К определению перемещений в упругом эллиптическом кольце Текст научной статьи по специальности «Физика»

М Е Х А Н И К А

УДК 621.79 (075.8)

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПЕРЕМЕЩЕНИИ В УПРУГОМ ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ КОЛЬЦЕ

Докт. техн. наук, проф. БОСАКОВ С. В., асп. ЛУГОВОЙ И. В.

Белорусский национальный технический университет

Одним из перспективных направлений развития ультразвуковой техники является использование упругих элементов в акустических технологических системах, которые могут выполнять функции накопителей энергии, концентраторов и модуляторов колебаний. В качестве упругих элементов для этой цели могут быть использованы винтовые пружины, круглые и эллиптические кольца, овальные кольца с плоскопараллельными сторонами и т. д. Однако, как показал обзор [1-3], вопросу использования упругих тел в ультразвуковых системах и их влиянию на показатели технологических процессов было уделено недостаточное внимание. В связи с этим задачей исследований авторов являются теоретическое обоснование применения упругих тел и выбор наиболее рациональных конструкций акустических технологических систем, в которых упругие элементы могут быть использованы в качестве промежуточных волноводов-концентраторов [4]. При этом объектом исследования приняли упругое эллиптическое кольцо, в наибольшей мере соответствующее условиям его применения и возможности согласования в ультразвуковой технологической системе.

Рассмотрим эллиптическое кольцо с полуосями a и b (рис. 1а). Решение задачи будет заключаться в определении взаимного перемещения стержня постоянной изгибной жесткости EI под действием двух сил Р вдоль оси Y (рис. 1б).

Разрежем кольцо при (x ± a), рассмотрим верхнюю часть как свободное тело. Из условий равновесия и симметрии при у = 0 продольная лг Р

сила в сечении J\=——, а поперечная сила

равна нулю. Обозначим неизвестный момент в этом сечении т. Тогда в произвольном сечении кольца при 9 = ф (рис. 16) изгибающий момент будет равен

Р

М(ф) =—(a-r cos ф)-»1 (1)

При этом любую произвольную точку кольца, заданную в координатах х = a cos ф, у = b sin ф, можно представить в полярной системе координат. Функционал Костильяно [5] для определения дополнительной энергии изгиба эллиптического кольца будет равен

Рис. 1. Расчетная схема эллиптического кольца

Наука итехника, № 3, 2013

б

а

Р

2

x

4 f о 2 f Р I—--;-;-;— " I—--;-;-;—

Э = — J — (a-ya2cos29 + 62sin29)cos9-m y«2 cos2 ф + 62 sin2 cpt/ф.

ip

(2)

В состоянии статического равновесия энергия изгиба кольца должна принимать минимальное значение, т. е. — = 0. Из этого усло-

с!т

вия находим величину неизвестного изгибающего момента т

Ра

Ра'

РЪ

т = -

3bE

( 2 Л f 2 Л

, а 6Р , а

1--т 1--т

ъ- ъ-

V / V /

(3)

где Е(т) - полный эллиптический интеграл [6]. Величину изгибающего момента в эллипти-

ческом кольце на интервале ф определить, подставив выражение (3) в (1):

/ — л 0, -V 2У

можно

Эпюра изгибающих моментов, рассчитанная по уравнению (4), имеет вид, представленный на рис. 2 при а = 1,0; Ь = 0,5.

М/Ра 1

Jt-2 2л

Рис. 2. Эпюра моментов и сил

Наибольший интерес для рассматриваемой задачи будет представлять взаимное перемещение точек приложения сосредоточенных сил вдоль вертикальной оси. Для вычисления его необходимо найти интеграл Мора [5]

Р Ра

М(ф) = — (a - г cos ф) - — -

+-

Ра1

РЪ

3bE

V

( 2 л

■-F

V У

(4)

3 Е

где г - радиальная координата кольца в произвольной точке кольца.

А1Р =

Pa3

3^-4

4 6

а а

+ 3

ъ2

5„= — }м(ф)м1(ф)г£/ф, (5)

где М] (ф) - уравнение изгибающих момен-

тов в эллиптическом кольце от единичной силы Р = 1.

В результате преобразований (5) получаем уравнение для расчета искомых перемещений в эллиптическом кольце

' A2 h4 Л ( ~2 ^ 8-3^-2^ kll--a" a

+

Л

-ir-4

,2 Л

1-

45Р7

Г, ъ2 а2 \

1- — А' 1-

а' Ъ~

V V V )

(6)

Если приравнять между собой величины полуосей а = Ь в (4) и (6), то можно получить также известные решения для уравнения моментов и перемещений в круглом кольце [1, 5]:

М{ 0) = Ра(Л~2) = 0,18169Ра;

M

К2У

271

Ра

= — = 0,3183Ра;

71

(7)

А1Р = РДЗ(Л2-8) = 0,1488РДЗ

4кЕ1

EI

Наука итехника, № 3, 2013

С

2

1

5

2

b

а

а

При определении перемещения Д1Р применяли теорему о пределах.

Практический интерес представляет другая задача определения взаимного перемещения эллиптического кольца, которое имеет переменные сечения. В дальнейшем будем считать, что эллиптическое кольцо является криволинейной стержневой системой переменного сечения, образованной двумя несоосными окружностями (рис. 3). Геометрически такой эллипс образуется из двух эллипсов с полуосями а\ и а2, а также Ь и Ь2, которые смещены друг относительно друга на величину ^ (рис. 3).

Поперечное сечение

H(x)

t

_v = а 1

1-

ъ\~ъг 2 1.2

H(x)

. Эллипс

В

0! 02 ь

Рис. 3. Эллиптическое кольцо с переменным сечением Согласно рис. 3

^-(Л.+о.

Ьх = R2 +1 +:

2

2

а =

Jr.

1-Г +

Rx- ^R^ -i

2

В плоской системе координат ордината эллипса у равна

У = я1

1-

х —

Ь1 ~Ь2

b2

(8)

а переменную толщину эллипса обозначим как Н(х). Она будет равна

X

" " д/Х2 + У2

Изгибающий момент в сечении кольца с размерами В и Н (рис. 3) равен

Р

М(х) - — (а — у) - т.

Согласно принципу Кастельяно [5], дополнительная энергия стремится к минимальному значению, т. е.

Ч

M(xfdx

тт.

2Е1{х)

Подставив выражение (9) в (10), получим

(10)

И"

-ь

(а - у) - т

dx

2ЕВ

\3

-> тт.

— Ri — t

4

Х2+У2

12

Ввиду гладкости подынтегральной функции при условии минимума дополнительной энер-

сНЪ

гии, т. е.

dm

■ = 0, меняем очередности интег-

рирования и дифференцирования. Получаем: Р

2

оа - у) - т

-ъ

V

dx = 0.

(11)

— — t

X

л]х2+у2

V * У

откуда можно получить выражение для момента

ъ

¡(а-у)

т = -

dx Н\х)

г dx [н\х)

(12)

Для удобства дальнейших расчетов интеграл (12) можно вычислить, перейдя к полярным координатам х = Ь ее«ср; у = а?,т<ф. Тогда момент в произвольном сечении М{ф) в полярных координатах можно записать Р

М(ф) = — (а-а$т.Ц))-т. (13)

И соответственно условие (10) будет иметь

вид

|М(ф)2Г£/ф

J

-> тт.

о

где Н(ц>) = с - Г сое ф, а с = Р1-Р2. В этом случае энергия будет равна

В J

РЬ 2

(1 — sin ф ) — т

(c-t СОЭф)

-йф^тт-= 0.

dф

Наука итехника, № 3, 2013

2

X

2

ь

ь

2

2

0

Меняя очередность интегрирования и дифференцирования, получаем

24 | В J"

РЬ 2

(1 — sin ф) — W

(с -1 COS ф)

-dq> = О,

откуда можно вывести выражение для изгибающего момента в сечении, проходящем по вертикальной оси (рис. 4)

т =

РЬ с ¡-этф 2 J {c-tcos ф)3

(c-t СОЭф)

1-

r

4с

~к (2с2 + Г) Р

РЬ 2 '

(14)

Рис. 4. Расчетная схема кольца в полярных координатах

Подставив (14) в (13), получим вычисление для величины изгибающего момента в полярных координатах в произвольном сечении кольца

1-

4с

Г

к (2с2 + Г)

Р

■ —(а-азтф).(15)

Можно заметить, что в случае рассмотрения круглого кольца ^ = 0):

П л, РЬ

ф = —: М = — 2 2

1-

4с с

РЬ г 21

1-

~ 2 п

ф = 0: М = -

4с с РЬ

у

_РЬ_ к

к 2с 2

Окончательно определяем взаимное перемещение точек приложения сил кольца с пере-

менным сечением

5 = — [

ЕВ

}РЬ

Jt 0 Z- -V

1-

4с Ус2 -Г л 2с2 + Г

-1 + sin ф

X

Ь х—

2

х-

этф-

12 РЬ3 4 ЕВ

¿/ф

4с yfc2-

Г

п 2с'+Г

rdq>

этф-

(c-f СОЭф)

X

4с yfc^r

к 2с1 + Г

(с -/ХОЭф) 3 РЬ1 }

EBc

ф2 cos2 ф + Ь2 sin2 ф =

4

этф

1-

с~

к

( гЛ

V yj

X

а

xJ—cos'(p + sm'(p

d ф

t

\3

(16)

1—СОЭф

V с У

Интеграл (16) имеет слишком громоздкий вид, поэтому ограничимся его значением при ^ = 0,5; = 5; Я2 = 4. При этом получаем

3 РЬ3

8 = 3,03692-——-.

ЕВс3

В Ы В О Д Ы

1. Приведены математические зависимости, позволяющие рассчитать статическое перемещение эллиптического кольца при действии уравновешенных внешних сил.

2. Дано решение для перемещений эллиптического кольца переменного сечения.

3. Перемещения упругого кольца зависят от геометрических размеров и изгибной жесткости поперечного сечения.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Андреева, Л. А. Упругие элементы приборов / под ред. В. И. Феодосьева. - М.: ГНТИ машиностроительной литературы, 1962. - 500 с.

2. Пфейффер, П. Колебания упругих тел; перевод с нем. / П. Пфейффер. - Л.: ОНТИ, Гос. технико-теоретич. изд-во, 1934. - 154 с.

3. Тимошенко, С. П. Колебания в инженерном деле / С. П. Тимошенко. - М.: Гос. изд-во физико-матем. лит-ры, 1959. - 437 с.

4. Ультразвуковой инструмент для обработки отверстий: пат. полезной модели РБ, 8169, МПК В24В 1/04, В06В 1/00 / И. В. Луговой, В. Т. Минченя, В. П. Луговой; опубл. 30.04.2012 // Афщыйн. бюл.

5. Тимошенко, С. П. Сопротивление материалов: в 2 ч. / С. П. Тимошенко. - Ч. 2: Теория и задачи. - М.; Л.: Гостехтеориздат, 1932. - 480 с.

6. Градштейн, И. С. Таблица интегралов сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн; И. М. Рыжик. - М., 1963. - 1100 с.

Поступила 21.06.2012

Наука итехника, № 3, 2013

о

3

о