Теоретико-множественный подход к структуре генераторов концепта Текст научной статьи по специальности «Математика»

h = * FMF(A)(hi, ...,h„) справедливы утверждения: (/ о о hi) € Yhh , (/, h) e Yhh . Дей-

ствительно, из условий /¿о а с а ohj (1 < i < n) следует, что

(/2 о /1 )о а1= /2 о (/iо а1) с /2 о ( а1 ohi) = (/20 а1) о hi с ( а1 oh2) ◦ hi = а1 o(h2 о hi), и при любом x e *A в силу (3) выполняется

, - 1

,-1

,-1

-1

-1

f ( а (x)) = Fa(/1( а (x)), ...,/„(а (x))) С Fa( а (Mx)),..., а (hn(x))) С

-1

-1

-1

С а (* (х),...,Л„(х)) = а (* ,... ,Л„)(х)) = а (Л(х)).

Из доказанного следует, что для любых мультифункций /1,...,/п е М,Тн (А) и ,..., е е *н(А), удовлетворяющих условиям / Л) е 7Н (1 < % < п), и значений / = (А)(/1,..., /п), h = *^М^(а)(Л15 ..., Лп) справедливы утверждения: (/2 о /15Л2 о Л1) е 7Н, (/, Л) е 7Н. Теорема доказана.

Библиографический список

1. Молчанов В.А. Нестандартные сходимости в пространствах отображений // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, № 6. С. 141-153.

2. Молчанов В.А. Непрерывные сходимости отображений // Изв. вуз. Мат. 1993. № 3. С. 59-67.

3. Вагнер В.В. Теория отношений и алгебра частичных отображений // Теория полугрупп и ее приложения: Сб. статей. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1965. Вып. 1. С. 3-178.

4. Молчанов В.А. О применении повторных нестандартных расширений в топологии // Сиб. мат. журнал. 1989. Т. 30, № 3. С. 64-71.

5. Альбеверио С., Фенстад Й., Хег-Крон Р.,

УДК 519.4

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД К СТРУКТУРЕ ГЕНЕРАТОРОВ КОНЦЕПТА

В.Е. Новиков

Саратовский государственный университет, кафедра геометрии E-mail: NovikovVE@list.ru

Разработаны теоретико-множественные методы, с помощью которых описывается структура генераторов концепта в формальном концептуальном анализе.

Ключевые слова: формальный концептуальный анализ, генерация концептов, семейства множеств.

Линдстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике. М.: Мир, 1990. 616 с.

6. Fischer H.R. Limesraume // Math. Ann. 1959. V. 137. P. 269-303.

7. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.

8. Ascoli G. Le curve limite di una varieta data di curve // Mem. Accad. Lincei. 1883. V. 18, № 3. P. 551-586.

9. Weston J.D. A generalization of Ascoli's theorem // Mathematika. 1959. V. 6. P. 19-24.

10. Молчанов В.А. О представлениях топологических алгебр преобразованиями // Успехи мат. наук. 1993. Т. 48, № 3 (291). С. 195-196.

Set-Theoretical Approach to the Structure of Concept Generators

V.E. Novikov

Saratov State University, Chair of Geometry E-mail: NovikovVE@list.ru

Set-theoretical methods for the description of the structure of concept generators are developed.

Key words: formal concept analysis, concept generalization, family of sets.

ВВЕДЕНИЕ

В работах немецких математиков Р. Вилле [1], Б. Гантера [2] и др. был основан формальный концептуальный анализа и показаны его приложения к теории баз данных [3]. Генератор концепта — это такое множество атрибутов, которое определяет этот концепт. Например, если в качестве

концепта рассматривать некоторую алгебраическую теорию, то в качестве её генератора выступает множество аксиом этой алгебраической теории. При этом одна и та же алгебраическая теория может определяться различными множествами аксиом, которые образуют некоторую алгебраическую систему относительно теоретико-множественного включения.

1. СЕМЕЙСТВА, МИНИМАЛЬНЫЕ ПО ПЕРЕСЕЧЕНИЮ

Пусть P(M) — множество всех подмножеств множества М. Отображение / : I ^ P(M) обозначаем (Хг }ге/ для Хг = /(г) и называем семейством подмножеств множества М, индексированное множеством I. Семейство (Хг}ге/ назовём минимальным по пересечению или кратко Р|-минимальным, если для любого ] е I выполняется неравенство

П X = П Хг. (1)

ге/ ге/\Ш

Учитывая свойства пересечения, последнее неравенство означает строгое включение:

П Хг С П Хг. (2)

ге/ ге/\{7}

Очевидно, что не каждое семейство множеств может иметь подсемейство, удовлетворяющее условию (1). Например, таким является бесконечное семейство открытых множеств с замкнутым пересечением. Далее рассматриваются только семейства, которые содержат минимальные подсемейства или сами ими являются. В частности, в этот класс семейств попадают все конечные семейства.

Для семейства (Хг}ге/ обозначим У = Р| Хг. Если при этом семейство (Хг}ге/ является

ге/

П-минимальным, то будем называть его У -минимальным, в частности, если У = 0, то будем называть ноль-минимальным. Для г е I обозначим Хг = Хг\У, Хг = Р| Х-. При этом семейство

7е/\{г}

(Хг}ге/ назовём приведённым, а (Хг}ге/ — производным от семейства (Хг}ге/. Предложение 1.1. Для любого семейства (Хг}ге/ имеет место Р| Хг = 0.

ге/

Доказательство. П Хг = П (Хг \ У) = ( П Хг) \ У = У \ У = 0. □

ге/ ге/ ге/

Предложение 1.2. Семейство (Хг }ге/ П-минимально тогда и только тогда, когда ноль-минимально его приведённое семейство (Хг }ге/.

Доказательство. Допустим (Хг}ге/ минимально. Тогда для любого ] е I выполняется строгое

включение Р| Хг С Р| Хг, т. е. выполняется строгое включение У С У-7, которое равносильно

ге/ ге/\{7}

неравенству У7\У = 0, что, в свою очередь, равносильно выражению

П Хг =( П Х^ \ У = У7 \ У = 0.

ге/\{7} ге/\{7}

Таким образом, для любого ] е I выполняется Р| Хг = 0. Откуда, учитывая предложение 1.1,

ге/\{7}

семейство (Хг}ге/ является ноль-минимальным. □

Следовательно, рассмотрение П-минимальных семейств можно свести к рассмотрению ноль-минимальных семейств.

Теорема 1.3. Семейство (Хг }ге/ является ноль-минимальным тогда и только тогда, когда его производное семейство (Хг}ге/ состоит из непустых и попарно непересекающихся множеств. Доказательство. Допустим (Хг}ге/ ноль-минимально. Тогда Р| Хг = 0 и для любого г е I

ге/

выполняется Р| Х- = 0. Причём для любых г1 = г2 выполняется условие 7е/\{г}

Хг1 ПХг2 = ( П Х7) П ( П Хк) = П Х7 = П Х7 = 0. □

7е/\{г1} ке/\{г2} 7е(/\{г1}) и (/\{г2}) 7е/

По определению в семействе (Xj}iej при i = j, где i, j е I, возможно Xj = Xj, т.е. в семействе могут присутствовать два экземпляра одного и того же множества. Легко заметить, что в минимальном семействе (Xj}je/ при i = j, где i, j е I, всегда Xj = Xj. Иначе одно из множеств, Xj или Xj, можно было бы удалить, не нарушая пересечения.

2. НАСЫЩЕННЫЕ МНОЖЕСТВА НОЛЬ-МИНИМАЛЬНЫХ СЕМЕЙСТВ

Пусть (Xj}je/, (Xj}jej, где |I| J| > 2, — два ноль-минимальных семейства. Тогда семейство (Xj}je/у j также будет иметь пустое пересечение, причём это семейство может содержать в себе ноль-минимальные семейства, отличные от (Xj}je/ и (Xj}jej.

Множество ноль-минимальных семейств (Xk s }k seKS , s е S, будем называть насыщенным, если семейство (Xv}vey gS ks не содержит в себе ноль-минимальное подсемейство, не присутствующее в множестве семейств (Xks }kseKs, s е S.

Произвольное множество ноль-минимальных семейств (Xkt }kteKt, t е T, можно пополнить до насыщенного, добавив к нему те ноль-минимальные подсемейства из семейства (Xu}uey T Kt, которые в нём не присутствуют. Такой процесс и его результат будем называть насыщением.

Теорема 2.1. Множество ноль-минимальных семейств (Xks }kseKs, s е S, является насыщенным тогда и только тогда, когда для любого семейства (ks}ses элементов ks е Ks выполняется

условие 0 Xks = 0.

ses

Доказательство. Пусть множество ноль-минимальных семейств (XkS }ks eKS, s е S, является насыщенным. Тогда по теореме 1.3 для любого s е S выполняется условие

Xks = р| Xt = 0.

teK \{ks}

Допустим, существует такое семейство (k0} ses элементов k0 е Ks, что р| Xks — 0. Обозначим

ses

K = U Ks и рассмотрим семейство (Xk}keK, очевидно, оно имеет пустое пересечение. Удалив из

ses

него все Xko (s е S), получим семейство (Xk}keK\{ko}s6S, которое удовлетворяет условию

П Xk = п( П Xk) = nXk0 = 0.

keK\{k0 }s6S ses keK\{k0} ses

Таким образом, из семейства (Xk}keK\{k o} s6S можно получить ноль-минимальное семейство. Однако по построению оно не содержит ни одного из ноль-минимальных семейств (Xks }kseKs, s е S, и полученное из него ноль-минимальное семейство будет отлично от них, что противоречит определению насыщенного множества. Следовательно, такого семейства (k0}ses элементов k0 е Ks не существует,

и для любого семейства (ks}ses элементов ks е Ks выполняется условие Р| Xks = 0.

ses

Обратно, пусть для любого семейства (ks}ses элементов ks е Ks выполняется Р| Xks = 0.

ses

Положим K = U Ks и рассмотрим семейство (Xk}keK. Возьмём произвольный элемент s0 е S

ses

и удалим из семейства (Xk}keK любые (Xks}ses\{so}. Ясно, что из множества ноль-минимальных семейств (Xks }kseKs, s е S, полученное семейство содержит в себе только семейство (Xkso }kso eKso, причём оно единственное его ноль-минимальное подсемейство, поскольку с удалением любого Xk' ,

so

где ks0 е Kso, оставшееся семейство имеем пересечение

П Xk = П XkS = 0.

keK\{ks }s6s ses

Тогда по определению множество ноль-минимальных семейств (XkS }kseKS, s е S, является насыщенным. □

3. СТРУКТУРА НАСЫЩЕННЫХ МНОЖЕСТВ НОЛЬ-МИНИМАЛЬНЫХ СЕМЕЙСТВ

Предложение 3.1. Пусть семейство (Xj}je1 имеет пустое пересечение и (Xk}keK, (K ç I), некоторое ноль-минимальное его подсемейство. Ноль-минимальное семейство (Xk}keKс/ явля-

ется единственным ноль-минимальным в семействе {Хг }ге/ в том и только том случае, если для любого к е К

П Хг = 0.

ге/\{к}

Доказательство. Если К = I, то утверждение очевидно. Положим строгое включение К С I. Пусть {Х&}&ек единственное ноль-минимальное. Допустим, существует ко е К, такой что Р| Хг = 0. Тогда из {Хг}ге/\{к0} методом исключения можно получить ноль-минимальное се-

ге/\{ко}

мейство, отличное от {Хк}кек.

Обратно, пусть для любого к е К выполняется Р| Хг = 0. Допустим, существует другое

ге/\{к}

ноль-минимальное семейство {Х^-(1 С I), причём К = 1, т.е. существует к0 е К, такой что к0 / 1. Но тогда 1 С I\{к0} и, следовательно,

П Хг С р Х,- =0. □

ге/\{ко} ^

Теорема 3.1. Пусть семейство {Хг }ге/ имеет пустое пересечение и множество ноль-минимальных его подсемейств У = {Хкз }кзек (К. С I), 5 е Б, является насыщенным. Тогда насыщенное множество семейств {У}, 5 е Б, является максимальным насыщенными в семействе {Хг}ге/ в том и только том случае, когда для любого семейства {к.элементов к. е К.

П Хг =0.

ге/\{к3Ьей

Доказательство. Для любого 5 е Б имеем строгое включение К. С I (К. = I), в противном случае мы получаем противоречие тому, что семейства У ноль-минимальны. Допустим теперь, что существует семейство {к.элементов к. е К., такое что

Хг = 0.

ге/Ь ез

Тогда по построению семейство {Хг}ге/}зб5 содержит ноль-минимальное подсемейство, отличное от всех У, 5 е Б.

Обратно, пусть для любого семейства {к.}вез элементов к. е К. выполняется неравенство

Р| Хг = 0. Допустим, существует ноль-минимальное семейство У = {Хк}&ек' (К' С I),

ге/\{к3Ьей

отличное от всех семейств У, 5 е Б, т.е. для любого 5 е Б имеем К. = К' и Р|кек' Хк = 0. Следовательно, существует семейство {к0 элементов к0 е К. такое, что к0 / К' для любого 5 е Б .Но тогда К' С I\{k0}и, следовательно,

р| Хг С р| Хк =0,

ге/\{к0 }8£з кек'

что противоречит предположению. □

Предложение 3.2. Пусть {У.} — насыщенное множество ноль-минимальных семейств, {У} С С {У.} и {У,} — насыщение множества {У} ({У,} э {У}). Тогда {У} э {У„}. Другими словами, насыщение любого подмножества насыщенного множества остаётся его подмножеством.

Доказательство. Пусть семейство {Хг}ге/ имеет пустое пересечение и У = {Хкз}кзеКз (К. С I), 5 е Б, — некоторое насыщенное множество ноль-минимальных семейств. Рассмотрим его подмножество {У}, Ь е Т, Т С Б. Насытим это подмножество до насыщенного множества ноль-минимальных

семейств {У}, V е V, V э Т, добавляя из и те ноль-минимальные семейства, которых нет в

гет

{У}, Ь е Т. Поскольку и Хк< С у Хкз, а из и Хкз, в силу насыщенности множества {Уз},

гет яезэт вез

5 е Б, можно получить только эти же ноль-минимальные семейства, то, следовательно, {У,}, V е V,

V С Б. Итак, имеем следующую последовательность включений: {У} С {У} С {У}. □

Предложение 3.3. Непустое пересечение двух насыщенных множеств ноль-минимальных семейств опять является насыщенным множеством.

Доказательство. Действительно, пусть (У} = (У}П(У>}, где (У} и (Ур} — два насыщенных множества ноль-минимальных семейств. Насытим (У} до насыщенного множества (У}. По предложению 3.2 (У} С (Ув} и (У} С (Ур}, следовательно, (У} С (У} = (У} П(Ур}. Откуда (У} = (У}, т.е. (У} — насыщенное множество ноль-минимальных семейств. □

Основная теорема 3.2. Пусть семейство множеств (Хг}ге/ удовлетворяет условию Р| Хг = 0. Обозначим К — множество всех насыщенных множеств ноль-минимальных его под-

ге/

семейств, включая 0. Тогда из предложений 3.2 и 3.3 следует, что К относительно теоретико-множественного включения образует решётку.

4. ОБОБЩЕНИЕ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ РЕЗУЛЬТАТОВ НА СЛУЧАЙ СЕМЕЙСТВ, МИНИМАЛЬНЫХ ПО ПРОИЗВОЛЬНОМУ ПЕРЕСЕЧЕНИЮ

Вернёмся теперь к общему случаю, когда (Хг}ге/ — произвольное П-минимальное семейство, для которого Р| Хг = В, т.е. В-минимальное. Пусть (Хг}ге/ — его приведённое семейство, оно будет

ге/

ноль-минимальным (см. предложение 1.2). Причём для любого г е I

Хг = ХгУ В. (3)

Тогда из теоремы 1.3, учитывая равносильность выражений (1) и (2), получим следующее утверждение.

Теорема 4.1. Семейство (Хг }ге/ является В -минимальным тогда и только тогда, когда его производное семейство состоит из множеств, содержащих В как собственное подмножество и попарно пересекающихся по множеству В.

Множество В-минимальных семейств (Х^ }к3еК, з е Б, будем называть насыщенным, если семейство (Х„}иеи к не содержит в себе В-минимальное подсемейство, не присутствующее в множестве семейств (Хкз }кзеКз, з е Б.

Учитывая равенство (3), все результаты для ноль-минимального семейства легко распространяются на общий случай. Таким образом, из предложений 2.1, 3.1, 3.3 и теорем 3.1, 3.2, учитывая равносильность выражений (1) и (2), получим следующие утверждения.

Теорема 4.2. Множество В -минимальных семейств (Хкз }кз еКз, з е Б, является насыщенным тогда и только тогда, когда для любого семейства (кв}ве5: элементов кв е Кв имеет место строгое включение

В с р| Х .

вез

Предложение 4.1. Пусть семейство (Хг}ге/ имеет пересечение В и (Хк}кеК — его В -минимальное подсемейство (К С I). В -минимальное семейство (Хк }кеК является единственным В-минимальным в семействе (Хг}ге/ в том и только том случае, когда для любого к е К имеет место строгое включение

В С р| Хг.

ге/\{к}

Теорема 4.3. Пусть семейство (Хг}ге/ имеет пересечение В и множество В -минимальных его подсемейств У = (Хкз}кзеКз, (Кв С I), з е Б, является насыщенным. Насыщенное множество семейств (Ув}, з е Б, является максимальным насыщенными в семействе (Хг}ге/ в том и только том случае, когда для любого семейства (кв}ве^ элементов кв е Кв имеет место строгое включение

В С р| Хг.

ге/\{к3 Ьей

Предложение 4.2. Непустое пересечение двух насыщенных множеств семейств минимальных по одному и тому же пересечению опять является насыщенным множеством семейств минимальных по тому же пересечению.

Теорема 4.4. Пусть семейство множеств {Хг}ге/ удовлетворяет условию [} Хг = В. Обозна-

ге/

чим через К множество всех насыщенных множеств В -минимальных его подсемейств, включая 0. Тогда К относительно теоретико-множественного включения образует решётку.

5. ГЕНЕРАТОРЫ КОНЦЕПТА

Пусть задан контекст [4] К = (М1з, Мп,р), где % С п и выбрано в качестве множества объектов. Допустим Х С является -концептом по атрибуту % С п, что по определению [4] означает Х = Р1з^ (Х). Тогда любой У' С У, где У = Р^ (Х), является %-генератором этого концепта, если Р1з (У') = Х. При этом, если для любого собственного подмножества У'' С У' выполняется Р1з (У') = Х, то У' является минимальным генератором «.-концепта Х. По определению р1з (У') = П{ргз (у^) : у^ е У'}, т.е. 1.-концепт Х определяется семейством {р^ (у^ еу', где У' — любой его генератор. Поэтому в силу результатов раздела 4 справедливы следующие утверждения.

Теорема 5.1. Множество всех %-генераторов концепта Х совпадает с объединением фильтров в P(Y), содержащих минимальные %-генераторы этого концепта. □

Теорема 5.2. Множество У0 С У является минимальным %-генератором 13-концепта Х тогда и только тогда, когда для любого у' е У0

Я. (У0\{у'}) = Х

и для любых у', у'' е У0, у' = у'',

Я. (У0\{у'}) П я. (У0\{у''}) = Х.

Доказательство. Следует из теоремы 4.1. □

Множество минимальных %-генератора У С У = Р^ (Х), Ь е Т, %-концепта Х будем называть насыщенным, если их объединение не содержит никаких иных минимальных %-генераторов этого концепта.

Теорема 5.3. Множество минимальных %-генераторов {У}, Ь е Т, -концепта Х является насыщенным тогда и только тогда, когда для любого семейства {уг }гет элементов уг е У выполняется

П (У\{уг})= Х.

гет

Доказательство. Следует из теоремы 4.2. □

Предложение 5.1. Минимальный %-генератор У0 С У = Р^ (Х) -концепта Х является единственным минимальным %-генератором 1.-концепта Х тогда и только тогда, когда для любого у е У0 выполняется р1з (У\{у}) = Х.

Доказательство. Следует из предложения 4.1. □

Теорема 5.4. Насыщенное множество минимальных %-генераторов {У С У = Р^ (Х)}, Ь е Т, -концепта Х является максимальным насыщенным тогда и только тогда, когда для любого семейства {уг }гет элементов уг е У выполняется

П (У\{уг})= Х.

гет

Доказательство. Следует из теоремы 4.3. □

Предложение 5.2. Непустое пересечение двух насыщенных множеств минимальных %-генераторов 13-концепта Х опять является насыщенным множеством минимальных %-генераторов этого концепта.

Доказательство. Следует из предложения 4.2. □

Теорема 5.5. Пусть 6 — множество всех насыщенных множеств минимальных %-генераторов %-концепта Х, упорядоченное теоретико-множественным включением. Тогда упорядоченное множество 6 изоморфно соответствующей решётке К без наименьшего элемента.

Доказательство. Следует из теоремы 4.4. □

Библиографический список

1. Wille R. Bedeutungen von Begriffsverbanden // GanterB., Wille R., Wolff K.E. Beitrage zur Begriffsanalyse. B. I. Mannheim: Wissenschaftsverlag, 1987. P. 161211.

2. Ganter B, Wille R. Formal Concept Analysis — Mathematical Foundations. Berlin: Springer, 1998.

3. Мейер Д. Теория реляционных баз данных. М.: Мир, 1987.

4. Новиков В.Е. Генераторы концептов в проблеме распознавания образов // Проблемы теоретической кибернетики: Тез. докл. XIV Междунар. конф. М.: Изд-во мех.-мат. фак-та МГУ, 2005.

УДК 512.643.2+512.558

О НУЛЯХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ БУЛЕВЫХ МАТРИЦ

В.Б. Поплавский

Саратовский государственный университет, кафедра геометрии E-mail: poplavskivb@mail.ru

В статье изучаются свойства внешностей и внутренностей матриц с элементами из произвольной булевой алгебры. Внешняя и внутренняя части образуют вырожденную часть матрицы, определитель которой равен нулю. Показано, в частности, что внешние матрицы образуют нормальные множества в булевой алгебре всех булевых квадратных матриц и нижнюю полурешетку, а внутренности -- верхнюю полурешетку, которой принадлежат линейные комбинации и даже многочлены от внутренних матриц.

Ключевые слова: булевы матрицы, определитель, вырожденные матрицы.

On Determinant Zeros of Boolean Matrices

V.B. Poplavski

Saratov State University, Chair of Geometry E-mail: poplavskivb@mail.ru

The properties of exteriority and interiority of square matrices with elements from arbitrary Boolean algebra are studied in this paper. The exterior and interior parts form a degenerate part of a matrix with zero determinant. It is shown, in particular, that the set of exterior parts is a normal set in the Boolean algebra of all Boolean square matrices and it is a lower semilattice. The set of interior parts is an upper semilattice. Moreover linear combinations and even polynomials of the interiorities also belong to it.

Keywords: Boolean matrices, determinant, degenerate matrices.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть (BnXn, U, П,' , 0,1} есть булева алгебра квадратных матриц с элементами из некоторой булевой алгебры (B, U, П,', 0,1}. Операции U, П,' (объединение, пересечение и дополнение) и, следовательно, отношение частичного порядка С определяются для матриц поэлементно. Нулем и единицей такой вторичной булевой алгебры служат матрицы O и J, образованные целиком из нулей 0 и единиц 1 соответственно. С другой стороны, матрицы из BnXn образуют полумодуль с двумя операциями, объединением матриц (заменяющим сложение) A U B = (aj U bj) e BnXn и пересечением матрицы с элементом из булевой алгебры (заменяющим умножение на скаляр) А П A = (А П aj) e BnXn. Здесь aj и bj — элементы, стоящие в i-й строке и j-м столбце матриц A = (aj) и B = (bj) соответственно. Кроме этого множество BnXn относительно произведения, определяемого для матриц A = (aj) и B = (bj) как C = A П B с элементами cS = UП=1 (at П bS), образует решеточно упорядоченную полугруппу с единицей E. Здесь E — матрица, по главной диагонали которой стоят единицы, а на

остальных местах — нули.

+ -

Пусть P и P обозначают множества всех четных и нечетных n-подстановок (n > 2). Полуперманенты, определяемые формулами

n n

V A = и 02*- v A = и ГК".

, + k=1 , N - k=1

(Ai,...,A„)ep (2i ,...,2n )ep

+ -

позволяют рассмотреть перманент Per A =V AU V A, определитель, равный симметрической разно-

+ - - +

сти полуперманентов, т. е. Det A = (V A\ V A) U (V A\ V A), и общую часть полуперманентов