Теоретико-решеточная модель конструкции Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл №ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025.155М 1994-0408_

Теоретико-решеточная модель конструкции

# 09, сентябрь 2011 автор: Божко А. Н.

УДК 004.942

МГТУ им. Н.Э. Баумана abozhko1@gmail.com

Еще со времен первых работ по теории систем во многих отраслях научного знания утвердилась и получила развитие так называемая структурная парадигма, когда свойства целого выводятся из характеристик элементов и связей между ними. Эта доктрина оказалась плодотворной не только в естественных науках и лингвистике. Опыт показал, что структурный подход имеет множество результативных применений в теории проектирования и технологии машиностроения [7, 8, 9].

Естественным средством для описания структур технических объектов служит аппарат теории графов, с помощью которого удалось решить несколько важных прикладных задач размерного анализа, синтеза кинематических схем, функционально-стоимостного анализа и др. Известны работы, в которых авторы предлагали различные графовые модели для проектирования сборочных процессов машин и механических приборов. Эти попытки были не вполне удачными, поскольку в процессе техногенеза элементы систем часто образуют сложные «ансамбли», которые не могут быть адекватно описаны бинарными отношениями. Многие свойства сложных технических объектов порождаются в результате взаимодействия множественных совокупностей составных частей, и на статическом уровне феномены такого рода представляются многоместными отношениями или отношениями переменной местности. Технологические процессы изготовления машин и приборов изобилуют примерами отношений такого сорта. Так, базирование и геометрические связи в процессе сборки в общем случае являются многоместными и в терминах графов принципиально не могут быть описаны без потери существенных данных.

В нескольких работах автора (см. [1, 2, 3]) предложена и обоснована гиперграфовая модель конструкции машин и механических приборов. Во многих проектных ситуациях эта структурная модель адекватно описывает совокупность позиционных механических связей, доставляющих деталям изделия определенность в процессе сборки.

Рис. 1. Промежуточный вал цилиндрического редуктора внутреннего зацепления

На рис. 1 показан пример простой конструкции, а на следующем рисунке - две ее структурные модели: граф механических связей (а) и гиперграф механических связей (Ь).

3

4

Рис. 2. Структурные модели редуктора

Развернутое определение, примеры применения и описание области адекватности ги-перграфовой модели изделия можно найти в [1]. Поскольку данная работа является продолжением цикла статей, ограничимся самыми краткими формулировками исходных понятий, необходимыми для изложения результатов.

Поставим в соответствие изделию гиперграф механических связей Н = (X,Я,Ж) , где

множество вершин X = {хі}пі=1 описывает детали машины или механического прибора,

множество гиперребер R — {fj}j=\ представляет минимальные геометрически определенные группировки деталей, а W : R ^ 2Х - инцидентор, который связывает гиперребра с

входящими в него вершинами.

Гиперграф называется стягиваемым (s-гиперграфом), если существует последовательность P(H) — (H0...Hn-1), для элементов которой выполняются следующие требования:

1. H0 — H;

2. Hn1 представляет собой одновершинный гиперграф;

3. Для всех Hj и Hj+1 е P(H), j — 0,n — 2 справедливо соотношение

iRji-1 —lRj J;

4. Каждый элемент последовательности Hj+1 получается из предыдущего Hj стягиванием ребра кратности 2, j — 0,n — 2. Такое стягивание называется нормальным.

В общем случае в стягиваемом гиперграфе существуют фрагменты, которые стягиваются независимо от своего окружения. Таковыми, в частности, являются все сборочные единицы и «образы», которые «пробегает» изделие в процессе общей сборки. Моделями таких фрагментов будут s-гиперграфы, которые являются подмножествами структуры, описывающей все изделие. Если определен гиперграф H, задающий позиционные механические связи всего изделия, то каждый его s-подгиперграф полностью определяется набором своих вершин, как порожденный в H. В этой ситуации s-подгиперграфы можно называть просто s-множествами, что существенно упрощает изложение материала.

Теорема 1. Если частично-упорядоченное множество (L, <) имеет наибольший элемент (1), а всякое непустое подмножество - нижнюю грань, то (L, <) является полной решеткой [4].

Доказательство.

Пусть A - непустое подмножество L. Верхний конус A& содержит единицу, т.е. множество ЛА - непусто. По условиям теоремы существует inf A&. Покажем теперь, что inf A& — sup Л . Если a — sup A, то х < а для всех х е Л и, кроме того, a < у для всех у е A&. Если же и < у для всех у е A&, то поскольку а е A& , имеем и < а, чем и доказывается равенство а — inf A& . Если существует b — inf A&, то поскольку для каждого х е A

справедливо соотношение х < у Уу е AA, имеем х < Ь Vx е A . Если v > x для всех x е A , то v е A& и, следовательно, v > Ь . Таким образом, Ь = Бир A. Теорема доказана.

Пусть задан стягиваемый гиперграф H = (X,R,W) . Обозначим через F(H) - множество всех Б-подграфов гиперграфа И, пополненное пустым множеством 0. Упорядочим F(H) по теоретико-множественному включению ^. Для любых двух Б-подграфов И = (Хг,Ri,Wi) и И = (X',), принадлежащих F(И), И < И тогда и только тогда, когда X ^ X'. Так как подграфы Иг, И - порожденные в И, то включение вершин X- ^ X влечет за собой включение ребер Ri ^ Rj.

В [2] доказана теорема, утверждающая, что если два Б-подграфа И-, И' Б-гиперграфа И порождены своими множествами вершин И- = [ X- ] , И' = [ X' ] и имеют непустое пересечение X- П X', то подграф [X- П X'], порожденный этим пересечением, также является стягиваемым.

Если любым двум Б-подграфам И-, И', имеющим пустое пересечение X П X' = 0 вершин сопоставить [X П X'] = 0, то множество F(H) становится замкнутым относительно пересечения своих элементов. В этих условиях имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть И = (X,R,W) - стягиваемый гиперграф. Частично-упорядоченное множество ^(И), <) всех Б-подграфов гиперграфа И, пополненное пустым множеством

0, является полной решеткой.

Доказательство. Множество F(H) имеет наибольший элемент, которым служит гиперграф И. Для любых И-, И' е F (И) тДИ-, Щ = [ X П X ], если X П X' ^0, в противном

случае - тДИ-,И'} = 0. Если F = {Иг}|=1 - непустое подмножество F(H), то равенство

тГF = ^{...т^тДИ 1,И2},Иэ}...Иг} доказывает существование нижней грани для F. Все условия теоремы 1 выполнены, поэтому частично-упорядоченное множество ^ (И ), <) является полной решеткой.

На рис. 3 приведен пример стягиваемого гиперграфа И небольшой размерности, а на рис. 4 показана диаграмма Хассе решетки ^ (И), <) всех его Б-подграфов.

Эта решетка не «праздно являет себя», она служит универсальной порождающей средой для генерации множества проектных решений в процессе технологической подготовки производства сборочных процессов. Приведем несколько простых интерпретаций, не требующих подробного изложения.

Любой путь в F(H) из минимального элемента (0) в максимальный (И) представляет собой описание последовательности сборки, которую допускает изделие по условиям базирования. Множество всех таких путей образует исходное множество альтернатив в задаче выбора рациональной последовательности сборки в заданной технологической системе. Любая схема технологического членения изделия (т.е. разбиение конструкции на сборочные единицы) описывается деревом, вписанным в решетку F(H) и др.

Исследования показали, что решетки F(H) очень богаты технологическим содержанием. Множество решеточных категорий (подрешетки, полурешетки, конгруэнции, морфизмы и др.) имеют содержательные технологические и конструктивные толкования. (Автор готовит к публикации отдельную статью, посвященную этой теме.)

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

1,2,3

1,2,3

1,2,3

1,2,3

1,2,3

1,2,3

1,2,3

1,2

Рис. 4. Диаграмма Хассе решетки ^ (И), <)

Утверждение о решеточной организации множества всех собираемых фрагментов конструкции можно обосновать и иным способом. Обозначим через В(X) совокупность всех

подмножеств множества X, включая и пустое множество. Множество В(X) иногда называют булеаном, а X - носителем. В алгебраической теории решеток доказывается теорема, гласящая, что для любого X его булеан В(X) является полной решеткой [4]. Эту решетку можно рассматривать как частично-упорядоченное множество (В( X), <), в котором отношение предшествования индуцируется теоретико-множественным включением ^. Рассмотрим отображение р : В(X) ^ В(X), у которого УУ е В(X) выполняются условия:

1. У <р(У) (экстенсивность);

2. У1 < У2 ^ р(У 1) < р(У2) (монотонность);

3. р(р(У)) = р(У) (идемпотентность).

Отображение, обладающее свойствами 1-3, называется оператором замыкания, а элементы У, для которых справедливо р(У) = У , называются замкнутыми [4].

Теперь пусть X - множество деталей изделия, а отображение р : В(X) ^ В(X) любому подмножеству У е В(X) ставит в соответствие р(У) е В(X), где р(У) - минимальный по составу независимо собираемый фрагмент изделия, включающий в себя У.

Так как У <^р(У), то для отображения р очевидным образом выполняется свойство экстенсивности (1).

Обоснуем монотонность. В самом деле, если для подмножеств деталей У 1,У2 е В(X) имеет место У1 ^ У 2, то минимальный собираемый фрагмент р(У 2), включающий У 2, является собираемым фрагментом (возможно не минимальным), содержащим У1. Поэтому р(У 1) <р(У 2).

Покажем идемпотентность. Для любого У его образ р(У) является и минимальным и собираемым по определению, поэтому р(р(У)) = р(У) .

В такой интерпретации отображения р р -замкнутыми элементами в В(X) являются подмножества деталей, сборка которых может быть осуществлена независимо, и только они.

Множество всех р -замкнутых элементов р(В( X)) называется частным по замыканию и обозначается В(X)/ р = {У е В(X)|р(У) = У}. В [4] доказывается теорема, утверждающая, что частное по замыканию Ь / у оператора у : Ь ^ Ь, действующего на решетке Ь, само является решеткой; причем нижние грани элементов в Ь совпадают с нижними гранями в Ь / у, т.е. для любых а, Ь е Ь выполняется а л ьЬ = а л ь / уЬ.

Булеан В(X) множества деталей представляет собой решетку, поэтому частное В(X)/ р по замыканию р также является решеткой. Причем, для любых

У 1,У2 еВ^)/р У1ПУ2 = У1 л в(X)/ рУ 2, т.е. пересечение любых подмножеств, собираемых независимо, обладает этим свойством.

Рассмотрим отображение р : В(X) ^ В(X), для которого выполняются требования 2 и 3 из определения оператора замыкания и, кроме того, справедливо соотношение У е В(X) р(У) < У (интенсивность). Отображение с такими свойствами называется в теории решеток оператором козамыкания [4].

Будем считать, что интерпретация множеств У, X, В(X) осталась неизменной, а оператор козамыкания р каждому множеству деталей У ставит в соответствие максимальное по

мощности подмножество р(У) ^ У, сборка которого может быть осуществлена независимо. Таковое всегда существует, поскольку семейство всех независимо собираемых подмножеств множества У непусто (каждая деталь х е У входит в это семейство). Если оператор замыкания р добавляет детали, делающие сборку р(У) независимой, то оператор козамыкания удаляет «лишние» детали, нарушающие это свойство.

Подмножество У е В(X), для которого р(У) = У , называется козамкнутым, а совокупность всех козамкнутых элементов булеана В(Х) - частным по козамыканию и обозначается В(X) / р . Известна теорема, гласящая, что частное по козамыканию полной решетки, также представляет собой решетку.

Необходимо отметить, что в разных проектных ситуациях свойство собираемости множества деталей может получать толкования, отличающиеся от полной взаимной скоординированности по условиям базирования. Иногда любое связное подмножество деталей без обязательной взаимной координации считается собираемым. В некоторых операциях технологической подготовки производства собираемым считается группа деталей, расфасованных в специальную тару. Причем между элементами этой группы могут отсутствовать взаимная координация и механические связи [5, 6].

Для подобных случаев, когда понятие собираемости толкуется расширительно, а требования взаимной скоординированности ослабляются или снимаются, не подходит гипер-графовая формализация. Описания собираемых подмножеств при помощи операторов замыкания и козамыкания не зависят от толкования скординированности или связности

подмножеств деталей, поэтому область адекватности решеток В(X)/ р и В(X)/ р больше, чем у решетки ^ (И ), <).

Список литературы

1. Божко А.Н. Моделирование механических связей изделия// Электронное научнотехническое издание «Наука и образование» - 2011. - №3.

2. Божко А.Н. Моделирование механических связей изделия. Условия стягиваемости// Электронное научно-техническое издание «Наука и образование» - 2011. - №5.

3. Божко А. Н., Бетин Е. А. Анализ стягиваемости гиперграфов// Информационные технологии. - 2005. - №5 - с. 6-12.

4. Гретцер Г. Общая теория решеток. -М.: Мир, 1982.

5. Маталин А.А. Технология машиностроения. - М.: Машиностроение, 1985.

6. Сборка и монтаж изделий машиностроения: справочник в 2-х томах / Под ред. В.С. Корсакова, В.К. Замятина. - М.: Машиностроение, 1983.

7. Своятыцкий Д.А. Моделирование процессов сборки в робототехнических комплексах. - Минск: Наука и техника, 1983.

8. Тимковский В.Г. Дискретная математика в мире станков и деталей. - М.:Наука, 1992.

9. Челищев Б.Е., Боброва И.В., Гонсалес-Сабатер А. Автоматизация проектирования технологии в машиностроении - М.: Машиностроение, 1987.