CC BY
45
_Известия ТулГУ. Технические науки. 2017. Вып. 8. Ч. 1_
УДК 621.91.002
ТЕОРЕТИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПРОЕКТНЫЙ РАСЧЕТ УГЛОВЫХ РАЗМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ
О.А. Медведев
Разработана оригинальная методика проектного расчета угловых размерных цепей, которая позволяет определять степень точности составляющих звеньев, обеспечивающую их неполную взаимозаменяемость и сократить трудоемкость определения допусков угловых составляющих звеньев.
Ключевые слова: точность сборки, угловая размерная цепь, равноточные допуски углов, теоретико-вероятностный расчет, степень точности углов.
Проектирование надежных и точных машин, эффективных техпроцессов сборки и механической обработки их деталей невозможно без комплексного размерного анализа объектов проектирования на основе выявления и решения конструкторских и технологических размерных цепей. На основе проектных расчетов размерных цепей можно определить технически обоснованные требования к точности размеров комплектующих деталей, исходя из требуемой точности важных функциональных геометрических параметров машины, формирующихся при ее сборке, а также определить точность выполнения технологических размеров исходя из точности чертежных размеров детали при ее механической обработке.
Методика проектных расчетов линейных размерных цепей достаточно подробно разработана и описана в учебной и специальной технической литературе [1]. В то же время вопросам выявления и решения угловых размерных цепей уделяется неоправданно мало внимания, несмотря на ряд объективных факторов, определяющих их важность:
- в большинстве случаев требуемый уровень точности размеров, определяющих угловые положения поверхностей деталей и сборочных единиц (отклонение от перпендикулярности, параллельности, наклона поверхностей, торцевого биения и др.), значительно выше уровня точности линейных размеров, связывающих указанные поверхности. В соответствии с ГОСТ 24643-81 допуски формы и расположения не должны превышать определенной доли допуска соответствующего линейного размера (от 25 до 60 %);
- для достижения высокой точности угловых замыкающих размеров при сборке технически затруднительно использовать методы пригонки, регулирования, селективной сборки. Эта точность обычно достигается методами полной и неполной взаимозаменяемости, что предполагает достаточную высокую точность получения угловых размеров при изготовлении деталей;
- точность углового положения поверхностей деталей при механической обработке также обеспечивается методами полной и неполной взаимозаменяемости и зависит от точности угловых положений элементов станков, приспособлений, инструментов, так как на большинстве металлорежущих станков отсутствуют механизмы точной регулировки угловых положений рабочих органов.
Таким образом, во многих случаях проектные расчеты угловых размерных цепей имеют приоритетное значение для обеспечения точности сборки машин и изготовления деталей. Несмотря на то, что основные положения теории линейных размерных цепей приемлемы и для угловых размерных цепей, расчеты последних не находят широкого применения в практике проектирования машин и техпроцессов. Это объясняется трудностями выявления, восприятия и изображения схем угловых размерных цепей, своеобразием построения системы допусков угловых размеров и отсутствием методики проектных расчетов, пригодных для практики.
Основой проектного расчета любой размерной цепи является способ распределения допуска замыкающего звена на составляющие звенья. По аналогии с линейными размерными цепями для угловых цепей целесообразно использовать способ равноточных допусков, то есть допуски всех составляющих звеньев принимать по одной степени точности. Используемые на практике способ подбора составляющих допусков и способ равных допусков имеют существенные недостатки. Бессистемный подбор допусков углов требует больших затрат времени. Принимая равные допуски на угловые размеры при разной длине границ углов, можно установить для углов с длинными сторонами неприемлемо высокий уровень точности. Более рационально допуск на составляющий угловой размер определять с учетом длин его границ, так же, как допуски на составляющие звенья линейных цепей определяют с учетом их номиналов, ограничивая разнообразие допусков одним квалитетом.
Метод равноточных допусков может быть реализован для угловых размерных цепей при условии, что правила построения стандартной системы угловых допусков позволяют получить выражение для расчета номера степени точности (одинаковой для всех составляющих звеньев) в зависимости от допуска замыкающего звена, длин границ углов и параметров системы допусков.
Несмотря на то, что система допусков параллельности, перпендикулярности, наклона, торцевого биения и система допусков углов регламентируется разными стандартами (ГОСТ 24643-81 и ГОСТ 8908-81 соответственно), они построены по единым принципам, имеют одинаковые интервалы длин, набор степеней точности и значений допусков (при выражении допусков углов в линейных единицах в виде катета). Это позволяет использовать метод равноточных допусков для решения размерных цепей, имеющих в качестве составляющих звеньев как углы, так и
241
отклонения от перпендикулярности, параллельности, торцевого биения и наклона. Анализ принципов построения указанных систем стандартных допусков позволил составить математическое выражение для расчета любого стандартного допуска углового размера в пределах ограничений систем допусков. Значения стандартных угловых допусков изменяются в пределах одной степени точности в зависимости от значения длины меньшей стороны угла по ряду предпочтительных чисел Яа10 с коэффициентом геометрической прогрессии [2]
1 = 1010 »1,25.
В пределах одного интервала длин допуски изменяются в зависимости от степени точности по ряду предпочтительных чисел Яа5 с коэффициентом геометрической прогрессии [1]
ф = Щ »1,6.
Поэтому любое значение стандартного допуска ]-го составляющего звена угловой цепи можно выразить формулой
АТ; = АТ1 фп-1 •1т-1, (1)
где АТ 1=0,4 мкм - исходный минимальный допуск для первой степени точности и первого интервала длин [2]; п - номер степени точности допуска; т - номер интервала минимальной длины стороны нормируемого угла.
В то же время границы интервалов длин в системах стандартных угловых допусков сами являются членами геометрической прогрессии с
коэффициентом е в зависимости от номера интервала [2]: е = »1,6 . Тогда верхняя граница любого интервала длин может быть определена по формуле
Ь] = Ь ет-1, (2)
где Ь1 - верхняя граница первого интервала длин, мм.
После логарифмирования уравнения (2) найдем выражение для т -1:
1п Ь] 1п ц
1п Ь] = 1п Ь + (т -1) • 1п е; т -1 =-----1.
1п е 1п е
Заменив в (1) степень т-1 ее предыдущим выражением, после преобразований получим математическое выражение для расчета любого системного углового допуска, который может быть назначен для ]-го звена угловой цепи по ГОСТ 24643-81 или ГОСТ 8908-81:
АТ; = АТ1 •у 1п е
1пЬw и Ь'
у/ 1п е
]
-1 О Ь] „М-1
• ф = В • С J ф , (3)
V У
где АТ7=0,4 мкм - исходный минимальный допуск для первой степени
точности и первого интервала длин меньшей стороны угла; у = 1010 »1,25 - коэффициент геометрической прогрессии, членами которой являются системные угловые допуски для разных интервалов длин границ норми-
242
руемых углов в пределах одной степени точности; е = »1,6 - коэффициент геометрической прогрессии, членами которой являются границы интервалов длин в системе угловых допусков; Ь} - верхняя граница первого интервала длин сторон углов; Ь/ - верхняя граница интервала длин, к которому относится верхняя граница нормируемого /-го звена угловой цепи;
ф = Ш
»1,6 - коэффициент геометрической прогрессии, членами которой являются системные угловые допуски для разных степеней точности в пределах одного интервала длин сторон углов; п - номер степени точности назначаемого допуска.
Для упрощения записи и использования формулы (3) приняты обозначения постоянных множителей, не зависящих от /:
1п Ь ^ 1/ 4
1п е
В = АТ1 -у 1пе и С = у
V У
Достижение точности сборки замыкающих звеньев размерных цепей методом неполной взаимозаменяемости позволяет уменьшить требования к точности размеров деталей, входящих в размерные цепи, при сохранении основных преимуществ полной взаимозаменяемости.
На составляющие звенья назначаются расширенные допуски, поэтому у некоторой части изделий замыкающее звено может выйти за пределы заданного допуска. Если доля таких бракованных изделий невелика, то сумма затрат на изготовление неточных деталей и дополнительных затрат на исправление брака будет значительно меньше расходов на точные детали, необходимые для метода полной взаимозаменяемости.
В таком случае неполная взаимозаменяемость предпочтительнее. Так как размеры деталей после мехобработки подчиняются законам распределения, при которых их крайние значения маловероятны, то для замыкающего звена (суммы таких размеров) указанный характер распределения выражен еще сильнее. Благодаря этому часто удается получать незначительные доли брака при существенном расширении допусков составляющих звеньев.
При составлении уравнения для расчета номера степени точности п угловых составляющих звеньев с учетом допустимой доли брака при сборке, полей рассеяния и параметров распределения звеньев будем использовать выражение, применяемое для теоретико-вероятностных расчетов линейных размерных цепей [1, 3],
4= % - £ а) -А), (4)
/=1
где ®д - поле рассеяния замыкающего звена; Ю/ - поле рассеяния 7-го составляющего звена; - коэффициент риска для замыкающего звена; X/ -коэффициент относительного рассеяния /-го составляющего звена; р - число составляющих звеньев цепи.
При использовании формулы (4) для расчета угловых размерных цепей в качестве юд и юу необходимо использовать соответствующие поля рассеяния углов, приведенные к одинаковой базовой длине. Для упрощения последующих выражений принимаем значение базовой длины 1 мм. Тогда приведенное значение поля рассеяния каждого углового звена получим, делением его поля рассеяния на длину его меньшей стороны.
Распределение замыкающего звена как суммы большого числа независимых случайных величин можно считать нормальным и, используя таблицу функции Лапласа, определять коэффициент в зависимости от экономически приемлемой доли бракованных изделий. В соответствии с рекомендациями [1, 3] для составляющих звеньев в виде положительных отклонений расположения поверхностей деталей от параллельности, от перпендикулярности, от соосности целесообразно принимать распределение по закону Релея с коэффициентом относительного рассеяния гк2]- = 0,1337. При наличии в угловой цепи звеньев, поля рассеяния ю7-ст (допуски) которых регламентируются стандартами, степень точности следует определить только для остальных составляющих звеньев. Поэтому в правой части уравнения (4) запишем отдельно сумму приведенных стандартных и сумму приведенных нестандартных полей рассеяния и подставим во вторую сумму в качестве выражение (3) для ТА,:
Рс о О Рн
ЮА = 4 ■ X • ^с + ■ X Ю7 •^ =
7=1
Рс
: ■ X Ю7с ■ Цс + ■ В
2
■Ф
7=1 2(п-1)
Рн С 21п 17
X С
¿2 ь7
■1/.
(5)
7=1 7=1
Преобразуем уравнение (5) так, чтобы в левой части равенства оказался множитель, содержащий степень точности п, одинаковую для всех нестандартных звеньев:
Ф
2(п-1) =,
2 2 Рс 2 2 ЮА- tА■ X Ю 7с 17с
7=1
В 2
Рн С 21п Ь7 2
X ■А2
7=1
(6)
7
После логарифмирования (6) и выделения в левой части равенства
степени точности п получим
1
п
21п ф
1п
Рс
ЮА - tА■ X < -1
7=1
7 с 7с
1п
2 В2 РЦС21П17 -2 "
7
ФвX
7=1
¿2.
Ь7
+1. (7)
Рассчитанное значение п следует округлять до ближайшего меньшего целого и использовать для назначения полей рассеяния составляющих угловых звеньев по таблицам допусков (ГОСТ 8908-81 или ГОСТ
24643-81). Сумма назначенных допусков, приведенных к единой базовой длине 1 мм, не должна превышать приведенного допуска замыкающего звена. Выражение, полученное для расчета номера степени точности, может быть полезно инженерам-конструкторам для обоснованного определения допусков угловых размеров деталей машин, для обеспечения при сборке точности важных функциональных геометрических параметров методом неполной взаимозаменяемости.
Список литературы
1. Солонин И.С., Солонин С.И. Расчет сборочных и технологических размерных цепей. М.: Машиностроение, 1980. 110 с.
2. Допуски и посадки: справочник в 2 ч. / М.А. Палей [и др.]. Ч. 1. 8-е изд., перераб. и доп. СПб.: Политехника, 2001. 576 с.
3. Бородачев Н.А. Анализ качества и точности производства. М.: Машгиз, 1946. 252 с.
Медведев Олег Анатольевич, канд. техн. наук, доц., зав. кафедрой, tm@,bstu.by, Беларусь, Брест, Брестский государственный технический университет
THEORETICAL PROBABILISTIC DESIGN CALCULATION OF ANGULAR DIMENSION CHAINS
O.A. Medvedev
Is devoted to the development of the original project methodology for calculating angular dimensional chains. It allows you to determine the degree of accuracy of the constituent parts, which ensures their incomplete interchangeability. Application of methods allows to reduce labour input determine tolerances of angular constituent links.
Key words: precision assemblies, an angular dimensional chain, corners tolerances, theoretical probabilistic calculation, the degree of accuracy of angles.
Medvedev Oleg Anatolievich, candidate of technical sciences, docent, head of chair, tm@,bstu. by, Belarus, Brest, Brest State Technical University
