CC BY
32
Баранцов Владимир Юрьевич
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»
Е-mail: vova [email protected].
Graetskaya Oksana Vladimirovna
Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education «Southern Federal University»
E-mail: kaf [email protected]
10, Melchikova street, Rostov-on-Don, 344090
Phone: +7(8632)696991
Barancov Vladimir Yurievich
Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education «Southern Federal University»
Е-mail: vova [email protected].
УДК 621.306
А. А. Строцев, А. Л. Оганесян, М. А. Григорян
ТЕОРЕТИКО-ИГРОВАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ КОНТРОЛЯ СЛОЖНОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ КЛАССИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
МАТРИЧНЫХ ИГР С ОГРАНИЧЕНИЯМИ-НЕРАВЕНСТВАМИ
Предложена методика теоретико-игровой оптимизации алгоритмов контроля на основе классических моделей матричных игр с ограничениями-неравенствами. Она позволяет учесть априорные данные об интервалах неопреде-лённости стохастического описания неопределённых факторов.
Теоретико-игровая оптимизация; алгоритмы контроля; матричные игры с ограничениями.
A.A. Strotsev, A.L. Oganesjan, M.A.Grigoryan GAME-THEORETICAL OPTIMIZATION OF CONTROL ALGORITHMS OF COMPLICATED SYSTEM BASED ON CLASSICAL MODEL OF MATRIX GAMES WITH CONTINGENCIES -INEQUALITIES
The procedure of game-theoretical optimization of algorithms of control based on classical models of matrix games with contingencies-inequalities was suggested. It is allow to consider the aprioristic date of indeterminacy intervals of stochastic exposition of indefinite factors.
Game-theoretical optimization; algorithms of complicated; matrix games with contingencies.
Эффективность функционирования сложной системы (СС) зависит от качества алгоритмов ее контроля. Методы оптимизации алгоритмов контроля можно классифицировать относительно информационных условий выработки решения, принятых в теории принятия решений: определённости, риска и неопределённо-сти, связанных соответственно с наличием определённых, стохастических и неопределённых факторов.
Нормальный период эксплуатации СС связан с действием, как правило, случайных факторов, имеющих вероятностное описание. Однако периоды прира-
ботки и старения СС характеризуются повышенными значениями интенсивностей отказов Лф, которые носят неопределенный характер. Таким образом, задачи оптимизации алгоритмов контроля следует отнести к задачам принятия решений в условиях неопределённости. Методы решения ряда таких задач разрабатываются в рамках теории игр. В [1] - [4] рассмотрены вопросы теоретико-игровой оптимизации алгоритмов контроля на основе моделей смешанного расширения матричных игр, позволяющей учесть различные виды неопределенности модели проблемной ситуации, связанной с поиском и устранением неисправностей СС. Однако в предложенных моделях отсутствует учёт случайных факторов, связанных с наличием ограничений в виде, как равенств, так и неравенств. Отметим, что ограничения на процесс контроля технического состояния могут быть обусловлены как спецификой самого объекта контроля, так и применением средств и методов контроля. Такие ограничения связаны с известными вероятностями возникновения ряда неисправных состояний, а также с требованиями эксплуатационной документации на применение отдельных алгоритмов контроля. При этом учёт случайного фактора в модели задачи обуславливает включение ограничения в виде равенства, а учёт не-определённости вероятностного описания стохастических факторов - введение в общем случае ограничений-неравенств. Таким образом, рассмотрение вопросов построения теоретико-игровых моделей с ограничениями-неравенствами для оптимизации алгоритмов контроля в условиях сочетания случайных и неопределённых факторов является актуальной задачей.
Рассмотрим процесс контроля функционирования СС с условной останов -кой алгоритма контроля. Будем полагать заданными:
— множество всех состояний системы Е={е•}, } = 1,т , где {е1} =Е1
—исправное состояние СС и соответствующее ему множество; {е2,е3,...,ет}=Ен — неисправные состояния (далее неисправности), определяемые требуемой глубиной поиска, и соответствующие им множество; Е=Е1иЕн;
--множество допустимых элементарных проверок П = {р. }, 1 = 1,п.
Различные последовательности элементарных проверок составляют алгоритмы контроля $ ,1 = 1,п . Контроль функционирования СС состоит в последова-
тельном проведении элементарных проверок (р. ,Р ,...,р ,...,р \ определен-
\ 11 12 ^ к
ных алгоритмом $ и анализе их результатов. Если элементарная проверка р
алгоритма контроля имеет положительный исход, то проводят следующую элементарную проверку р . Если некоторая текущая элементарная проверка
р. имеет отрицательный исход, то процесс контроля заканчивается и выделяется
1к
подмножество возможных неисправностей Е\^ с Ен. Считается, что система находится в состоянии е1, если исход всех элементарных проверок алгоритма Q1 положительный.
Пусть А - матрица обобщённых затрат на процесс поиска неисправности с элементами а.у , 1 = 1,п , ] = 1,т , задающая модель матричной игры. В отличие от
моделей, рассмотренных в [1] - [4] пусть заданы вероятности нахождения СС в ряде состояний (т.е. задано вероятностное описание случайных факторов), области неопределённости вероятностного описания некоторых случайных факторов и
требуемые значения вероятностей применения ряда алгоритмов контроля. Без ограничения общности будем полагать
зj < згр , j = m' + 1,m", зj = згр, j = m" + 1,m, m' < m", (1)
oi = 0гр , i = n' + 1,n , (2)
Задача заключается в определении для неопределённых факторов модели
* -------- *
таких элементов смешанных стратегий зу = зу , у = 1,т", т" < т , Х1 = Х1 , 1 = 1,п", п" < п, которые обеспечивали выполнение условия
n m n m
min max ££Xi aijhj = max min ££Xi aijhj , (3)
X_L_ Vj’ j=1 j=1 h j • X_L_ j = 1 j=1
i=1,n j=1,m" j=1,m"i=1,n'
при ограничениях (1), (2) и
£ x = 1, x >о, l=mn, (4)
i=1
m _____
= 1, Vj > 0, j = I’m". (5)
j=1
Построим двойственные задачи линейного программирования для решения
(1)-(5). В соответствие, например, с подходом, рассмотренным в [5], сформируем двойственные задачи, имеющие одно и то же значение оптимизируемых функций. Для этого введём следующие обозначения
A =
fAn Al2 Al3 ö x = ^~T XT J , Y = (~T YT YT j,
A21 A22 A23
/
где X = (ХХ...Хп<)Т , X = (Хп"+1 ... Хп)Т , у = (щ...Лт ")Т,
— Т — т
У = (Пт+1 ... ') , У = (Пт"+1 ... Пт) , ёШАц = п' X т',
ётА^ = п' х (т"- т') , йтА^ = п' х (т - т") , ё1тА21 = (п - п')х т’,
ё1тА22 = (п - п') х (т" - т') , ё1тА2з = (п - п') х (т - т") , при этом, учитывая (1),
(2), (3), (4), будем полагать X = Xгр, У < У гр , У = У гр, еТX + еТ-п"Xгр = 1,
ЕТт'Г + ЕТт"-тУ = 1 -ЕТт-т"Угр, Xгр = (хпр+1... хгр )Т, Угр = (пггр'+1 ... П- )Т,
угр = п- ...пт)Т.
Тогда задачи линейного программирования для поиска смешанных стратегий могут быть представлены в виде:
- для первого игрока: найти
т1п_Ц - ЕТт-тУгр ^ + У грТ? + ХТА1зУгр + XTA2зf гр } , (6)
при ограничениях
Ет,Sо - А^ > А^гр, Ет„-т, Sо + 8 - АТ2X > А2Т2Xгр, (7)
ЕТX = 1 -Е1-п- Xгр , Х > 0п -, 8 > Ът"-т,, (8)
где Eg - вектор с единичными элементами, dim Eg = g, 0р - вектор с нулевыми элементами, dim 0 р = p;
- для второго игрока: найти
max i 1
q,Y,Y {_
уУ
= ,„T
1 - ET_nXгр q + Xгр A21Y + Xгр A22Y + Xгр A23Y гр
221
П31
при ограничениях
En'q _ AnY _ A12Y £ A13Yгр,
-n■ -1 --11- -42J -^13J
ETY + ET" >Y = 1 _ ET "YZP
L^m ± 1 j^m _m ± ± _m ±
Y £ Y гр , Y > 0m- , Y > 0m"_m ■
(9)
(10)
(11)
(12)
Рассмотрим пример. Пусть задана матрица обобщённых затрат
(46 65 39 84 65 75^
A =
37 35 28 72 48 64
46 85 73 59 88 53
v64 65 48 23 54 490
=,„т
и ограничения для которых n' = m' = 2 , m" = 4 , Xгр = (0,2 0,2) ,
Y грТ = (0,1 0,1)т , Y грТ = (0,1 0,2)т .
Тогда задачи (6)-(8) и (9)-(12) будут представлены в виде:
найти
fl(s0,sx,s1,Xx,X7. ) = min {0,7S0 + 0,1s1 + 0,s + 21,5^1 +17,6X2 + 6,92} ,(13)
s0 ,s1,s2 X1X2
при s0 _ 46X1 _ 37X2 > 22, s0 _65X1 _ 35X2 > 30, s0 + s1 _ 39X1 _ 28£2 > 24,2, S0 + s2 _84X1 _72X2 > 16, 4, X1 + X2 = 0,6, s1,s2, X1, X2 > 0,
и найти
f2 (q,V1,V2, V3,V4) = max {0,6g + 22h1 + 30h2 + 24,2h3 + 16,4h4 + 6,92} (14)
W2 V3 V4
при q _ 46h1 _ 65h2 _ 39h3 _ 84h4 £ 21,5, q _ 37h1 _ 35h2 _ 28V3 _ 72h4 £ 17,6 ,
V1 + V2 +V3 +V4 = 0 7,V3 £ 01, V4 £ 01, V1V2, V3, V4 > 0.
В результате решения задач получим:
f1(q,V1 ,V2 ,V3 ,V4 ) = f2(q,V1 ,V2 ,V3 ,V4 ) = 54-0, s0 = 51-0, s1 = 0-0, s2 = 8-6,
Y*T = (0,0 0,6)T , q = 45,8, Y*T = (0,0 0,6)T , Y*T = (0,0 0,1)T .
Равенство целевых функций задач линейного программирования (13) и (14) являются признаком наличия седловой точки, а найденные смешанные стратегии определяют ситуацию равновесия.
В случае если Y гр = (1 1)T , т.е. при отсутствии статистической информации об интервалах неопределённости стохастического описания неопределённых факторов, в результате решения соответствующих задач получим:
f1(q,V1 ,V2 ,V3 ,V4 ) = f2(q,V1 ,V2 ,V3 ,V4 ) = 59,2 , s0 = 59-6, s1 = s2 = 0,0 ,
}~*Т = (о,0 0,6)Т, д=68, У*Т = (о,0 0,0)Т , У*Т = (о,0 0,7)Т . Т.е. значение игры
увеличилось с 54,0 до 59,2.
Таким образом, учёт дополнительных ограничений позволяет снизить математическое ожидание обобщённых затрат в условиях примера на 9%, а полученное решение матричной игры с ограничениями полностью соответствует всем необходимым и достаточным условиям ситуации равновесия. Предложенная модель может быть применена для оптимизации алгоритма контроля СС в условиях сочетания случайных и неопределённых факторов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Строцев А.А., Синицын С.В., Шухардин О.Н., Оганесян А.Л. Применение смешанного расширения матричных игр "неклассического" типа в задачах определения технического состояния сложных систем. -Радиоэлектроника. Известия ВУЗов. Т. 50. 2007. №10. С 42-50.
2. Строцев А.А., Синицын С.В., Кушнир М.А. Применение матричных игр к задачам оптимизации программ контроля функционирования сложных систем на стадиях испытаний и начального периода эксплуатации. -Контроль. Диагностика. 2009. №1. С 51-57.
3. Строцев А.А., Синицын С.В. Применение методов теории принятия решений в условиях неопределённости при разработке системы поддержки принятия решения по поиску и устранению неисправностей сложных технических систем / Двойные технологии. 2009. №1. - С 15-21.
4. Строцев А.А., Синицын С.В., Жадько А.А. Методика теоретико-игровой оптимизации алгоритма контроля на основе модели смешанного расширения матричной игры с ограничениями. Известия ЮФУ. Технические науки. 2008. №11. - С 66-70.
5. Оуэн Г. Теория игр: Изд. 3-е. - М.: Изд-во ЛКИ. 2000. -216 с.
Григорян Михаел Аветисович
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»
E-mail: kaf [email protected]
344090, Ростов-на-Дону, ул. Мельчакова, 10
Тел.: +7(8632)696991
Строцев Андрей Анатольевич,
Ростовский военный институт ракетных войск E-mail: kaf [email protected]
Оганесян Армен Левонович,
Ростовский военный институт ракетных войск E-mail: kaf [email protected]
Grigoryan Michael Avetisovich
Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education «Southern Federal University»
E-mail: kaf [email protected]
10, Melchikova street, Rostov-on-Don, 344090
Phone: +7(8632)696991
Strotsev Andrey Anatolevich
Rostov military institute of Rocket Troops
Oganesjan Armen Levonovich
Rostov military institute of Rocket Troops
E-mail: kaf [email protected]
