CC BY
37
Теория динамических напряжений, возникающих в верхней подвеске
Аннотация: В статье описывается возможность использования системы аэростатно-канатный спуск на транспортных операциях в труднодоступных горных условиях. Отражена зависимость системы от ветровых воздействий. Исходя из этого, приводится методика расчета динамических напряжений, которые возникают в верхней подвеске системы, с учетом подвижности аэростата под действием ветра. Методика позволяет оценивать напряжение, возникающее в верхней и нижней точки подвески при изменении силы ветра, длины подвески, угла и скорости отклонения аэростата.
Ключевые слова: аэростатно-канатная система, лесотранспортные операции, колебания каната, динамические напряжения каната.
Лесозаготовительные операции в труднодоступных горных условиях требуют внедрения в процесс первичной транспортировки древесины технологий, обеспечивающих максимальный грузопоток древесины, но с минимальными трудозатратами на строительство подъездных путей [1-4].Одним из перспективных направлений, основанным на способе воздушной транспортировки древесины, является использование системы аэростатно-канатный спуск, которая способна выполнять переброску подтрелеванных к ней пачек заготовленной древесины на расстояние до 2-3 км [5, 6]. Основная схема аэростатно-канатного спуска представлена на рис. 1.
аэростатно-канатной системы.
А.В. Абузов1, Н.В. Казаков1, В.И. Иванов2
1 Тихоокеанский государственный университет 2Дальневосточный государственный университет путей сообщений
Рис. 1. - Аэростатно-канатный спуск для транспортировки древесины Однако, в условиях горной местности, где присутствуют нисходящие и восходящие потоки ветра, влияющие на подвижность аэростата, требуются дополнительные исследования по оценке динамических усилий, возникающие в месте крепления подвески аэростата с кареткой, закрепленной на направляющем несущем канате [7, 8].
Основная расчетная схема, отражающая движение аэростата под действием порыва ветра, представлена на рис. 2.
Рис. 2. - Основная расчетная схема
Зададим, что точка А - это положение аэростата без ветра, точка A¡ положение аэростата в произвольный момент времени t. Считаем, что в точке О верхняя подвеска закреплена неподвижно. Величину ветровой нагрузки PB и её направление считаем постоянной при t>0, тогда горизонтальная составляющая ветровой нагрузки PBX = PB cos в, вертикальная PBZ = PB sin в.
Поскольку аэростат движется по окружности радиуса Le (Le - длина верхней подвески), запишем уравнение движения в естественных координатах M = PB cos в cosa- (P + P sin в)sina (1)
T
Mar¡ = SB - (P + PB )cosa - PB cos в sin a (2)
где M = (ma + тпр) - суммарная масса аэростата с газом (та) и присоединенной массы воздуха(тпр)[9]; P - подъемная сила аэростата;а-
угол отклонения верхней подвески от вертикали; Pe - результирующая ветровой нагрузки; SВ - сила натяжения верхней подвески в точке А1; в-угол отклонения вектора ветровой нагрузки от горизонтальной оси х; an -ускорение нормальное, aT - ускорение тангенциальное.
Используя источник [10], выразим ускорения через угловую da
скорость о = —f, тогда:
an = о2 L (3)
г do
aT=L— (4)
dt
При этом уравнения (1-2) преобразуются к виду:
MLe — = PB cos в cos a - (P + PB sin p)sina (5)
dt
Mo2Le = SB - (P + PB sin в)cosa - PB cos в sin a (6)
Рассмотрим уравнение (5). При некотором значении a =aS правая часть равна нулю, что указывает на положение равновесия: PB cos в
tgas = —B-(7)
S P + PB sin в
Введем новую переменную у = (aS - a), тогда уравнение (5) примет вид:
MLe d = (P + Pb s^^osas (tg2as + 1)sin/ (8)
CÍÍ
Полученное уравнение описывает нелинейные колебания вокруг положения равновесия: й 2у
dt
2
= -с02 sin у (9)
где введено обозначение:
„2 = (P + PB sin в) cos a,(tgX +1) (10)
0 ML
в
Время движения аэростата до положения точки равновесия равно четверти периода и выражается через эллиптический интеграл: a
т = С K (sm(^)) (11)
где K (к) - полный эллиптический интеграл первого рода:
п/2 dv
K (к) = К ; • 2 (12)
о V1 - к sin2 x
Значение интеграла табулировано, однако, для практики (при as < п/2) достаточно следующего приближения (с учетом разложения функции K(k)): п a2
т= С1+ Г + ....) (13)
2с0 16
При г, <П можно ограничиться первым слагаемым с достаточной точностью.
Тогда для определения силы натяжения Se верхней подвески рассмотрим уравнение (6), преобразованное с учетом замены y = (aS - a)
со2Le = SB -(P + РВ sinP)cosas(tg2aS + 1)cosy (14)
При этом максимальное значение SB достигается при y=0:
Smx - (P + PB sin в) cos a, (tg2as +1) + Me2LB (15)
Первое слагаемое Se соответствует покою в состоянии равновесия (аэростат не движется). Для оценки второго слагаемого найдем решение уравнения (9), преобразуя его в уравнение 1-го порядка: de 2 .
со— = с0 sin у (16)
dY
Интегрируя уравнение с разделяющимися переменными, имеем:
с 2 2
— = (с2 cos y + c) (17)
где константу интегрированияС определяем из начальных условий (при t=0 о (t)=0):
0 = o02cosY + c (18)
Окончательно получаем:
о2 = 2o02(cosaS - cos/) (19)
Подставляя üO,ax = 2о02 cos as в отношение 2-го слагаемого SB кSB получим
отношение:
S B
— = 2cos aS (20)
BS
Для малых углов отклонения (a<0,1) можно провести более детальное аналитическое исследование. На практике это соответствует случаям малых
P
учесть затухание возникших колебаний подвески. Учитывая, что для малых
углов a можно положить sin a = a, cosa «1, из уравнения (5) имеем:
d2 a dt7
ветровых нагрузок, когда—- < 0,1. В этом случае при расчете 8В можно
MLe —г = PB cos в- (P + PB sin 0)a (21)
Найдем скорость движения аэростата относительно воздушной среды:
V0mH = (VBX -®Le ) (22)
где VBX - горизонтальная скорость ветра. Зная, что:
PB = CB (VBX ) ~ CBVBx - 2CBVBxaLB (23)
Тогда выражение (21) можно переписать в виде:
d2a ,2PB cos в da P + PB sin в PB cos В / ч —Г + (—--- )—т + (-B-- )a =—---(24)
dt2 MVBX dt ML ML K J
Полученное уравнение (24) является уравнением затухающих колебаний, которое можно записать в стандартном виде:
d a ^ da
+ 2Z— + Y2a = Fo (25)
dt2 л dt /0 0 где введены обозначения:
(P + PB sin в r r „
Y0 =J-B--частота «свободных» колебаний;
0 V ML
v PB cos в
X = —--постоянная затухания;
MVbx
F Pb cos в
F0 = —--постоянная сила.
0 ML
Решение (25) ищем как сумму общего решения однородного уравнения (F0 = 0) и частного решения неоднородного уравнения. Решение
однородного уравнения ищем в виде a = ept, подставляя которое в (25) при F0 = 0 получаем характеристическое уравнение:
V,2 =-X±VX7rVf (26)
Вид решения зависит от соотношения х и v0. Для малого затухания (х <v0) решение носит колебательный характер с затухающей амплитудой:
a = AeV1t + A2 eV2t
(27)
В этом случае можем записать общее решение уравнения (25), как сумму общего решения однородного уравнения (27) и частного решения неоднородного уравнения, например а=а5, где а5 - угол отклонения,
da
соответствующий равновесному положению, когда,
a = Be X cos(vt + (0) + aS
dt
0:
(28)
где Б и (0- постоянные интегрирования, которые определены из начальных условий (а(0) = 0,^(0) = 0):
B cos (0 +aS = 0 - х cos (0 + V sin (0 = 0 Окончательно для общего решения получаем:
a(t) = aS(1 - e X(cosV + — sinV)
V
G) = al = aSe xv(+ 1)sinvt S v
(29) (30)
(31)
(32)
Для большого затухания (%>у0) движение апериодично и корни У12 действительные. Для отношения % и и0 имеем:
X
PB cos вLLB
V0 \М (P + Pb sin в)
(33)
X
lb cos ^в
RP
(34)
где R - радиус аэростата.
Таким образом, затухание колебаний происходит для случая: PB cos R
P
>
L
(35)
Для этого случая решение ищем в виде:
а = Ар-(х3 + Л2 e
где 3 = -Уо2 ; Л! и Л
константы интегрирования.
Частное решение уравнения (25) будет иметь вид:
К
о
где а5 соответствует установившемуся углу отклонения при Тогда общее решение уравнения (25) примет вид:
а = Ае
Используя
<Х+3У
+ Ае
-(х-зу , * о
К
+
2
V
начальные
условия,
для
А2 (а(0) = 0, ¿у(0) = 0) запишем:
К
0 = а + А2
1 2 V2
0 = -А(х + 8) - А2(х-8) Подставляя А] и Л^, имеем в итоге:
а = а
(X - 3)е
-(х-зу
(Х + 3)е
-(X-5)t
23
23
+1!
определения
(36)
(37)
(38)
А и
(39)
(40)
(41)
или
а = а
е~* (3) -3^ (3) 3
+1
(42)
Для получения зависимости силы натяжения 8в используем (41-42) ддяа(1):
^) = аз(X2 -32)е~х [ех - е-х ] 23
(43)
или
a
c(t) = ^0 (X -0>-XSB(O) (44)
2o
Итого окончательно из выражения (6) используя уравнения (43-44) можно найти SB:
SB = PB cos Pa + (P + PB sin в) + MLBC (45)
Заключение
Предложенная методика позволяет выполнять расчеты динамических напряжений, возникающих в канате верхней подвески аэростата с учетом:
1. Отклонения и колебания подвески в определенный период времени;
2. Изменения подъемной силы аэростата, а также силы и направления ветра;
3. Изменения длины каната верхней подвески.
Литература
1. Абузов А.В. Лесотранспортные системы: новые возможности и перспективы развития // Состояние лесов и актуальные проблемы лесоуправления: материалы Всерос. конф. с междунар. участием. Хабаровск: Изд-во ФБУ «ДальНИИЛХ», 2013. С. 101 - 104.
2. Абузов А.В. Основные технологические направления по освоению горных лесов Дальневосточного региона // Вестник ТОГУ. 2013. №3(30). С. 92-100.
3. Галактионов О.Н., Кузнецов А.В. Исследование взаимосвязи технологической проходимости лесозаготовительных машин с параметрами лесной среды // Инженерный вестник Дона, 2012, №4 (часть 1) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p1y2012/1145.
4. Шегельман И.Р., Кузнецов А.В., Скрыпник В.И., Баклагин В.Н. Методика оптимизаций транспортно-технологического освоения лесосырьевой базы с минимизацией затрат на заготовку и вывозку древесины // Инженерный вестник Дона, 2012, №4 (часть 2) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1284.
5. Абузов А.В. Альтернативные транспортные системы, как направление рационального лесозаготовительного процесса // Актуальные проблемы
развития лесного комплекса: материалы международной научно-технической конференции. Вологда: ВоГТУ, 2012. С. 60 - 63.
6. Буткин В. Д. Аэростатно-канатные транспортные системы для открытых горных работ // Горный журнал, 1998. №6. С. 56 - 57.
7. Guimier, D.Y. and G. Vern, 1984. Well Burn Logging with heavy-lift airships. FERIC, Technical Report, TR-58, May: 115 p.
8. Gregory L. Bearty, 1983. Pendulum Balloon Logging System: Dynamic Model. Oregon State University, November: 40 p.
9. Бойко Ю.С. Воздухоплавание: Привязное. Свободное. Управляемое. М: МГУП, 2001. 462 с.
10. Аппель П. Теоретическая механика. Статика. Динамика точки (том 1). М: Физмагиз, 1960. 515 с.
References
1. Abuzov A.V. Lesotransportnye sistemy: novye vozmozhnosti i per-spektivy razvitiya [Ecotransport systems: new possibilities and prospects of development]. Sostoyanie lesov i aktual'nye problemy lesoupravleniya: materialy Vseros. konf. s mezhdunar. uchastiem. Khabarovsk: Izd-vo FBU «Dal'NIILKh», 2013. pp. 101 -104.
2. Abuzov A.V. Vestnik TOGU. 2013. №3(30). pp. 92-100.
3. Galaktionov O.N., Kuznetsov A.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №4 (chast' 1) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p1y2012/1145.
4. Shegel'man I.R., Kuznetsov A.V., Skrypnik V.I., Baklagin V.N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №4 (chast' 2) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1284.
5. Abuzov A.V. Al'ternativnye transportnye sistemy, kak napravlenie ratsional'nogo lesozagotovitel'nogo protsessa [Alternative transportation system, as the direction of rational logging process]. Aktual'nye problemy razvitiya lesnogo kompleksa: materialy mezhdunarodnoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii. Vologda: VoGTU, 2012. pp. 60 - 63.
6. Butkin V.D. Gornyy zhurnal, 1998. №6. pp. 56 - 57.
7. Guimier, D.Y. and G. Vern, 1984. Well Burn Logging with heavy-lift airships. FERIC, Technical Report, TR-58, May: 115 p.
8. Gregory L. Bearty, 1983. Pendulum Balloon Logging System: Dynamic Model. Oregon State University, November: 40 p.
9. Boyko Yu.S. Vozdukhoplavanie: Privyaznoe. Svobodnoe. Upravlyaemoe [Aeronautics: Tied. Free. Managed]. M: MGUP, 2001. 462 p.
10. Appel' P. Teoreticheskaya mekhanika. Statika. Dinamika tochki (tom 1) [Theoretical Mechanics. Statics. Dynamics of a point (Volume 1)]. M: Fizmagiz, 1960. 515 p.
