Методика построения моделей функционирования систем космических средств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА

И ИНФОРМАТИКА

УДК 621.306

МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ

КОСМИЧЕСКИХ СРЕДСТВ

© 2011 г. Ю.Н. Макаров*, А.А. Строцев**

*Московская академия рынка труда *Moscow Academy of a Labour Market

и информационных технологий and Information Technology

**Р°стовский военный институт **Rostov Military Institute

ракетных войск

Предложена методика, отличающаяся от известных совместным последовательным применением аппарата теории марковских процессов и моделей смешанного расширения матричных игр неклассического типа для определения их параметров.

Ключевые слова: марковские процессы; теоретико-игровая оптимизация; смешанное расширение матричных игр неклассического типа.

In article the construction technique of subsystems the space means system models, which functioning proceeds in the competitive environment at the limited resources is offered and has character discrete the Markov's processes, different from known for joint consecutive application of the theory Markov's processes and the mixed expansion of nonclassical type matrix games models for parameters definition

Keywords: markov's processes; game-theoretical optimisation; the mixed expansion of nonclassical type matrix games.

При исследовании поведения сложных организационно-технических систем в условиях риска (т.е. в условиях действия факторов, имеющих некоторое вероятностное описание) часто используется аппарат марковских процессов с конечным или счетным множеством состояний и непрерывным временем перехода [1]. При этом порядок его применения для отдельных классов задач определяется требованиями ГОСТ, например ГОСТа «Менеджмент риска. Применение марковских методов» [2].

В основе лежит определение его исчерпывающей характеристики — совокупности вероятностей Р.(?) того, что процесс в момент времени ?

будет находиться в состоянии г, \ = 0 П . Эти вероятности определяются как решение следующей системы дифференциальных уравнений

dP (t) n n

j = -P«X^+Xp(^ ; j = ~n, (i)

ut i=0 i=0 i*j i*j

с условиями вида

pj(t0) = pj ; j = M ; XPj(t) = (2)

j=0

_ n_

где pj > 0; j = 0, n ; X pj = 1 •

j=0

Однако для задач построения моделей подсистем системы космических средств (СКСр) в настоящее время сложилась объективная необходимость развития этого аппарата применительно

к новым условиям и факторам, к которым, в первую очередь, относятся [3]:

— учёт факторов, свойственных мировому и внутреннему рынкам, происходящих структурных изменений в экономике страны и космической промышленности;

— поиск и использование для сохранения и развития космического потенциала внебюджетных источников финансирования;

— формирование рациональной структуры космического потенциала в новых современных условиях;

— поиск оптимального (рационального) механизма технико-экономического, организационного и целевого управления в условиях жёстких финансовых и иных ресурсных ограничений.

Ряд указанных условий и факторов могут быть учтены как детерминированные, однако большинство из них являются неопределёнными и стохастическими. Стохастический, или неопределённый, их характер может определяться не только с технической надёжностью и другими показателями качества, но и характеристиками, связанными с действиями конкурентов, т.е. учитывающих конкурентную среду.

С другой стороны, поскольку следует учитывать неопределённые факторы, то модель рассматриваемой проблемной ситуации служит моделью принятия решений в условиях конфликта (игры с природой или конкурентом). При ограничении рассмотрения двух сторон конфликтной ситуации и наличия конечного числа стратегий у них формализация рассмотренной вербальной постановки задачи может быть проведена на основе применения классической модели смешанного расширения матричных игр с ограничениями в виде равенств и неравенств. Примеры построения таких моделей для задач поиска и устранения неисправностей приведены, например, в [4, 5].

Среди подсистем СКСр рассмотрим такие, для которых характерно малое (ограниченное) число повторений условий принятия решений (что может быть связано с их малым числом, разными условиями функционирования отдельных групп СКСр и т.д.). Пример таких подсистем СКСр — уникальные агрегаты механического оборудования стартового комплекса — компонента наземной инфраструктуры космического комплекса [6].

Следовательно, при построении методики теоретико-игрового синтеза систем функционального мониторинга СТС следует учесть малое число реализации игровой ситуации, что, например, возможно на основе построения моделей смешанного расширения матричных игр неклассическо-

го типа, теоретические основы которого рассмотрены, например, в [7].

Таким образом, разработка методики построения моделей подсистем системы космических средств, функционирование которых протекает в конкурентной среде при ограниченных ресурсах и имеет характер дискретных марковских процессов, является актуальной задачей.

Рассмотренные выше подходы к построению математических моделей сложных систем могут быть объединены последовательно в искомую методику для СКСр, функционирующих в условиях действия как стохастических, так и неопределённых факторов.

Возможности совместного использования аппарата теории игр и теории марковских дискретных случайных процессов с непрерывным временем для построения математических моделей подсистем СКСр рассмотрим на примере исследования сложной организационно-технической системы (СОТС), функционирующей на начальном этапе эксплуатации, при поиске и устранении её неисправности.

Пусть имеется СОТС, которая состоит из нескольких подсистем. Рассматривается неисправность СОТС определённого типа и случай отсутствия кратных неисправностей. Эта неисправность СОТС может быть вызвана одной из n причин, каждая из которых связана с отказами подсистем СОТС. Интенсивности возникновения причин неисправности СОТС неизвестны (что соответствует начальному этапу эксплуатации). С другой стороны, интенсивность отказов Х0 СОТС задана. Для рассматриваемого типа неисправности СОТС в случае её возникновения имеется m возможных алгоритмов поиска причин её возникновения и их устранения. Интенсивности поиска причин неисправности и их устранения Ху для каждого i-го алгоритма ( i = 1, n ) и каждой у-й причины ( j = 1, m ) известны и приведены в виде матрицы Л . Поскольку интенсивности возникновения причин неисправности СОТС неизвестны и рассматривается начальный этап эксплуатации, то принято решение для определения вероятностей нахождения СОТС в состояниях £„, соответствующих Ху , использовать модель смешанного расширения матричных игр неклассического типа, например модель игры ГА(H}) (определённой, например, в [7]) с ограничениями. Для этой модели

Г a (H} ) =< Mç, Mn, HHI} > ,

где

n m n

Hh}1 (X, Y, P) = X aj n j ^ + (1 - P)X ^ minflj i=1 j=1 i=1 j

и представляет собой функцию выигрыша первого игрока, соответствующую антагонистической игре с матрицей А, в которой оптимальность смешанных стратегий первого игрока понимается в смысле критерия Ходжа—Лемана с параметром в. Ясно, что А = Л и, соответственно,

aij - ; i - i, n; j - i,

m ;

M^ - JX - ßi..4n)T : Z > 0, i - i, n, - l|

i-1

Mn - JY - (ni-nm)T : Пj > 0, j - 1,m, Xnj - i!

j-i

Пусть заданы вероятности применения чистых стратегий вторым игроком (т. е. задано вероятностное описание случайных факторов для первого игрока), области неопределённости вероятностного описания некоторых случайных факторов и требуемые значения вероятностей применения чистых стратегий первым игроком. Без ограничения общности будем полагать

Пу >п7; у = т' +1,т'; Пу = п7; у = т' + 1,т;

т' < т'; т' < т; (3)

Ъ = Г = ПчГП. (4)

Теоретико-игровая задача заключается в определении таких элементов смешанных стратегий

игроков пу = П* ; у = 17т" ; т' < т ; ^ = Ъ*;

г = 1, п'; и' < и , которые обеспечивали выполнение условия

max mm

i-i,n' j-i,m'

ßX X n jajZi+(i - ß)XZ min aj

i-i j-i '

i-i

- mm max

j Zi,.

j-i,m' i-i,n'

ßXXnjaijZi + (i - ß)XZi min'

i-i j-i '

i-i

при ограничениях (3), (4) и

n

X Z -1; Z ^ 0; i - iTn;

i-i

X пу =1; П > 0; у = 1,т'.

у=1

Для построения математической модели процесса функционирования СОТС в рассматриваемых условиях воспользуемся научно-методическим аппаратом теории марковских процессов. Для описания функционирования СОТС в классе марковских на первых этапах следует определить понятие состояния и описать все возможные состояния.

Для этого обозначим:

£0 — состояние рассматриваемого процесса, при котором СОТС находится в исправном состоянии;

Б. — состояние рассматриваемого процесса, в котором СОТС находится в неисправном состоянии вследствие возникновения у-й причины и устранение этой неисправности осуществляется на основе Г-го алгоритма (. = 1, п; у = 1, т).

Далее составим граф состояний, который принимает вид, показанный на рисунке.

Интенсивности (. = 1, п; у = 1, т) заданы, а Цу (I = 1, п; у = 1, т) - неизвестны. Для их определения в математической модели рассматриваемого процесса воспользуемся теоретико-игровым подходом. В частности положим, что

^ij - ^o^*1*?- ; i - i, n; j - i, m-

(5)

**

где Zi, П j — компоненты векторов оптимальных смешанных стратегий X ,Y соответствующих игроков, которые для модели игры ГА (Hiß) с ограничениями определяются как решение двойственных задач линейного программирования, полученных с применением подхода, рассмотренного, например, в [7, 8]:

Вид графа состояний

наити

max fi(so, s, XV) = maxj f 1 - ETm-mY^ >o + Yrp s +

So,s,X S0,S,X L

/ T =rpJ

ßY AT3 + (1 -ß)ET X^ 1

x x+ßxrp A23Yrp+(1 - ß)E^-n' xmg1 ^rp I

(6)

при ограничениях

Em'So -ßXTX <ßA2Tifrp ; (7)

Et-T so + s - ßAgX < ßA22frp; (8)

ETX — 1 - eT-Д rp; 1 > On-; ss > Om'-T; (9)

наити

min f2(q, YV, Y) = min fl 1 - ET-n'Xrpjq + ßXrp

q,YY,Y q,Y,Y LI )

2 xrp q , ß xrpTA21Y +

+ ßX rpTA22Y + ßX rpTA23Y rp +

+(1 - ß^j-nxmg1 ^

=rp

(10)

пpи офаничениях

En,q - ßAnf - ßA^Y > ß^Frp + (1 - ß^ 1EH ;(11)

=rp

eT y + ET Y — 1 - ET Y

ETY ~r ET'-m'1 ~ 1 Em-m"1

Y > Yrp ; Y > 0 '; Y > 0' ',

— "m j — "m -t

вде использованы обозначения A —

(12) (13)

/ _T л

; X — ;~T X

\ /

41 A12 A13 A21 A22 A23

Y — \YT YT YTj ; X — (i^... )T ;

x — (^n'+1- )T; 1 — (П1 ••• nm )T;

1 — (Пт'+1 ••• Пт'' )T ; 1 — (V'+1 ••• Пт )T; dim A11 — n' x t' ; dim A12 — n' x (T - т'); dim A13 — n' x (т - t') ; dim A21 — (n - n') x т'; dim A22 — (n - n') x (т' - t' );

dim A23 — (n - n') x (m - T); Xrp — (^np+1 ••• ^np )T;

1 rp — (nTp+1 ••• nTp'')T; Yrp — «' ••• nmp )T;

Vag,1 — диаrональная матpица с элементами

vmin 1 • . --; =m

Adag — min a1; » — 1 n ; Ad

- —min 1

'tag

матpица с элементами

— диаrональная

=min 1

Adiag ii — min ay ;

i = n' + 1, и ; Eg — вектор с единичными элементами, dim Eg = g ; 0p — вектор с нулевыми элементами, dim0 p = p.

При этом величина произведения характеризует долю распределения интенсивности потока отказов СОТС при переходе из состояния S0 в состояние Sy , а элементы этого произведения являются функциями от параметра в ,

т. е. £ =£(Р); п* = П*(в).

Поскольку значение параметра в не задано в явном виде, при решении этих двойственных задач линеИного программирования оно должно быть согласовано по числу реализации игровоИ ситуации, которое в свою очередь зависит от интенсивности отказов СОТС . Критерием согласованности может служить максимизация вероятности нахождения СОТС в исправном состоянии. А эта вероятность определяется на основе дальнеишего последовательного применения этапов описания функционирования СОТС в классе марковских процессов.

Для этого по графу состоянии записываются уравнения Колмогорова, определяющие динамику нахождения исследуемого процесса во всех состояниях, которые принимают вид:

dPo(t) dt

—-wXX^ß)^ (ß)+XXP (он- ,(14) i —1 1—1 i —1 1—1

dPy (t) dt

— -P (t)* ß + Po(t )*&(ß)n* (ß); i — \Tn;

1 — 1, t

(15)

с начальными условиями вида

Po(to) = Po; Py (to) = py; i = Гп; j = 17m, (16)

где Po(t) — вероятность нахождения рассматриваемого процесса в состоянии So в момент времени t; Py (t) — вероятность нахождения рассматриваемого процесса в состоянии Sy в момент времени t,

п m

Po + XXPij =Po - o; Py ^o; i = й,

i —1 1 —1

1 — 1, T •

(17)

+

x

В результате, выражения (5)—(17) определяют математическую модель процесса поиска и устранения неисправности СОТС на начальном этапе эксплуатации. В свою очередь, эта модель позволяет исследовать поведение СОТС и определить некоторые её характеристики. Например, может быть получен вид функции, характеризующей вероятность нахождения СОТС в исправном состоянии при различных значениях параметра в, т.е. функция Ро(?,в) , а также определено её максимальное установившееся зна-

чение Po

- max

ß

lim P0(t, ß)

t ^^

Обобщим полученные результаты в виде методики построения моделей подсистем системы космических средств, функционирование которых протекает в конкурентной среде при ограниченных ресурсах и имеет характер дискретных марковских процессов.

Исходными данными для применения рассматриваемой методики является вербальное описание:

1) структуры СКСр;

2) ситуации принятия решения ЛПР, связанной с СКСр, которая характеризуется наличием двух сторон конфликта с антагонистическими интересами и конечными множествами возможных действий;

3) процесса функционирования СКСр, характеризующегося наличием случайных факторов, позволяющих использовать для формализации дискретные марковские случайные процессы с непрерывным временем.

Тогда рассматриваемая методика может быть описана в виде следующей последовательности операций:

1. На основе вербального описания структуры СКСр и вербального описания ситуации принятия решения ЛПР, связанной с СКСр, формируется матрица игры (первый этап формализации конфликтной ситуации).

2. Производится анализ дополнительных условий реализации конфликтной ситуации (например, наличие или отсутствие седловой точки в чистых стратегиях, малое или большое предполагаемое число реализаций игровой ситуации и т. д.), на его основе осуществляется уточнение предпочтений игроков и выбирается (или строится в соответствии с методикой, представленной в [7]) модель игры (второй этап формализации конфликтной ситуации).

3. Для выбранной (построенной) модели игры записываются выражения (или частные оптимизационные задачи) для определения их оптимального решения в чистых или смешанных стратегиях (обозначим их: выражения вида «А»).

4. На основе вербального описания процесса функционирования СКСр, характеризующегося

наличием случайных факторов, с учётом неконтролируемых со стороны ЛПР факторов как определённых (если в п. 2 выбрана модель матричной игры) или как стохастических (если в п. 2 выбраны модели игр в виде смешанного расширения классического или неклассического типа), осуществляется формализация в соответствии с последовательностью:

— вводится понятие состояния системы;

— определяется множество состояний, в которых может находиться система;

— составляется граф состояний;

— задаётся распределение вероятностей нахождения системы в соответствующих состояниях в начальный момент времени;

— для каждой дуги графа переходов определяется интенсивность потока событий, переводящая систему из предыдущего в последующие состояния, соответствующие вершинам, инцидентным рассматриваемой дуге (при этом в определении интенсивностей учитываются случайные факторы процесса функционирования СКСр и определённые или стохастические факторы, полученные в результате выполнения п. 3) (обозначим их: выражения вида «Б»);

— формируются выражения вида (1), (2) (обозначим их: выражения вида «В»).

Таким образом, выражения вида «А», «Б» и «В» определяют искомую математическую модель.

Полученная методика позволяет строить модели, применяемые, например, для оптимизации структуры системы функционального мониторинга для СКСр на этапе проектирования [6] в условиях действия во время эксплуатации сочетания случайных и неопределённых факторов.

В заключении более детально рассмотрим ряд важных вопросов, связанных с практическим применением полученных результатов.

Известно, что основным «узким местом» при описании случайного процесса системой уравнений Колмогорова—Чепмена является методика конструирования интенсивностей переходов. В исследуемой задаче такими интенсивностями являются: Хо (интенсивность отказов СОТС); Цу , I = 1, п, у = 1, т (интенсивности перехода из исправного состояния в неисправное состояние, обусловленное у-й причиной, и в котором поиск причины неисправности и её устранение осуществляются на основе Г-го алгоритма); Ху , . = 1, п, у = 1, т (интенсивности поиска причин неисправности и их устранения для каждого Г-го алгоритма и каждой у-й причины).

Рассмотрим направления их конструирования.

Во-первых, отметим, что введение состояний Бу является искусственным приёмом, обеспечивающим достаточное простое определение интенсив-ностей перехода из этих состояний в состояние Б0.

Это связано с возможностью использования нормативной документации, предписывающей порядок проведения операций по поиску и устранению неисправностей для элементов СКСр, т.е. каждое значение Ху определяется при известной причине неисправности и заданном алгоритме её устранения.

Во-вторых, прогнозирование значения Хо может быть основано на общих подходах к построению методик определения интенсивностей отказов для задач, рассмотренных в статье. Такие подходы перечислены в приложении «А» п. А. 1.1 «Прогнозирование интенсивности отказов» ГОСТ Р 51901.5—2005 [9], одним из которых является анализ подобия. Прогнозирование интенсивности отказов с использованием анализа подобия рассмотрено в п. А. 1.1.3 [9]. Достоинствами метода являются: небольшое время и стоимость анализа при наличии соответствующих данных (что, безусловно, соблюдается для СКСр, так как проектирование, производство и эксплуатация таких систем документируются полно); он адаптирован к ранним этапам проектирования и разработки, поскольку для него достаточно небольшого количества входной информации и данных; он адаптирован как к ручному, так и к компьютерному вычислениям; его применение не требует специального обучения.

В-третьих, наиболее сложно, в рассматриваемой модели, определить интенсивности Цу , I = 1, п, у = 1, т , так как они обусловлены причинами возникновения неисправности, уровень знаний о которых может быть низким. В формализованном виде причины возникновения неисправностей можно охарактеризовать вероятностями их возникновения — пу , у = 1, т , которые для ЛПР не известны. Кроме того, в соответствии с определением состояний Бу интенсивности Цу , I = 1, п , у = 1, т , также обусловлены выбором ЛПР алгоритма поиска и устранения неисправности, который формализуется соответствующими вероятностями ^ , г = 1, п ■ При этом, как указано выше, величины произведений Ъ п у характеризуют доли распределения интенсивности потока отказов СОТС Х0 при переходе из состояния в состояния Бу , они же, в свою очередь, характеризуются интенсив-ностями Ху , большие значения которых для ЛПР предпочтительнее меньших. Таким образом, для определения Цу , . = , у = 1т формируется антагонистическая матричная игра, определяемая платёжной матрицей с элементами Х у , I = 1, п, у = 1, т .

Рассмотрим вопрос, связанный с исследованием адекватности описания реальных процессов, происходящих в СКСр, соответствующим элементам представленной математической модели. Поскольку в качестве таковой в статье

рассматривается СОТС, функционирующая на начальном этапе эксплуатации, при поиске и устранении её неисправности, то адекватность построенной математической модели следует из положений ГОСТ Р 51901.5-2005 «Менеджмент риска. Руководство по применению методов анализа надежности» [9], где для рассматриваемых условий указано, что «марковский анализ применяют для оценки надежности функционально сложных систем со сложными стратегиями ремонта и технического обслуживания». Отдельные вопросы обоснования применения марковских моделей для рассматриваемой предметной области представлены также в [10].

И, наконец, рассмотрим пример. Пусть на начальном этапе эксплуатации СКСр получено извещение о неисправности некоторой технической системы, связанной с одной из трёх причин (m=3) — с неисправностью одного из трёх блоков системы (последовательная структурная схема надежности). Поиск и устранение неисправности осуществляется путём замены соответствующего блока с последующей проверкой устранения неисправности. Имеется три возможных алгоритма выполнения этих операций (n=3). Таким образом, пусть в условиях примера:

'0,456 0,238 0,721Л Х0 =0,020; Л = 0,131 0,431 0,926 0,728 0,836 0,111

V у

Кроме того, анализ ситуации принятия решений по поиску и устранению неисправностей показал, что П2 - 0,2 ; П3 = 0,1; Z3 = 0,2 , т.е.

п2р = 0,2; пГр = 0,1; m = 1; m = 2; = 0,2;

n' = 2 . Тогда в результате построения модели в виде выражений «А», «Б» и «В» получим:

max f1(s0, s, Z2) = max {0,9s0 + 0,2s +

s0,s Л1Л2 s0,s Л1Л2

+ (30,0721 + (1 - P)0,238) + (30,0926 + (1 - P)0,131)2 +

+ ß0,00222 + (1 -ß)0,0222};

(18)

при ограничениях

s0 - ß0,456^ - ß0,131^2 < ß0,1456 ; (19) s0 + s - -ß0,238^1 - ß0,431^2 < ß0,1672; (20) Z1 +Z2 = 0,8; Z1, Z2 > 0; s > 0, (21)

найти

mm

f2(i,П1,П2) = min {0,8g + ß0,1456n1 + ß0,1672n2 + ß0,00222 + (1 - ß)0,0222}, (22)

+

при ограничениях

q - р0,456п1 - Р0,131г|2 > р0,0721 + (1 - в)0,238 ; (23)

q - Р0,238п1 - р0,431п2 > р0,0926 + (1 - р)0,131; (24)

тц +П2 = 0,9; тц > 0; п > 0,2. (25)

В результате решения двойственных задач линейного программирования (18)—(25) получим

£ = ^(р), Й = Й(вЬ £ = 0,2, п* = П*(вЬ

п2 = п2(Р)' п3 = 0,1 • В частности, при р = 1 :

= 0,505 , ^ = 0,295 , п* = 0,375 , п2 = 0,525 • Система линейных алгебраических уравнений для определения стационарных вероятностей нахождения системы в соответствующих состояниях принимает вид:

3 3 3 3

- Р ХХ^*(в)П (в) + ХХРХ = 0; (26)

I=1 У =1 I=1 У =1

-рхл + р^ф)^(в) = 0; I = 1,3; у = 13; (27)

р0 + ХХР = 1, (28)

I=1 у=1

решение которой позволяет определить Р0(в) = lim Р0(?, в) — стационарную вероятность

нахождения системы в состоянии 50 • В частности,

при р = 1: Р0 = 0,9357.

В результате выражения (18)—(28) определяют математическую модель процесса поиска и устранения неисправности рассматриваемой системы на начальном этапе эксплуатации. При этом на их основе может быть поставлена и решена оптимизационная задача для определения максимального установившегося значения

Р0тах = тах(Ит Р0^,р)): р* = 0,356; Поступила в редакцию

P0 = 0,9430.

Таким образом, предлагаемая методика позволяет получить модель подсистем системы космических средств, функционирование которых протекает в конкурентной среде при ограниченных ресурсах и имеет характер дискретных марковских процессов.

Литература

1. Денисов А. А. , Колесников Д. Н. Теория больших систем управления. Л., 1982. 288 с.

2. ГОСТ Р 51901.15-2005. Менеджмент риска. Применение марковских методов.

3. Новые концептуальные методологические подходы к проблемам формирования оптимального технического и технологического базиса программно-целевого планирования в создании и развитии ракетно-космической техники /ВА. Давыдов, Ю.Н. Макаров, А.Н. Маль-ченко, Д.Б. Пайсон. М., 2006.

4. Строцев А. А., Синицын С. В., Жадько А. А. Методика теоретико-игровой оптимизации алгоритма контроля на основе модели смешанного расширения матричной игры с ограничениями // Изв. ЮФУ. Техн. науки. 2008. №11. С. 66-70.

5. Строцев А. А. , Оганесян А. Л. , Григорян М. А. Теоретико-игровая оптимизация алгоритмов контроля сложной системы на основе классических моделей матричных игр с ограничениями-неравенствами // Изв. ЮФУ. Техн. науки. 2009. №2. С. 244-248.

6. Актуальные проблемы неразрушающего контроля качества космической техники: монография / Ю.Н. Макаров, АА. Лухвич, В.Г. Шипша В. Г. [и др.]. СПб., 2008. 333 с.

7. Макаров Ю. Н., Строцев А. А. Методология исследования сложных организационно-технических систем, функционирующих в конкурентной среде при ограниченных ресурсах: монография.Ростов н/Д, 2010. 132 с.

8. Оуэн Т. Теория игр: 3-е изд. М., 2000. 216 с.

9. ГОСТ Р 51901. 5-2005. Менеджмент риска. Руководство по применению методов анализа надежности.

10. Волков Л. И. Управление эксплуатацией летательных комплексов. М., 1987. 400 с.

19 октября 2010 г.

Макаров Юрий Николаевич — канд. техн. наук, профессор, Московская академия рынка труда и информационных технологий. Тел. (495) 631-93-15. E-mail: arm415@roscosmos.ru

Строцев Андрей Анатольевич — канд. техн. наук, доцент, Ростовский военный институт ракетных войск. Тел. (863) 2926242 . E-mail: ast1965@mail.ru

Makarov Yury Nikolaevich — Candidate of Technical Sciences, professor, Moscow Academy of a Labour Market and Information Technology. Tel. (495) 631-93-15. E-mail: arm415@roscosmos.ru

Strotsev Andrey Anatolievich — Candidate of Technical Sciences, assistant professor, Rostov Military Institute. Tel. (863) 2926242 . E-mail: ast1965@mail.ru