Теоретико-групповой анализ возможных магнитных структур твердого раствора Ni 5geo 4(bo 3) 2 Текст научной статьи по специальности «Физика»

Частотные характеристики на рис. 4 и 5 с включением на подстанции КБ (действующая схема) свидетельствует о резонансном усилении 5-й гармоники токов и напряжений вследствие появления полюса ЧХ на резонансной частоте.

Очевидно, что с включением КБ в качестве КУ имеет место усиление 3-й гармоники тока в 2,32 раза, 5-й гармоники тока - в 5,93 раза, а потери активной мощности на этих частотах превышают потери на основной частоте в 5,39 и 35,15 раза соответственно.

Суммарные потери от протекания токов всех гармоник в сети возрастают в 44,31 раза и практически равны величине активных потерь на основной частоте.

Рекомендуемое к установке ФКУ, как видно на рис. 4 и 5, позволяет практически полностью исключить протекание в сети токов 3, 5, 7, 9-й гармоник и существенно снизить величины гармоник более высокого порядка. Несмотря на некоторое увеличение гармоник высокого порядка по сравнению с вариантом установки КБ в качестве КУ, суммарные потери активной мощности от протекания токов высших гармоник возрастают только в 3,92 раза и не превышают значений, нормируемых ГОСТ 13109-97, что свидетельствует о существенно более высокой эффективности применения ФКУ в качестве КУ при той же генерируемой реактивной мощности.

Библиографические ссылки

1. Глушаков С. В., Жакин И. А., Хачиров Т. С. Математическое моделирование: Учебный курс. М. : АСТ, 2001.

УДК 537.612

ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ ВОЗМОЖНЫХ МАГНИТНЫХ СТРУКТУР ТВЕРДОГО РАСТВОРА NI5GEO4(BO3)2

И. И. Назаренко, С. Н. Софронова

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31. E-mail: ilnz007@live.ru

Проведен симметрийный анализ возможных магнитных структур кристалла Ni5GeO4(BO3)2, возникающих в результате фазовых переходов. Получены базисные функции неприводимых представлений, входящих в магнитное представление этой структуры, показывающие вероятные направления магнитных моментов атомов Ni5GeO4(BO3)2. Полученные результаты помогут интерпретации экспериментальных данных при установлении истинной магнитной структуры и механизмов магнитных переходов в исследуемом соединении.

Ключевые слова: магнетизм, теоретико-групповой анализ, людвигиты.

GROUP-THEORETICAL ANALYSIS OF Ni5GeO4(BO3)2 POTENTIAL MAGNETIC STRUCTURES

I. I. Nazarenko, S. N. Sofronova

Siberian State Aerospace University named after аcademician M. F. Reshetnev 31 “Krasnoyarskiy rabochiy” prospect, Krasnoyarsk, Russia. E-mail: ilnz007@live.ru

The work presents a group-theoretical analysis which makes possible to determine Ni5GeO4(BO3)2 crystal potential magnetic structures. The obtained information will help to analyze and interpret experimental data, while determining the true magnetic structure and the mechanisms of magnetic transitions in the compound being tested.

Keywords: magnetism, group-theoretical, ludwigites.

2. Жежеленко И. В., Саенко Ю. Л. Показатели качества электроэнергии и их контроль на промышленных предприятиях. 3-е изд., перераб. и доп. М. : Энер-гоатомиздат, 2000.

3. Иванов В. С. Метод расчета несинусоидально-сти напряжения и исследование резонансеых явлений на высших гармониках в сети внутрезаводского электроснабжения при работе вентельных преобразователей : автореферат. М. : МЭИ, 1978.

4. Маркман Г. З. Энергоэффективность преобразования и транспортировки электрической энергии. Томск : Изд-во Том. политехн. ун-та, 2008.

5. Минина А. А., Платонова Е. В. Исследование несинусоидальности напряжения на тяговых подстанциях переменного тока // Современные техника и технологии : сб. тр. XVI Междунар. науч.-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. В 3 т. Т. 1. Томск : Изд-во Томского политехнич. ун-та, 2010.

6. Минина А. А., Пантелеев В. И. Обеспечение электромагнитной совместимости при компенсации реактивной мощности на тяговых подстанциях переменного тока // Всерос. конкурс науч. работ студентов, магистрантов и аспирантов «Компьютерные технологии и информационные системы в электротехнике» : сб. материалов / отв. за вып. А. А. Северин, М. Н. Третьякова (Тольятти, 29 нояб. 2011 г.). Тольт-ти : Изд-во ТГУ, 2011.

© Минина А. А., Пантелеев В. И., Платонова Е. В., 2013

В Институте физике имени Л. В. Киренского СО РАН были выращены и активно исследуются кристаллы №5ве04(В03)2. Для понимания природы и механизмов фазовых переходов в этом соединении необходимо установить магнитную структуру в низкотемпературной фазе, что прямыми экспериментальными методами возможно лишь в нескольких научных центрах в мире. Симметрийный анализ в совокупности с экспериментальными исследованиями намагниченности и других магнитных свойств позволяет предположить магнитную структуру исследуемого соединения.

симметрийный анализ для k = 0 (центр зоны Бриллуе-на), то есть для случая, когда магнитная ячейка совпадает с кристаллографической ячейкой.

Симметрийный анализ. Первым шагом при проведении симметрийного анализа является построение магнитного представления для какой-либо звезды волновых векторов k и разложения этого представления на неприводимые представления [1, с. 154]:

dk=Е

n т

где т - неприводимое представление; п - кратность вхождения у-го неприводимого представления в приводимое, которая определяется по формуле

(г Е/ (g )y:k-(s),

1 (Gk )>

Рис. 1. Магнитные ионы в элементарной ячейке кристалла К150е(02В0з)2

Кристаллы №5ве04(В03)2 принадлежат к семейству людвигитов. Кристаллическая структура исследуемого соединения относится к пространственной группе РЬат (№ 55). Элементарная ячейка содержит 10 магнитных атомов, которые расположены в сим-метрийных позициях 4И (1-4 на рис. 1), 2Ь (5, 6 на рис. 1), 2с (7, 8 на рис. 1), 4g (9-12 на рис. 1). Интересной особенностью данного соединения является то, что часть ионов N1 (ион с магнитным моментом) и ве (немагнитный ион) статистически разупорядочены в симметрийной позиции 4g и занимают ее равной вероятностью (1/2). Вследствие этого при проведении симметрийного анализа для этого случая мы будем считать, что в позиции 4g находится «усредненный» магнитный ион. Однако поскольку в реальном кристалле в малых локальных областях могут встречаться различные способы упорядочения ионов никеля и германия в позиции 4g, мы рассмотрим несколько кристаллических структур, в которых ионы никеля и германия занимают определенные положения в позиции 4g, т. е. упорядочены. В этом случае из двенадцати приведенных на рис. 1 положений магнитными ионами будут заняты только десять, причем два из них в позиции 4g (положения 9-12). В рамках одной элементарной ячейки существует всего три различных варианта упорядочения ионов никеля и германия, для каждого из них проведен симметрийный анализ возможных магнитных структур. Кроме этого, мы приводим результаты симметрийного анализа для удвоенной вдоль оси с элементарной ячейки, в этом случае различных вариантов упорядочения ионов никеля и германия гораздо больше, но мы, из-за ограниченного объема статьи, приводим лишь два наиболее интересных случая. Во всех случаях мы будем проводить

ч ) hєG0

где n (g° ) - число элементов симметрии точечной

группы волнового вектора Gk0 . Характер магнитного представления определяется по правилу

Xk (g)=)SpRh Е exp [-ikap (g, g )5 j,) ,

j

где элементы симметрии h взяты из [2, с. 312], действуют на векторы в трехмерном пространстве и представлены в виде трехмерных матриц Rh, 5h = 1, если h - обычный поворот, и 5h = -1, если h - инверсионный поворот; ap(g, j) - вектор возвращающей трансляции, символически определяемый формулой

g (0, i) = (ap, J), т. е. вектор, который переводит атом J в атом i того же сорта нулевой ячейки; gj - формальная запись того номера атома, в который переходит атом номера J под действием элемента g є Gk;

5 j ■ - символ Кронекера. - характер неприводи-

kv

мого представления т .

Базисные функции неприводимых представлений можно определить по формуле

4(kv)= X <й(8)ехр[ЧЫР(,ЛЙ5/,«[ЛЕ[в],

hєG0

где тХ[ц] (8) - матричный элемент матрицы неприводимого представления т , соответствующей элементу 8 6 &к группы волнового вектора к. Запись

означает, что в формуле взят в столбец матрицы Як. Суммирование в формуле проходит только по тем

элементам 8 = (к |а), у которых к принадлежит кристаллическому классу &к группы волнового вектора Ок. Индексы д, Л, в в формуле, заключенные в квадратные скобки, должны фиксироваться. Эти индексы определяют старт при построении базисных функций. Изменение старта приводит либо к новой системе базисных функций, либо к нулю. Если непри-

водимое представление входит в состав магнитного представления несколько раз, то каждому такому вхождению соответствует свой базис. Поскольку магнитные моменты, образующие магнитную структуру, вещественны, базисные функции также должны быть получены в виде вещественных величин.

Анализ возможных магнитных структур неупорядоченного Ni5GeO4(BO3)2. Как уже отмечалось выше в случае, когда ионы никеля и германия равновероятно распределены в симметрийной позиции 4g, кристаллическая структура принадлежит к пространственной группе РЬат (№ 55). Разложение приводимого магнитного представления на неприводимые для (к = 0) для каждой симметрийной позиции следующее:

ё(к=0) (4Н) = 2x1 + т2 + т3 + 2т4 + т5 + 2т6 + 2т7 + т8, ё(к=0) (2Ь) = т2 + 2т4 + 2т6 + т8, ё(к=0) (2с) = т2 + 2т4 + 2т6 + т8,

ё(к=0) (4g) = 2т1 + т2 + т3 + 2т4 + т5 + 2т6 + 2т7 + т8.

Далее были построены базисные векторы (табл. 1), которые задают направления магнитных моментов на ионах. Оси х, у, 2 совпадают с кристаллографическими направлениями а, Ь и с пространственной группы РЬат (№ 55). Здесь и во всех последующих таблицах мы будем использовать именно эти обозначения, даже когда из удобства для некоторых случаев мы будем делать преобразование системы координат. Кроме того, мы предполагаем, что фазовый переход из парамагнитного состояния в магнитоупорядоченное состояние происходит одновременно во всей системе магнитных ионов. Несмотря на то что наше предположение не подтверждено экспериментальными данными, кристаллическая структура исследуемого соединения такова, что все магнитные ионы достаточно сильно связаны между собой обменными взаимодействиями и вероятнее всего переход в магнитоупорядоченное состояние будет происходить одновременно во всей системе магнитных ионов. В этом случае, исходя из концепции фазовых переходов по одному неприводимому представлению [3], можно ограничиться рассмотрением только тех неприводимых пред-

ставлений, которые входят в разложение для всех симметрийных позиций. В данном случае это четыре неприводимых представления т2, т4, т6 и т8. Неприводимым представлениям т2 и т8 соответствует легкоосная магнитная структура с антиферромагнитным и ферромагнитным упорядочением соответственно. Неприводимым представлениям т4 и т6 соответствует легкоплоскостная магнитная структура, причем в данном случае для обоих представлений базисные векторы являются линейной комбинацией двух векторов, один из которых соответствует случаю антифер-ромагнитного упорядочения, а второй - случаю ферромагнитного упорядочения.

Анализ возможных магнитных структур для различных случаев упорядочения ионов № и Ge в кристалле Ni5GeO4(BO3)2.

P21am (№ 26). Рассмотрим упорядочение в рамках одной элементарной ячейки. Предположим что ионы 9, 12 являются магнитными (N1), а 10 и 11 - немагнитными (ве) (рис. 2). В данном случае кристаллическая структура принадлежит к пространственной группе Р21ат (№ 26) [4, р. 911]. Для выполнения расчетов удобнее выбрать другую систему координат. Переход от старой системы координат, соответствующей пространственной группе РЬат (№ 55), к новой осуществлен по следующему правилу:

" х'' Г "0 0 -1 0 Л х

у' = 0 1 0 + 1/4 у

г' V 1 0 0 0 2

Рис. 2. Упорядочение магнитных ионов в позиции 4g группы № 55

Таблица 1

Направления магнитных моментов для случая неупорядоченного Ni5GeO4(BO3)2

т Направления магнитных моментов на ионах

1 е'х - е2х - е3х + е4х + е9х - е10х - епх + е12х; еху-е!у+е3у-е4у+еху-е1°у+е11-е1!у

2 е1, + е2, - е3, - е4, + е5, - е62 + е7, - е8, + е9, + е102 - е11, - е12,

3 е1, - е2, + е3, - е4, + е9, - е10, + е11, - е12,

4 е*х + е2х + е3х + е4х + е5х + е6х + е7х + е8х + е9х + е10х + еих + е12х; е'у + е2у - е3у - е4у + е5у - е6у + е7у - е8у + е9у + е10у - е11у - е12у

5 е1, - е2, - е3,+ е4, + е9,- е10, - Л + е12,

6 е‘х + е2х - е3х - е4х + е5х - е6х + е7х - е8х + е9х + е‘°х - еПх - е12х; е'у + е2у + е3у + е4у + е5у + е6у + е7у + е8у + е9у + е10у + еПу + е12у

7 е‘х - е2х + е3х - е4х + е9х - е10х + еИх - е1^ е'у - е2у - е3у + е4у + е9у - е10у - еПу + е12у

8 е1, + е2, + е3, + е4, + е5, + е6, + е7, + е8, + е9, + е10, + е11, + е12,

Таблица 2

Возможные магнитные структуры для упорядоченного Ni5GeO4(BO3)2 (пространственная группа P21am (№ 26))

Т Направления магнитных моментов на ионах

1 е'2 - е22 + ез2 - е4, + е52 - еб2 + е72 - е82 + е9, - е12,

2 е*х + е2х + езх + е4х + е5х +ебх + е7х + е8х + е9х + е12х; е'у - е2у + е\ - е4у + е5у - ебу + е7у - е8у + е9у - е12у

з е'г + е2, + ез, + е , + е5, + еб, + е7, + е8, + е9, + е12,

4 е‘х - е2х + езх - е4х + е5х- ебх+ е7х- е8х + е9х - е'^ е'у + е2у + езу + еху + е5у + ебу + е7у + е8у + е9у + е12у

Для данного случая также было построено магнитное представление и проведено разложение по неприводимым представлениям для каждой симмет-рийной позиции для волнового вектора к = 0:

4"=0) (2Ьа) = XI + 2т2 + Тз + 2т4, йМ=0) (2Ь2) = Т1 + 2т2 + Тз + 2т4,

^|"=0) (2Ьз) = Т1 + 2т2 + Тз + 2т4, йМк=0) (2а1) = Т1 + 2т2 + Тз + 2т4,

^|"=0) (2а2) = Т1 + 2т2 + Тз + 2т4.

В табл. 2 приведены базисные векторы, которые задают направления магнитных моментов на ионах. Как видно из таблицы, магнитные структуры для неприводимых представлений т1, т2, т4 и тз подобны магнитным структурам для неприводимых представлений т2, т4, т6 и т8 для случая неупорядоченного кристалла, соответственно.

Р112/т (№ 10). Еще одним вариантом упорядочения в рамках одной элементарной ячейки будет являться следующее упорядочение: ионы N1 расположены в положении 9 и 10, ионы ве в положении 11 и 12 (рис. з). В данном случае пространственная группа симметрии - Р 112/т (№ 10) [4]. В этом случае нет необходимости переходить в другую систему координат, поэтому все расчеты проведены в системе координат, соответствующей пространственной группе РЬат (№ 55). Разложение по неприводимым представлениям для каждой симметрийной позиции для волнового вектора к = 0 имеет вид

Лм~0) (2щ) = Т1 + 2т2 + 2тз + Т4,

Л|к=0) (2п2) = Т1 + 2т2 + 2тз + Т4, йМ=0) (1Ь) = Т1 + 2тз, лМк=0 (1Ь) = Т1 + 2тз, йМ=0) (И) = Т1 + 2тз, йМм=0) (1с) = Т1 + 2тз,

йМ=0) (2т) = Т1 + 2т2 + 2тз + Т4.

Базисные векторы, которые задают направления магнитных моментов на ионах, приведены в табл. з. Как видно из таблицы, обоим представлениям (т1 и тз),

которые входят в разложение для каждой симметрий-ной позиции, соответствует ферромагнитное упорядочение: либо вдоль оси с (неприводимое представление т1), либо в плоскости аЬ (неприводимое представление тз). Следовательно, если фазовый переход происходит одновременно во всей системе магнитных ионов, то переход из парамагнитного состояния возможен только в ферромагнитное состояние.

РЬ2хт (№ 26). Последний вариант упорядочения в рамках одной элементарной ячейки, когда магнитные ионы N1 занимают положения 9 и 11 (рис. 4), пространственная группа симметрии в этом случае рЬ21т (№ 26).

В данном случае, как и в предыдущем, также нет необходимости переходить в другую систему координат.

Разложение по неприводимым представлениям для каждой симметрийной позиции для волнового вектора к = 0 следующее:

йММ=0) (2Ь1) = Т1 + 2т2 + Тз + 2т4, йММ=0) (2Ь2) = Т1 + 2т2 + Тз + 2т4, йМк=0) (2Ьз) = Т1 + 2т2 + Тз + 2т4, йМ=0) (2а1) = Т1 + 2т2 + Тз + 2т4,

йМ=0) (2а2) = Т1 + 2т2 + Тз + 2т4.

Базисные векторы приведены в табл. 4. Как видно из таблицы, базисные векторы для такого типа упорядочения подобны базисным векторам для упорядочения изображенного на рис. 2.

Анализ возможных магнитных структур для удвоенной вдоль оси с магнитной ячейки кристалла №50е04(В03)2. Так как упорядочение магнитных ионов может в значительной степени влиять на магнитную структуру кристалла, было выполнено рас-

Рис. з. Ионы 9 и 10 - N1 (позиция 4g в группе № 55)

Рис. 4. Ионы 9 и 11 - N1 (позиция 4g в группе № 55)

смотрение различных вариантов упорядочения ионов N1 и ве для удвоенной элементарной ячейки (вдоль кристаллографической оси с). В результате удвоения изменяется пространственная группа симметрии с РЪаш (№ 55) на Рппт (№ 58) [4].

Р112/т (№ 10). Если магнитные ионы N1 упорядочить таким образом, как показано на рис. 6 (в положениях 9, 10, 23, 24), то пространственная группа симметрии становится Р112/ш (№ 10) [4]. Для выполнения расчетов удобнее выбрать другую систему координат. Переход от старой системы координат, соответствующей пространственной группе РЪаш (№ 55), к новой осуществлен по следующему правилу:

" X'" "0 0 1" X

.У' = 1 0 0 У

0 1 0 I

Для данного варианта упорядочения так же было получено разложение по неприводимым представлениям для волнового вектора к = 0 для каждой симмет-рийной позиции:

4=0) (4оа) = Эха + 3Т2 + 3тз + 3т4,

4=0) (402) = Эта + 3т2 + 3тз + 3т4,

(2т) = т + 2т2 + 2т3 + т4,

=0) (2п) = Та + 2т2 + 2т3 + Т4,

(21) = Та + Т2 + 2т3 + 2т4, ё^=0) (21) = Та + Т2 + 2т3 + 2т4,

й(М 0) (Ы) = Та + 2тз,

йМ=0) (11) = Т1 + 2тз,

)(1с) = Т1 + 2тз,

й{М=0) (1е) = Т1 + 2тз.

Базисные вектора, соответствующие каждому неприводимому представлению, представлены в табл. 6. В данном случае два представлениям (Т1 и Т3) входят в разложение для каждой симметрийной позиции. Базисные векторы неприводимых представлений Т1 и Т3 составлены из векторов, соответствующих как случаю ферромагнитного упорядочения, так и случаю анти-ферромагнитного упорядочения. Кроме этого можно отметить тот факт, что для различных симметрийных

позиций базисный вектор может быть представлен

линейной комбинацией двух, трех векторов.

Рис. 6. Упорядочение магнитных ионов N1, соответствующее группе Р112/ш

Таблица 3

Возможные магнитные структуры для упорядоченного №5Се04(В03)2 (пространственная группа Р112/т (№ 10))

Т Направления магнитных моментов на ионах

1 е1, + е2, + е3, + е42 + е5, + е62 + е72 + е82 + е9, + е102

2 е1х - е2х + е3х - е4х + е9х - е10х; е1у - е2у + е3у - е4у + е9у - е10у

3 е1х + е2х + е3х + е4х + е5х + е6х + е7х + е8х + е9х + е10х; е1у + е2у + е3у + е4у + е5у + е6у + е7у + е8у + е9у + е10у

4 е1, - е2, + е3, - е4, + е9, - е10,

Таблица 4

Возможные магнитные структуры для упорядоченного №5Се04(В03)2 (пространственная группа Р21ат (№26))

Т Направления магнитных моментов на ионах

1 е12 - е22 + е32 - е\ + е5, - е62 + е72 - е8, + е9, - еп2

2 е‘х - е2х + е3х - е4х + е5х- е6х+ е'х- е8х + е9х - е"^ е1у + е2у + е3у + е4у + е5у + е6у + е7у + е8у + е9у + епу

3 е1, + е2, + е3, + е4, + е5, + е6, + е7, + е8, + е9, + еп2

4 е1х + е2х + е3х + е4х + е5х + е6х + е7х + е8х + е9х + епх; е1у - е2у + е3у - е4у + е5у - е6у + е7у - е8у + е9у - е11у

Таблица 5

Возможные магнитные структуры для упорядоченного №5Се04(В03)2 (пространственная группа Рп21т (№ 31))

т Направления магнитных моментов на ионах

1 e„x + e2x - e3x - e4x + e5x - e6x - e13x - '14x + '15x + '16x - Є1* + Є1^ Є1; + Є2у + Є3у + Є4у + Є5у + Є6у - Є13у - Є14у - Є15у - Є16у - Є17у - Є18у. e„z + e2z - e3z - e4z + e5z - e6z + e7z + e8z + e9z - e12z + e13z + e14z - e15z - e16z + e17z - e18z - e19z - e20z + e22z + e23z

2 e„x + e2X - e3X - e4X + e5X - e6X + e7X + e8X + e9X - e12x + e13x + e14x - e15x - e16x + e17x - e18x - e19x - e20x + e22x + e23x. Є1; + Є2у + Є3у + Є4у + Є5у + Є6у + Є7у + Є8у + Є9у + Єі2у + Єі3у + Єі4у + Єі5у + Єі6у + Єі7у + Єі8у + Єі9у + Є20у + Є22у + Є23у. e„z + e2z - e3z - e4z + e5z + e6z - e13z - el4l + Є15, + Є16, - Є , + Є1-,.

3 e„x + e2X + e3X + e4X + e5X + e6X + e7X + e8X + e9X + e12x + e13x + e14x + e15x + e16x + e17x + e18x + e19x + e20x + e22x + e23x e„y + e2y - e3y - e4y + e5y + e6y + e7 + e8y + e9y - e12y + e13 + e14y - e15y - e16y + e17y - e18y - e19y - e20y + e22y + e23y. e„z + e2z + e3z + e4z + e5z + e6z - e13z - e14z - e-5z - e-6, - e„7z - ez

4 Є1 x + Є2 x + Є3 x + Є4 x + Є5 x + Є6 x - Є13 x - Є14 x - Є15 x - Є16 x - Є17 x - Є18 x. Є1; + Є2у + Є3у + Є4у + Є5у + Є6у - Є13у - Є14у - Є15у - Є16у - Є17у - Є18у e„z + e2z + e3z + e4z + e5z + e6z + e7z + e8z + e9z + e12z + e13z + e14z + e15z + e16z + e17z + e18z + e19z + e20 + e22z + e23z

Таким образом, в ходе проделанной работы с помощью симметрийного анализа были построены возможные магнитные структуры для полностью неупорядоченного и различных случаев упорядочения магнитных ионов кристалла №5ве04(В03)2. Как показывают результаты рентгеновских исследований кристаллической структуры №5ве04(В03)2, упорядочения N1 и ве в позиции 4g даже после длительного отжига не наблюдается, магнитные ионы в позиции 4g располагаются случайным образом. Несмотря на то, что то N1 и ве распределены равновероятно, возможно образование локального (ближнего) порядка в небольших областях кристалла. В этом случае различные области могут иметь несколько различную магнитную структуру. Как показали результаты расчета, если упорядочение происходит в рамках одной кристаллографической ячейки, то направления магнитных моментов либо лежат в плоскости аЬ, либо направлены вдоль оси с. В случае удвоенной ячейки различные типы упорядочения магнитных ионов дают более сложную картину: для некоторых представлений в этом случае магнитный момент для некоторых ионов имеет все три компоненты. Кроме этого, в ряде случаев при единственном фазовом переходе магнитоупорядоченная структу-

ра может быть только ферромагнитной или наоборот только антиферромагнитной. Вероятнее всего реальная магнитная структура исследуемого соединения довольно сложная и может зависеть от условий роста кристалла (поскольку может изменяться распределение магнитных ионов в позиции 4g). Полученные в данной работе результаты помогут при анализе и интерпретации экспериментальных данных.

Библиографические ссылки

1. Ковалев О. В. Неприводимые представления пространственных групп : науч. изд. Киев : Изд-во АН УССР,1961.

2. Изюмов Ю. А., Найш В. Е., Озеров Р. П. Нейтронография магнетиков : науч. изд. М. : Атомиздат, 1981.

3. Толедано Ж.-К.; Толедано П. Теория Ландау фазовых переходов : науч. изд. М. : Мир. 1994.

4. International Tables for Crystallography (2006). Vol. A. : sci. ed. / edit. Theo Hahn - Dordrecht (Netherlands): Springer, 2005.

© Назаренко И. И., Софронова С. Н., 2013

УДК 519.62

МОДАЛЬНЫЙ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ БАЛОК,

ПОДАТЛИВЫХ ПРИ ТРАНСВЕРСАЛЬНОМ СДВИГЕ

В. А. Нестеров

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31. E-mail: gorkolya@mail.ru

Рассматривается задача о собственных колебаниях балки с низкой трансверсальной сдвиговой жесткостью. На основе теории пластин Рейсснера-Мидлина разработана конечно-элементная модель, в которой в качестве узловых неизвестных фигурируют углы трансверсального сдвига. Представлены результаты модальных расчетов изотропных, трехслойных и композитных балок при учете неклассических граничных условий.

Ключевые слова: балка, собственные колебания, трансверсальный сдвиг, метод конечных элементов.