CC BY
84
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 51-8 793.7
FUZZY-GAME MODEL IN FINANCIAL MATHEMATICS
Shmeleva Maria Vladimirovna, student, The I.N. Ulianov Chuvash State University, Cheboksary, Chuvash Republic, Russia
Abstract. The article discusses an antagonistic game: game with full or partial information in the financial mathematics, the fuzzy set as the most reliable object. The author proposes and discusses the hypothesis of the credit risks using the fuzzy sets.
Keywords: game theory; fuzzy mathematics; fuzzy set; scenario approach; the classic antagonistic game; the neoclassical-sum game; economic risk; membership function; credit history.
НЕЧЕТКО-ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ В ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКЕ
Шмелева Мария Владимировна, студент ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова»
Аннотация. В статье рассматривается антагонистическая игра, игра с полной или частичной информацией и нечеткое множество в качестве наиболее надежных объектов в финансовой математики. Предложена и обсуждена гипотеза о кредитных рисках с применением нечетких множеств.
Ключевые слова: теория игр; нечёткая математика; нечёткое множество; сценарный подход; классическая антагонистическая игра; неоклассическая антагонистическая игра; экономический риск; функция принадлежности; кредитная история.
Финансовая математика представляет собой раздел прикладной математики, основной задачей которой является использование математических методов для произведения каких-либо финансовых расчетов. Направление классической финансовой математики так же называют «математика кредита».
В наше время, когда высокая динамика событий, происходящих на финансовых рынках, существует потребность в инструментах, позволяющих производить сложные финансовые расчеты, такие как определение справедливых цен опционов, построение хеджирующих стратегий и др. Создание таких инструментов тесно
связано с разработкой соответствующих алгоритмов и численных методов.
Практичность и емкость финансовой математики делают ее просто незаменимой в качестве приложения для решения задач инвестиционного анализа, финансового менеджмента, банковского дела и др.
Предметом теории игр [2] являются методы формализации и принятия решений в конфликтных ситуациях, в которых сталкиваются интересы игроков, преследующих зачастую противоположные цели. Данные типы взаимодействия сложны для непосредственного анализа из-за необходимости учета множества факторов, которые, к тому же, могут быть разнокачественными, оцениваться с помощью различных шкал [3]. Для построения таких игровых моделей используются методы теории нечетких множеств и нечеткой логики.
Актуальность. Стремительное развитие финансового рынка и появление изощренных финансовых инструментов ставят перед современной финансовой математикой новые задачи, требующие оригинальных решений и быстрого применения на практике. Все вышеизложенное определило актуальность выбранной темы исследования. Сегодня процедурная сторона данной науки кажется относительно несложной, но содержательная сторона коммерческих расчетов не потеряла актуальности и в наше время, в связи с высокой динамикой событий, происходящих на финансовых рынках, повышается требование к системам принятия решений, существует потребность в инструментах, позволяющих производить сложные финансовые расчеты.
Цель исследования - разработка совместного применения в финансовой математике теории игр и нечёткой логики, что позволит повысить точность принятия решений матричных игр.
Гипотеза. Заемщик, имеющий наименьшее количество кредитов, которые своевременно выплачивал, имеет наибольшую вероятность получить ещё кредит, в отличие от заемщика, которых «злоупотребляет» кредитами.
В данный момент бюро кредитных историй (БКИ) труднодоступно вновь возникшим и мелким кредитным компаниям, что увеличивает риск выдачи. Чтобы «подстраховать» компании стоило бы сделать БКИ более доступным для начинающих игроков финансового рынка.
Рассмотрим этапы принятия решения по потенциальным заемщикам [1;4]:
1. имеется известное множество 1={1;...;ц...;к} всех чистых стратегий первого игрока (потенциальных заёмщиков) и множество
23
8={8ь...;8|;...;8п} всех чистых стратегий второго игрока (величин всех кредитов, полученных ранее хотя бы одним из рассматриваемых потенциальных заёмщиков).
2. полностью или частично известная матрица
Частично известная матрица - это матрица, в которой среди элементов Гг; имеется хотя бы один элемент, точное значение которого неизвестно. Значения элементов гг- это выигрыши первого игрока в случае, когда он применил в партии игры свою 1-ю чистую стратегию, а второй - свою |-ю чистую стратегию (значения элементов которой равны количеству кредитов величиной гг-, ранее полученных 1-м потенциальным заёмщиком). В каждой партии игры значение проигрыша второго игрока совпадает со значением выигрыша первого игрока.
3. решение симметричной взаимно-двойственной задачи линейного программирования. Решив игру, характеризующую ситуацию принятия решений, можно найти оптимальные стратегии игроков, а также значение цены игры 7*. Пусть векторы р = (Р1 ...; р£; ...; рД q = (^; ...; ...; ^), характеризующие произ-
вольные стратегии игроков, и векторов р* = (р1*;...; рг*;...; рк*), q* = ^*;...; qг*;...; qk*) , характеризующих их оптимальные стратегии, удовлетворяют соотношениям
к
1=1
Рг > 0, 1 = 1," , (2)
п
;=1
q;• > 0, & = 1,п, (4)
к п к п
кп
кп
^ ^(П; • Рг • q_*) * 7 = • Рг* • q’f)
* ^^(г- •Рг* ^') ' (5)
г=1;=1
где 7 - цена игры.
Оптимальная стратегия первого игрока ( I ) обладает тем свойством, что при любом поведении второго игрока (Б) обеспечивает выигрыш первому игроку, не меньший, чем цена игры V. При этом компоненты векторов, характеризующих оптимальные стратегии игроков, удовлетворяют всем соотношениям (1)-(4). Заметим так же, что именно соотношения (5) и определяют седловую точку игры (её оптимальное решение).
4. вычисление оценок значений функции принадлежности по формуле —* = С • р*, где р* — это соответствующая компонента оптимальной смешанной стратегии первого игрока
* * * * 1 р* — (р1*; ■■■; рг*; ■■■; рк*), а множитель / —---* (с тем, чтобы
тахз Рз
тахг —*=1).
5. построение нечёткого множества / — {(—1/1);...; (—к//)<. наиболее надёжных объектов (проектов) (потенциальных заёмщиков); при этом множество 1={1;...;к} является носителем этого нечёткого множества, а значение —г функции принадлежности 1-го элемента задаёт оценку надёжности соответствующего объекта (проекта).
6. вычисление значения с индивидуальной процентной ставки /-го заёмщика по следующей формуле
- —* • (>г ~ @г) — —* • А (1 - —**) •
! — 1 , / (6)
Для каждого элемента / множества I — {(-1/1); ^; (-к/к)}. требуется найти уровень надёжности, т.е. значение функции принадлежности -, где- 6 [0; 1], ! — 1 , к . Если для /-го заёмщика окажется справедливо равенство -; — 0, то это означает, что по сравнению с другими потенциальными заёмщиками его следует считать ненадёжным. А если для /-го заёмщика окажется справедливо равенство -I — 1, то это означает, что по сравнению с другими потенциальными заёмщиками его следует считать наиболее надёжным. Значения величин функции принадлежности характеризуют относительные репутации потенциальных заёмщиков: они характеризуют относительную (по сравнению с шансами для остальных претендентов) степень убеждённости лица, принимающего решение (ЛПР), т.е. банка, в том, что заёмщики своевременно погасят кредиты.
Результаты и обсуждение.
В результате исследования выявилось, что не только количество взятых кредитов влияет на выплату заемщику, но и размер (сумма) кредита: при наименьшем количестве кредитов с большей
суммой вероятность выдать заемщику очередной кредит выше, чем у заемщика, берущего меньшую сумму, но чаще.
Вывод. Вышеизложенная гипотеза оправдалась.
Библиографический указатель:
1. Василевич Л.Ф. Теория игр. Уч. Пособие. - Киев: КИИМ., 2000. - 98 с.
2. Зайченко Ю.П. Исследование операций: Нечёткая оптимизация. Уч.пособие - Киев: Вища школа., 1991. - 191 с.
3. Сигал А. В. О совместном применении в экономике теории игр и нечёткой математики .
4. Трухаев Р. И. Модели принятия решений в условиях неопределенности /
Р. И. Трухаев. - М.: Наука, 1981. - 258 с.
Статья поступила в редакцию 20.06.2014
