекта. Общепринято оценивать эффективность проекта на основе параметра чистой приведенной стоимости - NPV (Net Present Value) и внутренней нормы доходности - IRR (Internal Rate of Return). Общее правило NPV: если NPV > 0, то проект принимается. Общее правило IRR: если IRR > r, то проект принимается. Эти правила просты и универсальны. В этом их достоинство и их недостаток. Но они не дают ответа на вопрос: какова на самом деле величина дохода инвестора в денежном выражении? В статье исследована новая, инновационная модель оценки проекта на принципе заемного капитала. Новая модель основана на разделении валового дохода по проекту на доход инвестора и процентный расход по займу.
Теоретическим результатом исследования является математическое доказательство следующего утверждения: IRR - это ставка по кредиту, при которой весь валовой доход инвестиционного проекта расходуется на оплату процентов по привлечению заемного капитала. Практическим результатом является создание универсальной модели в виде финансового портрета проекта в программной среде Excel.
Ключевые слова: модель, капитал, инвестиция, теория, денежный поток, стоимость, дисконт, доход
Введение
Экономико-математические модели инвестиций играют важную роль в теории воспроизводства капитала, оценке стоимости компании, активов, в принятии управленческих решении о путях развития бизнеса компании, а также для решения многих других задач экономики.
Модели инвестиций широко применяются в экономической теории и практике и отличаются большим разнообразием. Поэтому неудивительно, что по этому вопросу регулярно публикуются многочисленные статьи и многостраничные монографии, учебные пособия, например [2, 4, 9].
С переходом России к рыночной экономике заново возник вопрос оценки экономической эффективности инвестиции. Первое, что было сделано, - это ознакомление с практикой западных экономистов и выпуск брошюр, учебных пособий
с изложением зарубежных критериев и методов расчета эффективности инвестиционных проектов [3, 13, 20]. Наработки ученых советского времени были отложены в сторону или попросту будто забыты. Изменилась и терминология. Вошли в обиход такие термины:
- текущая (современная) стоимость (present value, PV);
- будущая стоимость (future value, FV);
- чистая современная стоимость (net present value, NPV);
- чистая будущая стоимость (net future value, NFV);
- внутренняя норма доходности (internal rate of return, IRR);
- индекс рентабельности - индекс доходности (benefit - cost ratio, profitability index, PI).
Все указанные термины связаны с вычислением в финансовых расчетах методом приведения (дисконтирования) капитальных вложений и единовременных затрат K, произведенных в момент времени t, к эквивалентной величине капитала Kp в расчетном году t Эквивалентная величина капитала считалась сопоставимой с инвестициями, производимыми в расчетном году.
Приведение выполняется путем умножения Kt на дисконтный множитель (коэффициент дисконтирования) X(t) = (1 + r)*" -t, где r - ставка дисконта, или, иначе, коэффициент приведения:
Кр = К X(t) = К X(t) = (1 + г )р . (1)
Эта формула сложных процентов с возвращением в советское общество рыночных отношений овладела умами миллионов бизнесменов, банкиров, рыночных торговцев, рядовых граждан и пенсионеров. Как оценить результат от инвестиций денежных средств? Куда вложить свои сбережения? Каков будет их рост при вложении в акции или в тот или иной банк? Эти вопросы побудили в кратчайшие сроки миллионы граждан России обучиться элементарным основам воспроизводства денежного капитала.
Использованию формулы сложных процентов большое внимание уделено и в среде ученых-экономистов. Начиная с 1920-х гг. сотни статей в научной литературе посвящены выяснению экономической природы ставки дисконта r, его взаимосвязи с коэффициентом эффективности капитальных вложений E.
Приведенная формула рекомендована для определения влияния временного фактора в расчетах экономической эффективности при создании и
внедрении новой техники [3]. Тем не менее существовали разногласия среди экономистов в трактовке понятий ставки дисконтирования r (или в ином обозначении - коэффициента приведения En) и нормативного коэффициента эффективности E Одни авторы обращали внимание на различие в размерности этих величин и доказывают неравенство их по абсолютному значению [10, 11]. Другие склонялись к выводу о единой природе этих коэффициентов и равенстве их по величине и размерности [1, 5, 8].
По мнению автора, в научной литературе не пытались объяснить отсутствие согласования размерности в уравнении сложных процентов. При применении формулы (1) в финансовых расчетах величина в скобках получается в результате сложения безразмерной единицы с процентной ставкой дисконта r (interest rate), имеющей размерность процента годовых - %/ год. Указывая, что в формуле сложных процентов показатель степени измеряется в единицах времени, многие авторы не объясняли, почему размерность времени может не приниматься во внимание в расчетах с дисконтированием затрат и доходов.
Уравнения, полученные из экономической модели расширенного воспроизводства капитала на основе методов теории автоматического регулирования, позволяют ответить на эти вопросы [15, 16, 18]. В указанных работах развивается идея моделирования инвестиционных проектов с позиций теории динамики воспроизводства капитала, разработанной на основе методов теории систем автоматизированного регулирования.
Процесс оборота капитала в экономике в этих работах представлен в виде системы с положительной обратной связью, обладающей свойством саморазвития. Этот процесс при определенной величине коэффициента обратной связи, в качестве которого выступает доля капитализируемой прибыли, обеспечивает самовозрастание капитала. Таким образом, с одной стороны, устанавливается связь величины инвестируемого капитала, вложенного в текущий момент, с величиной капитала, полученного в будущий момент.
С другой стороны, общепринято в экономической практике определять будущую стоимость капитала K,, инвестируемого в текущий момент в объеме K0, методом приведения (дисконтирования) c использованием формулы сложных процентов: Кt = КоМО = Ко (1 + г Г°. (2)
В работе дан обзор моделей оценки эффективности инвестиций капитала. Показано, что процесс
дисконтирования инвестиций по существу отражает формирование траектории роста капитала в результате регулирующего воздействия положительной обратной связи в экономической системе расширенного воспроизводства капитала.
Новым в работе является исследование модели инвестиционного проекта с применением финансового портрета инвестиционного проекта.
К научным и практическим результатам автор относит исследование новой, инновационной модели инвестиционного проекта с заемным капиталом, позволившее разделить валовой доход по проекту на доход инвестора и процентный расход на привлечение капитала.
Основы теории роста капитала
Дискретная модель расширенного воспроизводства капитала. Модель воспроизводства капитала должна учитывать по крайней мере три исходных момента: оборот капитала, инерционность процесса (время оборота капитала) и увеличение стоимости капитала [18]. Будем учитывать инерционность воспроизводства в виде производственного цикла с чистым запаздыванием - длительностью тц, куда войдут длительность производства и реализации продукции.
Предположим, на вход такой системы в момент ¿0 поступает начальный капитал К0. В конце каждого цикла получим приращение капитала Лц. Это приращение будет пропорциональным доле Р от прибыли у , получаемой в конце цикла:
Л = Ру.
цц
Очевидно, годовая прибыль уп будет пропорциональна частоте циклов
1 У
Л =—> уп = ^ Уп =—.
Тц т„
В результате можно записать:
у = у т ^Л = Ру т .
У ц У п ц ц ГУ п ц
В свою очередь годовая прибыль с капиталом К0 связана соотношением: уп = ЕК, где Е - рентабельность капитала. Таким образом, прирост капитала в конце производственного цикла можно вычислить из уравнения
Л = ВЕКт .
цц
В конце первого цикла капитал производственной системы возрастет до величины К1:
Кх = К0 +Лц ^
^Кг = К0 +рЕК0тц ^ ^ Кг = К0( 1 + Р£тц ).
В конце второго цикла получим:
К2 = + Р£тц ) ^
^ К2 = + )2.
В конце третьего цикла капитал возрастет до следующей величины:
К, = ^(1 + Р Е тц )3.
Очевидно, в конце цикла с номером п = ^ / тц будем иметь следующее уравнение: Кп = К0( 1 + Р£тц )'.
Оно отображает процесс роста капитала в производственном процессе на основе дискретного цикла. Обязательным условием такого роста является капитализация части прибыли р. При отсутствии такой капитализации (Р = 0) капитал остается на прежнем уровне.
Если рентабельность капитала равна нулю (Е = 0), капитал также останется на прежнем уровне. Будет выполняться равенство Кп = К0. Введем обозначение г = Р-£Гц и примем цикл капитализации равным одному году: тц = 1 год. В результате уравнение роста капитала примет следующий вид: К = Ко (1+г у.
Как видно, уравнение роста капитала преобразовалось в широко применяемое уравнение сложных процентов, в котором время равно номеру года. Иначе говоря, формула сложных процентов отображает процесс роста капитала с циклом, равным одному году
Непрерывная модель расширенного воспроизводства капитала. В экономике капитал является движущей силой, генерирующей во времени финансовые и материальные потоки. Капитал, инвестируемый в экономическую систему, будь это производственное или торговое предприятие или финансовая компания, так или иначе генерирует прибыль, часть которой капитализируется. В обобщенном виде такая система на основе методов теории автоматического регулирования представляется в виде операторной блок-схемы, охваченной положительной обратной связью [15].
Блок-схема модели на рис. 1 представляет собой систему с положительной обратной связью в пространстве изображений по Лапласу [12, 15]. На вход системы поступает в момент ^0 капитал K0. Выходным вектором является поток прибыли Уп (руб./год).
Блок-схема содержит три операционных звена. Оператор с коэффициентом передачи Ж = E, оператор интегрирования Ж = 1 / 5 и оператор
AK
К,
Q-
П 1/5
K t
E
Л
Рис. 1. Блок-схема динамической модели воспроизводства капитала в экономике
с пропорциональным коэффициентом передачи Ж = р. Поток прибыли в соответствии с блок-схемой связан с капиталом соотношением:
у = EKt.
•'п I
Накопленная прибыль определяется нарастающим итогом на выходе оператора интегрирования:
Г=1
п Уп
s
Часть накопленной прибыли, пропорциональная коэффициенту в, капитализируется, т.е. суммируется с начальным капиталом:
ЛК = в?„.
Текущая величина капитала равна сумме: К, = К0 +ЛК.
Из совместного решения последних четырех уравнений относительно Kt определим уравнение изображения капитала Kt(s) в пространстве изображений по Лапласу:
Р
Kt (s) = К0 + АК = К0 +РГЯ = К0
-Уи =
= к0
ß К
Kt.
После преобразования этого уравнения запишем равенство:
кМ-М
=К
откуда определим
Kt (s) = К0
(3)
s -рЕ
Решение будем искать при условии подачи капитала скачком с амплитудой K0.
В пространстве изображений это условие отображается уравнением К0 (5) = К0 / 5 [15].
В результате подстановки этого равенства в уравнение (3), получим
К, (*) = К(1 -1—. s -рЕ
Этому уравнению в пространстве изображений соответствует следующая функция в пространстве времени [15]:
К ^) = К0ерЕ ). (4)
Таким образом, после инвестирования капитала объемом К0 в экономическую систему, генерирующую прибыль с эффективностью (рентабельностью) Е процента годовых и капитализацией прибыли по ставке в процентов от общей суммы прибыли, капитал в системе будет расти по экспоненте с темпом роста ю = вЕ. Преобразуем уравнение (4), заменив Е выражением, полученным из равенства
Е = = (5)
КУр Тоб
где ур - поток расходов в системе;
Р = Уп / Ур - рентабельность системы; тоб = К, / ур - время оборота капитала в системе. После подстановки выражения (5) в уравнение (4) получим
Рр ^
К (0 = К0е (6)
В этом уравнении показатель степени безразмерен, так как размерность параметра времени в числителе сокращается размерностью времени оборота тоб в знаменателе.
Из последней формулы следует, что темп экспоненциального роста капитала ю равен
РЕ = вр / Тоб. (7)
Отсюда следует, что темп роста капитала в экономической системе зависит от трех параметров: величины рентабельности, времени оборота капитала и коэффициента капитализации прибыли. Все три параметра оказывают существенное влияние на траекторию роста капитала. При нулевом значении коэффициента капитализации прибыли рост капитала также будет равен нулю. Такой же результат будет и при нулевой рентабельности по затратам.
Взаимосвязь динамики роста капитала с формулой дисконтирования. Уравнение роста капитала можно представить в виде произведения начальной величины инвестируемого капитала на коэффициент дисконтирования Х( ,):
Рр ^
К ^) = К0е = К0хи).
Представим функцию Х(,) с разделением показателя степени на две части:
,РР\ Тоб
X(t) = К = (ep
К
)
Выражение еРр разложим в ряд Маклорена. Оставим первые два члена ряда, в результате без
s
s
существенной погрешности можем записать:
еРр = 1 + рр.
Коэффициент дисконтирования теперь примет следующий вид:
t -to
(8)
) = (1 + $р) * . Введем обозначение:
г = Рр. (9)
После подстановки выражения (9) в уравнение (8) получим формулу, аналогичную формуле коэффициента дисконтирования (2), но с безразмерной
величиной в показателе степени:
t-to
К( = КоX(t) = К0 (1 + г) (10)
Таким образом, в экономической системе расширенного воспроизводства капитал наращивается по формуле, аналогичной формуле сложных процентов. Однако отличие полученного выражения от обычной формулы сложных процентов заключается в присутствии в показателе степени времени оборачиваемости капитала тоб, что делает степень безразмерной величиной. При этом ставка дисконта и показатель степени приобрели четкий экономический смысл с позиции экономической системы расширенного воспроизводства капитала.
Время в уравнении (10) может принимать любые непрерывно изменяющиеся значения. Ограничением является только необходимость измерения периода в тех же единицах измерения, что и время оборота капитала.
Ставка дисконта, как следует из обозначения
(9), также является безразмерной величиной. Действительно, величины р ир не имеют размерности. Таким образом, в уравнении (10) выражение в скобках также является безразмерной величиной.
Ставка дисконта может быть вычислена через рентабельность капитала, если воспользоваться соотношением Е = р / тоб. После замены г в уравнении
(10) с учетом этого равенства получим:
г = р£тоб =рр,
Х(Г) = (1 + р£тоб) .
Как уже отмечалось, траектория роста капитала в экономической системе зависит от трех факторов: доли капитализируемой прибыли, рентабельности капитала и времени его оборачиваемости. Максимальная крутизна траектории роста капитала обеспечивается, если р = 1. Ставка дисконта при этом условии будет равна р = Етоб. Теперь, приняв тоб = 1 году, получим формулу дисконтирования, полностью совпадающую с формулой сложных
процентов (2), применяемую для сопоставления произвольных потоков платежей в инвестиционных проектах.
Камнем преткновения в экономической теории являлась проблема взаимосвязи ставки дисконта (коэффициента приведения) с коэффициентом эффективности капитальных вложений.
Западные экономисты пошли по сугубо прагматическому пути. Поскольку заемные средства дают рост капитала в размере процентной ставки, то ставку дисконтирования, недолго думая, к ней и приравняли. Однако экономический смысл г и процентной ставки Е принципиально разный, и ни в коем случае нельзя считать верным равенство г = Е. Правильным будут следующее равенство: г = Е х 1 год. Ставка дисконта при выполнении условия тоб = 1 году становится равной коэффициенту эффективности использования капитала (рентабельности капитала) только по абсолютной величине.
В общем случае коэффициенты г и Е, как видно, различаются и по размерности, и по величине. Различие вытекает из разницы в экономической сущности этих параметров. Так, нетрудно убедиться в справедливости уравнения
r = -
К(t + тоб) - К(t) К (t)
Таким образом, г - безразмерная величина, показывающая относительный прирост ресурсов, в частности капитала, за период оборачиваемости в условиях расширенного воспроизводства. Рентабельность капитала Е, как уже отмечалось, - размерная величина. Она равна отношению потока прибыли, имеющей размерность - руб./год, к текущей величине капитала, имеющей размерность - руб.
Экономическое содержание формулы приведения затрат к расчетному году определяется механизмом процесса расширенного воспроизводства капитала, обеспечивающим рост стоимости (величины) капитала во времени.
При отсутствии условий для расширенного воспроизводства, т.е., если выполняется равенство р = 0, будем иметь г = 0. Тот же результат получим и в случае, если Е = 0, т.е. для нерентабельного производства, когда прибыль равна нулю.
Нормативная траектория экономического роста. Две экономические системы могут иметь разные траектории роста капитала. Возникает вопрос, как осуществить сравнение этих траекторий.
В технике для сравнения физических параметров производится их измерение с помощью
5
4
3
2
1
0
0
эталонов единиц. Очевидно, среди множества траекторий роста можно выбрать такую, которая будет служить в качестве своеобразного эталона. Ее мы назовем нормативной траекторией.
Идентификацию такой траектории можно осуществить с помощью определенного параметра. Им может служить рентабельность капитала Е, если будет выполнено условие р = 1. Обозначим величину Е символом Ен. Выбранному значению Ен должна соответствовать единственная траектория экспоненциального роста. Если заранее взять р = 1, нормативное значение Ен однозначно будет связано с некоторой единственной траекторией экономического роста.
МО = К, / К0 = (Мо). (11)
Целесообразно обеспечить траекторию роста конструируемой экономической системы в некотором смысле лучшую, чем нормативная с заданной величиной Ен. Если система будет иметь Е > Ен, это будет означать, что система имеет более высокий темп роста, и ее траектория будет расположена выше нормативной.
В экономической практике для оценки роста капитала со временем обычно используется формула сложных процентов. Обозначим нормативную величину рентабельности капитала Е через Ен, а нормативную величину г через гн. Очевидно, выбор значений Ен и гн не может быть сделан произвольно, так как параметры Е и г взаимосвязаны определенным соотношением (7). Для расчета нормативной траектории воспользуемся этим уравнением и в результате получим:
МО = К, / = (1 + тоб) Х°в . (12)
Таким образом, взяв за норму Е = Ен, получаем множество траекторий роста по формуле сложных процентов, различающихся коэффициентом капитализации прибыли р и временем оборачиваемости тоб.
На начальном временном участке функция (12) в первом приближении может быть вычислена по формуле простых процентов:
Ц() = К, /К0 = 1 + Ен(, -д. (13)
Ее также в принципе можно использовать в качестве нормативной траектории, однозначно
Относительный рост К,/Ко
7
6
Год
2 4 6 8 10 12
Экпоненциальный рост —X— Процентный с то6 = 2 года Процентный с то6 = 1 год ^— Линейный рост
Рис. 2. Графики относительного роста капитала
определяемой коэффициентом эффективности капитальных затрат.
На рис. 2 представлены графики относительного роста капитала МО, вычисленные по экспоненте в соответствии с выражением (11), по формуле сложных процентов (12) и по формуле простых процентов (13).
Для всех траекторий Ен = 15% / год. Траектории по формуле сложных процентов построены для времени оборота капитала тоб = 1 год и тоб = 2 года.
Каждая из четырех траекторий может претендовать на роль эталона для сравнительной оценки динамики роста экономических систем. Но только две из них однозначно определены одним параметром Ен: траектория, возрастающая по экспоненте в соответствии с формулой (11), и траектория пропорционального (линейного) роста в соответствии с формулой (13). Тем не менее исторически сложилось так, что в экономической практике, как правило, применяется формула сложных процентов при фиксированной величине времени оборачиваемости тоб = 1 год и р = 1 . В этом случае выбор нормативной величины характеризует траекторию роста с коэффициентом МО:
) = (1 + Ен ) Л
Тэ Тп Tn
5%
15%
25% %/год
35%
50%
Рис. 3. Зависимость времени удвоения капитала от ставки дисконта
где в показателе степени и в ставке дисконта должна присутствовать тоб = 1, но для простоты не приводится, так как не изменяет количественного результата.
Именно этот коэффициент общепринято применять в качестве коэффициента дисконтирования, т.е. приведения разновременных затрат и капвложений к расчетному году. Коэффициент дисконтирования, как видим, учитывает динамику изменения роста капитала с заданной, нормативной траекторией роста, определяемой значением коэффициента Е при условии тоб = 1 год и в = 1.
Таким образом, в качестве эталона при измерении динамики роста капитала в экономике можно выбрать три вида траектории роста, которые однозначно связаны с величиной эффективности Е. Для краткости назовем траектории так:
• определяемую формулой (11) - экспоненциальной;
• определяемую формулой (12) - процентной;
• определяемую формулой (13) - линейной.
Допустим, рост капитала происходит в соответствии с одной из траекторий нормативного роста с фиксированным значением эффективности Е. Сравним время Т = t - t0, за которое текущая величина капитала достигнет величины 2К0. Этот период, называемый периодом удвоения, несложно вычислить из уравнений (11)—(13):
Тэ = 1п2/ Е,
Тп = 1п 2 / 1п(1 + Е),
Тл = 1/Е.
Как следует из последнего уравнения, период удвоения в линейной траектории совпадает с общепринятым в экономической теории периодом окУпаемости вложений капитала в системе просто-
го воспроизводства капитала. Речь идет именно о совпадении.
Действительно, если просуммировать в такой системе прибыль у = ЕК0 за период Т то получим накопленную прибыль у = ЕК0Тл. Теперь, приравняв У = К0, получим Тл = 1 / Е. Таким образом, сложив накопленную прибыль У с начальным капиталом К0, получим удвоение. Но это удвоение (рост прибыли) не увеличивает собственного капитала самой системы. В такой системе обратная связь, обеспечивающая рост капитала, разомкнута, в результате прибыль не капитализируется.
Графики зависимости времени удвоения от величины ставки дисконта представлены на рис. 3.
Графики для экспоненциального и процентного роста почти совпадают. Время удвоения в линейной траектории существенно выше по сравнению с другими двумя траекториями (см. рис. 3).
Траектории экспоненциального и процентного роста описывают самовозрастание капитала с капитализацией прибыли экономической системы. Формулы роста капитала с процентной ставкой дисконта широко применяются для расчета будущей величины капитала К, если известна начальная величина инвестиции К0, и, наоборот, для расчета текущей стоимости К0, если известна величина К..
Отметим, что возможны другие эталоны роста, например основанные на применении нормативной величины рентабельности рн. Скажем, уравнения (11)—(13) можно записать в таком виде:
(г-г,)
Х(г) = е х°в , Х(г) = (1 + Рн) ,
Кг) = 1 + ^^.
^об
Если во всех трех уравнениях траектории роста принять тоб = 1, получим однозначное соответствие траектории величине рн.
Методы оценки эффективности инвестиционного проекта
Инвестиционный проект будем рассматривать с позиции экономических категорий, абстрагируясь от организационно-управленческих и технологических факторов.
Под инвестиционным проектом будем считать совокупность трех факторов: дискретного потока инвестирования капитала, дискретного потока доходов, который будет получен в результате инвестиционных затрат, и срока осуществления проекта.
Обозначим дату начала проекта дату окончания (к. Период реализации проекта обозначим ^пр = ^ -Время реализации проекта разбивается на периоды, как правило, равные. Все даты обозначим в виде временного ряда: t0, ^, t2,... ti,... . Номер индекса 7 совпадает с номером периода проекта. Разбиение по датам совмещено с датами платежей.
Инвестиции (денежный отток) обозначим символом К,, поступления доходов (денежный приток) -О,, разность АО. = Dj- К7 назовем валовым доходом (прибылью) 7-го периода.
Суммарная величина инвестиций К за срок проекта равна сумме ^К;, а суммарная величина
7
доходов сумме Ох = . Разность ЛС>Е = Е Di - Е Кг
7 ' '
между суммами поступлений и инвестиций назовем валовым доходом (прибылью) проекта.
Основной задачей экономической теории инвестиционного проекта является оценка эффективности инвестиций с точки зрения расширенного воспроизводства капитала. Далее рассмотрены два метода оценки эффективности инвестиционного проекта: статический и динамический.
Статический метод оценки эффективности инвестиционного проекта. Чтобы определить эффективность реализации инвестиций, очевидно, нужно соотнести разницу (валовой доход) между суммарным доходом В^ и суммарным расходом К с периодом реализации А^. Разделив валовой доход по проекту АВ^ на величину длительности проекта А получим среднюю величину годовой прибыли ур (среднюю интенсивность потока прибыли - руб./год), генерируемую инвестированным капиталом К^:
л (!4)
Апр
Оценим эффективность (рентабельность) Е единовременных инвестиционных затрат К по формуле, аналогичной отношению прибыли к капиталу в системе расширенного воспроизводства:
V- = AD
У и
Е =
Vn
ADz
Kz At Kz
z пр z
Отношение АВ^ к единовременным затратам К есть по своей сути не что иное, как рентабельность по затратам, т.е. р = АDE /КЕ, после чего можем записать: Е = р / А^пр.
Таким образом, получена формула коэффициента эффективности (рентабельности капитала), имеющая тот же экономический смысл и размерность в процентах годовых, что и в динамической, непрерывной модели экономической системы расширенного воспроизводства капитальных вложений.
Разумеется, сам процесс оборота инвестиций (использования капитальных ресурсов) в проектах с дискретными потоками дохода и затрат, например при создании и внедрении новой техники, протекает иначе, чем в сфере экономики непрерывного производства.
Несмотря на различие в процессе оборота капитала, имеется возможность рассматривать тот и другой процесс с точки зрения воспроизводства капитала и, соответственно, обеспечить общий подход к методологии оценки экономической эффективности инвестируемого капитала.
Рентабельность капитала Е в том и другом случаях измеряется в процентах годовых. Следовательно, она может служить показателем, по величине которого можно сравнивать варианты инвестиций капитала и выбирать варианты с максимальной величиной Е. Чем больше абсолютное значение Е для инвестиционного проекта, тем больший экономический эффект в единицу времени будет реализован. Недостатком статического метода измерения эффективности проекта является большая погрешность при оценке длительных проектов.
Динамический метод оценки эффективности инвестиционного проекта. Статический метод оценки не учитывает временного роста инвестируемого капитала и поступившего дохода во времени. Валовой доход, прогнозируемый в конце срока проекта, очевидно, нужно сопоставить с ростом каждой инвестиции, вложенной в проект, и с ростом капитала за счет реинвестиций прогнозируемых доходов.
Предположим, что каждая сумма валового дохода ADi = Di - К, в 7-м периоде является итогом самовозрастания капитала, инвестированного в т-м периоде проекта. Сопоставимая величина капитала в т-м периоде может быть вычислена на основе формулы дисконтирования (приведения) к расчетному т-му периоду срока проекта по формуле
PVr = (О, - К, )Х«т - ^) = АО,Х«т - ^), где дисконтный множитель вычисляется по общеизвестной формуле
- ь) = (1 + г)т - ''.
Если просуммировать приведенные (сопоставимые) величины капиталов, получим дисконтированную величину капитала PVf для произвольного m-го периода:
pVm pvm =
i
е(Di - Kt)X(tm - tt) = E ADix(tm - tt). (15)
ii
При приведении к началу срока проекта, когда m = 0, сопоставимый капитал получил название Net Present Value, NPV:
NPV = EPV° = IAD,X(t0 -t,). (16) 5 работе [2] это название переведено как чистый дисконтированный доход - ЧДД. При приведении к концу проекта, когда m = n, сопоставимый капитал получил название Net Future Value, NFV: NFV = EPVtn = E AD,X(tn - tt). (17)
Прирост AKm, вычисляемый как разность между дисконтированной величиной капитала на произвольную дату проекта tm и суммой фактических инвестиций, назовем нормативным дисконтированным доходом, генерируемым инвестициями:
AKm = S K,X(tm - tt) -S К. (18)
i i Поступления в инвестиционном проекте генерируют дополнительный прирост дохода:
ADm = SDtX(tm -t,)-SD. (19)
ii Разницу между нормативным приростом инвестиций, уменьшенную на величину прироста дополнительного нормативного дохода, генерируемого за счет реинвестиций потока доходов в проекте, обозначим PVm. Эту величину можно вычислить из уравнения:
PV^ =АКm -ADm. (20)
Назовем параметр PV™ нормативным дисконтированным доходом, НД. В дальнейшем для краткости будем НД именовать просто нормативным доходом. Используя уравнения (15)-(20), несложно убедиться в том, что, сложив нормативный доход с дисконтированным доходом ДД, можно получить фактический доход (прибыль) проекта ADE:
ADZ = PV™ + PVdm = ZD,. - ZKt = ZЩ. (21)
Таким образом, валовой доход инвестиционного проекта состоит из нормативной части и сверхнормативной, равной дисконтированному доходу (прибыли) проекта.
Отношение дисконтированного дохода (прибыли) PVJ1 к дисконтированным затратам
Кт = S КX(tm - tt) для m-го периода проекта на-
i
зовем дисконтированной рентабельностью pd инвестиционного проекта:
рЛ=pvm / кт.
Но тогда, учитывая, что расширенное воспроизводство стоимости инвестированного капитала завершается за период инвестиционного проекта At вычислим по аналогии с уравнением (14) дисконтированную рентабельность капитала Ed:
Ed = ра / Atпр.
Очевидно, с помощью критерия дисконтированной рентабельности Ed можно сравнивать проекты по эффективности использования инвестиций.
Рентабельность для инвестиционного проекта не должна быть меньше значения рентабельности капитала, используемого в производстве с учетом имеющегося уровня техники. Иначе инвестиции не позволят в будущем получить дополнительной прибыли относительно нормативной, генерируемой существующим производством.
Еще один качественный параметр достаточно широко применяется при выборе и сравнении инвестиционных проектов. Это индекс дисконтированной рентабельности (profitability index, PI). По определению, он равен отношению доходов к расходам, т.е. можно записать: S D,X(tm - t, )
PI =
2 КX(tm -1,)
= Pd+1
Фактический валовой доход (прибыль) ADE, или, иначе, чистый доход (net value) и дисконтированный доход (прибыль) PVdm (present value), отражают превышение доходов над инвестициями, соответственно без учета и с учетом их нормативного роста.
По существу PVнт отражает нормативную часть фактического валового дохода (прибыли) ADe, с учетом реинвестируемых поступлений, а PV- дополнительную, сверхнормативную прибыль, реализованную в инвестиционном проекте.
Итак, инвестиции с дискретным потоком затрат (платежей) и доходов (поступлений) имеют ряд параметров, которые характеризуют их доходность и эффективность:
- фактический (не дисконтированный) валовой доход (прибыль) ADe;
- нормативный дисконтированный доход НДД (прибыль) PV^;
- сверхнормативный, дисконтированный доход ДД (прибыль) PVdm;
- фактическую (не дисконтированную) рентабельность p;
- дисконтированную рентабельность pd;
- индекс дисконтированной рентабельности
Р1=р„ + 1;
- фактическую (не дисконтированную) эффективность Е;
- дисконтированную эффективность Еа.
Инвариантные свойства показателей в динамической модели инвестиций. Дисконтирование (приведение к расчетной дате tm) широко применяется для сопоставления инвестиций и доходов, произведенных на дату tm, с расходами и доходами, произведенными в другие дни (на дату t).
Предположим, вычислен поток будущих расходов и доходов инвестиционного проекта. Уравнение нормативной траектории позволяет пересчитать прирост инвестиций и доходов на произвольную расчетную дату tm по формулам (18)-(19). В результате имеется уравнение (21), из которого следует, что сумма нормативного и дисконтированного доходов инвариантна относительно произвольной даты приведения.
Теперь рассмотрим инвариантные свойства дисконтированной рентабельности. Вычислим дисконтированный доход для трех видов нормативного роста капитала, или, иначе, для трех способов дисконтирования: экспоненциального, процентного и линейного:
PV2 -'г>,
г
Р^у^ =ъ ADI (1 + Ен >
г
PV2 = Т.Щ[1 + Ен(гр -01
Величина дисконтированного дохода зависит от момента времени приведения tm. Чем ближе дата приведения к конечной дате проекта, тем больше величина РУ^. Разделив Р^ и PVmm на дисконтированную величину затрат (инвестиций), получаем рентабельность рэ и рп дисконтированных затрат, инвариантные относительно расчетной даты приведения. Это не касается рентабельности рл затрат, дисконтированных на основе линейной траектории.
Докажем утверждение:
Для процентной траектории роста запишем следующие преобразования:
Pd3 =
PVm
Г У d3
^ Е (t -t.)
Z Ке нт 1)
EAD.em ^
■Pds =■
Е К. em
■Pds =■
Е AD,е-i_
Pdn =
■Pdu =■
pvm
Z К (1 + Ejm
i
SAD,. (1 + EH )m ^
J_
S K, (1 + EH )m ^
i
ZAD, (1 + Eu Г
^ ^ = I А" (1 + Г' •
I
Из уравнений (24)-(25) следует, что для степенных траекторий нормативного роста рентабельность не зависит от даты приведения. Это же утверждение справедливо и для других относительных показателей инвестиционного проекта: эффективности (доходности, измеряемой в процентах годовых), индекса рентабельности, внутренней нормы доходности. Какие бы tm не выбирать, качественные (относительные) характеристики инвестиционных проектов (рентабельность, эффективность, ВНД, Р1) для степенных траекторий роста будут одинаковы. В то же время абсолютные значения дисконтированной прибыли NPVи нормативной прибыли АОн^ -10) будут изменяться в зависимости от выбранной даты t
Для линейной траектории картина иная:
Е D, [1+Ен а р - )] р = _,__1
^ Е к, [1 + Ен (Гр - Г,)] •
,
Из уравнения (26) следует зависимость рентабельности от расчетной даты приведения для линейной траектории нормативного роста капитала. Отсутствие инвариантности качественных характеристик (рентабельности и внутренней нормы доходности инвестиционного проекта) относительно даты приведения tm практически делает нерациональным применение линейной траектории нормативного роста для сравнительного анализа проектов.
(Окончание следует)
Список литературы
1. Вааг Л.А. О нормативном коэффициенте экономической эффективности // Экономика и математические методы. 1976. Т. XII. Вып. 5. С. 975-978.
2. Виленский П.Л., Лифшиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов. Теория и практика: учеб. пособие. 3-е изд., испр. и доп. М.: Дело, 2004. 888 с.
3. Газеев М.Х., Смирнов А.П., Хрычев А.Н. Сущность новых показателей эффективности инвестиций. М.: ВНИИОЭНГ, 1993. 20 с.
>
>
4. Дамодаран А. Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов / пер. с англ. 6-е изд. М.: Альпина Паблишерз, 2010. 1338 с.
5. Залесский А.В. О нормах эффективности капитальных вложений и приведения разновременных затрат и результатов // Экономика и математические методы. 1976. Т. XII. Вып. 1. С. 155-156.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. 720 с.
7. Кочович Е. Финансовая математика. Теория и практика финансово-банковских расчетов. М.: Финансы и статистика, 1994. 268 с.
8. Лившиц В.Н., Львов Д.С., Овсиенко Ю.В. Методологические вопросы оценки экономической эффективности новой техники // Известия АН СССР. Сер. экономическая. 1979. № 3. С. 39-58.
9. Лукасевич И.Я. Инвестиции: учебник. М.: Инф-ра-М, 2011. 413 с.
10. Лурье А.Л. Экономический анализ моделей планирования социалистического хозяйства. М.: Наука, 1973. 435 с.
11. Методика (основные положения) определения экономической эффективности использования в народном хозяйстве новой техники, изобретений и рационализаторских предложений. М.: Экономика, 1977. 45 с.
12. ПайтгенХ.О., Рихтер П.Х. Красота фракталов.
Образы комплексных динамических систем. М.: Мир, 1993. 206 с.
13. Федоров Б.Г. Англо-русский толковый словарь валютно-кредитных терминов. М.: Финансы и статистика, 1992. 240 с.
14. Царьков В.А. Аналитические методы и модели анализа инвестиционных проектов // Аудит и финансовый анализ. 2014. № 2. С. 241-247.
15. Царьков В.А. Динамические модели экономики (теория и практика экономической динамики) / предисл. Ю.С. Попкова. М.: Экономика, 2007. 213 с.
16. Царьков В.А. Использование методов теории автоматического управления при построении и анализе динамических моделей экономики производства // Измерения, контроль, автоматизация. 1984. № 4. С. 66-78.
17. Царьков В.А. Новые методы и модели анализа инвестиционных проектов // Финансовая аналитика: проблемы и решения. 2013. № 47. С. 33-44.
18. Царьков В.А. О проблеме единого критерия оценки экономической эффективности научно-технической и производственной деятельности. М.: ИЭ АН СССР, 1982. 25 с.
19. Царьков В.А. Экономико-математические модели инвестиций // Аудит и финансовый анализ. 2011. № 4. С. 316-333.
20. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, Business Речь, 1992. 319 с.
Financial analytics: science and experience Investment policy
ISSN 2311-8768 (Online) ISSN 2073-4484 (Print)
THEORY AND MODELS OF INVESTMENT
Vyacheslav A. TSAR'KOV
Abstract
Importance The research reviews investment models. Objectives The review is aimed to study the common models and new innovation models of evaluation of the efficiency of investment projects on the principle of borrowed capital.
Methods In the first part of the paper, I am considering two economic-mathematical models of extended capital reproduction: with discrete and continuous capital reproduction. The article demonstrates that the process of discounting investment essentially reflects a capital growth trajectory as a result of the regulatory capital impact of positive feedback in the economic system of extended capital reproduction. I investigate the interrelation dynamics of capital growth with discounting formula. On the basis of generally accepted methods for evaluating investment performance, I have carried out an analysis of a simple project with investment
(asset purchase) at the beginning of the project and the availability of income (sale of the asset) at the end of the project. As per common practice, the project efficiency is assessed on the basis of net present value - NPV and internal rates of return - IRR: the general rule is NPV: if NPV> 0, in that case the project will be adopted. The general rule is IRR: if IRR > r, in that case project will be adopted. These rules are simple and versatile. These features comprise their advantages and their shortcomings. But they do not provide any answer to the question: what is the value of an investor's income in money-wise terms? I research a new innovation model of evaluation on the principle of debt capital. The new model is based on the separation of gross income of the project on income of the investor and the interest expense on the loan.
Results The theoretical result of the research is a new mathematical proof of the following predicating: IRR is loan
rate, at which the gross income of the investment project is spent on paying interest on attracting borrowed capital. The practical result is to create a financial model as a financial picture of the project in Excel software.
Keywords: model, capital, investment, theory, cash flow, value, discount, profit
References
1. Vaag L.A. O normativnom koeffitsiente eko-nomicheskoi effektivnosti [On the normative economic efficiency ratio]. Ekonomika i matematicheskie metody - Economics and mathematical methods, 1976, vol. XII, iss. 5, pp. 975-978.
2. Vilenskii P.L., Lifshits V.N., Smolyak S.A. Otsenka effektivnosti investitsionnykh proektov. Teoriya i praktika [An evaluation of investment projects performance. Theory and practice]. Moscow, Delo Publ., 2004, 888 p.
3. Gazeev M.Kh., Smirnov A.P., Khrychev A.N. Su-shchnost' novykh pokazatelei effektivnosti investitsii [The essence of new indicators of investment effectiveness]. Moscow, All-Russian VNIIOENG Publ., 1993, 20 p.
4. Damodaran A. Investitsionnaya otsenka. Instrumen-ty i metody otsenki lyubykh aktivov [Investment Valuation. Tools and Techniques for Determining the Value of Any Asset]. Moscow, Al'pina Pablisherz Publ., 2010, 1338 p.
5. Zalesskii A.V. O normakh effektivnosti kapital'nykh vlozhenii i privedeniya raznovremennykh zatrat i rezul'tatov [On the efficiency standards of capital investment and performing of different time expenditures and results]. Ekonomika i matematicheskie metody - Economics and mathematics methods, 1976, vol. XII, iss. 1, pp. 155-156.
6. Korn G., Korn T. Spravochnikpo matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [A handbook of mathematics for scientists and engineers]. Moscow, Nauka Publ., 1968, 720 p.
7. Kochovich E. Finansovaya matematika. Teoriya i praktikafinansovo-bankovskikh raschetov [Financial mathematics. Theory and practice of financial and banking transactions]. Moscow, Finansy i statistika Publ., 1994, 268 p.
8. Livshits V.N., L'vov D.S., Ovsienko Yu.V. Metodo-logicheskie voprosy otsenki ekonomicheskoi effektivnosti novoi tekhniki [Methodological issues of economic estimation of new technology efficiency]. Izvestiya AN SSSR. Seriya ekonomicheskaya - Proceedings of Academy of Sciences of USSR. Economics series, 1979, no. 3, p. 39-58.
9. Lukasevich I.Ya. Investitsii [Investment]. Moscow, INFRA-M Publ., 2011, 413 p.
10. Lur'e A.L. Ekonomicheskii analiz modelei planirov-aniya sotsialisticheskogo khozyaistva [An economic analysis of the planning models of the socialist economy]. Moscow, Nauka Publ., 1973, 435 p.
11. Metodika (osnovnye polozheniya) opredeleniya ekonomicheskoi effektivnosti ispol'zovaniya v narodnom
khozyaistve novoi tekhniki, izobretenii i ratsionalizatorskikh predlozhenii [Technique (general provisions) of determination of economic efficiency of application of new technologies, inventions and innovation in the national economy]. Moscow, Ekonomika Publ., 1977, 45 p.
12. Paitgen H.O., Richter P.H. Krasota fraktalov. Obrazy kompleksnykh dinamicheskikh system [The Beauty of Fractals. Images of Complex Dynamical Systems]. Moscow, Mir Publ., 1993, 206 p.
13. Fedorov B.G. Anglo-russkii tolkovyi slovar' va-lyutno-kreditnykh terminov [English-Russian dictionary of monetary terms]. Moscow, Finansy i statistika Publ., 1992, 240 p.
14. Tsar'kov V.A. Analiticheskie metody i modeli analiza investitsionnykh proektov [Analytical methods and models of the investment projects analysis]. Audit i finan-sovyi analiz - Audit and financial analysis, 2014, no. 2, pp. 241-247.
15. Tsar'kov V.A. Dinamicheskie modeli ekonomiki (teoriya i praktika ekonomicheskoi dinamiki) [Dynamic models of the economy (theory and practice of economic dynamics)]. Moscow, Ekonomika Publ., 2007, 213 p.
16. Tsar'kov V.A. Ispol'zovanie metodov teorii av-tomaticheskogo upravleniya pri postroenii i analize dinamicheskikh modelei ekonomiki proizvodstva [Using the methods of theory of automatic control at construction and analysis of dynamic model of production]. Izmereniya, kontrol', avtomatizatsiya - Measurement, control, automation,, 1984, no. 4, pp. 66-78.
17. Tsar'kov V.A. Novye metody i modeli analiza investitsionnykh proektov [New methods and models of investment projects analysis]. Finansovaya analitika: problemy i resheniya - Financial analytics: science and experience, 2013, no. 47, pp. 33-44.
18. Tsar'kov V.A. O probleme edinogo kriteriya ot-senki ekonomicheskoi effektivnosti nauchno-tekhnicheskoi i proizvodstvennoi deyatel 'nosti [On the problem of single criterion of the estimation of economic efficiency of scientific-technical and production activities]. Moscow, Institute of Economics of Academy of Sciences of USSR Publ., 1982, 25 p.
19. Tsar'kov V.A. Ekonomiko-matematicheskie modeli investitsii [The economic-mathematical models for investment]. Audit i finansovyi analiz - Audit andfinancial analysis, 2011, no. 4, pp. 316-333.
20. Chetyrkin E.M. Metody finansovykh i kommerche-skikh raschetov [Methods of financial and commercial payments]. Moscow, Delo, Rech' Publ., 1992, 319 p.
Vyacheslav A. TSAR'KOV
OOO CB BFG-Credit, Moscow, Russian Federation VATsarkov@bfgbank.ru
