ТЕОРИЯ ФЕРРОМАГНИТНОГО УПОРЯДОЧЕНИЯ КОЛЛОИДНОЙ СУСПЕНЗИИ МАГНИТНЫХ ЧАСТИЦ В ЖИДКОМ КРИСТАЛЛЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.783; 539.22

Д. А. Петров1, П. К. Скоков2

ТЕОРИЯ ФЕРРОМАГНИТНОГО УПОРЯДОЧЕНИЯ КОЛЛОИДНОЙ СУСПЕНЗИИ МАГНИТНЫХ ЧАСТИЦ В ЖИДКОМ КРИСТАЛЛЕ

'Пермский государственный национальный исследовательский университет ул. Букирева, д. 15, 614990 Пермь, Россия. E-mail: petrovda@bk.ru 2Институт механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук ул. Академика Королева, д. 1, 614013 Пермь, Россия

Рассмотрена молекулярно-статистическая теория коллоидной суспензии сферических ферромагнитных частиц в нематическом жидком кристалле. Предложен тензорный вариант записи гамильтониана суспензии, который содержит вклады, позволяющие описать ферромагнитное состояние системы. В рамках приближения среднего поля получена система уравнений, описывающая различные ориентаци-онные состояния суспензии. Построены фазовые диаграммы суспензии. Показано, что кроме изотропной фазы в зависимости от температуры и интенсивности взаимодействия частиц с жидкокристаллической матрицей суспензия может находиться в упорядоченном состоянии с различными магнитными свойствами, а именно в ферромагнитной и суперпарамагнитной нематических фазах.

Ключевые слова: жидкий кристалл, магнитная суспензия, фазовые переходы, ферромагнетизм.

DOI: 10.18083/LCAppl.2020.4.63

D. A. Petrov1, P. K. Skokov2

FERROMAGNETIC ORDERING THEORY OF COLLOIDAL SUSPENSION OF MAGNETIC PARTICLES IN LIQUID CRYSTAL

'Perm State University, 15 Bukireva St., Perm, 614990, Russia 2Institute of Continuous Media Mechanics of the Ural Branch of Russian Academy of Science, 1 Academician Korolev St., Perm, 614013, Russia E-mail: petrovda@bk.ru

A molecular-statistical theory of colloidal suspension of spherical ferromagnetic particles in a nematic liquid crystal matrix is considered. A tensor expression of the suspension Hamiltonian is proposed, which contains contributions that make it possible to describe the ferromagnetic state of the studied system. Within the mean-field approximation, a system of equations is obtained that describes various orientational states of the suspension. Phase diagrams of the suspension are plotted. It is shown that depending on temperature and intensity ofparticles interaction with the liquid crystal matrix, the suspension can be in an ordered state with different magnetic properties, namely, in the ferromagnetic and superparamagnetic nematic phases, in addition to the isotropic phase.

Key words: liquid crystal, magnetic suspensions, phase transitions, ferromagnetism.

© Петров Д. А., Скоков П. К., 2020

Введение

Уникально сочетая в себе текучесть и анизотропию физических свойств, жидкие кристаллы (ЖК) нашли применение в оптике, фотонике [1, 2], биофизике [2], медицине [3], а также в различных технических приложениях, основную часть которых представляют устройствах отображения информации [4, 5]. По этой причине одной из актуальных задач современной науки о материалах является получение ЖК с заданными физическими свойствами. Помимо сложного и дорогостоящего химического синтеза новых ЖК-матриц, существует возможность модифицировать свойства уже существующих ЖК-материалов путем внедрения в них различных наноразмерных частиц [6-8]. Коллоидные ЖК-суспензии магнитных [9, 10], сегне-тоэлектрических [11] частиц или углеродных нанотрубок [12] обладают нетипичными для принимающей матрицы физическими свойствами. Таким композитным материалам свойственна более высокая чувствительность к внешним магнитным и электрическим полям, что, например, проявляется в понижении порога перехода Фредерикса [13, 14]. Наличие примеси также может увеличивать и уменьшать температуру перехода упорядоченная фаза - изотропная жидкость [15-17]. Наряду с этим уникальной является способность ЖК-среды поддерживать ферромагнитное упорядочение дисперсных частиц при комнатных температурах даже в отсутствие внешнего магнитного поля [10]. Несмотря на то, что такие намагниченные ЖК-композиты, известные также как ферронематики, были теоретически предсказаны полвека назад [18], устойчивое ферромагнитное упорядочение примесных частиц в ЖК-матрице удалось получить лишь в 2013 году [10]. С тех пор ферромагнитные ЖК-суспензии экспериментально активно изучались (см. обзорные работы [7, 19]), однако, их теоретическое описание ограничено в основном хорошо развитыми континуальными теориями [10, 20, 21], феноменологической теорией типа Ландау-де Жена [22, 23] и классической теорией функционала плотности [24]. Лишь недавно была предложена молекулярно-статистическая теория, которая позволила описать появление спонтанной намагниченности примесных частиц в ЖК-матрице [25]. В работе [25] были рассмотрены два различных механизма, обеспечивающих ориентационную связь молекул ЖК и примесных частиц. Первый

механизм связан с ван-дер-ваальсовым взаимодействием между подсистемами и проявляется лишь только в ЖК-суспензиях анизометричных частиц [26-29]. Второй механизм обусловлен силами, имеющими магнитное происхождение, и именно он отвечает за феррмагнитное упорядочение примеси в ЖК-матрице [25]. Настоящая работа посвящена изучению этого механизма, и его влияния на образование ферромагнитного порядка примесной подсистемы. В рамках предлагаемой теории будут получены вклады в свободную энергию суспензии, которые присутствуют в феноменологическом подходе [22, 23], но не учитывались в работе [25].

Метод среднего поля

Впервые метод среднего поля для описания нематической фазы ЖК был предложен в работе [30]. Этот относительно простой подход, известный как теория Майера-Заупе, позволил получить температурные зависимости параметра порядка ЖК, удовлетворительно согласующиеся с экспериментальными данными. Для суспензий анизо-метричных наночастиц в ЖК метод среднего поля получил свое развитие в следующих работах [2629, 31], где для описания степени упорядочения примесных частиц использовался, по аналогии с ЖК, только скалярный параметр порядка. Нами же будет использован векторный параметр порядка, что позволит описать ферромагнитное состояние суспензии.

Воспользуемся предложенными ранее подходами [25, 26] и будем рассматривать бинарную смесь, состоящую из Nn молекул нематика и Np

магнитных наночастиц, которые находятся в объеме V. Ориентацию отдельной стержнеобразной молекулы ЖК в точке г а будем описывать симметричным бесследовым тензором второго ранга

^ =л/-|

(1)

где \а - единичный вектор вдоль главной оси а-

ой молекулы ЖК (а=1, ^ ). Здесь и далее нижние индексы (латинские буквы) обозначают компоненты векторов и тензоров, а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Предположим, что примесные частицы не обладают анизотропией формы, т. е. являются сферическими.

Согласно работе [27] в этом случае можно пренебречь ван-дер-ваальсовым притяжением между молекулами ЖК и примесью, которое является существенным только для анизотропных (палочки или диски) частиц [26]. Считаем, что магнитный момент каждой частиц является «вмороженным» и не может менять свою ориентацию относительно самой частицы, тогда ориентацию отдельной примесной частицы удобно описывать единичным

вектором е р (¡3=1, Мр ), который связан с ее магнитным моментом Цр = /е р (и - величина магнитного момента).

Запишем ориентационную часть энергии суспензии в следующем виде:

Н = Нпп + Нт + Нтт , (2)

где

только положительных

1 N н„

Нпп=- -12Х (гар)у>в (3)

2 а=1 р=1

представляет собой первый член разложения энергии парного взаимодействия молекул нематика по

степеням тензора ориентации Vа . Вклады

Нт =-Ц А-т (Гар)

а=1 р=1

N. Мр

Нтт = —^^^^ Атт ( Гар )

(4)

(5)

а=1 р=1

соответственно являются первым и вторым членами разложения энергии парного взаимодействия молекул ЖК с магнитными частицами соответ-

а в

ственно по степеням их тензора vik и вектора егн ориентации. В этих выражениях Апп (гар) - потенциал межмолекулярного взаимодействия немати-

ка, а Ат (Гар) и Атт (Гар) - потенциаЛЫ взаимодействия между молекулами ЖК и примесными частицами, которые зависят от расстояния

Гар = |Га Г

Р I

между молекулами либо между молекулами и частицами. При положительных значениях Апп (гар) минимуму энергии (3) отвечает параллельная упаковка длинных осей молекул (уа II уа'). Далее будет рассматриваться случай

Ат (Гар) и Атт (Гар) , когда

минимумам энергий (4) и (5) отвечает параллельная ориентация длинных осей молекул и диполь-ных моментов феррочастиц (уа || Цр или уа ||ер).

Согласно работе [32] наличие магнитного диполь-ного момента у сферической примесной частицы приводит к существенному упорядочению молекул ЖК вблизи ее поверхности, что в среднем увеличивает параметр порядка ЖК-подсистемы по сравнению со случаем, когда частицы являются немагнитными. Этот результат приводит к идее написания вкладов (4) и (5) в ориентационную часть энергии ЖК-суспензии, которые ранее не учитывались в статистических теориях [26-29, 31]. Слагаемые (4) и (5) отвечают за магнитные взаимодействия между ЖК-матрицей и ансамблем примесных частиц, и именно эти вклады позволяют описать появление спонтанной намагниченности примесных частиц в ЖК-матрице и в конечном счете приводят к выражению, которое является аналогом энергии магнитной анизотропии в твердых ферромагнетиках [25, 33]. Нужно отметить, что в гамильтониане (2) отсутствуют слагаемые, отвечающие за прямые межчастичные взаимодействия, так как мы рассматриваем случай малой концентрации примеси.

Макроскопические тензор и вектор ориентации компонент суспензии представляют собой статистическое среднее от соответствующих микроскопических величин

Пгк = \Чк) ,

М = (ер).

(6)

Представим величины (6) через единичные векторы, определяющие главные оси нематического порядка ЖК-молекул п и полярного ориентационно-го порядка частиц т :

Пк ^пп - 35гк ) , М = Мт . (7)

Отметим, что вектор М имеет смысл приведенной макроскопической намагниченности суспензии и связан с последней выражением

м

М.

V

(8)

где М - намагниченность суспензии.

В (7) введены скалярные параметры порядка

П = {Р2 (™а)), М = Ы (ше,,)),

где р (х) -г -ый полином Лежандра.

Следуя работе [26], представим тензор ориентации уЦ и вектор ер, соответственно, как суммы их средних с флуктуациями, т.е. VI = Пк + (у"к -Пк), ер= М + (ер- М) и подставим в (2).

После пренебрежением квадратами флукту-аций удается выполнить одно суммирование, в результате чего можно выделить величины:

Апп = Ё Апп (гав ) , V Ат = Ё Ат (Гав ) ,

Р=\ У а=1

N.

(9) -ГТ

V

N

N

т/ Ат = Ё Ат (Гав) , Атт = Ё Атт (Гсср) ■

N р

N.

а=1

N

р

V

А = У А (г )

тт/ у лтт \ а(3 / '

(10)

в=1

которые по сути являются параметрами среднего поля. Окончательно гамильтониан суспензии (2) в приближении среднего поля примет вид

НтГ

1 УпПкПк + УрУМгМк (2®тПгк + ^ттЩПк )

Nn Nр 1

- Ё [ УпПгк + УрГМг (^тМк + 2® ттП,кМ} )\Кк - Ё 2 У пМг [®тПгк + ® ттЩП ¡к ] е ркУ (11)

в=1

Здесь Ур = NpVp /V и Уп = Nnvn /V =1 - Ур - объемные доли компонент суспензии, \п и ур - соответственно объем одной молекулы ЖК и частицы, а У = уп /ур - параметр, характеризующий относительный размер наночастиц. Величина Л = Апп / Уп играет роль константы среднего поля. По аналогии с [25] введем параметры сот = Ат / Апп и (отт = Атт / Апп , которые описывают относительную роль ориентационной связи между ЖК-матрицей и ансамблем частиц. Величины сот и сотт зависят от плотности и геометрических размеров молекул и частиц, а также от сил взаимодействия между ними.

Ограничимся случаем, когда оси немати-ческого порядка ЖК и полярного порядка частиц

совпадают между собой (планарное сцепление) п = ш , тогда должны выполняться условия а>т > 0 и с°тт > 0, т.е. директор ЖК п является осью легкого намагничивания для частиц.

Гамильтониан среднего поля (11) позволяет вычислить статистический интеграл

2 =

I-I

н.

ехр

т/

к„Г

П ЙУ«П ,

=1 в=1

(12)

который в свою очередь позволяет найти свободную энергию системы

Т = -кТЗТ 1п 2.

(13)

После вычисления сверток в (11) выражение (13) в безразмерной форме примет вид

V

Р = Т_п_

ЛV 2

2Уп | УпП(П + 1) + 3УрУМ2 [^т (4П + 1) + 4®ттП(3П + 1)\

- УпТ 1п / (а,0 )-УрГг 1п / ( 0,£).

(14)

Здесь введено обозначение для безразмерной температуры т = квТ / Л и определена функция

1 1

/ (*,£) =11 ехР (ах2 +£х) ¿х, (15)

где

а =

2т

УпП + 3УРУМ2 (V6®т + 4®ттП)

- УпПМ

3т

I V 6® + 2®п I.

I * т тт I I

(16)

Из условий термодинамического равновесия суспензии

д^

^ = о. дп

дМ

= 0

(17)

окончательно получим систему уравнений, которая позволяет определить температурные зависимости параметров порядка системы

3 д 1п [(а,0) 1 1

2 да 2 ^

(18)

Учет дополнительного вклада (5) в гамильтониане (2) дает слагаемые в свободной энергии (14) пропорциональные п2М2, которые присутствовали в феноменологической теории [22, 23], но не учитывались в [25]. При ®тт = 0 уравнения (18) и выражение для свободной энергии (14) сводятся к тем, что представлены в работе [25], если рассматривать случай сферических магнитных частиц.

В отсутствие нематического порядка п = 0 суспензия представляет собой обычную магнитную жидкость [34], для которой уравнение (18) дает решение М = 0 . Этот результат согласуется с известным фактом, что в отсутствии внешнего магнитного поля в обычной магнитной жидкости ферромагнитный порядок отсутствует [35].

Фазовые диаграммы

Система уравнений (18) допускает решение П = М = 0, что отвечает высокотемпературной изотропной фазе (I), в которой отсутствует нема-тический порядок ЖК и ферромагнитный порядок частиц. Данное решение существует при любых

температурах, однако термодинамически устойчивым оно является лишь при температурах, превышающих точку просветления. С понижением температуры в зависимости от параметров ®т и ®тт происходит переход из изотропной фазы в одну из упорядоченных фаз, отличающихся магнитными свойствами. Первая из двух возможных упорядоченных фаз - ферромагнитная нематическая (БМК). В ней оба параметра порядка отличны от нуля (п> 0,М Ф 0), т.е. кроме нематического порядка молекул ЖК-матрицы в суспензии существует также скоррелированность в ориентации примесных частиц, чьи магнитные моменты ориентированы преимущественно в одном направлении параллельно директору ЖК. Состояния с М > 0 и М < 0 в отсутствие внешнего магнитного поля являются эквивалентными. Вторая из возможных упорядоченных фаз - суперпарамагнитная нематическая (8РМК). В этой фазе также существует нематический порядок в ЖК-подсистеме, а магнитные моменты всех частиц ориентированы произвольным образом, как в изотропной фазе (п> 0, М = 0), в результате чего макроскопическая намагниченность отсутствует.

На рисунке 1 представлены фазовые диаграммы суспензии в терминах приведенной температуры и параметров среднего поля ®т и ®тт. Для расчетов использовались значения объемной доли примеси ур = 3-10-4 и относительного размера частиц у = 2.107-10-5 из работы [25]. Величина Тс - температура перехода упорядоченная - изотропная фазы для чистого ЖК. Из оценок работы [25] следует, что для выбранных материальных параметров эта температура с большой точностью совпадает с аналогичной температурой для суспензии. Сплошные кривые на рис. 1 отвечают фазовым переходам второго рода, а вертикальные пунктирные прямые - первого рода. В силу малости объемной доли примесных частиц всем точкам пунктирных прямых отвечают значения безразмерной температуры и скачка параметра порядка беспримесного ЖК соответственно

квТс / Л = тс = 0.2202 и пс = 0.4292 . Черный круг на рис. 1 отвечает тройной точке, где одновременно сосуществуют ферромагнитная нематическая, суперпарамагнитная нематическая и изотропная (также суперпарамагнитная) фазы.

Т/Тс T/Tc T/Tc

а б в

Рис. 1. Диаграмма ориентационных фаз суспензии в терминах приведенной температуры и параметра среднего поля cm для разных значений cmm . Здесь I - изотропная фаза, FMN - ферромагнитная нематическая фаза

и SPMN - суперпарамагнитная нематическая фаза

Fig. 1. Diagram of orientation phases of the suspension in terms of reduced temperature and mean field parameter am for different values of amm . Where, I is isotropic phase, FMN is ferromagnetic nematic phase, and SPMN is the superparamagnetic nematic phase

На рисунке 1, а этой точке соответствуют значения с = 0.943, сотт = 0.0, на рис. 1, б -

т ' тт ' * '

сот = 0.872 , сотт = 0.2 , а на рис. 1, в - с = 0.767 ,

т ' тт ' г ? т '

сотт = 0.5 . Из рис. 1 видно, что с ростом параметров сот и а)тт температурная область существования суперпарамагнитной нематической фазы уменьшается, пока она вовсе не исчезает при параметрах ст и стт, отвечающих тройной точке.

Интересно отметить, что для сотт = 0 во всем температурном диапазоне существования мезофазы с ростом параметра с т происходит переход суперпарамагнитная - ферромагнитная нематическаю фаза (см. рис. 1, а). В свою очередь, для положительных значений с тт существует пороговое значение температуры, ниже которой для любых значений с т суперпарамагнитная нематическая фаза существовать не может (см. рис. 1 , б и в).

Здесь нужно пояснить, что граница существования ферромагнитной и суперпарамагнитной нематических фаз (сплошная кривая на рис. 1) определяется в результате решения системы уравнений (18) при М = 0 совместно с условием потери устойчивости ферромагнитной нематической фазы

( d2 F Л

дМ2

= 0,

(19)

УМ=0

которое можно записать в следующем виде

2л/6,

т = -

27

(1 - Ур М3®m ^V6®mmn). (20)

В свою очередь система (18) при М = 0 сводится лишь к одному интегральному уравнению

|ехр{3Т(1"УР)х2|[2п +1 - 3х2\ ёх = 0. (21)

Выражения (20) и (21) не содержат параметр у, из чего следует, что граница существования ферромагнитной и суперпарамагнитной нематических фаз определяется набором параметров Ур, сот и

с тт и не зависит от относительного размера сферических примесных частиц.

Основные результаты и выводы

В работе рассматривается тензорный вариант молекулярно-статистической теории суспензий

сферических ферромагнитных частиц в ЖК. Впервые предложен гамильтониан системы, который позволяет описать появление спонтанной намагниченности примесных частиц в ЖК-матрице даже в отсутствие магнитного поля. Методом среднего поля получены уравнения ориентационного и магнитного равновесия системы и построены диаграммы ориентационных фаз суспензии. Установлено, что в зависимости от температуры и параметров среднего поля возможно существование нескольких фаз. Первая - изотропная фаза является высокотемпературной и характеризуется полным отсутствием ориентационного и магнитного упорядочения компонент суспензии. С понижением температуры эта фаза теряет устойчивость и в зависимости от интенсивности взаимодействия между подсистемами происходит переход в одну из двух возможных упорядоченных фаз, отличающихся магнитными свойствами. Для малых значений энергии сцепления молекул ЖК и примесных частиц переход происходит в упорядоченную фазу с нулевой намагниченностью - суперпарамагнитная нематическая фаза, в которой магнитных моментов частиц направлены произвольно, а молекулы ЖК образуют нематический порядок. С дальнейшим понижением температуры в суспензии появляется спонтанная намагниченность частиц -происходит переход в ферромагнитную нематиче-скую фазу. Для больших энергий сцепления между компонентами суспензии с понижением температуры происходит переход из изотропной в ферромагнитную нематическую фазу, минуя суперпарамагнитное нематическое состояние системы. Установлено, что переходам из изотропного в упорядоченные состояния суспензии отвечают фазовые переходы первого рода, а переход суперпарамагнитное - ферромагнитное нематическое состояние является переходом второго рода.

Настоящая работа совместно с представленными ранее подходами [25, 26] позволяет написать обобщенный вариант молекулярно-статистической теории ферромагнитных ЖК-суспензий анизомет-ричных частиц. Тензорный вариант записи гамильтониана системы дает возможность в дальнейшем рассматривать не только планарное, но и гомеотропное сцепление молекул ЖК с примесными частицами.

Авторы выражают глубокую признательность профессору Александру Николаевичу Захлевных, чьи идеи легли в основу представленной теории.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 16-02-00231). П.К. Скоков выполнял работу в рамках государственного задания; номер гос. регистрации темы АААА-А19-119021490136-7.

Список литературы / References

1. Lazarev G., Chen P.-J., Strauss J., Fontaine N., Forbes A. Beyond the display: phase-only liquid crystal on Silicon devices and their applications in photonics [Invited]. Opt. Express, 2019, 27 (11), 16206-16249. DOI: 10.1364/OE.27.016206.

2. Shen Y., Dierking I. Perspectives in Liquid-Crystal-Aided Nanotechnology and Nanoscience. Appl. Sci., 2019, 9, 2512. DOI: 10.3390/app9122512.

3. Woltman S., Jay G. D., Crawfoord G. P. Liquid Crystals Frontiers in Biomedical Applications. Singapore: World Scientific, 2007. 516 p.

4. Takatoh K., Hasegawa M., Koden M., Itoh N., Hase-gawa R., Sakamoto M. Alignment Technologies and Applications of Liquid Crystal Devices. New York : Taylor & Francis, 2005, 320 p.

5. Wu S.; Yang D. Fundamentals of Liquid Crystal Devices. Chichester : Wiley, 2006, 396 p.

6. Garbovskiy Y. A., Glushchenko A. V. Liquid Crystalline Colloids of Nanoparticles. Solid State Physics, 2010, 62, 1-74. DOI: 10.1016/B978-0-12-374293-3.00001-8.

7. Dierking I. From colloids in liquid crystals to colloidal liquid crystals. Liquid Crystals, 2019, 46 (13-14), 2057-2074. DOI: 10.1080/02678292.2019.1641755.

8. Чаусов Д. Н., Курилов А. Д., Беляев В. В. Жидкокристаллические нанокомпозиты, легированные наночастицами редкоземельных элементов // Жидк. крист. и их практич. использ. 2020. Т. 20, № 2. С. 6-22. DOI: 10.18083/LCAppl.2020.2.6 [Chau-sov D.N., Kurilov A.D., Belyaev V.V. Liquid crystal nanocomposites doped with rare earth elements. Liq. Cryst. and their Appl, 2020, 20 (2), 6-22. (in Russ.)].

9. Chen S.-H., Amer N.M. Observation of Macroscopic Collective Behavior and New Texture in Magnetically Doped Liquid Crystals. Phys. Rev. Lett, 1983, 51 (25), 2298-2301.

DOI: 10.1103/PhysRevLett.51.2298.

10. Mertelj A., Lisjak D., Drofenik M., Copic M. Ferro-magnetism in suspensions of magnetic platelets in liquid crystal. Nature, 2013, 504, 237-241.

DOI: 10.1038/nature12863.

11. Reznikov Y., Buchnev O., Tereshchenko O., Resh-etnyak V., Glushchenko A., West J. Ferroelectric ne-matic suspension. Applied Physics Letters, 2003, 82 (12), 1917-1919. DOI: 10.1063/1.1560871.

12. Lynch M.D., Patrick D.L. Organizing Carbon Nano-tubes with Liquid Crystals. Nano Letters, 2002, 2 (11), 1197-1201. DOI: 10.1021/nl025694j.

13. Kopcansky P., Tomasovicova N., Koneracka M., Za-visova V., Timko M., Dzarova A., Sprincova A., Éber N., Fodor-Csorba K., TothKatona T., Vajda A., Jadzyn J. Structural changes in the 6CHBT liquid crystal doped with spherical, rod-like, and chainlike magnetic particles. Physical Review E, 2008, 78, 011702. DOI: 10.1103/PhysRevE.78.011702.

14. Cook G., Reshetnyak V.Yu., Ziolo R.F., Basun S.A., Banerjee P.P., Evans D.R. Asymmetric Freedericksz transitions from symmetric liquid crystal cells doped with harvested ferroelectric nanoparticles. Opt. Express, 2010, 18 (16), 17339-17345.

DOI: 10.1364/0E.18.017339.

15. Koch K., Kundt M., Eremin A., Nadasi H., Schmidt A.M. Efficient ferronematic coupling with polymer-brush particles. Phys. Chem. Chem. Phys, 2020, 22 (4), 2087-2097. DOI: 10.1039/C9CP06245A.

16. Li F., Buchnev O., Cheon C.I., Glushchenko A., Reshetnyak V., Reznikov Y., Sluckin T.J., West J.L. Orientational Coupling Amplification in Ferroelectric Nematic Colloids. Phys. Rev. Lett, 2006, 97 (14), 147801. DOI: 10.1103/PhysRevLett.97.147801.

17. Kopcansky P., Gdovinova V., Burylov S., Burylova N., Voroshilov A., Majorosova J., Agresti F., Zin V., Bar-ison S., Jadzyn J., Tomasovicovatitle N. The influence of goethite nanorods on structural transitions in liquid crystal 6CHBT. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 2018, 459, 26-32.

DOI: 10.1016/j.jmmm.2017.12.086.

18. Brochard F., de Gennes P.G. Theory of magnetic suspensions in liquid crystals. J. de Physique, 1970, 31, 691-708. DOI: 10.1051/jphys: 01970003107069100.

19. Mertelj A., Lisjak D. Ferromagnetic nematic liquid crystals, Liquid Crystals Reviews, 2017, 5 (1), 1-33. DOI: 10.1080/21680396.2017.1304835

20. Zakhlevnykh A.N., Petrov D.A. Weak coupling effects and re-entrant transitions in ferronematic liquid crystals. Journal of Molecular Liquids, 2014, 198, 223-233. DOI: 10.1016/j.molliq.2014.06.028.

21. Burylov S.V., Raikher Y.L. Macroscopic Proper-ties of Ferronematics Caused by Orientational Interactions on the Particle Surfaces. I. Extended Continuum Model. Mol. Cryst. and Liq. Cryst. Science and Technology. Section A. Molecular Crystals and Liquid Crystals, 1995, 258 (1), 107-122.

DOI: 10.1080/10587259508034552.

22. Pleiner H., Jarkova E., Muller H.-W., Brand H.R. Landau description of ferrofluid to ferronematic phase transition. Magnetohydrodynamics, 2001, 37 (3), 254260. DOI: 10.22364/mhd.

23. Pleiner H., Jarkova E., Müller H.-W., Brand H.R. Nematic order in ferrofluids. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 2002, 252, 147-149.

DOI: 10.1016/S0304-8853(02)00688-1.

24. Zarubin G., Bier M., Dietrich S. Effective Landau theory of ferronematics. Journal of Chem. Phys., 2018, 149 (5), 054505. DOI: 10.1063/1.5040438.

25. Petrov D.A. Molecular-statistical theory of ferromagnetic liquid crystal suspensions. Physical Review E., 2020, 101 (3), 030701.

DOI: 10.1103/PhysRevE.101.030701.

26. Захлевных А. Н., Лубнин М. С., Петров Д. А. Об одной простой молекулярно-статистической модели жидкокристаллической суспензии анизомет-ричных частиц // Журн. эксперим. и теор. физики. 2016. Т. 150, вып. 5. С. 1041-1051. DOI: 10.7868/S0044451016110249. [Zakhlevnykh A.N., Lubnin M.S, Petrov D.A. On a simple molecular-statistical model of a liquid-crystal suspension of ani-sometric particles. JETP, 2016, 123, 908-917.

DOI: 10.1134/S1063776116100101.]

27. Gorkunov M.V., Osipov M.A. Mean-field theory of a nematic liquid crystal doped with anisotropic nanoparticles. Soft Matter, 2011, 7 (9), 4348-4356.

DOI: 10.1039/C0SM01398F.

28. Raikher Y.L., Stepanov V.I., Zakhlevnykh A.N. Mean-field description of the order-disorder phase transition in ferronematics. Soft Matter, 2013, 9, 177184. DOI: 10.1039/C2SM26423D.

29. Raikher Yu.L., Stepanov V.I. Magnetic relaxation in ferronematics in the mean-field description. J. of Mol. Liq., 2018, 267, 367-376.

DOI: 10.1016/j.molliq.2017.12.075.

30. Maier W., Saupe A. Eine einfache molekulare Theorie des nematischen kristallinflüssigen Zustandes. Zeitschrift für Naturforschung A, 1958, 13 (7), 564566. DOI: 10.1515/zna-1958-0716.

31. Lopatina L.M., Selinger J.V. Maier-Saupe-type theory of ferroelectric nanoparticles in nematic liquid crystals. Phys. Rev. E, 2011, 84 (4), 041703.

DOI: 10.1103/PhysRevE.84.041703.

32. Mouhli A., Ayeb H., Othman T., Fresnais J., Dupuis V., Nemitz I.R., Pendery J.S., Rosen-blatt C., Sandre O., Lacaze E. Influence of a dispersion of magnetic and nonmagnetic nanoparticles on the magnetic Fred-ericksz transition of the liquid crystal 5CB. Phys. Rev. E, 2017, 96 (1), 012706.

DOI: 10.1103/PhysRevE.96.012706.

33. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. 2-е изд. М. : Наука, 1982. 624 с. [Landau L.D., Lifshitz E.M., Pitaevskii L.P. Electrodynamics of continuous media. Oxford, England : Butterworth, 1984, 460 p.].

34. Шлиомис М. И. Магнитные жидкости // УФН. 1974. T. 112, вып. 3. С. 427-458. DOI: 10.3367/UFNr.0112.197403b.0427 [Shliomis M.I. Magnetic fluids. Soviet Physics Uspekhi, 1974, 17, 153-169].

35. Берковский Б. М. Магнитные жидкости. М. : Хи-мия,1989. 240 с. [Berkovskiy B.M. Magnetic liquid. Moscow : Khimiya, 1989, 240 p (in Russ.)].

Поступила 4.09.2020 г. Received 4.09.2020 Принята 1.10.2020 г. Accepted 1.10.2020