CC BY
23УДК: 330.131.7 MSC2010: 90B50, 91A40
ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ
© А. В. Сигал
Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Институт экономики и управления ул. Севастопольская, 21/4, Симферополь, 295015, Российская Федерация
e-mail: [email protected]
Game-Theoretic Modeling of Decision-Making in the Economy with Incomplete Information.
Sigal A. V.
Abstract. Decision-making in the economy should take into account the uncertainty, incompleteness of information, contingency, inconsistency, conflict, competition, multicriteria, alternatives and the resulting economic risk. As a game-theoretic model of decision-making in the economy with incomplete information, a model based on the concept of combined application of statistical and antagonistic games is proposed. The distinctive features of the proposed concept are a number of features, of which the most significant and characteristic are the following aspects: the use of neoclassical antagonistic games, antagonistic games defined by partially known payment matrices, and the use of simplified methods for solving neoclassical antagonistic games, based on the classification of information situations of incompleteness of information regarding the true values of the elements of the payment matrix.
Keywords : incompleteness of information, economic risk, statistical game, antagonistic game, neoclassical antagonistic game.
Введение. Постановка задачи
При первом систематическом изложении теории игр Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном в монографии [1], она предлагалась ими как средство математического изучения явлений конкурентной экономики. Абрахам Вальд, создатель последовательного статистического анализа [2], считал, что основной моделью принятия решений является статистическая игра. Следуя за А. Вальдом, Д. Блекуэлл и М. А. Гиршик в своей монографии [3] излагают и используют теорию игр как основу для теории принятия статистических решений, т. е. теории статистических игр.
Моделирование принятия управленческих решений в экономике нуждается в учете ряда особенностей. В первую очередь, нужно учитывать, что экономика представляет собой динамическую, слабо структурированную сложную систему, которая
состоит из многих элементов, в том числе из большого количества хозяйствующих единиц, которые находятся в довольно тесном, непрерывном взаимодействии. Всем социально-экономическим системам присущи такие характерные особенности, как хаотичность, непредсказуемость и случайность, одним словом — неопределенность.
Неопределенность — это недостаточность обеспеченности процесса принятия управленческих решений необходимой информацией или, в более общей трактовке, знаниями о проблемной ситуации. Неопределенность влияет на эффективность принимаемых управленческих решений и в целом на эффективность экономической деятельности. Фундаментальная неопределенность экономической деятельности - это неопределенность ее результатов. Неполное, недостоверное, неточное знание разнообразных параметров порождается разными причинами. Прежде всего, оно порождается неполной и недостоверной информацией об условиях реализации решений, о связанных с этими решениями возможных выгодах и затратах, наличием множественности целей и многокритериальности их оценки. Подчеркнем, в экономике приходится иметь дело с существованием некоторой неопределенности, которую невозможно устранить, и с неполнотой информации, которую невозможно преодолеть за приемлемую плату, а порой и абсолютно невозможно преодолеть.
Итак, в экономике приходится осуществлять выбор наилучших альтернатив и принимать управленческие решения в условиях неопределенности, а точнее в условиях неопределенности, неполноты информации, случайности, конфликтности и обусловленного ими экономического риска. Согласно определению В. В. Витлинско-го [4, с. 10] экономический риск - это экономическая категория, отображающая характерные особенности восприятия лицом, принимающим решения, конфликтности, неопределенности, случайности, неполноты информации, объективно существующих и внутренне присущих процессам определения целей, управлению, оцениванию альтернативных вариантов действий и принятию решений. Все эти процессы отягощены возможными опасностями и неиспользованными возможностями. Экономический риск имеет диалектическую объективно-субъективную природу. Количественная оценка уровня экономического риска является многомерной величиной, характеризующей возможность отклонения от целей, от желательных (ожидаемых) результатов, возможность неудачи, в т. ч. возможность возникновения потерь. При этом важно учитывать влияние контролируемых (управляемых) и неконтролируемых (неуправляемых) факторов, прямых и обратных связей.
Перечисленные особенности социально-экономических систем и требование адекватности математических моделей, применяемых в экономике, заставляют разработать такой теоретико-игровой подход к моделированию процесса принятия управленческих решений, который бы, с одной стороны, давал возможность в достаточной
мере учитывать неопределенность, неполноту информации, конфликтность, случайность и обусловленный ими экономический риск, а с другой стороны — характеризовался бы научной корректностью и практической реализуемостью.
Одной из концепций теоретико-игрового моделирования принятия решений в экономике, позволяющей учитывать указанные особенности социально-экономических систем, является концепция комбинированного применения статистических и антагонистических игр. Суть концепции комбинированного применения статистических и антагонистических игр заключается в отождествлении исходной статистической игры, моделирующей принятие управленческих решений, с антагонистической игрой, платежная матрица которой совпадает с функционалом оценивания исходной статистической игры. Для поиска оптимальной стратегии (наиболее эффективного управленческого решения) можно решить полученную антагонистическую игру.
Отметим, что в статье антагонистическими играми называются конечные игры двух лиц с нулевой суммой. При этом различаются два принципиально разных класса антагонистических игр. Первый класс образуют классические антагонистические игры, представляющие собой антагонистические игры с полной информацией. Второй класс образуют неоклассические антагонистические игры, представляющие собой антагонистические игры с неполной информацией.
Классические антагонистические игры принято называть матричными играми, поскольку любую такую игру однозначно задает ее полностью известная платежная матрица (матрица выигрышей первого игрока). Неоклассическая антагонистическая игра является простейшим обобщением классической антагонистической игры. Главная особенность неоклассической антагонистической игры состоит в том, что ее платежная матрица известна частично, т. е. не для всех элементов этой матрицы известны их точные истинные значения.
Антагонистические игры и статистические игры имеют одну и ту же формальную структуру. Это совпадение формальных структур и дает теоретическую и практическую возможность комбинировано применять статистические и антагонистические игры. Основными чертами, которые отличают подход к моделированию процесса принятия управленческих решений в экономике, основанный на комбинированном применении статистических и антагонистических игр, от других подходов, применяемых для теоретико-игрового моделирования экономики, являются следующие особенности. Во-первых, комбинированное применение статистических и антагонистических игр нацелено на принятие оптимальных решений, адекватно учитывающих
неопределенность, неполноту информации, конфликтность, случайность и обусловленный ими экономический риск. Во-вторых, комбинированное применение статистических и антагонистических игр целесообразно использовать совместно с другими разделами математики, прежде всего с теорией вероятностей, математической статистикой, теорией случайных процессов, эконометрией, нечеткой математикой, энтропийным подходом, конкретной математикой. В-третьих, комбинированное применение статистических и антагонистических игр возможно и в тех случаях, когда антагонистическая игра не является непосредственной моделью рассматриваемого процесса принятия управленческих решений.
Целью работы является разработка концепции теоретико-игрового моделирования принятия решений в экономике при неполной информации на основе комбинированного применения статистических и антагонистических игр. Отличительными чертами предлагаемой концепции является ряд особенностей, из которых наиболее существенными и характерными являются следующие аспекты: применение неоклассических антагонистических игр и применение упрощенных методов решения неоклассических антагонистических игр, основанных на классификации информационных ситуаций неполноты информации относительно истинных значений элементов платежной матрицы.
Первоначальный вариант классификации информационных ситуаций неполноты информации относительно истинных значений элементов платежной матрицы впервые был приведен в работе А. В. Сигала, В. Ф. Блыщика [5]. Классификация информационных ситуаций, предложенная в работе [5], в значительной мере повторяла классификацию информационных ситуаций относительно стратегии поведения экономической среды, которая была предложена Р. И. Трухаевым [6, с. 13]. Основы концепции комбинированного применения статистических и антагонистических игр наиболее полно изложены в монографии А. В. Сигала [7].
1. Основные понятия и определения
Как отмечалось выше, будем различать две разновидности антагонистических игр: классические антагонистические игры и неоклассические антагонистические игры.
Определение 1. Классической антагонистической игрой (КАИ) будем называть антагонистическую игру (АИ) Гсогг = (I, J, Ясогг), заданную своей полностью известной платежной матрицей 1согг. Неоклассической антагонистической игрой (НАИ) будем называть АИ Г = (I, J, I), заданную своей частично известной платежной матрицей I.
Частичное знание платежной матрицы НАИ означает, что среди элементов г, матрицы К есть хотя бы один элемент, точное истинное значение которого неизвестно. Поэтому не для всех ситуаций (г; ]), возможных в отдельно взятой партии НАИ, известно точное истинное значение элемента г, частично известной платежной матрицы К, т. е. точное истинное значение соответствующего выигрыша первого (проигрыша второго) игрока.
Термины «классическая антагонистическая игра» и «неоклассическая антагонистическая игра» в том смысле, в каком они заданы в приведенном определении, впервые были введены в статье В. В. Витлинского, А. В. Сигала [8]. В статьях [5, 9] вместо термина НАИ использовались его синонимы «антагонистическая игра, заданная в условиях частичной неопределенности» и «антагонистическая игра, заданная в условиях частичной определенности», в статье [9] - синоним «антагонистическая игра с неполной информацией», а в работе [10] - синоним «антагонистическая игра, заданная в условиях неполной информации».
Хотя игры с неполной информацией изучаются с середины XX столетия, (см., например, [11]—[16]), методы их решения нуждаются в расширении и уточнении. Поиск оптимального решения НАИ усложняется тем, что игроки вынуждены принимать решение с учетом неопределенности, неполноты информации, конфликтности и обусловленного ими риска. В рамках теории принятия решений с учетом неопределенности, неполноты информации, конфликтности и обусловленного ими риска возможны разные концепции поиска оптимального решения НАИ. Методы решения НАИ, т. е., по сути, возможные методы преодоления неполноты информации, зависят от имеющейся информационной ситуации относительно неопределенности значений неизвестных элементов платежной матрицы. Одним из наиболее естественных и простейших методов решения НАИ является ее корректное приведение к КАИ.
Для оценки значений неизвестных элементов платежной матрицы возможно использование методов интерполяции, экстраполяции, регрессионного анализа, прогнозирования и т. п. Решение полученной КАИ можно интерпретировать как оптимальное решение исходной НАИ.
Определение 2. Информационной ситуацией (ИС) / будем называть определенную меру градации, характеризующую неопределенность значений неизвестных элементов г, частично известной платежной матрицы К = = (г,) НАИ.
Классификацию ИС / можно представить в таком виде [9].
1. /0: нулевая ИС характеризуется тем, что значения всех неизвестных элементов г, измерены с существенными ошибками.
2. 1\: первая ИС характеризуется тем, что значения всех неизвестных элементов Ту являются возможными значениями (реализациями) заданных случайных величин (СВ).
3. 12: вторая ИС характеризуется тем, что значения всех неизвестных элементов Ту являются возможными значениями заданных функций одной переменной или функций нескольких переменных.
4. 13: третья ИС характеризуется тем, что значения всех неизвестных элементов Ту удовлетворяют заданным ограничениям, т. е. принадлежат заданным множествам.
5. 14: четвертая ИС характеризуется тем, что о значениях всех неизвестных элементов Ту нет никакой математической информации.
6. 15: пятая ИС характеризуется тем, что значения всех неизвестных элементов Ту приобретают наихудшие для первого игрока (ЛПР) значения. Пятую ИС следует применять для моделирования экономики в условиях, когда лицо, принимающее решения (ЛПР) считает нецелесообразным рисковать. Например, в условиях жесткой конкуренции, в условиях кризиса, в условиях предкризисной ситуации или в случае, если отношение ЛПР к риску характеризуется существенной несклонностью к риску.
7. 16: шестая ИС характеризуется тем, что значения всех неизвестных элементов Ту принадлежат заданным нечетким множествам.
8. 17: седьмая ИС - смешанная ИС, когда имеются хотя бы два неизвестных элемента Ту, при этому все эти элементы могут быть распределены хотя бы на две группы, для каждой из которых имеет место своя собственная ИС, или когда значения всех неизвестных элементов Ту являются возможными значениями заданных объектов двойной природы. К объектам двойной природы можно отнести, например, случайные функции и, в частности, случайные процессы, одновременно представляющие собой совокупность разных СВ и совокупность разных неслучайных (обычных) функций. Теория случайных процессов достаточно подробно изложена в работах [17, 18].
Приведенная классификация ИС относительно неопределенности значений неизвестных элементов платежной матрицы представляет собой расширенный (за счет введения нулевой ИС) и уточненный (для формулировки понятия седьмой ИС) вариант классификации, впервые предложенной в работе А. В. Сигала, В. Ф. Блыщика [5].
При решении НАИ во многих случаях неизвестные элементы платежной матрицы могут быть заменены их наиболее типичными (и/или наиболее важными) значениями, после чего следует решать полученную КАИ, заданную полученной полностью известной матрицей (или несколько соответствующих КАИ). Кратко перечислим возможные методы преодоления неполноты информации в поле каждой ИС.
1. В поле нулевой ИС /0 целесообразно проведение дополнительного исследования, которое позволит оценить точные истинные значения неизвестных элементов с необходимой степенью точности.
2. В поле первой ИС /\ все неизвестные элементы можно заменить значениями определенных (одних и тех же) числовых характеристик соответствующих СВ (например, их математическими ожиданиями, их модальными значениями и т. п.).
3. В поле второй ИС /2 все неизвестные элементы можно заменить значениями соответствующих функций для наиболее типичных значений их аргументов.
4. В поле третьей ИС /3 все неизвестные элементы можно заменить их наиболее типичными с экономической точки зрения значениями, удовлетворяющими заданным ограничениям (принадлежащих заданным множествам).
5. В поле четвертой ИС /4 все неизвестные элементы можно заменить их наиболее типичными с экономической точки зрения значениями.
6. В поле пятой ИС /5 неизвестные элементы можно заменить значениями, минимизирующими значение платежной функции соответствующей АИ, если эта функция ограничена на области допустимых значений неизвестных элементов платежной матрицы.
7. В поле шестой ИС /6 нужно применить какой-нибудь метод дефаззификации, т. е. метод преобразования нечеткого множества в четкое число. Например, все неизвестные элементы можно заменить значениями, для которых их функции принадлежности приобретают наибольшие значения, или все неизвестные элементы можно заменить значениями соответствующих средневзвешенных величин.
8. В поле седьмой ИС /7 для каждой отдельной группы неизвестных элементов нужно применять свой подход, характерный для соответствующей ИС. Особый интерес представляет случай, когда все неизвестные элементы являются возможными значениями заданных случайных функций. Замена всех случайных функций их конкретными сечениями переводит ситуацию в поле первой ИС /\, а замена всех случайных функций их конкретными реализациями - в поле второй ИС /2. Методы решения НАИ, разумеется, далеко не исчерпываются указанными простейшими методами преодоления неполноты информации. В частности, для решения НАИ можно использовать теорию, методы и алгоритмы решения задач линейной оптимизации с неточными входными данными [19], что было предложено в статье А. В. Сигала [20]. Следует учитывать, что во многих случаях поиск оптимального решения НАИ может включать решение нескольких КАИ. Для окончательного выбора оптимального
решения исходной НАИ может понадобиться применение методов исследования операций, теории распознавания образов, теории полезности и т. п. Кроме того, практически всегда целесообразно использовать имеющуюся информацию экономического и другого нематематического характера. Это может позволить привести решение исходной НАИ к решению одной единственной КАИ или найти оптимальное решение исходной НАИ, выбирая из оптимальных решений нескольких КАИ.
2. Теоретико-игровая модель принятия инвестиционных решений
Оценка экономической эффективности проектов в постсоветских странах требует учета разных методических особенностей. Учет этих особенностей современной экономики постсоветских стран, а также учет последствий и, особенно, причин мирового кризиса, начавшегося в 2008 году, требуют привлечения новых методов и моделей, позволяющих из всех имеющихся проектов выбрать наиболее надежные проекты, т. е. такие проекты, вероятности успешной реализации которых с точки зрения инвестора обладают наибольшими значениями. Само множество наиболее надежных проектов будем трактовать как нечеткое множество вида I = {(^1/1); (^2/2);...; (^г/г);...; /к)}, где ^ - значение функции принадлежности г-го проекта нечеткому множеству 1, г = 1,... ,к. Множество 1 - это нечеткое подмножество универсального множества I = {1; 2;...; г;...; к} всех проектов, рассматриваемых инвестором в настоящий момент времени. Здесь универсальное множество I - это обычное (не нечеткое) конечное множество, при этом главная задача инвестора заключается в корректном оценивании значений надежности проектов, т. е. значений функции принадлежности ^г, г = 1, к, каждого проекта нечеткому множеству 1. Рассмотрим комбинированное применение статистических и антагонистических игр совместно с нечеткой математикой для принятия инвестиционных решений, точнее для упорядочивания (по степени надежности) инвестиционных проектов, рассматриваемых инвестором к возможной реализации.
Пусть ситуация принятия инвестиционных решений характеризуется следующими составными частями:
1. I = {1; 2; 3; 4} - известное множество потенциальных проектов, возможность инвестирования которых рассматривает инвестор;
2. J = {1; 2; 3; 4; 5} - известное множество сценариев условий реализации потенциальных проектов, возможность инвестирования которых рассматривает инвестор;
3. д = Д4х5 = (^у) - частично известная матрица, элементы которой Ду задают соответствующие значения оценок функции принадлежности ¿-го проекта множеству наиболее надежных проектов в условиях ]-го сценария.
Точные истинные значения всех элементов Ду платежной матрицы неизвестны, но эксперты установили интервалы, которым принадлежат эти значения:
Д11 € [0,4; 0, 5], ^12 € [0, 4; 0,5], Д13 € [0, 5; 0, 6], Д14 € [0, 6;0, 7], Д15 € [0, 4; 0, 5],
Д21 е [0,5; 0, 6], Д22 е [0, 2;0, 3], Д23 € [0, 3; 0, 4], Д24 € [0,1;0, 2], Д25 € [0, 6; 0, 7],
Д31 € [0, 2; 0, 3], Д32 € [0, 3; 0,4], Д33 € [0, 6; 0, 7], Д34 € [0, 4;0, 5], Д35 € [0,1;0, 2],
Д41 € [0,6; 0, 7], Д42 € [0, 5; 0,6], Д43 € [0, 6; 0, 7], Д44 € [0, 7;0, 8], Д55 € [0, 6; 0, 7].
Очевидно, эту ситуацию принятия инвестиционных решений характеризует НАИ, заданная в поле третьей ИС /3. Для определенности в качестве наиболее типичных значений элементов платежной матрицы выберем середины указанных интервалов. Получим КАИ, заданную полностью известной матрицей
Д — Д4х5 — )
0, 45 0, 45 0, 55 0, 65 0, 45 0,55 0, 25 0, 35 0,15 0,65 0, 25 0, 35 0,65 0,45 0,15 0, 65 0, 55 0, 65 0, 75 0, 65 КАИ, заданная полностью известной матрицей Д = Д4х5 = (Ду), является игрой с седловой точкой. Применим к ней процедуру упорядочивания (ранжирования) альтернатив, предложенную в работе А. В. Сигала [21] и уточненную в публикации А. В. Сигала, С. А. Сигал [22].
Легко заметить, что справедливы неравенства Д4у > Ду, Д4у > Д^, Д^- > Д3у, где ] = 1,..., 5, и Д4у > Ду, где ] = 1,... , 5. Эти неравенства означают, что четвертая чистая стратегия первого игрока доминирует все другие его чистые стратегии и строго доминирует его первую чистую стратегию. Это означает, что для четвертого потенциального проекта можно оценить его уровень надежности единицей: д*а = 71 = 1. Вычеркнув четвертую строку, упростим матрицу Д = Д4х5 = (Д^) к матрице меньшей размерности:
Д — Д3х5 — iP'ij)
0, 45 0, 45 0, 55 0, 65 0, 45 0,55 0, 25 0, 35 0,15 0,65 . 0, 25 0, 35 0, 65 0, 45 0, 15 Очевидно, ни одна из трех чистых стратегий первого игрока, которые остались, не доминирует ни одну из его остальных чистых стратегий. Легко убедиться, что для полученной матрицы Д = Д'3х5 = (Ду) справедливы равенства
а = шахшт //• = 0,45 = //12, в = штшах //• = 0, 45 = //12, а = в = 0, 45, т.е. эта
г ■ ■ ■ г ■
матрица содержит седловой элемент Д'12 = 0, 45, расположенный в ее первой строке. Пусть для первого потенциального проекта его уровень надежности оценен некоторым числом 72, значение которого удовлетворяет соотношениям /1 = 72 < 71 = 1.
Вычеркнув первую строку, упростим матрицу = Д'3х5 = (/■) и получим матрицу
,, ^./М I 0,55 0,25 0,35 0,15 0,65
= 0,25 0,35 0,65 0,45 0,15
// // //
ß = ß2x5 = (ßij) =
Очевидно, для матрицы ß/ = ß2x5 = (ßij) справедливы соотношения
а = max min ß/j = 0,15, в = min max ßij = 0, 35, а < в. Итак, эта матрица не i j j j i j
содержит седлового элемента. Решение КАИ, заданной полностью известной матрицей ß// = ß2x5 = (ßij) , имеет следующий вид: V* = б9, р* = (I; I) , q* = (0; 6; 0; . Найденное оптимальное решение этой игры позволяет оценить уровни надежно* q* 1 * q* 2 сти всех оставшихся потенциальных проектов: ß2 = p 1 = g, ß3 = p2 = 3, откуда
q* { 12 1 2 * 71+73 1+2/3 5/3 5
73 = max Pi = max {3; 3) = 2, ß1 = Y2 = = -+L. = = 6.
Поскольку max ß* = max {6; 3; 3 ; 1} = 1, условие нормировки оценок ß* выполняется, при этом нечеткое множество наиболее надежных проектов имеет вид J = {(ß1/1;); (ß2/2;); (ß3/3;) ; (ß*/4;)} = {(6/1;) ; (1 /2;) ; (2/3;) ; (1/4;)}. Это означает, в частности, что наибольшее значение уровня надежности имеет четвертый потенциальный проект, для которого уровень его надежности равняется ß4 = 1, а наименьшее значение уровня надежности - второй потенциальный проект, для которого уровень его надежности равняется ß2 = 3.
Если инвестор считает, что потенциальный проект имеет достаточный уровень надежности и его следует реализовывать тогда и только тогда, когда найденная оценка ß* его уровня надежности удовлетворяет, например, требованию ß* > 0, 5, то, с учетом найденных значений ß* оценок уровней надежности имеющихся потенциальных проектов, инвестору следует реализовывать только первый, третий и четвертый потенциальные проекты.
А если инвестор считает, что потенциальный проект имеет достаточный уровень надежности и его следует реализовывать тогда и только тогда, когда найденная оценка ß* его уровня надежности удовлетворяет, например, требованию ß* > 0, 75, то с учетом найденных значений ß* оценок уровней надежности имеющихся потенциальных проектов, инвестору следует реализовывать только первый и четвертый потенциальные проекты.
Заключение
В статье рассмотрены основные положения теоретико-игрового моделирования принятия управленческих решений в экономике при неполной информации на основе концепции комбинированного применения статистических и антагонистических игр. Суть концепции комбинированного применения статистических и антагонистических игр заключается в отождествлении исходной статистической игры, моделирующей принятие управленческих решений, с антагонистической игрой, платежная матрица которой совпадает с функционалом оценивания исходной статистической игры.
Современной экономике внутренне присущи неопределенность, неполнота информации, случайность, противоречивость, конфликтность, конкуренция, многокрите-риальность, альтернативность и обусловленный ими риск. Как следствие, в случае принятия управленческих решений в экономике на основе применения антагонистических игр не для всех элементов платежной матрицы соответствующей игры окажутся известными их точные истинные значения. В таких случаях следует применять неоклассические антагонистические игры (НАИ), т.е. антагонистические игры, заданные частично известными платежными матрицами.
Применение НАИ позволяет принимать управленческие решения, учитывающие неопределенность, неполноту информации, случайность, противоречивость, конфликтность, конкуренцию, многокритериальность, альтернативность и обусловленный ими экономический риск.
Методы решения НАИ, по сути — возможные методы преодоления неполноты информации, зависят от имеющейся информационной ситуации относительно неопределенности значений неизвестных элементов платежной матрицы. Можно выделить восемь классов разных информационных ситуаций. Одним из наиболее естественных и простейших методов решения НАИ является ее корректное приведение к соответствующей классической антагонистической игре (КАИ).
Принятие управленческих решений в экономике — это, вообще говоря, искусство, поэтому, ориентируясь на найденную ситуацию равновесия в антагонистической игре, характеризующей процесс принятия управленческих решений, лицо, принимающее решения, не обязано строго придерживаться соответствующей оптимальной стратегии. Наиболее перспективным направлением дальнейших исследований теоретико-игрового моделирования принятия управленческих решений в экономике при неполной информации представляется моделирование принятия управленческих решений на основе концепции комбинированного применения статистических и антагонистических игр совместно с теорией случайных процессов.
Описок литературы
1. NEUMANN, J. VON and MORGENSTERN, O. (1944) Theory of Games and Economic Behavior. Princeton: Princeton Univ. Press. — 625 p.
2. Вальд, А. Последовательный анализ / А. Вальд; пер. с англ. П. А. Бакута. — Москва: Физмат-гиз, 1960. — 328 с.
WALD, A. (1960) Sequential Analysis / A. Wald: Translation from the English P. A. Bakuta. — Moscow: Fizmatgiz. — 328 p. (in Russian)
3. Блекуэлл, Д. Теория игр и статистических решений / Д. Блекуэлл, М. А. Гиршик; пер. с англ. И. В. Соловьева. — М.: ИЛ, 1958. — 318 с.
BLACKWELL, D. (1958) Theory of Games and Statistical Decisions / D. Blackwell, M. A. Girshick; Translation from the English I. V. Solov'eva. — Moscow: Foreign literature. — 318 p. (in Russian)
4. Екожмчний ризик: iгровi моделi / В. В. В^лшський, П. I. Верченко, А. В. Стал, Я. С. Наконечний / За ред. д-ра екон. наук, проф. В. В. Вгтлшського. — К.: КНЕУ, 2002. — 446 c.
Economic Risk: Game Models (2002) / V. V. VITLINSKY, P. I. VERCHENKO, A. V. SIGAL, Ya. S. NAKONECHNYJ / Edited by Professor V. V. Vitlinsky. - Kiev: KNEU. — 446 p. (in Ukrainian)
5. Сигал, А. В. Антагонистическая игра, заданная в условиях частичной неопределенности / А. В. Сигал, В. Ф. Блыщик // Экономическая кибернетика: Международный научный журнал. — 2005. — № 5-6. — C. 47-53.
SIGAL, A. V. and BLYSCHIK, V. F. (2005) Antagonistic Game in the Conditions of Partial Definition. Economic Cybernetics: International scientific magazine. 5-6 (35-36). p. 47-53. (in Russian)
6. Трухаев, Р. И. Модели принятия решений в условиях неопределенности / Р. И. Трухаев. — М.: Наука, 1981. — 258 c.
TRUKHAEV, R. I. (1981) Models Decision Making in the Conditions of Uncertainty. Moscow: Science. — 258 p. (in Russian)
7. Сигал, А. В. Теория игр для принятия решений в экономике: монография / А. В. Сигал. — Симферополь: ДИАЙПИ, 2014. — 308 c.
SIGAL, A. V. (2014) Game Theory for Decision-Making in the Economy: monograph. Simferopol: DIAIPI. — 308 p. (in Russian)
8. В^лшський, В. В. Концептуальш положення застосування шструментарда антагошстичних ^ор в економщ з урахуванням ризику / В. В. В^лшський, А. В. Стал // Моделювання та шфор-мацшш системи в економщь Зб. наук. пр. — К.: КНЕУ, 2011. — № 84. — C. 127-140. VITLINSKY, V. V., SIGAL, A. V. (2011) Conceptual Positions of Application Tools Antagonistic Games in the Economy, Taking into Account the Risk. Modeling and Information Systems in Economics. Kiev: KNEU. № 84. p. 181-187. (in Ukrainian)
9. Сигал, А. В. Теоретико-игровая оптимизация структуры портфеля в условиях частичной определенности / А. В. Сигал // Математическое моделирование, оптимизация и информационные технологии: труды докладов 2-й междунар. науч. конф. — Кишинэу, 24-26 марта 2010. — C. 181-187.
SIGAL, A. V. (2010) Game-Theoretic Optimization of Portfolio Structure under Conditions of Partial Certainty. Mathematical Modeling, Optimization and Information Technologies: Proceedings of the 2nd International Scientific Conference, Chisinau. 24-26 March. p. 181-187. (in Russian)
10. Сигал, А. В. Теоретико-игровая оптимизация структуры портфеля в условиях неопределенности и риска / А. В. Сигал // Экономическая политика и фондовый рынок: модели и методы системного анализа. Труды ИСА РАН. — М.: Поли Принт Сервис, 2009. — Т. 47. — C. 126-136.
SIGAL, A. V. (2009) Game-Theoretic Optimization of the Portfolio Structure in the Context of Uncertainty and Risk. Economic Policy and Stock Market: Models and Methods of System Analysis. Proceedings of the ISA RAS. Moscow: PolyPrintServis. Vol. 47. p. 126-136. (in Russian)
11. Орловский, С. А. Игры в нечетко определенной области / С. А. Орловский // ЖВМиМФ. — 1976. — № 16. — C. 1427-1435.
ORLOVSKY, S. A. (1976) Games in an Indistinctly Defined Area. Computational Mathematics and Mathematical Physics. No. 16. p. 1427-1435. (in Russian)
12. Орловский, С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации / С. А. Орловский. — М.: Наука, 1981. — 208 c.
ORLOVSKY, S. A. (1981) Decision-Making Problems with Fuzzy Source Information. Moscow: Science. — 208 p. (in Russian)
13. AUMANN, R. J., M. MASCHLER (1995) Repeated Game with Incomplete Informatio. Cambridge: MIT Press. — 360 p.
14. HARSANYI, J. C. (1995) A New Theory of Equilibrium Selection for Games with Incomplete Information. Games and Economic Behavior. Vol. 10 (2). p. 318-332.
15. HARSANYI, J. C. (1967-1968) Games with Incomplete Information Played by «Bayesian» Players. Parts I-III. Management Science. No. 14. p. 159-182, 320-334, 486-502.
16. MYERSON, R. B. (1984) Cooperative Games with Incomplete Information. International Journal of Game Theory. Vol. 13 (No. 2). p. 69-96.
17. Булинский, А. В. Теория случайных процессов / А. В. Булинский, А. Н. Ширяев. — М.: Физ-матлит, 2003. — 400 c.
BULINSKY, A. V., SHIRYAEV, A. N. (2003) Theory of Random Processes. Moscow: Fizmatlit. — 400 p. (in Russian)
18. Вентцель, Е. С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. Учеб. пособие для втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. — М.: Высш. шк., 2000. — 383 c.
WENTZELL, E. S., OVCHAROV, L. A. (2000) The Theory of Stochastic Processes and its Engineering Applications. Moscow: High School. — 323 p. (in Russian)
19. Задачи линейной оптимизации с неточными данными / [Фидлер М., Недома Й., Рамик Я. и др.]; пер. с англ. С. И. Кумкова под ред. С. П. Шарого. — М.-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотичная динамика, Институт компьютерных исследований, 2008. — 288 с.
Linear Optimization Problems with Inexact Data (2008) / [Fiedler M., Nedoma J., Ramik J. and et al.]; Translation from the English S. I. Kumkova Edited by S. P. Sharogo. — Moscow-Izhevsk: Regular and Chaotic Dynamics, Institute for Computer Research. — 288 p. (in Russian)
20. Сигал, А. В. О возможности применения задач линейной оптимизации с неточными данными при теоретико-игровом моделировании экономического риска / А. В. Сигал // Анализ, моделирование, управление, развитие экономических систем (АМУР-2012): сб. научных трудов VI Междунар. школы-симпозиума АМУР-2012 (Севастополь, 17-23 сентября 2012). — Симферополь: ТНУ им. В. И. Вернадского, 2012. — C. 324-326.
SIGAL, A. V. (2012) On the Possibility of Applying Linear Optimization Problems with Inaccurate Data in the Game-Theoretic Modeling of Economic Risk. Analysis, Modeling, Management, Development of Economic Systems: Proceedings of the VI International School-Symposium, Sevastopol. Simferopol: TNU. p. 324-326.
21. Сигал, А. В. Игровой метод ранжирования экономических объектов / А. В. Сигал // Анализ, моделирование, управление, развитие экономических систем (АМУР-2011): сб. научных трудов V Международной школы-симпозиума АМУР-2011 (Севастополь, 12-18 сентября 2011). — Симферополь: ТНУ им. В. И. Вернадского, 2011. — C. 324-326.
SIGAL, A. V. (2011) Game Method of Ranking Economic Objects. Analysis, Modelling, Management, Development of Economic Systems: Proceedings of the V International School-Symposium, Sevastopol. Simferopol: TNU. p. 327-333.
22. Сигал, А. В. Игровой метод ранжирования альтернатив / А. В. Сигал, С. А. Сигал // Актуальные проблемы и перспективы развития экономики Украины: материалы X Юбилейной Междунар. научно-практ. конф. Алушта, 2-4 октября 2011. — Симферополь, 2011. — C. 47-49. SIGAL, A. V. and SIGAL, S. A. (2011) Game Method of Ranking Alternatives. Actual Problems and Prospects for the Development of the Ukrainian Economy: Proceedings of the X International Scientific and Practical Conference, Alushta. Simferopol. p. 47-49.
