Теоретическое исследование устойчивости явной двухслойной линейной схемы для внутренних узловых точек на равномерной прямоугольной сетке Текст научной статьи по специальности «Физика»

Численные методы расчета конструкций

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЯВНОЙ ДВУХСЛОЙНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ ВНУТРЕННИХ УЗЛОВЫХ ТОЧЕК НА РАВНОМЕРНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СЕТКЕ

В.К. МУСАЕВ, доктор технических наук, профессор Российский университет дружбы народов 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6, Россия musayev-vk@yandex. т

Приводится информация об устойчивости двумерной явной двухслойной конечно-элементной линейной схемы в перемещениях для внутренних узловых точек на равномерной прямоугольной сетке. Применяется девятиточечный шаблон.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: устойчивость, явная схема, узловые точки, прямоугольная сетка.

Рассмотрим устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлемент-ной линейной схемы в перемещениях для внутренних узловых точек на равномерной прямоугольной сетке [1].

у

1-1 о+1,п

1-1,И,п

у+1,11

10, П ¡+10,п

¡0-1,п ¡+10-1,п

¡+1о+1,п

Д 1

Д1

-д 1-—-д [-^

Рис. 1. Прямоугольная равномерная конечноэлементная сетка по пространственным

координатам

Некоторая информация о достоверности и разработки алгоритма численного моделирования волн напряжений в деформируемых телах приведена в работах [2-5].

Рис. 2. Прямоугольная равномерная конечноэлементная сетка по временной координате Используя основные соотношения для прямоугольного конечного элемента, покажем матрицу жесткости К и вектор инерции для Н двумерного ко-

нечного элемента

К = ph

кИ,]' k2i,j k4i,j

Н = pabh

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

(1) (2)

где

Ь

к1и - р(-СрРК] + ^Х-,;); - р((Ср -2С2)Рз„ + );

к3г, 1 - р((Ср ~2Ср )Р4г, 1 + СрР3г, 1 ) ; к4г, 1 = р(аСРР2г, 1 + СлРи, 1 ) ;

Р" - 6

Рз -1

3 4

-2, 2, 1, -1,

1, 1,

-1, -1,

-1, -1, 1, 1,

-1, 1,

2, -2,

"Л 3г, 1 1 -1 -2 2

-1, -1 1, 1 1, 1

-1, -1

Р2 - ^

2 6

Р - 1

Р 4

Ь

2, 1, -1,

-2,

1, 1, -1, -1,

1, 2, -2. -1,

-1, -1 -1, -1.

-1,

-2, 2, 1,

-2 -1 1

2

1 1 -1 -1

Е - модуль упругости; V - коэффициент Пуассона; р - плотность материала; - скорость продольной упругой волны; СЛ -,

Е

Ср \ р(1-0

Е

2р(1 + v)

- ско-

рость поперечной упругой волны; а - половина длины прямоугольного конечного элемента; Ь - половина высоты прямоугольного конечного элемента; Н -толщина прямоугольного конечного элемента.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для некоторого деформируемого тела [1, 2], записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

НФ + КФ = Я, ф| 1=0 = Ф0 , ф| 1=0 = Ф0 , (3)

где Н - матрица инерции; К - матрица жесткости; Ф - вектор узловых упругих перемещений; Ф - вектор узловых упругих скоростей перемещений; Ф -вектор узловых упругих ускорений; Я - вектор узловых упругих внешних сил.

Соотношение (3) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями. Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями привели к линейной задаче Ко-ши. Интегрируя по временной координате соотношение (3) с помощью конеч-

Т

а

ноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек:

Фш =Ф,- +Ш-1(-Щ + Щ) , Ф+1 = ф + ЛФг+1, (4)

где Д? - шаг по временной координате.

Исследуем на устойчивость явные конечноэлементные линейные схемы в перемещениях для внутренних узловых точек на равномерных сетках с помощью метода Неймана [6, 7].

Будем искать решение явных двухслойных конечноэлементных линейных схем в перемещениях для внутренних узловых точек на равномерных сетках в виде:

. п = GPnei^aiei^вj , (5)

V- ^п = FPnei^aiei^вj , (6)

где ¡1 = -у/-1; G и F - константы; Р - функция целых чисел а и р .

Рассмотрим устойчивость одномерной явной двухслойной конечноэлемен-тоной линейной схемы в перемещениях для внутренних узловых точек на равномерной прямоугольной сетке (рис. 1-2) [8].

Рассмотрим уравнение динамического равновесия (4) для узловой точки (¡, п) через элементы матрицы жесткости (1) и вектора инерции (2) конечного элемента с четырьмя узловыми точками

Д?

Щ, п+1 = и¡, п - (н + н + Н + н ) ((k1,1 + k3,3 + ¿5,5 + k7,7 ^иг,],п +

+ (k1,2 + k3,4 + ¿5,6 + ¿7,8>1, /, п + (k5,7 + ¿3,1>г' +1, /,п + + (^5,8 + ¿3, 2^ +1, ], п + k3,7ui+1, ]-1, п + +1, ]-1, п +

+ 5 + ¿1, 7 )и-, ]-1, п + 6 + k1,8]-1, п + ¿1, 5и--1, ]-1, п + + k1,6Vi-1, ]-1, п + (k1,3 + ¿7,5 -1, ], п + (k1,4 + ¿7,6>1-1, ], п + + ¿7, 3и--1, ]+1, п + ¿7,44-1, ]+1, п + 1 + ¿5,3)Щ, ]+1,п + + (Ь, 2 + ¿5,4>1, ]+1, п + ¿5, 1и-+1, ] +1, п + ¿5, 24 +1, ]+1, n), (7)

и-,',п +1 = ,п + Д?и-,],п+1 , (8)

(Н 2 + Н4 "+Н 6 + Н 8,

+ ^2, 2 + ¿4, 4 + k6, 6 + k8, 8>1, /, п + (k6,7 + ¿4, +1, /, п + + (k6,8 + ¿4, 2^+1, ], п +¿4,7и-+1, ]-1, п + ¿4,+1, ]-1, п + + (k4,5 + k2, 7>1, ]-1, п + ^4, 6 + ¿2, 8>1, ]-1, п + ¿2, 5и--1, ]-1, п + + ¿2, 6V-1, ]-1, п + (k2,3 + ¿8,5)и--1, ], п + (k2,4 + k8, 6>1-1, ], п + + ¿8,3и--1, ]+1, п + ¿8,4^-1, ]+1, п + ('¿8,1 + ¿6,3)Щ, ]+1, п + + (k8,2 + ¿6,4)у-, ]+1, п + ¿6,1и-+1, ]+1, п + ¿6,+1, ]+1, п), (9)

1Л1

Ъ,',п+1 = Ъ,],п -(Н2+Н4+Н6+Н8) ((]С2'1 + ¿43 + ¿65 + .^'п +

vi,j,n+1 = vi,j,n + Atvi,j,n+1. (10)

Подставляя (1-2) и (5-6) в (7-10), получаем систему при cosa = sin/3 = 1, которая имеет следующий вид:

M

2

G(-j( - P + 2 - P-1) - Cj) - FC2 = 0, Mt2

Ml2 J

FC2 + G(—-P + 2 - P-1 ) - C1) = 0, Mt2

где

r -p

Из (11) и (12) получим матрицу

Cj = 4(Cp + C2); C2 = (vCp + C2).

(11) (12)

Ml

2

Mt

(-P + 2 - P-1) - C1, -C

2

2

Ml 1

- C2, -J(-P + 2 - P-1) - C1

Mt

(13)

Раскрывая определитель матрицы п = 0 в (13), получим характеристическое уравнение

(S - C1)(S - C1) = C¡,

S = -

Ml

2

Mr

-(-P + 2 - P-1 ).

(14)

Из уравнений (14) получим

2 15 -V С2 Ы2 Р2 -2(1- ——— -)Р +1 = 0.

12 Ы2 '

Устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних узловых точек на равномерной прямоугольной сетке (4) будет иметь место, если шаг по временной координате подчинить условию

А1

где

h =

12

(0,83 < h < 0,89).

45-v Л и т е р а т у р а

1. Мусаев В.К. О сходимости двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних узловых точек на равномерной прямоугольной сетке // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. - 2008. - № 3. - С. 60-68.

2. Мусаев В.К. Оценка достоверности и точности результатов вычислительного эксперимента при решении задач нестационарной волновой теории упругости // Научный журнал проблем комплексной безопасности. - 2009. - № 1. - С. 55-80.

3. Сазонов К.Б., Сущев Т.С., Шепелина П.В., Куранцов О.В., Акатьев С.В. Моделирование нестационарного волнового напряженного состояния в деформируемых объ-

n

ектах с помощью численного метода Мусаева В.К. в перемещениях // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем. Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием. - М.: РУДН, 2012. - С. 332-334.

4. Nemchinov V. V. Diffraction of a plane longitudinal wave by spherical cavity in elastic space // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2013. -Volume 9, Issue 1. - P. 85-89.

5. Nemchinov V.V. Numerical methods for solving flat dynamic elasticity problems // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2013. - Volume 9, Issue 1. - P. 90-97.

6. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. - М.: Мир, 1972. - 420 с.

7. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. -М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

8. Мусаев В.К. Об устойчивости двумерной явной двухслойной конечноэлемент-ной линейной хемы в перемещениях для внутренних узловых точек на равномерной треугольной сетке// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. - 2008. - № 2. - С. 59-65.

R e f e r e n c e s

1. Musaev, V.K. (2008). O sxodimosti dvumernoj yavnoj dvuxslojnoj konechnoe'lementnoj linejnoj sxemy v peremeshheniyax dlya vnutrennix uzlovyx tochek na ravnomernoj pryamougol'noj setke. Vestnik Rossijskogo Universiteta Druzhby Narodov. Seriya problemy kompleksnoj bezopasnosti, № 3, pp. 60-68.

2. Musaev, V.K. (2009). Ozenka dostovernosti i tochnosti rezul'tatov vychislitel'nogo e'ksperimenta pri reshenii zadach nestacionarnoj volnovoj teorii uprugosti. Nauchnyj Zhurnal Problem Kompleksnoj Bezopasnosti, № 1, pp. 55-80.

3. Sazonov, K.B., Sushhev, T.S., Shepelina, P.V., Kurancov, O.V., Akat'ev, S.V. (2012). Modelirovanie nestacionarnogo volnovogo napryazhennogo sostoyaniya v deformiruemyx ob"ektax s pomoshh'yu chislennogo metoda Musaeva V.K. v peremeshheniyax. Informacionno-telekommunikacionnye texnologii i matematicheskoe modelirovanie vysokotexnologichnyx sistem. Tez. dokl. Vserossijskoj konferencii s mezhdunarodnym uchastiem, Moscow: RUDN, pp. 332-334.

4. Nemchinov, V.V. (2013). Diffraction of a plane longitudinal wave by spherical cavity in elastic space. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, 2013, Vol. 9, Iss. 1, pp. 85-89.

5. Nemchinov, V. V. (2013). Numerical methods for solving flat dynamic elasticity problems. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, Vol. 9, Iss. 1, pp. 90-97.

6. Rixtmajer, R., Morton, K. (1972). Raznostnye Metody Resheniya Kraevyx Zadach. Moscow: "Mir", 420 s.

7. Bate, K., Vilson, E. (1982). Chislennye Metody Analiza i Metod Konechnyx E'lementov. Moscow: Strojizdat, 448 p.

8. Musaev, V.K. (2008). Ob ustoychivosti dvumernoy yavnoy dvuhsloynoy konechnoelementnoy lineynoy shemy v peremescheniyah dlya vnutrennih uzlovyh tochek na ravnomernoy treugol'noy setke. Vestnik Rossijskogo Universiteta Druzhby Narodov. Seriya problemy kompleksnoj bezopasnosti, № 2, pp. 59-65.

THEORETICAL INVESTIGATION OF THE STABILITY OF EXPLICIT TWO-LAYER LIEAR SCHEME FOR INTERNAL ANCHOR POINTS ON THE UNIFORM RECTANGULAR GRID

Musayev V.K.

Peoples' Friendship University of Russia, Moscow

Provides information about the stability of two-dimensional explicit two-layer linear finite element scheme of movement for internal anchor points on the uniform rectangular grid. Applies ninepoint pattern.

KEY WORDS: sustainability, explicit scheme, anchor points, rectangular grid.