Теория бобины Текст научной статьи по специальности «Математика»

♦

ПроФ. С. К. Конюхов.

Теория бобины.

При шахтных подъемных сооружениях у нас в России чаще всего встречаются три типа барабанов: цилиндрический, бобина и конический. Более сложные типы барабанов у нас не встречаются совсем.

Некоторым вниманием пользуется затем система КОпэ, в которой утилизируется для подъема сила трения каната о шкив. По своеобразности идеи эта система занимает особое положение, а потому говорить о ней не будем. Равным образом не будем говорить и о системе подъема цилиндрическим барабаном, когда применяется хвостовый уравновешивающий канал, дающий возможность осуществить так называемый гармонический подъем.

В пределах таких ограничений цилиндрический барабан, как будто исключительно распространенный на сибирских рудниках, является самым несовершенным, в смысле расхода ендовой энергии.

За ним идет бобина, а за ней конический барабан. Таким образом, бобина занимает средние место. ,

По существу говоря, цилиндрический барабан и бобина представляют только частные случаи конического барабана.

В самом деле, если взять за основные элементы радиусы основной усеченного конического барабана Б, и г и высоту конуса Н. то, приравнивая Е = г, получим цилиндрический барабан, а полагая Н = О, получим бабину.

1 Из конического же барабана можно получить и систему- Копэ, ссли положить В, = г и Н = 0. Простым примером цилиндрического барабана с намотанным или навитым на нем канатом является катушка ниток, шпулька в челноке швейной машины, барабан, не, котором обычно навита телеграфная проволока перед навешиванием.

Таким же простым примером бобины с навитой щг ней лентой плоского каната является: катушка с намотанной лентой у пишущей машины, круг телеграфной ленты, заведенная часовая пружина. Примером конического барабана является мотовило, на которое навивается проволока при прокатке и волочении.

Теория бобины представляет хороший пример, которым иллюстрируется могущество и жизненность математического анализа в приложении к технике.

Приступая к изложеннию этой теории, введем в наши рассуждения следующие обозначения:

N — полезный вес поднимаемого груза в килограммах, X — мертвый груз (вес клети и пустых вагонеток) в килограммах, 8.— вес подъемного каната длиною = Н метров т. е. глубине шахты, g —вес одного погонного метра каната равного сечения в килограммах. Он равняется 0,0077 п о2, где п число проволок каната, а о — диаметр проволоки в миллиметрах, (1 ■—толщина ленты плоского каната в миллиметрах, г —внутренний радиус бобины в миллиметрах,

11 — наибольший радиус бобины, когда на нее навита часть каната, равная глубине шахты = Н плюс пять запасных витков, Н — глубина шахты в метрах, 6 — угол навивки каната за весь период подъема.

При навивании каната на бобину, ось канатной ленты изгибается по спирали Архимеда, у которой радиус вектор увеличивается при каждом полном обороте бобины на толщину ленты каната — <1.

Допустим, что рабочий ход бобины начинается с навивания ленты на бобину радиуса г.

Уравнение спирали Архимеда напишется тогда для всего рабочего хода в таком виде: А

г

Какое-либо промежуточное переменное значение радиуса вектора можно выразить тогда так:

х= г+-*-..<!

_ ' 2-тс

Выразим длину элемента дуги Архимедовой спирали в полярных координатах, (черт.) для чего в ведем такие обозначения:

ОВ............ г

<ВОЕ..........<р

<АОВ..........¿с?

АО ............ <1г

АВ........ .:. . . .аз

Безконечно-малый элемент дуги В Г), нормальный к радиусу вситору ОБ. будет равен гсЬ. Принимая АВ за прямую, можно на писать из прямоугольного треугольника АВБ

1182 = (]г2 4--Г2

с _1__'_

|/(1г2-|-г2 сЦ)2

Так как г и ср яаляются текущими координатами, то можно написать выраженное для конечной дуги в таком виде

8 = ]о0|/(1х2+

Практически первый член подкоренного выражения очень мал по сравнению со вторым членом. Действительно, выражение для радиуса вектора имело

такой вид- • , ■

, ш.а

х = г •

2т.

Так как начальный радиус в подъемных устройствах является величиной постоянной, r = Coust, то дифференцирование даст

Л тг

С другой стороны, умножая все члены выражения для переменного радиуса вектора на dcp, имеем

xd<f = rd<? -J- — ccdtp

Отсюда найдем, что

2.7:

_d_

dx 2 ~

Х(19 (I

Наибольшее значение левая часть приобретает в том случае, когда в правой

л <1 части положить ш = О, т. е. —-.

' 2 5Г г

Максимальное значение d: 2 г, т. е. отношение диаметра каната к диаметру барабана, на который навивается канат, получается, когда имеется ручной, ворот, а канат органический. В этом случае отношение d:2 r доходит до

— — При приводных воротах и более толстом канате это отношение 10 • 15 11

близко к значению — — — . Наконец, при барабанах подъемных машин это

Л о ои 2

отношение никак не меньше — . а при металлических канатах, и в особен-

40

Ч ' 1 1 1

ности стальных это отношение составляет — --—— . Если взять

уО 60 100

<1: 2 г = 0,1, то получим.

10 1

Чем меньше это отношение, тем в более благоприятных условиях проходит работа каната, так как меньше работы тратится на изгибание каната, а кроме того, и прочность каната не уменьшается в такой сильной степени.

Итак, длина каната, навиваемого на барабан, существенно зависит только от одною слагаемого в подкоренном выражении, а влияние другого слагаемого практически не значительно.

Этот вывод имеет существенное значение в дальнейших расчетах, так как позволяет ввести упрощения в вычисления и тем облегчить решение задачи. Это соображение проще всего выявить на примере. Простейший вил у—ния спирали Архимеда изображается так:

, г - - а ъ.

где г — переменный радиус вектор, а — постоянная величина, а переменный аргумент.

Выражение для элемента дуги напишется в этом сличав так

(18= у/ аЧср2-^2?2 с1ср2 а<1<р]/'14-®а Величина конечной дуги найдется интегрированием

Нахождение этого интеграла в общем виде можно произвести, пользуясь правилом интегрированием по частям.-

Известно, что 1 !..

у7

Полагая в этом увавнении п = 1, получим

J <1х. + = +х« + + |/аа + х2^ + С ,

Производя интегрирование в пределах от 0 до 0, получим

Н-б8+ц(в + .|/ 1+в2 '

Как видно, даже для простейшего случая интеграл имеет довольно сложную форму. Та же картина сложности остается и при нахождении радиуса кривизны спирали.

Действительно, общее выражение для радиуса кривизны в полярных координатах имеет такой вид

Г /л г\2п 3/2

2 I о <1г2 <12г

г24-2---г-

<1<?2 с!?2

(1 г (I2 г

Дйя спирали Архимеда ■ — = а, = 0.

Поэтому

■3/, 3/9

__ (ау+а2) _ а (1,-{- <р») ау~|-2а2 2 + <?2 Если взять у—ние спирали Архимеда в виде '

, (1

то решение задачи о нахождении длины дуги и величины радиуса кривизны значительно осложнится, что вызовет затруднение в пользовании формулами на практике. Поэтому и важно ввести упрощения в вычисления. Такого рода упрощение в нашем случае получится, если в выражении для элемента дуги положить с1х2=г=0.

Для этого упрощения будем иметь

dS:

Г*( d V d

xdce и S= / r+ —,<p d(p = r.6 + — в2 J о \ A71 / ^71

Смысл этого упрощения сводится к тому, что вмеето распрямленного витка спирали Архимеда берется длина окружности, у которой радиус представляет по величине среднее арифметическое между крайними радиусами векторами витка.

Если назовем через 6t угол, который описывает радиус вала при поднятий клети со дна шахты на дневную поверхность, то конечный радиус вектор •спирали бобины R и глубина шахты Н выразятся через 6t и г так

. - • 1! -Л"

|| г II, ,'!-

1 1 4 тс

В этих выражениях величина г является известной и заранее заданной, так как ее можно легко определить из у—ния

' 2 г = Dmih — —i—,

О — Jvz

где Е модуль упругости материила, из которого изготовлен канат, о—диаметр проволоки, kz — допускаемое напряжение в проволоке на растяжение и ■S — полное напряжение проволоки (на растяжение и изгиб). Практически Dmia имеет такие значения:

1. Проволока железная с сопротивлением разрыву

60 kg/mm?................... 1000о —1200S

2. Проволока тигельной стали (120 kg/mm2) . . . . . . 1200 о—1400 о

3. Патентованная стальная проволока (180 k^./mm.2) . 1400 8—16003

Для этих сортов проволоки допускаемая нагрузка на растяжение берется

в первом случае 7 — 8 kg./mm.2; во втором 15—16 kg./mm.2 и в третьем 22 —24 kg./mm.2.

Что касается модуля упругости, то для тех же случаев он берется равным 18000 kg./mm.2; 19000 kg./mm.2 и 21000 kg./mm.2. Наконец, диаметр проволоки в миллиметрах вычисляется по формуле

I /~1»27 Q Г n (kz -

(к2 — 0,0 1 Н) ,

где 0, нагрузка на нижнем конце каната в киллограммах, п — число проволок каната, кг по прежнему допускаемая нагрузка каната на растяжение в килограммах, а Н — вертикальная высота или глубина шахты в метрах. К этим соображениям необходимо добавить некоторые практические указания, даваемые заводами, занятыми изготовлением проволочных канатов. Заводы вынуж-

дены готовить проволоку определенных номеров, в зависимости оттого, какими эти заводы располагают станками. В канате отдельные проволоки свиваются в отдельные пряди или стренги, а уже пряди сплетаются между собою, замыкая внутри металлической или пеньковый сердечник. Не рекомендуется свивать каната из пяти прядей, так как такой канат выходит угловатым и скоро изнашивается.

Число проволок в канате ограничивается определенными пределами, разными для различных заводов.

Так. напр., заводы в Пшибраме готовят канаты с числом проволок П = 30 — 36 — 42 — 48 — 60 — 72 — 84 — 96 — 108 — 126 — 144 — 216 Завод Фельтен—Гильом в Мюльгаузене изготовляет канаты на рынок с таким числом проволок

II = 36 — 42 — 49 — 56 — 84 — 96 —114 —133 — 180 Очень удобен для подбора подходящего диаметра проволоки следующий немецкий миллиметровый калибр.

№ проволоки. Диаметр о в миллиметрах. № проволоки. Диаметр 8 в миллиметрах.

4 ' 4,5 5 5,5 6 7 - 0,4 0,45 0,5 0.55 0,6 0,7 18 20 22 25 28 1,8 '2, 2,2 2,5 2,8 ,

8 0,8

9 10 11 12 13 0.9 1, ЗД 1,2 1,3 31 34 38 1 42 46 3,1 • 3,4 3,8 , 4,2 4,6

14 16 1,4 1,6 50 55 60 5. 5,5 6,

Толщина каната довольно хорошо находится по формуле el =

Величина а определяется так: П = 36 — 42 — 48— 60 — 72 — 84 — 96 — 108— 126 — 144 — 216 а — 9,5 — 10 —11 — 12 — 13 — 14 -— 15 —16 — 17,5 — 19 — 30 Наиболее подходящими №№ проволок для рудничных канатов являются от 14 до 28. ,

Когда вычислен диаметр проволоки о и заменен подходящим номером миллиметрового калибра, то без труда находится и минимальный диаметр барабана, или в нашем случае начальный диаметр сердечника бобины. (2г).

Полученный результат может быть проверен следующей таблицей.

№ проволоки. 2 г — D min в миллиметрах. № проволоки. 2 г — I) min ¡ в миллиметрах. ¡

4 300 14 ; 1700 — 1800 i

5 400 16 2000 — 2200 !

6 500 18 : 2400 — 2600 !

7 600 20 2800 — 3000 !

8 - 700 22 3200 — 3400 ;

9 800 — 900 25 3600 — 3800 i

10 1000 — 1100 28 4000

11 1100 — 1200 31 4500

12 1300 —1400 34 5000

1» 1500 —1600

Как видно, практика хорошо ограждает интересы техники, давая готовые результаты вычислений, сведенные в таблицы. Этими, таблицами может без труда пользоваться и не техник.

И тепери невольно возникает вопрос, а к чему же нужна теория? -

Вопрос этот имеет большой смысл и потому к нему нужно отнестись серьезно.

Ложный взгляд на технику, как на ремесло, до того укоренился, что его как песню, распевают и ученые и неучи с давних пор.

Разобщение техники с наукой, наблюдаемое с самых древних времен, произошло потому, что техники не были достаточно искусны в выполнении научных требований. Теперь это разобщение постепенно сглаживнется, и техника дарит в руки науки' такие перлы своего труда, о которых раньше нельзя было и мечтать. Техника облекает плотью самые изысканные мысли ученых. Без науки невозможо было бы осуществить воздухоплавание и воздухолетание, а с другой стороны, без техники научные изыскания остались бы. просто мертвым капиталом. Только взаимодействия между наукой и техникой помогает просто, уверение и экономично решать самые трудные задачи.

Практические сведения дают указания, как решалась задача в том или другом случае, но как решить новую задачу при иных условиях, этого ни одна практика не дает, это дает теория и творчество техника. Не даром Больцман пишет: «хорошая теория дает лучшую практику». Теория создается ше дла отдельных случаев, а для целого ряда^ и искусство техники заключается в том, чтобы использовать теорию вполне для успешннго выполнения дела. .

Инженеру, как высшему представителю техники, просто не прилично по существу вещей и звания быть практиком в житейском смысле. Такой инженер будет ремесленником среди инженеров и такому ремесленнику нельзя поручить ответственного дела: он не сумеет справиться с ним. Иностранные < слова «техник» и «инженер» по древне-русски звучат куда многозначительнее: «искусник» и «разсмысл». Хороший инженер должен уметь проектировать е. намечать свой наилучший путь к достижению цели, а не просто подражать т. е. жить чужим умом, не осмысливая в должной мере своей работы.

Проектирование же, как промежуточная стадия от замысла к осуществлению идеи в действительности, всегда требует основательного взвешивания всех условий, в которых приходится осуществлять идею.

Эта духовная работа напоминает ту литейную модель, по которой будет готовиться форма для отливки, а потом и самая отливка.

' Чем нужно руководствоваться при такой работе? Тут часто выдвигается на первый план «правило». Но разве американцы не знали этих житейских правил, когда работали' над установкой больших турбин на Ниагарском водопаде, и все же турбины сносило водой. А вот приехали европейцы и так установили свои турбины, что течение воды не в состоянии сорвать их с места. Дело не в правилах, а в хорошей теории, которую игнорировали практичные американцы. *

Квебекский мост обрушивался несколько раз, не взирая ни на какие правила, а вот теория дала возможность обойтись без крушения.

Лучшее правило для инженера быть оригинальным, самостоятельным, и тогда работа его будет не обозначением шага на месте, а работой творческой, прогрессивной,

От древнейших времен до наших дней правила и практика дали человечеству только худое подражание оригиналу.

Пирамида Хуфу, Колизей, храм святой Софии в Константинополе, собор Петра в Ватикане, большая опера в Париже, Цантсон, Пагоды, башня Эйфеля, двигатель Дизеля, Титаник, танки, юнкере (летательный аппарат) и

Т. д., все Это роздано не по правилам, а по свежему замыслу, не признающему правил. 1

Конструктор или проектирующий должен решать задачу, принимая во внимание ряд условий и допущений, не роняющих достоинства науки и техники в данный момент не только в . глазах специалистов, но и в глазах широкой массы несведущих людей.

Таким образом, должны быть удтены законы механики, строго взвешены выбранные коэффициенты, уяснена пригодность гипотез данной науки, выявлены успехи в решении подобных вопросов, если не в целом, то частично, все это должно служить материалом для конструктора, из коего он должен убудет сложить образ своей оригинальной мысли в виде проэкта.

Тогда В результате будет не шаблонная работа по правилам и практике, а произведение твррчества «размысла».

Знаменитейший конструктор нашего времени профессор Ридлер пишет по этому поводу следующее: «В техническом мире недостаточно одних математических вычислений. Трудная умственная работа заключается не в вычислении, а в установке данных для вычисления. Эта установка данных для вычислений должна соответствовать многосторонним условиям действительности». Лучше всего выявляет эту многосторонность хорошая теория. ' Теперь мы можем приступить к изложению теории бобины, не боясь того, что сложность теории может отпугнуть заинтересованное лицо от ее изучения.

Работа наматывания плоского каната на бобину происходит не самостоятельно, а под действием работы двигателя. Поэтому, выясняя условия работы бобины, нужно не упускать из вида и возможность легкого выполнения этой работы мотором, при целесообразном расходе энергии. К числу условий, облегчающих машине ее задачу, относится иуслрвцо возможно меньшего колебания в величине момента сопротивления ,на валу в течение всего рабочего хода. /; „

Для бобины это условие выполняется лишь отчасти, когда) достигают равенства моментов сопротивления в начале и конце подъема.

Аналитически это требование, при принятых нами обозначениях, приводится к такому уравнению.

г (X 4- Ь дИ) — ЕЬ П О' 1.) — г ,иН)

Отсюда имеем

'1Т" лт I от —1 "Г Р

Следовательно, С другой стороны, Сопоставляя правые части, получим,

X -[- 2 Ь ' 1 \-j-2L , 2 gHr

» = В,

а —

1 ~ " (X 4- 2 Ь) с1

При помощя этого угла 0! можно определить глубину шахты Н.

Я —г0,-]- А О -.....- +

После незначительных преобразований алгебраического характера будем иметь

(Х + 2Ь)2(1 — 41сг2д)с1

Н:

4 тс.Г'^2

с

В свою очередь для г и В, получатся такие выражения

: Х-1~2Ь с1

. к

Е =

1

Н

8

\ -(I (Хч-2Ь-|-£П)

Можно показать, что при выполнении условия равенства моментов сопротивления движению в начале и конце подъема клети, мы одновременно достигаем такого же момента сопротивленяя и при встрече клетей, т. е.

Мн = Мв = Мк

Проще всего выполнить эту задачу можно, если проследить в течение подъема и опускания клетей за изменением суммы моментов сопротивлений, приложенной к валу бобин.

Несложная механика шахтного подъемного устройства сводится к тому, что, когда груженая клеть начинает подниматься с нижняго горизонта, верхняя пустая клеть (с пустыми вагонетками) начинает опускаться вниз и к концу подъема клети поменяются местами.

. И у той и у другой клети момент сопротивления перемещению все время меняется, но когда клети будут на одной высоте, то моменты сопротивления сравниваются, и это мгновение соответствует как раз половине числа оборотов, необходимых для подъема клети со дна шахты на дневную поверхность, иными словами, когда угол поворота вала бобины будет равен ®1 .

Л

В самом деле, пусть до встречи клетей гружёная клеть заставила повернуться бобину на П! оборотов; в это же время пустая клеть заставила повернуться свою бобину п2 раз.

Переложим груз с одной клети на другую и заставим машину работать в ■обратном направлении. Совершенно естественно, что первая клеть опустится на дно щахт№' уерез оборотов, ^'вторая клеть поднимется на дневную йбверхйШ^ ^

Мтак, первая бобина совершила всего 2щ оборотов, а вторая 2п2.

Встретившиеся, клети в» стволе шахты висят на канатах одной и той же длины и потому с механической точки зрения, совершенно бззразлично на какой из них будет заканчиватся подъем груза.

Если бы груз не перекладывать с первой клети На вторую, то для довершения подъема клети рабочий вал , бобины должен был бы совершить п2 оборотов. . ,

Таким образом, выходит, что для цодъема груза со дна шахты на дневную поверхность в первой клети нужно заставить вал бобины совершать число оборотов п1Т|~п3. Но тот же самый эффект достигается при перекладывании груза с первой клети на вторую, при чем рабочий вал бобины совершит 2п2 оборотов. Отсюда ясно, что пх + п2 = 2п2 или п,=п2.'

Когда у бобин общий вал, то ясно, что л, =п2.

Очень интересно подсчитать, где же именно произойдет встреча клетей в -стволе шахты.

Чтобы решить эту задачу; будем разсуждать так.

При повороте вала бобины на какой-либо угол <р начальный радиус бобины превратится в г,, так что можно написать. 5

С другой бобины канат будет свиваться, так что начальный радиус R €удет уменьшаться и превратится в Rt, при этом

|!. ""a'U

Складывая эти равенства, полупим гх -f- R4 = R -J- г = Const = 2 p, где t> представляет средний радиус навивки.

Напишем последнее у-ние в таком виде

В1 — р = р — г1=х

Покажем, что* в момент встречи клетей Rt = rj==p.

Если посмотреть на канатную ленту, свернутую в спираль на бобине, то, при толщине ленты d и длине ее Н площадь, покрытая ею, будет приблизительно равна Ш.. С'другой стороны, эта площадь будет приблизительно* равна тс (R2 —г2).

Для каких-либо двух произвольных глубин Н, и Н2, или длин канатной ленты, можно написать аналогично

Н,<1 = 7иф2 — у,2), H2d==ir(R2 -у22), где у, и у, будут переменные радиусы навивки.

В момент встречи клетей Н,==Н„а это условие ведет к тому, что yt у,, или Rj == гг Но Rx -f- ri = 2 р. Следовательно,

Kt — rt о

Итак, в момент встречи наружный радиус свивания и навивания ленты на бобинах будет один и тот же, а именно-

К 4-г ' - ■ ■

--- = О

'2 . ' ■ ■ •

Теперь можно написать такое соотношение ,

х . А _ — р2) II. d — ic (R2 —г2)

Отсюда можно написать

h R2 — р2 „ R2-?2

А. = JH. -= XI

К2_Г2 (К-|-г)(К-Г)

Но Е+г=2р; Е —г = В —(2р —К)=2(К —р) Подставляя найденные величины для' сулмемы и разности радиусов, будем, иметь

Х = Н

Е2— р1 Н (, , Е

0+f)

4 р ,.(Е — р) 4 \ р

По этой формуле и определяется место встречи клетей. Так как В > р, то место встречи клетей будет ниже половины глубины шахты.

Проследим теперь за тем, как меняется величина момента сопротивление на валу бобин в течение всего рабочего хода.

Условие равенства моментов сопротивления в начале и конце подъема аналитически выражалось у—нием

(Я + 2Ь)Е = (К + 21;.+ 2«Н)г

Разделяя правую и левую часть этого равенства на 2 получим

(|+Ь)Е = (4 + Ь + 8Н)Г

Эти равенства не нарушатся, если прибавить к правой и левой части по

г N

-а ~и!

После приведения подобных членов и сокращения, получим

Правая часть этого равенства выражает момент сопротивления при подъеме в месте встречи клетей. Таким образом, предполагая выполненным условие равенства моментов в начале и конце подъема, мы одновременно д®би-ваемся того, что и в момент встречи клетей получается такой же момент сопротивления. , , -

Мначало — Мвстреча — Мконец

К этому же выводу можно подойти несколько иным путем. ~ Напишем уравнения моментов сопротивления в начале и конце подъема я сложим их , • ^

Мначаю = + X+^ Н) г — ЬЕ Мконец г= (К ч- Ь) В - (Ь + 8' Н) г Мначало +,Мконец = N (Иг) — 2 N р Если Мнач. = Мкон., то каждый из Них равен Ыр т. е. равен скручивающему моменту в момент встречи клетей. ^

Дарэжтер изменения величины скручивающего момента в течение^ всего подъема всего -яучше может быть изучен либо аналитически, либо графически. Остановимся на первом методе.

Напишем выражение для величины скручивающего момента в какое-либо мгновенье, предполагая, что на одной бобине этому мгновенью соответствует радиус навивки ¥1, а на другой—радиус У2. Концы канатов, на которых висят клети, пусть будут, весом ^ Н, и дН2. В таком случае переменная величина скручивающего момента будет

Во второй правой части этого равенства или вернее уравнения переменными являются У,, У2 Н, и Но. Но мы их сейчас же выразим через однт величину и тогда М явится функцией одной независимой переменной. Действительно, мы уже имели такие два у—ния ! Н, с1 — т: (Б,2 — У42)

Н2 (I - -- к (К2—У о2) Присоединим к этим уравнениям также равенство

. ' = ^ (К2 — г2)

Из вщх соотношений без труда получим >

"'■'; ' Й, ^Е2 —У,2 . Н2 Е2 —У22 /

Н Е2 — г2 ' Н Е2

Или

)

Е2 — г2 2 ■ СЛ Е2 —г2 * : : . Д .■' ' Если Цодставить эти значения веса концов канатов в основное уравнение для скручивающего момента., то получим завасимость М только от двух величин У| и У2.

м

N + Ь + 8 Н (Е2 Т»2)1 У, - ГЬ +'¿Н (К2~Та2) ™ 1 Е2 —г2

У2

Е2 — г2 J Но У, 4- У2 == Е г 2 р. Или иначе

^-р^р-У^Х

Отсюда получаем

У2=-р + X и У, :.-.р-Х

Эти значения У2 и У, подставляет в уравнение для величины скручивающего момента -

М=={к + Ь + т[Е2-(р-х)2]}(р-х)-{ь + т[Е2-(р + х)2]}(р + х)

Таким образом, величина скручивающего момента представляет функцию только одного переменного/ х и потому легко поддается исследованию в смысле-своей величины. Раскрывая скобки и производя приведение подобных членов, получим

'.«—E^^'-CN+iL+^-^rtx + Kp

_ * •»

Таким образом, закон изменения величины скручивающаго момента выражаемый кривой третьяго порядка, в уравнение которой не входит член с х2.

По общим правилам дифференциального исчисления мы сейчас же найдем условия для max. и min. функции.

d М __ 6gH. — /у[ 2gHR2 6g Hp2 Y_0

dx R2 —г2 V R2 — r2 R2 — r27

jl^i _ 12 gHx

* , dx2 ~~ E> —r2

Значения X, обращающие нашу функцию в max и min, имеют так вид

/

(is -}- 2 L) (R2 — г2) , R2

6 g Н ^ 3 Р

Можно без труда построить. кривую изменения величины скручивающего момента, принимая величины X за ординаты или абсциссы, а величины М за абсциссы или ординаты, при чем три точки определяются сраЗу из уравнения для величины момента, полагая в этом у-нии X = 0.

Действительно, производя эту операцию, получим М = N р, а N р есть величины момента сопротивления при встрече клетей. Но мы- уже видели, что этому моменту равняется момент в начале и в конце подъема;

Итак, три точки кривой определены и он® расположены на горизонтали, параллельной ©си Х-ов, в . расстоянии от оси Х-ов равном N р.

Абсциссами у этих точек будут

х,—О;- = и х, = Н

Если принять вертикаль, проходящую через конец абециссы Х2 за раздельную линию, то ветви кривой будут неодинаковыми, и значит, средние скорости хода опускающиеся клети и поднимающиеся клети также будут различными. Поднимающаяся клеть будет двигаться с меньшей средней скоростью, чем опускающаяся.

Пример. N = 600 kg, L = 700 kg, gH-=550 kg, H ==■ 400 метр., r =0,90 метр., R= 1,52 метра, 3 = 1,1 миллиметра, d = 10,5 миллиметра и n==36 проволок.

Подставляя .эти числовые значения в уравнение для момента М, получим ; М = 733,33 х3 — 473,86 x-f 726

Этот результат получается после таких подсчетов.

2 g'H—1100 ; R2 —г2 = 1,5 ; 1100 : 1.5 =• 733,33

X-{-2L-f • R2 = 600 +1400-f 733,33 X 2,31 = 2000 + 1693,99 =

= 3694 ; -jgrzr^ >2 = 2199,99 . 1,464 = csa 3220,8

• По общему приему дифференциального исчисления находим тах и min функции М, "считая х за независимую переменную.

• dM '

•—-—=== 2200 х2 — 473,86 = О dx

Отсюда получим для х два значения

х in 0,464

Вторая' производная напишется так

' .Го- 4400 х dx2

Подставляя во вторую производную значение ха из первой, производной, получим для шах

^ = - 204!,6

dx2

а , для min

4ff =б

Самая величина М для того и другого случая получит такие значения ,

Мшах = со 871,7 kß . mir. Мшт = СО 580,28 Kg . mtr. Колебания величины момента сопротивления от величины того же момента в начале и конце подъема составляют

-;• 20°'о и — 20°/о Место встречи клетей будет на глубине от поверхности земли

+ —) = 225,5 mtr. \: l 4 \ р / '

Поведем решение етой же задачи опять в общем виде несколько иным путем. Пусть Yt будет переменный радиус навивки на одной бобине в тот момент, кода поднимающаяся клеть находится на высоте П, от дна шахты. Для клети опускающейся те же величины обозначим через Ys и Hj. Тогда можно написать

' <5 id Ф2

. '. Yt^г + d и II, = г ? -f

у = r ,1 1. и и2 = ríf — á f-2 2 - т 4 ~

Отсюда следует, что У, 4- Y2===r4-R и Hj-f-Hj^Cr-j-R) Т -

Расстояние между клетями будет равно ' •

Н-(Н1+Н1)-Н-(г + К)9 В момейт' встречи клетей это расстояние будет равно нулю, а потому ' Н ' ! .

; * r-f R. , Этот угол и будет соответствовать встрече клетей, когда Hi = Нз. Но

если так, Hrcp-f-d ^ ■. или У, -- У2. Из этого равенства

,г ,т , dtp „ dtp г (В,— г) Yt = Yj следует, что г-4- ^Д = R— ^г1; ср =—--

2 7Г л ~ (I

Сравнивая углы tp по одной и по другой формуле, получим II TC(R-r) dH

тт.

ИЛИ -—— — R2-^2

, r-f-R d

Обозначим радиус вектор спирали Архимеда-в момент, встречи через р Тогда можно написать .

■ r-j-R

' ■ - - .

Выразим теперь переменную величину радиусов векторов Yi и Уг через р. В момент встречи клетей оба радиуса г и R обращаются в р, а потому можно написать *

d dco

' , , i. - jj h

Величина нового угла .со может колебаться в пределах от— - до п -

. ' ' А р 2 р

Полный угол 6, на который повертывается вал бобин в течение всего периода подъема, можно теперь выразить так

' " О II .

: e==íü + 2V .

' Длина навитой на бобину части каната может быть теперь выражена при помощи таких общих формул

V . Hi = Р О) т— Ш2.4- С,

4 ic ' . ■

. ' ' Н-. == U <0--(О- -{-Со г

, ' 4 ~

Постоянные величины Cj и С2 определяются из того условия, что для

<о = —— величины Ht и ,Нг равны нулю

А тогда можно будет написать /

Hi = pea

Нл=Ь=рШ

--^ Ü)2 JI 4 'i: н dH2

2. . 16np2í

d о | ------ОТ -f- >4 ir ~ н + 2 ' dH2 16,IT p2

В какое либо мгновенье под'ема переменная величина скручивающего момента может быть выражена в общем виде так:

М = [Х+Ь4-8(Н-Н1)]у1-[Ы-8Нэ}у3 -.V !■" Подставим в эт® уравнение значения и'На, ¥1 и Т2 в зависимости от р. Тогда получим такое сложное Выражение

М =

ЛТ I Т I ТТ ■ d<Ü'2 Я , dH2

N + L-fg. н —рш---;------+ -

4 - -2 16 тс р2

dсо2 И , dH2

р а)-----------h ------■L~

41С '2 16; тг2 р2 /

Раскрывая скобки и производя приведение подобных рощейное уравнение

значительно уп , 'М—

Д ,1 о- ,12 1.1 2

J 2ic 16 -г p*

- Правая часть этого уравнения обращается в нуль, с одной стороны, при <о = о, и с другой, при двух равных по величине по противоположеных до знаку значениях о», что получается после приравнивания много члена, заключенного в прямые скобки, нулю.

Первое положение <о о дает нам величину момента при встрече клетей.

. Второе положение дает нам отклонения от среднего момента в сторону увеличения и в сторону уменьшения.

Обращаясь к выражению, стоящему в прямых скобках, не трудно заменить, что выбор числовых величин отдельных членов и их компонентов, если и допускает свободу, но в ограниченной степени. Практически можно считать Достаточно стойкими по величине Д, 'Ь, g, "Н и А, а тогда остаются в распоряжении две величины с более значительной в изменении й,мплитудой: р и ш.

Нужно выбирать р с таким образом р'ассчетом, чтобы два значения со, обращающие многочлен в Прямых скобках, в нуль соответствовали реальным условиям. Таким образом, все мнимые решения отбрасываются. Второе еще бо-

лее важное значение имеет ограничение выбора р условием, заключающимся в том, что для всех значений ш- в пределах , ; • II . Н

....... . • •ОТ~2рДО+2р . -.1/: ;

величина 7

' М —Хр

была возможна мала. Если желательно, чтобы М — X р в начале и конце нодъёма была нулем, то нужно для р выбирать такое значение, которое обращало бы многочлен в прямых скобках в пуль при

, И 2 Н2

® = + О " ИЛИ W = л о ' "

Пользуясь этим соображением, напишем

У у 2 тс 4 г , 4 тс® 4 рл

Отсюда и получим _____

0= 3 l/ (X + 2b + gH)(l ■ '' 2 Л тт. g ' '

Значение"левой части уравнения будет тогда такое

" 4тс2 \ 4 р2 /

В конечном итоге получалось тоже . самое уравнение третьей степени с ' < переменной величиной со. ' ■ '

Разберем, когда значение М — Хр получит наибольшую и наименьшую величину в зависимости от «о. ■ '

Правила нахождения тах и min нам дают право написать

, Г iiMFN£)=^_.3ii,=0 ; .:■ ■. . ,:.-■.

' >. . ( (Uo , 4^р : ■. .

Отсюда получим .::,.'-...

, Н /1 - ; /

, , <0= 4----- 1/ - ——. '

1 • - . У~~ 2Р з '■ г

При "этом условии значения М — Хр будут одинаковы по величине но противоположны цо знаку

__ ^VA н3

144 р3 ' -Л ■.■''

Эти выражения представляют меру наивысшего отклонения момента сопротивления в сторону увеличения и в сторону уменьшения. от Хр. Мы. видели; чт^—г.Нр'-Абращавтся аулъ.:.ярь,.

' ' Н • ' ■ - , ■

— -к- или,О —о '-У : . -

и остается отрицательным при всех, отрицательных значениях ш. Эта же разность -М —Хр достигает наибольшей величины при

Н r/~V~ : ' н / ,/Tv

• .. ш --- у ..... или когда 0 — - - i 1— у — .

''•У- 2 Р 3 .-. ,. . ,j .2 р \ ; „ 3 /

Уменьшение разности М—-Хр продолжается до того момента, соответствующего ..''••' '

. У'У о — 0 или 0 = ——,. '

¿j р

(M-Xp)min- . _ ...

]/ — или e=~ f 1 +

3 , 2 P V 3 )

когда М — №р становится опять нулем. Этот момент'соответствует встрече клетей.

После этого о> приобретает положительное значение и М становится больше ]\тр, продолжая расти до того значения, которое' соответствует

Н

(О =-

2р

Достигнув своей наибольшей величины, разность М — Кр начинает убывать и обращается в нуль, когда

Н Н

■ . • <о=я-— или 9 =.—-2 Р р

Ставя условие, что М = 1^р, можно показать, что значение м укладывается между такими пределами •

Н II ,

— — ;; И Фа = —-,

1 2 Шр 2 2 Шр

где т положительной число, большее единицы.

Напишем общее уравнение для момента сопротивления (он же является и ■скручивающим моментом главного вала)

+ __1

2тг 16 я2 р2 4

Помня условие, что М — №р = 0, подставим в левую часть общего-уравнения значение

Н2

(N-f 2L + gH)~- — 2gp2H--f-^fl--— ^

(D

4 т2 р2 . : '

тогда получим

1 1 у2,тг■■ г 1 4 т:2, 4 ш2 р4 Это у—ние является биквадратным относительно р Разрешение этого уравнения дает четыре корня для р . ■

/

(N-f 2L-hgH)-d | / (N + 2-L + gH)2d2 d2H'(m3— 1)

8xg ~ f 64Tt2g2 . 32тс*т2

Так как ш>1, ю два мнимых корня сразу же отпадают. Точно также отпадет и действительный корень с отрицательным знаком.

Таким образом, остается только один корень

-i / (N-f-2L + gH)d f (N + 2 L + g Н)2d2 d2Н2(ш2 —t)

f 8T:g f 64тс2g2 32 it2 m2

Этим выражением и надо пользоваться при определении среднего радиуса навивки каната на бобину.

Зная его величину, можно уже без труда определить R и г.

Действительно,

Rг == 2р; и я (R2¿—r2)==dH.

Отсюда и ^получим 4

' 4Ttp2-kdH 4 л р2 — dH

R =—----- и r=- —-

- 4 тс р 4 тс р

Чтобы облегчить нахождение р по сложной формуле, поступим так. Напишем биквадратное уравнение без знаменателя

128 тс2 g р* — 32 я d(N'-f 2 L-f gH)p2 — gd2 H2 = 0

далее

' , dN dH

R —p-b--и г == p — -—-

r 1 4 тс p ' 4. T. rj

Введем новое неизвестное

4 ър л/ й Нх

И р = У

■ а II 4 г '

Если подставить это значение р в биквадратное "уравнение, то оно получит очень простой вид '

8' н 8

Значения наибольшего и наименьшего радиусов навивки будут ,

В упрощенном уравнении нет в явной форме толщины каната Л,, но эта толщина входит в выражение для определения р, в зависимости от величины которого значения В и г изменяются пропорционально квадратному корню из с1,

Не трудно теперь усмотреть, что В и г будут выходить при рассчетах большими для круглых канатов, которыми раньше заменяли плоские канаты, выбирая более узкие бобины. Этого рода замена плоского каната или ленты оправдываемся и в наше время тем соображением, что круглые канаты воспринимают более -равномерно напряжение и потому более долговечны в работе.

Эквивалентное круглое сечение каната, конечно, будет иметь больший диаметр, чем толщина ленты. , . - *

Из квадратного уравнения видно далее, что положительный корень для х возрастает в зависимости от величины коэффициента

£+2ь ; • -

кн Г

Иначе говоря, 'он растет пропорционально полезному грузу плюс удвоенный мертвый груз и обратно пропорционально весу погонного метра каната g.

Глубцну шахты Н пока не учитываем. -

- "Проследим теперь аналитически ход изменения г в зависимости от х.

, Малый ^радиус навивки г определяется так

У^ и -

Отсюда совершенно очевидно, что величина г растет вместе с ростом х. Чтобы выявить влияние, глубины шахты Н на величине х, а, значит, н на радиусы Е и г, напишем квадратное у—ние ,

. _ (> •; 21. - уЦ| _ 1

в таком виде 4

X -г 2 Ь ■ ' х Х + 1

Н =

8 ' х2_х —— 8 г_1__1.

Х Х 8 II 8х

В таком случае мо&сно написать, что

/

Vji.ii 'л.' ' 'фг^рф^р»^' •

Для того чтобы г было вещественным, необходимо, чтобы было соблюдено условие ' '■■_; ■

х> — М-г 1/ -^Л т. е. х> 1.1123

т.Н /

Из выражения для Н видно, что при х = оо,Н = 0. .а по мере уменьшения х величина Н будет расти. ' ' Путем дифференцирования 1Г но х получаем

1 ' От _ 2 Ь)с1 х - 5/4 .

¿х Г'' " 2(х2„х__ 1)3/2 . ;

Отсюда выходит, что, до тех пор, пока х больше 5'4, производная остается положительной. А это обстоятельство подсказывает вывод, что г изменяется так же, как и. х, но обратно с изменением Н: ' ,

Для значенип х в интервале 1,25—1.11 заключение будет противоположным. ■ '

Если х^со, то Н==0 и

А отсюда и обратное заключение: с уменьшением радиуса г будет увеличиваться глубина Н.

Минимальной величины этот радиус ги достигает при хп==5/4 для глубины,

и 20 <N + 2L) . T/(X + 2L;d ии = "ö--z-—-»ги — у ■—t^tzt;—

3 g 12*g ,

Отношение ' - - ' ,,

1: У 3 = 0,¿773 ,

С этого момента радиус г начинает , растя вместе с глубиной ж приг хш —1.11 величина Н1И = ео и гш=~<х>

Старинное французское правило, выражаемое формулой Кабанц, дает для определения Нш отвечающей минимальному радиусу ги, такую зависимость

Отсюда получаем

р— " У + Ь и И - 20 Ю

Если желательно знать условие, когда гп не. достигает своего: та нужно обратиться к неравенству

/ 20 N4-21, „ тт:

' Т "К + Г" (Ь-Н)^Н или.

11 20 , 60 ...

. h 3 989'+529—

.} ■ • ' ■ JL

Правая часть достигает в этом неравенстве своего min при L: N = О В этом случае можно практически положить, что ,

И _ 20 ' ■ -

' . .. - Ь.,., 23 .. •

Подставляя это отношение в-формулу Казани, Ьолуч^м

-О (" ' "•':. N -рL == g(ii—н) — 2Qg н / "

Иначе говоря, вес каната ,g Н будет в — раза,|болыне N'-f- что не допускается. ; ч - 1 '

Отсюда видно, что rtl не достигает на практике.своего min и начальный радиус навивки г будет всегда уменьшаться с глубиною Н, вернее с увеличением П. «'.■'''•■. .• ,,

При не больших глубинах; (величина изменения делается малц заметной даже при значительных величинах Ни.

■ Это ясно из следующей таблицы . ?

. н ' г X

ffu rti

\: .'о; . 't \ '■ ' ' : 1 ^ : ■ 1 ".

0,16 0,73 ' -2

. 0.30 / 0.63 - " а/а"-"

0.53 0.60 ' - ."/в >'(

,1,00 : 0.58- Vi : '

Проследим теперь за изменением R. Для этого напишем значение R

R

cLH

v • V* * /

Если начать изменение х с бесконечности, то значение R будет падать tío'" своей величине, по мере того, как будет ^еныиаться х значение R достигает минимума; ' • ; •

\ г '' / ~dT = 2¡/l Тх" Но х не может быть меньше 1,11. Следовательно, как-бы МЫ'ни изменяли .R в сторону уменьшения., х никогда не должен дойти до единицы.

Отсюда получается, что R изменяется в одном направлении с з; т. е. величина его будет пропорциональна X и обратно пропорциональна g. Выясним теперь влияние глубины Н на изменение величины Е.

1

.R

X

dR dx

',/(N4- 2 L) d _ .___

■ 4 Tg \/x¿ — X— i

X — X

г

(X f-2Ljd

4 ir g

Так'как, минимальное значение Х = 1.11, то полученное значение производной ..будет величиной отрицательной. ' '-

И так,.величина радиуса К Изменяется обратно изменению но так же} как Н. Отсюда выходит, что величина глубины шахты сказывается на величинах радиусов г и К'' в противоположных направлениях.; ; '"'•"' ,

' Изследуем теперь природу компонента т, при помощи/ которого устанав-лн!аются границы изменения для ...

Йапишем общее 'выражение для' момента сопротивления

' И2 ..\ :. ' '

4р2-

М —Хр =

gd~>

ш

4 ::2

'В этом выраженная величина^ колеблется в пределах

Н ■ , И -

: 1 2р 2р . с , .■В новых, условиях, когда величина со колеблется в пределах

' • II , Н

---г ДО+— —

, ; " "' : - - ■ 2 т р 2 иг р '

Ч

58

i

выражение для момента сопротивления напишется так

' gd2 ( Е2

М — N Р -2— ------ ш 2

4 ТЕ 2 \ 4m2p2 J _

Величина М—N р получает шах или min при условия

И

О) -а= -

YT-

' ' ~ 111 ? 3

Подстанавливая это значение со в уравнение момента, получим

144 тс2 т3 р3 I

-Отсюда ясным становится, что значение р растет с увеличением т. > ,

Что касается изменения самого момента Ж для значюн'кй со в пределах;

Н Н '

от—---+ до —-, то величина этого момента уменьшается по мере того*.

2тр 1 2тр

' ' 1 1 . как растет т, но более быстро, чем куб дроби —

, Выясним теперь, как будет изменяться М—Хр, когда ш изменяется в пределах

' ■ ■ / • ' -__н_ ' ___н_ ■ ■

2р Д° 2 р т '

это с одной стороны, а с другой, когда со изменяется в пределах

, Н г Н

Проще всего для решения этой задачи обратиться к уравнению .

/ 1 1 \вз

< • М — N р =г= =±; '

4г2 \8т2 8 / Р3 Определим т с таким рассчетом, чтобы отклонение М от его среднего значения не превышало максимального отклонения М при значениях со, заключающихся между

II , II

--- и 4- ——

2 р т 1 2 р ш ;

Для этого достаточно выполнить условие / -

• . ' ' ' ' ( 1 — 1 -1. Ч '

\ 8 8 Я12 / 18 т3 , . V '

Это неравенство даёт-возможнрсть найтц наибольшее значение гпгиз уравнения

щз — ш-0,3849=^=0 - - >

С достаточной степенью точности можно положить 1,155 оо 1.16 (См. -С. К. Конюхов. Нахождение действительного корня уравнения любой степени, графическим путем).

Тогда получим ♦

(т—1,155) (т21,155 т-|-0,334) =^0 , ,

Два другие корня отбрасываются, как меньшие положительной единицы, и потому, неудовлетворяющие-условию задачи. И так, ^ ,

ттах==1Л§5

В разобранной теории умышленно не учтены вредные сопротивления, даже в той упрощенной форме, как это предложено Гауэром. Вид формул тогда поучается несколько сложнее. Но еще более усложнится вопрос, если учитывать силы инерции, пользуясь началом Делямбера.

Это должно составить предмет следующей статьи на ту же тему. -

Можно только добавить, что 'теория бобины очень просто прилагается к теории конического барабана.

В самом деле, если обозначить через (£ угол образующей усеченного конического барабана с осью барабана, то у—ние спирали Архимеда получим такой вид

, <1 Эш 8 у

х==г-| , . ■ г ■ _

вместо ' . <1

' Пример. Н = 550 шш, N=^=1600, Ъ = 2670, Б = 2200, g=-=4 kg; канатная лента = 80 X 18 гат; (1 = 18 тт. Определим р.

1600 + 5340 + 2200 „,„, ,:,5„„ . \ 2200 # ■ - # ^ ^ х2 —4.16 х —0.125 = 0; х = 4,39

- ' р - ]/ ¿Л * =l/j5Q-°'Q1B-4'39L = co l.89

' ... , ■ . 4 tz 12.56.

Определим г и R _____

«1.89 —l:455eol.4Q mtr.

R = р f 1 —== 1.89. (1-ЬО,228)'=*»2?31 mt

Этот результат вычислений можно считать вполне удовлетворительными.

В самом деле, максимальное и минимальное отклонение М будет v

gd2. "|/"зТН3 4.0,0l62.l,73 .550* лал / ^ *

, % о а--„ О Qfi Oft 1 QQ3 = 00 464 kg-mt

4ти2.36 . 4.9,86.36 . 1,89* - /•

Уравнение для определения момента после соответствующих подстановок сокращении получит такой ,вид ' , ^ , > ,

1375 — 3024 — М

Величина х^ определяющая тах й min этой функции, будет *

' ' , . ^^ — 4125 х2 — 31,25 — О vdx

, ■ .' х==±о,7б;

Подотанавдивая это значение х в выражение для М, получим / v Mmax=== 3603,88 k g mt

Mmin ====2444,75 kg mt, '

Отклонение в первом случае составляет 13°/о, а во втором 19^/о.

Но результат ?тот можно еще улучшить, если .ввести в рассчет коэффициент т=-*1,16.

Тогда отклонение в первом случае составит всего около 8,3^/0^ а во втором 12,2°/о. Величина р для ш = 1.16 будет равна '

р — 2,19 mtr; г == 1.69 и R =-^,68 mni. .

Такова упрощенная статическая теория бобины.

При написании работы я старался использовать всю техническую литературу по данному вопросу, но главным образом я пользовался трудами Комба, Гатон де ля Гупилльера, Кондратьева и т. д., введя исправления случайных погрешностей в труды этих талантливых людей. - ' ^