Теоретическое исследование двухмассовой акустической системы с упругим элементом Текст научной статьи по специальности «Физика»

М Е Х А Н И К А

УДК 621.79 (075.8)

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУХМАССОВОЙ АКУСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С УПРУГИМ ЭЛЕМЕНТОМ

Инж. ЛУГОВОЙ И. В.

Белорусский национальный технический университет

Упругими называются тела, способные существенно деформироваться под действием внешних сил и восстанавливать свои размеры после снятия внешних нагрузок [1]. Упругие тела используются в качестве чувствительных элементов в измерительных системах, для создания силового контакта и натяга между деталями, в качестве упругих опор, амортизаторов и пр. Кроме того, такие элементы могут быть использованы для аккумулирования механической энергии. Существуют различные конфигурации упругих элементов. По геометрическим признакам они разделяются на стержневые, полученные из проволоки или ленты, и упругие в виде оболочек из листового материала. Стержневые пружины могут быть винтовыми и плоскими. Винтовые бывают цилиндрическими, коническими и фасонными.

В конструкциях машин и механизмов упругие элементы могут воспринимать действие вынужденных колебаний в широком диапазоне частот, преимущественно низких. Расчеты упругих тел заключаются в составлении уравнения деформаций, определении частот собственных колебаний и проверке вероятности совпадения собственных частот с вынужденными для исключения резонансного явления, или наоборот, создания резонанса в колебательной системе. Известны методики определения и исследования параметров упругих элементов [2-4], среди которых можно выделить расчеты: на жесткость, напряжений в сечениях, на устойчивость.

Анализ использования ультразвуковых колебательных систем показал, что рассматриваемые акустические системы состоят из жестких элементов, а это обусловлено необходимо-

стью создания в них стоячей волны. В то же время использование упругих элементов в подобных системах изучено в недостаточной мере и ограничивается в отдельных случаях применением в качестве передающего или рабочего инструмента в технологических системах и бурильных машинах [5, 6].

Практика же использования упругих тел в ультразвуковых системах ограничена несколькими известными изобретениями, к числу которых относятся: ультразвуковой инструмент, выполненный в виде петли из упругого материала; ленты или проволоки [7]; устройство для ультразвукового полирования и упрочняюще-чистовой обработки [8], содержащее спиралевидный пружинящий волновод; устройство в виде излучателя изгибных колебаний в инструменте из ленты, свернутой в спираль вдоль продольной оси, для обработки глубоких каналов, щелей и отверстий [9]; упругий элемент в виде плоскоовальной пружины для вибрационного преобразователя, используемый для расширения частотного диапазона в измерительной технике [10].

В связи с этим автором статьи поставлена цель - изучить возможность применения упругих элементов в акустических технологических системах при обработке материалов. Для этого могут быть использованы упругие кольца, винтовые и плоские пружины, упругие элементы с плоскоовальной и эллиптической формами (так называемые пружины Бурдона), витые трубчатые пружины с различным поперечным сечением, сильфонные упругие тела. Кроме того, необходимо сделать прогноз колебательных процессов, возникающих в акустических

Наука итехника, № 5, 2012

системах с упругими элементами, на основе теоретических расчетов динамических систем.

В число исследуемых задач входит также рассмотрение динамики колебательных систем в диапазоне ультразвуковых частот. Распространение ультразвуковых колебаний в акустической системе имеет волновой характер, однако работа, совершаемая инструментом, осуществляется в условиях динамического взаимодействия с обрабатываемой поверхностью. Ввиду этого ультразвуковую систему «упругое тело - инструмент» (рис. 1а) можно представить в виде динамической системы, состоящей из двух отдельных приведенных сосредоточенных масс ш\ и шг (рис. 1б) при действии кинематических колебаний xosin0t. Рассмотрим кинематическое возбуждение колебательной системы. Для анализа воспользуемся методом перемещений [11], основная система которого представлена на рис. \в, г.

Исходным условием для расчета является жесткий контакт инструмента с опорой (рис. 1в). Смещения масс обозначим соответственно Х2 и x\. Представленная схема предварительно описывается системой уравнений:

I Кл + k12Х2 + k1p = 0

[k21X1 + k22 Х2 + k2p = 0

где — k.; — ^21 — k.; kg — k^ ^ k^, a k\, кг соответственно жесткость нижней и верхней пружины; k\p = 0 - реактивное усилие связи 1 в основной системе метода перемещений; кгр = = -k2XoSin0t.

С учетом решения подобных задач [3] колебания системы можно описать уравнениями:

[куХу -куХ2+туХу =0;

+ (кх +к2)х2 + т2х2 = 0

или

i/Wjiq к-уХу -кхх2 = 0; [т2х2 +{кх +к2)х2 — куХу =0.

(1)

Будем считать, что верхняя опора упругого элемента колеблется по закону х0 (t) = х0 sin Qt.

Тогда силы инерции Ii и I2 колеблющихся масс можно определить по формулам:

—щ0 х0sin0í; - m20 x0sin0í.

(2)

Введем обозначения для свободных членов системы (1) [11] и примем

к + к к К = 0; к2р = -к2х^т Ы; --1 = а; — = в;

k m

m2

1 x0 k2 1 = y; q = ■ 02

m,,

mn

Таким образом, систему уравнений можно представить в следующем виде:

ГтхХу к-уХу -куХ2 =0;

1 т2х2 + (ку +к2)х2 -куХу = -хак2 эт©/^

или

Xy+jXy- ух2 = 0;

х2 + ах2 -|3xj = -sin0/ = gsin0/\

т0

(3)

б

xosin0í

J2

Jl

\mi

k2i

kii

(J

О

/■ К

ki

k22

ki2

Q

а

ki j

Рис. 1. Динамическая модель и схема перемещений

■■ Наука итехника, № 5, 2012

а

в

г

1

1

Смещения масс носят гармонический характер, поэтому принимаем частные решения (3) в виде:

X = A sin Qt и x2 = B sin 0t.

Тогда система уравнений (3) после упрощения примет вид:

1^3 (Y - е2) - yB = 0;

I-PA + (a - е2)в = q.

(4)

Решая ее, получаем:

A = qY •

3 (a-е2)(Y -е2) -YP ;

B3 =

q(Y - е2)

(a - е2 )(y - е2) - yP

Решения системы (4) складываются из решения однородной системы и частного решения, соответствующего виду свободных членов. Поскольку колебания масс имеют гармонический характер, это решение можно описать выражениями:

X (?) = А ? + У1 ) + А Бт(ю2? + ^) + А эт е?;

(5)

х2 (?) = В sin(^ ? + У1 ) + В Эт(ю2? + ^) + В ЭтО?,

где Ю1 и Ю2 - частоты собственных колебаний системы; VI и У2 - сдвиги фаз, находятся из решения однородной системы (3).

Учитывая, что в [4] B = A

Y - Ч Y

а В2 =

= A Y - ю2

из (5) получим уравнения:

X (t) = A sin(®it + Vj) + A sin(®21 + v2) + +A sin 6t;

, (t) = A -—— sin (<Bj t + Vj ) +

(6)

+A

у-ю2 у

sin (ю 2t + v2 ) + B sin 0t.

Начальными условиями при t = 0 будут начальные отклонения масс 71, 72 и их скорости

VI, V2.

Наука

итехника, № 5, 2012_

[Y = A sin v + A sin v2 ; [v2 = B sin v + B sin v2;

(7)

у-Ю, . --w2 • Y = A - sin v + A2j-- sin v2;

у-ю2_

у

у

Л у-ю2 л у-ю2 AD v2 = A Ю- c°s V + A ю 2- +0B.

у

у

Подставив в (6) Аз и Вз из решения уравнения (4), получим:

X (t) = A sin t + Vj) + A sin (®21 + v2) +

qi

(a - е2)(Y - е2)-yP

sin 9t;

(8)

;(t ) = A,

Y-Ю1 •

í \ л Y-ю2

sin (ю t + v) + AJ—2

xsin (ю2 t + v2) +

q ( y-e2)

(a-e2)( y-e2)-yP

sin 9t.

Таким образом, разрешающая система уравнений для определения характеристик колебательного процессаА1, А, VI, V2 примет вид:

Y = A sin V + A sin v2;

ft)2

Y = A ~—~ sin v + A

Y Y

Y - Ч • --sin v,

(9)

где

I — ;

Y - g>2 Y - _

+ — Y ^ .

Y

Y

Для начальных скоростей t = 0 дифференцированием уравнений (8) по времени имеем:

A Ю cos V + A ®2cos v2 + qY

+е

(a - е2)(y - е2) - yp

Y - ®i2

Y - Ч2

(10)

A Ю-L cos v + A ю2

Y Y

cos V-,

+е-

q(a - е2)

(а - 02 )(у - е2) - ур У2 •

В системах уравнений (9, 10) неизвестными являются А1, А2, VI и V2.

Несмотря на нелинейный характер системы уравнений (10), ее можно решить точно отно-

X

Y

X

сительно и ^1Ю1С08У1 и

Находим:

= ^л; А281пу1 = ^Ъ;

(11)

^1Ю1С08У1 = ^21; ^2Ю2С08У2 = ^22,

где выражения для ^ (/ = 1,2; к = 1,2) вследствие сложности не приводятся.

Из равенств (11) получаем формулы для сдвига фаз:

Г Г

= т1 ®1; tgv2 = ®2, (12)

Г 21 Г22

что позволяет определить и ^2.

При расчете с учетом сил собственно веса масс т1 и т2 (рис. 2) из (1) получим следующие уравнения:

Гкх - Кх2 =-щ& [-кХ1 + (к + к2 )Х2 = -т2§-

kixi

__1 1 mig

Рис. 2. Динамическая модель для расчета с учетом сил тяжести

Отсюда следует, что х = X —и -кгх2 +

к1

+ к^ + (к + к )х2 = -т2 ■

Таким образом, перемещения масс можно представить в виде:

~m2g - mig

m + m2

x = -

k2 + ^ k^ + ^

m g m + m

(13)

Вследствие линейности рассматриваемых задач решение (13) накладывается на полученное решение (10). Выведенные уравнения позволяют произвести численный расчет с использованием компьютерных программ. Как пример рассмотрим частный случай, когда на массу т1 воздействуют вынужденные колебания частотой 20 кГц. В качестве упругого элемента массой т1 было принято кольцо из стали диаметром 20, шириной 10 и толщиной 1 мм. Рабочим инструментом акустической системы (масса т2) являлась игла диаметром 2 и длиной 50 мм. Полученные результаты расчета представлены в виде осциллограмм на рис. 3. Они характеризуют амплитудные свойства масс т1 и т2 (рис. 3а, б), а также изменения силы Ж в точке прижатия иглы к опоре (рис. 3в) (смещениям Х1 и Х2 на осциллограммах соответствуют значения У1 и /2).

Характер кривых смещений масс на осциллограммах в данном примере свидетельствует, что рассматриваемый случай представляет собой сложное колебание, при котором наблюдается сложение двух несинхронных коллинеар-ных гармонических колебаний каждой из масс т1 и т2 с близкими частотами собственных колебаний. В результате сложения этих колебаний образуются биения, при которых размах суммарных колебаний колеблется между минимальным и максимальным значениями. Подобный характер несинхронного изменения силы наблюдается на кривой для силы Ж между массой т2 и опорой.

Y2,m 4-10-4

2-10-4

-2-10-4 -4-Ю-4

t, c

Yi,m

4-10-4 2-10-4

-2-10-4 -410

t, c

W, н 30 20 10

-101 -201 -30

t, c

Рис. 3. Осциллограммы перемещений масс и силы в точке прижатия иглы

■■ Наука итехника, № 5, 2012

б

а

в

В Ы В О Д Ы

1. Рассмотрена математическая модель ультразвуковой системы с упругим элементом, работающая в условиях контакта рабочего инструмента с заготовкой без зазора.

2. Анализ динамической модели позволяет моделировать процессы двухмассовой системы путем варьирования геометрических (размерных) и акустических параметров упругих элементов и рабочего инструмента в широком диапазоне частот.

3. Численные расчеты динамической модели позволяют осуществить выбор оптимальных размеров и условий достижения резонанса акустической системы и в результате обеспечить максимальную эффективность технологического процесса.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Андреева, Л. А. Упругие элементы приборов / Л. А. Андреева; под ред. В. И. Феодосьева / ГНТИ машиностроительной литературы. - М., 1962. - 500 с.

2. Ильин, М. М. Теория колебаний: учеб. для вузов / М. М. Ильин, К. С. Колесников, Ю. С. Саратов; под общ. ред. К. С. Колесникова. - М.: Изд-во МГТУ имени Н. Э. Баумана, 2003. - 272 с.

3. Тимошенко, С. П. Колебания в инженерном деле / С. П. Тимошенко. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1959. - 437 с.

4. Пфейффер, П. Колебания упругих тел: пер. с нем. / П. Пфейффер. - Л.: ОНТИ, Гос. технико-теоретическое изд-во, 1934. - 154 с.

5. Упругие элементы вибромашин: обзор / ЦНИИ и ТЭИ по строительному, дорожному и коммунальному машиностроению. - М., 1971. - 82 с.

6. Симонов, В. В. Волновые процессы в бурильной машине / В. В. Симонов. - М.: МИНХиГП, 1979. - 113 с.

7. Ультразвуковой инструмент: пат. 38243 СССР, МКИ В 06 в 3/00, В 23р 1/00 / А. А. Горбунов, В. М. Сал-танов [и др.]; опубл. 23.05.73 // БИ. - 1973. - № 23.

8. Устройство для ультразвукового полирования: пат. 854685 СССР, МКИ В 24 в 1/04, В 06 в 1/00 / В. Ф. Зи-мовец, П. М. Герасимчук, С. Н. Стручков; опубл. 15.08.81 // БИ. - 1981. - № 30.

9. Излучатель изгибных колебаний: пат. 657868 СССР, МКИ В 06 в 1/00 / Ю. С. Андреев, В. Н. Бокановский; опубл. 25.04.79 // БИ. - 1979. - № 15.

10. Вибрационный преобразователь: пат. 315479 СССР, МКИ В 06 в 1/08 / В. И. Каспирович; опубл. 01.10.71 // БИ. - 1971. - № 29.

11. Борисевич, А. А. Строительная механика: учеб. пособие для вузов / А. А. Борисевич, Е. М. Сидорович, В. И. Игнатюк. - Минск: БНТУ, 2009. - 756 с.

Поступила 22.12.2011

Наука итехника, № 5, 2012