CC BY
13
05.20.02 УДК 621.316
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ОБОСНОВАНИЯ КОНСТРУКТИВНЫХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ СИЛОВЫХ ТРАНСФОРМАТОРОВ СИММЕТРИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА
© 2019
Максим Юрьевич Егоров, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Механизация животноводства и применение электрической энергии в сельском хозяйстве» Великолукская государственная сельскохозяйственная академия, Великие Луки (Российская Федерация)
Иван Алексеевич Королев, магистрант
Великолукская государственная сельскохозяйственная академия, Великие Луки (Российская Федерация)
Аннотация
Введение: разработано симметрирующее устройство, которое предназначено для снижения несимметрии напряжений. На него получен патент на изобретение RU 2552377 С2 (18 июля 2013 года). Доказывается необходимость обоснования конструктивных и электрических параметров силовых трансформаторов этого симметрирующего устройства.
Материалы и методы: для обоснования конструктивных и электрических параметров трансформаторов симметрирующего устройства предлагается составить целевую функцию, для которой затем выполнить оптимизацию по нескольким важным варьируемым параметрам. В качестве целевой функции выбрана зависимость массы каждого трансформатора от значений варьируемых параметров. В целевой функции приняты следующие варьируемые параметры: соотношение между плотностями тока в первичной и вторичных обмотках трансформатора, потери в стали магнитопровода, температура перегрева поверхности трансформатора. Соотношение между плотностями тока в обмотках трансформатора позволяет косвенно учесть потери в меди. Результаты: основные и вспомогательные конструктивные и электрические параметры каждого трансформатора симметрирующего устройства были выражены через принятые для целевой функции варьируемые параметры. В качестве основных параметров взяты следующие: числа витков первичной и вторичных обмоток силовых трансформаторов, сечения проводов обмоток, высота тороидального магнитопровода, внутренний и внешний диаметры тороидального магнитопровода. Обоснованы и выведены необходимые ограничительные условия технологического и физического характера.
Заключение: для определения оптимальных значений варьируемых параметров целевую функцию необходимо минимизировать. Но при аналитическом решении указанной задачи будет получена довольно сложная система нелинейных алгебраических уравнений. Поэтому целесообразно решать задачу минимизации численными методами на базе компьютерной программы для математических вычислений Mathcad. Ключевые слова: варьируемые параметры, конструктивные и электрические параметры, несимметрия напряжений, обоснование конструктивных и электрических параметров силовых трансформаторов, потери в меди, потери в стали, симметрирующее устройство, тороидальные магнитопроводы, трансформаторы, целевая функция.
Для цитирования: Егоров М. Ю., Королев И. А. Теоретические положения для обоснования конструктивных и электрических параметров силовых трансформаторов симметрирующего устройства // Вестник НГИЭИ. 2019. № 12 (103). С. 37-45.
THE THEORETICAL PROVISIONS FOR SUBSTANTIATION OF STRUCTURAL AND ELECTRIC PARAMETERS OF POWER TRANSFORMERS OF THE BALANCING DEVICE
© 2019
Maksim Yur'evich Egorov, Ph. D. (Engineering), senior lecturer of department «Mechanization of livestock production and use of the electric power in agriculture»
Velikiye Luki state agricultural academy, Velikie Luki (Russian Federation) Ivan Alekseyevich Korolev, the undergraduate student
Velikiye Luki state agricultural academy, Velikie Luki (Russian Federation)
Abstract
Introduction: the balancing device, which is intended for decrease of voltages unbalance, is developed. Patent of the invention of RU 2552377 C2 for it is received (on July 18, 2013). Need of substantiation of structural and electric parameter of power transformers of the balancing device is proved.
Materials and methods: for substantiation of structural and electric parameters of transformers of the balancing device it is offered to make target function, and then to execute its optimization in several important variable parameters. Dependence of weight of each transformer from values of the variable parameters is chosen as target function. In target function the following variable parameters are accepted: a ratio between current densities in primary and secondary windings of the transformer, losses in magnetic circuit steel, a temperature of overheating of a surface of the transformer. A ratio between current densities in windings of the transformer allows considering indirectly losses in copper. Results: the key and auxiliary structural and electric parameters of each transformer of the balancing device were expressed through the variable parameters accepted for target function. As key parameters the following is taken: a numbers of rounds of primary and secondary windings of power transformers, cross sections of wires of windings, a height of a toroidal magnetic circuit, internal and external diameters of a toroidal magnetic circuit. Necessary restrictive conditions of technological and physical character are proved and received.
Conclusions: a target function needs to be minimized for definition of optimum values of the variable parameters. But very complex system of the nonlinear algebraic equations will be received at the analytical solution of the specified task. Therefore it is expedient to solve a problem of minimization by numerical methods on the basis of the computer program for mathematical calculations of Mathcad.
Keywords: variable parameters, structural and electric parameters, voltages unbalance, losses in copper, losses in steel, the substantiation of structural and electric parameters of power transformers of the balancing device, toroidal magnetic circuits, transformers, a target function.
For citation: Egorov M. Y., Korolev I. A. The theoretical provisions for substantiation of structural and electric parameters of power transformers of the balancing device // Bulletin NGIEI. 2019. № 12 (103). P. 37-45.
Введение
Для технического решения одной из актуальных и существенных проблем [1, с. 5], имеющих первоочередное значение для безаварийного и долговечного функционирования низковольтного электрооборудования [2, а 14], - проблемы несимметрии напряжений в сельских электрических сетях
напряжением 0,38 кВ - была разработана и запатентована принципиальная электрическая схема электромагнитного симметрирующего устройствана вольтодобавочном принципе (патент на изобретение RU 2552377 С2 от 18 июля 2013 года), кото-раяпредставлена на рисунке 1.
Рис. 1. Принципиальная электрическая схема симметрирующего устройства Fig. 1. The schematic electrical diagram of the balancing device
По принципиальной схеме видно, что симметрирующее устройство состоит трех силовых трансформаторов (используются тороидальные
трансформаторы). Каждый трансформатор имеет четыре обмотки: одну первичную и три вторичных обмотки. Соответствующие по номеру в рамках
каждого трансформатора вторичные обмотки (первые вторичные, вторые вторичные, третьи вторичные) соединены в схему «Открытый треугольник» [3, а 617], а получившиеся электрические цепи из этих обмоток включены соответствующим образом в разрыв каждого фазного провода трехфазной сети. Первичные обмотки трансформаторов соединены по схеме «Звезда» [4, а 232] и подключены к трехфазной сети по четырехпроводной схеме [5, а 145]. Отношение числа витков первичной обмотки к числу витков каждой из вторичных обмоток равно трем. Принцип действия рассматриваемого симметрирующего устройства заключается в следующем: на цепях из вторичных обмоток при несимметрии входных фазных напряжений выделяется напряжение, комплексное значение которого по модулю и аргументу практически равно (для идеальных трансформаторов строго равно) комплексному значению искажающей составляющей входного фазного напряжения нулевой последовательности; полученное на обмотках напряжение благодаря соответствующей схеме их соединения с фазными проводами сети геометрически вычитается из каждого входного фазного напряжения и на выходе симметрирующего устройства получается симметричная система фазных напряжений [6, а 358].
Глубокий анализ принципиальной электрической схемы разрабатываемого симметрирующего устройства с привлечением теории трансформаторов [7, а 16] показал, что для его изготовления нельзя использовать широко выпускаемые промышленностью стандартные силовые трансформаторы (например, марки ОСМ - однофазные сухие многоцелевого назначения), рассчитываемые по типовым методикам [8, ^ 223] согласно общепринятой форме технического задания заказчика. Во-первых, при расчете силового трансформатора обычно стараются обеспечить требуемое соотношение между напряжением, подаваемым на первичную обмотку трансформатора, и напряжением, снимаемым с его вторичной обмотки, при работе трансформатора под нагрузкой, для чего учитывают такой фактор, как падение напряжения наактивных сопротивлениях и реактивных сопротивлениях рассеяния первичной и вторичной обмоток [9, а 308]. Во-вторых, принято учитывать, что алгебраическая суммаприведенных токов всех вторичных обмоток трансформатора должна быть строго равна току, на который рассчитывается сечение его первичной обмотки [10, ^ 258]. У выпущенного согласно стандартному расчету силового трансформатора по первой указанной причине не будет соблюдаться необходимое соотношение между числами витков пер-
вичной и каждой из вторичных обмоток, так какпри типовых расчетах величины электродвижущей силы, приходящейся на один виток, вводятся специальные эмпирически полученные поправки [11, а 82], а по второй указанной выше причине выпущенный трансформатор не будет оптимален по массовым и габаритным параметрам, так как в случае симметрирующего устройства ток, на который фактически необходимо рассчитывать первичную обмотку каждого трансформатора, никогда не будет равен алгебраической сумме приведенных номинальных токов вторичных обмоток. Из всего сказанного следует, что для трансформаторов симметрирующего устройства необходим нестандартный обоснованный подход к расчету их электрических и конструктивных параметров, который обеспечит нужное сочетание этих параметров, способное гарантировать правильное и корректное функционирование симметрирующего устройства, а также обеспечит оптимальность массовых и габаритных параметров конечного технического изделия [12, а 48]. Под корректностью функционирования следует понимать обеспечение симметрирующим устройством соответствующего качества электрической энергии на его выходе по уровню несимметри-ивыходных фазных напряжений по составляющим нулевой последовательности.
Материалы и методы С технической точки зрения целесообразно оптимизировать все электрические и конструктивные параметры трансформаторов устройства под минимум массы с учетом ранее названных требований и особенностей, а также требований технологии изготовления трансформаторов, характеристик и возможностей используемых электротехнических материалов [13, ^ 58]. Для этого необходимо составить целевую функцию, в качестве которой будет зависимость массы каждого из трансформаторов от ряда ключевых варьируемых параметров. Полученную функцию необходимо будет минимизировать с учетом ограничительных условий, обусловленных техническими и технологическими причинами. Путем анализа научной литературы по расчету и конструированию трансформаторов, с учетом особенностей принципиальной электрической схемы симметрирующего устройства и режимов его работы было принято решение выбрать в качестве варьируемых параметров следующие величины: потери в стали магнитопровода PC (Вт), температура перегрева поверхности трансформатораT (°С) и соотношение между плотностями тока в первичной и каждой из вторичных обмоток е (безразмерный коэффициент). Через указанные варьируемые параметры
необходимо будет выразить основные электрические и конструктивные параметры каждого из трансформаторов, благодаря чему после минимизации целевой функции и вычисления оптимальных значений варьируемых параметров можно будет рассчитать оптимальные значения всех остальных параметров трансформаторов. В качестве основного технологического ограничения будет использовано неравенство следующего вида:
5Т < За - б, (1)
где ЗТ - площадь окна тороидального магнитопро-вода трансформатора после размещения обмоток, м2; З0 - площадь окна тороидального магнитопро-вода без обмоток, м2; б - площадь окна магнито-провода, занимаемая проводами обмоток, м2.
Исходя из температурной стойкости используемых при производстве трансформаторов изоляционных материалов (это самое слабое место в плане надежности у трансформаторов) и наиболее вероятных условий окружающей среды максимально допустимая температура перегрева Т принята равной 55 °С.
Также должны быть учтены допущения относительно реактивных сопротивлений рассеяния обмоток, справедливые, в частности, для тороидальных трансформаторов, а именно: указанными сопротивлениями можно пренебречь, так как обмотки тороидальных трансформаторов довольно близко расположены относительно магнитопровода по сравнению с обмотками трансформаторов других типов, что сводит магнитные потоки рассеяния до минимума [14, с. 119].
Исследование
Вначале установим связь между активным сопротивлением каждой из вторичных обмоток, током нагрузки и допустимым падением напряжения на цепях из вторичных обмоток с учетом известных допущений относительно реактивных сопротивлений рассеяния обмоток тороидальных трансформаторов. Для этого запишем следующее уравнение:
Г2(1+хТ)
3/н'
(2)
где Т - температура перегрева каждого из трансформаторов, °С; г2 - активное сопротивление каждой из вторичных обмоток трансформатора, Ом; 1Н -номинальный ток нагрузки симметрирующего устройства, А; Лп2 - допустимое падение напряжения на полной цепи из трех вторичных обмоток всех трех силовых трансформаторов; х - справочная величина, температурный коэффициент сопротивления (ТКС) материала обмоточного провода (медного, алюминиевого), "С"1 [15, с. 12].
В уравнении (2) учтено возрастание активного сопротивления обмоточного провода с ростом температуры. В итоге получаем выражение для предельно допустимого активного сопротивления провода каждой из вторичных обмоток в не нагретом состоянии:
г,=-г^-. (3)
Плотности тока в обмотках каждого трансформатора соотносятся следующим образом:
¿1 = *ё2, (4)
где ¿1 - плотность тока в первичной обмотке трансформатора, А/м2; ¿2 - плотность тока в каждой из вторичных обмоток трансформатора, А/м2; е - коэффициент, определяющий соотношение между плотностями тока в обмотках, безразмерная величина; является одним из варьируемых параметров.
Понимая, что плотность тока равна отношению протекающего по проводнику тока к сечению этого проводника, используя выражение (4) и принимая во внимание соотношение между токами в обмотках, получаем:
... , (5)
где s1 - сечение провода первичной обмотки трансформатора,
м ; s2 - сечение проводов вторичных обмоток трансформатора, м2; 10.Вых - потребляемый трехфазной нагрузкой симметрирующего устройства ток нулевой последовательности и одновременно ток, фактически протекающий по первичной обмотке каждого трансформатора(током холостого хода пренебрегаем), А.
Зная, что сопротивление любого металлического проводника прямо пропорционально его длине и обратно пропорционально площади его поперечного сечения, выразим сопротивления проводов обмоток следующим образом:
Г1 = -
Г2 =
ря-пр-иугр
(6) (7)
где рк - удельное сопротивление материала обмоточного провода, Ом м; Ж1, Ж2 - числа витков соответственно первичной и вторичной обмоток; г1 -активное сопротивление провода первичной обмотки, Ом; 10 - длина каждого из расположенных непосредственно на магнитопроводе трансформатора витков обмоток, приблизительно равная периметру сечения магнитопровода, м; а0, Ь0 - безразмерные поправочные коэффициенты для вычисления необходимых длин обмоточных проводов, обусловленные увеличением длин каждого из витков второго и других не расположенных непосредственно намаг-нитопроводе слоев обмоток [16, с. 39].
С учетом выражений (5), (6) и (7) получаем:
(8)
Объединим последнее выражение и соотношение (3):
Выражение для максимума потерь в обмотках РМ0 в общем случае выглядит следующим образом:
Ры(Т,£) = [I
(1 +X ' "О ' Рм.тоди ^М.max — PM.max\
С1 +Х-П-Р»
max' rM.max
< p'
(10)
где Рдгаш — ^рО рм тах = ■ ^н ■ Г1 + 3/н ■ гг; ^ро- Ко - расчетные коэффициенты [17, с. 30] для тока первичной обмотки трансформатора, принимают значения от 0,33 до 0,58 в диапазоне коэффициента мощности активно-индуктивной нагрузки между 1,0 и 0,5; значения этих коэффициентов приведены в статье Егорова М. Ю. «Обоснование токовой нагрузки обмоток трансформаторов симметрирующего устройства» (выпуск журнала «Известия Великолукской государственной сельскохозяйственной академии» № 1 за 2018 год).
Выражение (10) с учетом полученных формул для активных сопротивлений проводов обмоток приведем к следующему виду:
Pm(T,£)
. (11)
Далее на основании уже полученных соотношений (3), (6), (7), (9) путем несложных преобразований получаем выражения для сечений обмоточных проводов:
Sl=-
dlL^ £ '
s2=-
Ja,
(12) (13)
где (¿о ■ 1У2 ■ ¿о) - выражение, определяющее длину обмоточного провода каждой из вторичных обмоток трансформатора, м.
Выразим все геометрические параметры тороидального магнитопровода (внутренний и внешний диаметры, высоту, площадь поверхности, объем и т. п.) через величины Рс, Т и е. Для этого составим уравнение теплового баланса [17, с. 38]:
Рм(Т,£) +Рс = атркр^Т, (14)
где аТР - коэффициент теплоотдачи трансформатора, Вт/(м2°С); в практике проектирования силовых трансформаторов с воздушным охлаждением в литературе коэффициент аТР при естественной конвекции в наиболее распространенном интервале температур перегрева 20-60 °С предлагается принимать равным 12-14 Вт/(м °С); кр - безразмерный
вспомогательный коэффициент, численно равный отношению площади поверхности трансформатора к площади поверхности его магнитопровода; согласно исследованиям, проведенным для тороидальных трансформаторов различной мощности, установлено, что данный коэффициент является практически неизменной величиной, не зависящей от мощности трансформатора, и находится в пределах 1,044-1,055 [18, с. 23]; р - площадь поверхности магнитопровода трансформатора, м2.
Рис. 2. Основные размеры тороидального сердечника Fig. 2. The main dimensions of the toroidal core
Далее для тороидального магнитопровода (рис. 2) запишем общеизвестные геометрические соотношения, с помощью которых выразим площадь поверхности F (м2), сечение керна SK (м2), объем V (м3), периметр керна l0 (м):
V = п (Я2 + R) (R2 - Ri) h; (15)
F = 2n (R2 + Rj)-(R2 - Ri) + 2n (R2 + R) h; (16) SK = (R2 - Ri) h; (17)
lo = 2 (R2 - Ri + h), (18)
где R1r R2 - соответственно внутренний и внешний радиусы тороидального магнитопровода, м; h - высота тороидального магнитопровода, м.
Коэффициент формы поперечного сечения -коэффициент формы керна - будет рассчитываться следующим образом:
к (19)
С учетом этого получаем для формул (15), (16), (17) и (18):
V = п(Я2 + Я^кк2; (20)
р = 2п(Я2 + Я1)(1+к)к; (21)
^ = кк2, (22) ¡о = 2(1+к)к. (23)
Площадь поверхности Б через объем V можно, используя формулы (20) и (21), выразить так:
F=
k-h
Потери в стали магнитопровода: рскС-УР'-. TisrsB2
Рс~
D
(24)
(25)
где рс - плотность электротехнической стали, кг/м3; кс - коэффициент заполнения сечения магнитопро-
вода сталью, учитывающий что часть его сечения занята изоляционными материалами, не обладающими ферромагнитными свойствами [19, с. 181]; P1.7/50 - удельные потери в стали магнитопровода при индукции магнитного поля 1,7 Тл и частоте переменного тока, питающего первичную обмотку трансформатора, равной 50 Гц, Вт; B0 - индукция магнитного поля, при которой потери в магнито-проводе составляют P1.7/50, то есть в данном случае В0 = 1,7 Тл; В - фактическая индукция магнитного поля в магнитопроводе, Тл.
Введем сокращающее обозначение:
Ч
(26)
Тогда запишем:
Рс = (27)
Объединяя формулы (24) и (27), получаем:
/ (28)
Чтобы выразить высоту И, объединим формулы (14) и (28):
И = к-Нрккт*} ~Р:У (29)
где а = атркр - для сокращения записи.
Объединяя выражения (17), (18) и полученное соотношение для высоты магнитопровода Ь, получаем выражения для БК и 10:
1а =
Зк =
(30)
(31)
(РнСг.*} +Рс)а' На базе соотношений (19) и (20) составим систему уравнений и решим ее относительно величин внутреннего и внешнего радиусов. Получаем:
я?
-М-2
.
<33>
На основе выражений (27), (32) и (33) и формулы для высоты магнитопровода его внутренний и внешний диаметры выразим окончательно следующим образом:
А
07
4 Т1 Рс 4РсЗ'
(34)
(35)
Если известен внутренний диаметр тороидального магнитопровода, то площадь окна магни-топровода 80 (м2) может быть определена так:
Яр*
(36)
С учетом (34) и (36) получаем формулу для З0:
За
к-ЦРц (Т»+Р£>2 2-а<1+*г)-Г-РН
.
(37)
Искомые геометрические параметры тороидального магнитопровода выражены через Рс, Т и е. Теперь выразим через указанные варьируемые параметры числа витков обмоток каждого из трансформаторов. Для этого воспользуемся общеизвестной формулой трансформаторной электродвижущей силы (запишем для первичной обмотки) [20, с. 176]:
(38)
где / - частота переменного напряжения, поданного на первичную обмотку, Гц.
Выразим из формулы (38) число витков Ж1. В итоге видим: Ж1при прочих заданных величинах полностью определяется значением электродвижущей силы Е1, которое, в свою очередь, зависит от максимально возможной величины сетевого напряжения и1 и падения напряжения Аы1 на активном сопротивлении первичной обмотки трансформатора. При симметричной нагрузке симметрирующего устройства ток первичной обмотки довольно мал, а значит, мало и Аы1, отчего в этом случае Е1 становится практически равным и1. Поэтому при расчете числа витков в выражении (38) следует использовать вместо величины Е1 величину и1. В итоге, задействовав формулы (22) и (29), путем несложных преобразований получаем следующие соотношения для чисел витков обмоток каждого из трансформаторов:
Е^-ГМРм^О+Рс)1
и^ГЧРн^+Рс)2
(39)
(40)
12т/2 кс£г2Т2(1+к)гРса'
Окончательно с учетом выражений (12), (13) и формул для 10 получаем соотношения для
сечений обмоточных проводов:
рд Ъ ил.в ЬЕ-11+-Х-Т1 - +Рс)
эг-
Э2=
Л л^Е кс СИ-Т АИ^ Е РС,
(41)
(42)
Перейдем теперь непосредственно к выводу выражения целевой функции, определяющей массу трансформатора. Выразим массу трансформатора следующим образом:
М(Рс,Т,е) = тм + тс, (43)
где тм - масса обмоточных проводов (масса меди), кг; тс - масса магнитопровода (масса стали), кг.
Учтем, что произведение рс кс У равно массе стали магнитопровода. Принимая во внимание выражение (25) для, тс получим:
^¡гт^- (44)
Массу обмоточных проводов определим путем умножения плотности материала, из которого они изготовлены (медь), на их объем, рассчитанный
из известных геометрических соображений с учетом числа конкретных обмоток:
тм = Рм (^1 ¡1 + 3^2), (45)
где рм - плотность материала обмоточных проводов, кг/м3;11 = а0Ж110 - длина провода первичной обмотки, м;12 = Ь0 Ж210 - длина провода каждой из трех вторичных обмоток, м.
В итоге массу меди, используя ранее выведенные формулы для определения 52, Ж1, Ж2 и ¡0, путем ряда простых преобразований выразим следующим образом:
тм =
: W р S■ ь°- иЬ ■ 1+х-г> ( ■:- Г1пЯШ- а „
(46)
2[
С учетом полученных для тс и тм формул запишем окончательно выражение для массы трансформатора, вводя для краткости ряд обозначений:
М(Рс,Т,£) =
=к.
где Ki
+ К2Рг.
PMPR-bç-■Utf* „
+ 1» ■ bD
(47)
Выразим также через параметры, по которым производится оптимизация целевой функции, и ограничительное неравенство (1). Для этого учтем, что площадь окна магнитопровода, занимаемая проводами обмоток, может быть найдена из элементарных геометрических соображений так:
Q = qfWjSj + 3W2s2), (48)
где q - коэффициент, учитывающий неплотность укладки обмоток из провода круглого сечения, безразмерная величина.
С учетом выражений для входящих в состав формулы (48) величин получим для Q окончательно:
Q
g ■ У? k ■ Ь p- pд (14 jç- Г) ■ (РН(Г,0+PÛS
Aj.EbE
+ 1
:-:_. (49)
3 ■ дг1/1^2 ■): авТ1йвг( 1+
В результате ограничительное неравенство (1)
запишем в следующем виде, учитывая ранее выве-
денное выражение для площади окна магнитопро-вода S0 и введя несколько сокращающих обозначений:
,2
St <
К*- 4 J>ö1 _ Кв-Т-Р с 1 *
Т2.рс
где K
K
Зи2 J^B^ jlibj-fl+it)2 "
2a(l+Jf)
Л? В ЬЕ
:-:, (50)
K4
M
4-TT-££3 ■ ( 1+к)
Выводы
1. Масса каждого из трансформаторов, входящих в состав симметрирующего устройства, представлена в виде целевой функции, варьируемыми параметрами которой являются температура перегрева трансформатора T, потери в стали магнитопровода PC и соотношение между плотностями тока в обмотках s, определяющее величину потерь в меди Рм.
2. Основные электрические и конструктивные параметры каждого трансформатора выражены через варьируемые параметры целевой функции, благодаря чему достаточно вычислить оптимальные значения этих варьируемых параметров, чтобы затем уже рассчитать все остальные параметры.
3. Получены необходимые для оптимизации целевой функции ограничительные условия, определенные технологией изготовления тороидальных трансформаторов.
4. Для определения оптимальных значений варьируемых параметров целевую функцию необходимо минимизировать, однако при аналитическом решении указанной задачи будет получена довольно сложная система нелинейных алгебраических уравнений, поэтому целесообразно решать задачу минимизации численными методами на базе компьютерной программы для математических вычислений Mathcad.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Косоухов Ф. Д., Наумов И. В. Несимметрия напряжений и токов в сельских распределительных сетях. Иркутск: Издательство ИрГСХА, 2003. 257 с.
2. Лещинская Т. Б., Наумов И. В. Электроснабжение сельского хозяйства. М. : КолосС, 2008. 655 с.
3. Вольдек А. И. Электрические машины. Л. : Энергия, 1978. 832 с.
4. Брускин Д. Э., Брускин Д. Э., Зорохович А. Е., Хвостов В. С. Электрические машины. Ч. 1. М. : Высшая школа, 1987. 319 с.
5. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. М. : Высшая школа, 1973. 752 с.
6. Зевеке Г. В., Ионкин П. А., Нетушил А. В., Страхов С. В. Основы теории цепей. М. : Энергия, 1975.
752 с.
7. Васютинский С. Б. Вопросы теории и расчета трансформаторов. Л. : Энергия, 1970. 432 с.
8. Белопольский И. И., Каретникова Е. И., Пикалова Л. Г. Расчет трансформаторов и дросселей малой мощности. М. : Энергия, 1973. 400 с.
9. Бальян Р. Х. Трансформаторы для радиоэлектроники. М. : Советское радио, 1971. 720 с.
+
10. Вольдек А. И., Попов В. В.Электрические машины. Введение в электромеханику. Машины постоянного тока и трансформаторы. М. : Питер, 2008. 320 с.
11. Ермолин Н. П. Расчет трансформаторов малой мощности. Л. : Энергия, 1969. 192 с.
12. Шидловский А. К., Кузнецов В. Г. Повышение качества энергии в электрических сетях. Киев : Науко-ва думка, 1985. 268 с.
13. Котенев С. В., Евсеев А. Н. Расчет и оптимизация тороидальных трансформаторов и дросселей. М. : Горячая линия - Телеком, 2013. 360 с.
14. Лейтес Л. В., Пинцов А. М. Схемы замещения многообмоточных трансформаторов. М. : Энергия, 1974. 192 с.
15. Касаткин А. С., НемцовМ. В. Электротехника. М. : Высшая школа, 2005. 544 с.
16. Тихомиров П. М. Расчет трансформаторов. М. : Ленанд, 2014.528 с.
17. Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М. : Высшая школа, 1985. 480 с.
18. Котенев С. В., Евсеев А. Н. Расчет теплового режима для трансформатора тороидального типа // Практическая силовая электроника. 2003. № 10. С. 21-25.
19. Лейтес Л. В. Электромагнитные расчеты трансформаторов и реакторов. М. : Энергия, 1981. 392 с.
20. Стародубцев Ю. Н. Теория и расчет трансформаторов малой мощности. М. : ИП РадиоСофт, 2005.
320 с.
Дата поступления статьи в редакцию 25.09.2019, принята к публикации 18.11.2019.
Информация об авторах: Егоров Максим Юрьевич, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Механизация животноводства и применение электрической энергии в сельском хозяйстве» Адрес: Великолукская государственная сельскохозяйственная академия, 182112, Российская Федерация, Великие Луки, проспект Ленина, 2 E-mail: egorov.ostrov@live.ru Spin-код: 3327-5599
Королев Иван Алексеевич, магистрант
Адрес: Великолукская государственная сельскохозяйственная академия, 182112, Российская Федерация, Великие Луки, проспект Ленина, 2 E-mail: rubicon_@mail.ru
Заявленный вклад авторов:
Егоров Максим Юрьевич: научное руководство, формулирование основной концепции исследования, критический анализ и доработка текста.
Королев Иван Алексеевич: подготовка текста статьи, верстка и форматирование работы, сбор и обработка материалов.
Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.
REFERENCES
1. Kosouhov F. D., Naumov I. V. Nesimmetriya napryazhenij i tokov v sel'skih raspredelitel'nyh setyah [Voltage and current unsymmetry in rural distribution networks], Irkutsk: Publ. IrGSKHA, 2003. 257 p.
2. Leshchinskaya T. B., Naumov I. V. Elektrosnabzhenie sel'skogo hozyajstva [Electrical power supply of agriculture], Moscow: KolosS, 2008. 655 p.
3. Vol'dek A. I. Elektricheskie mashiny [Electrical machines], Leningrad: Energiya, 1978. 832 p.
4. Bruskin D. E., Bruskin D. E., Zorohovich A. E., Hvostov V. S. Elektricheskie mashiny. Part 1 [Electrical machines. Part 1], Moscow: Vysshaya shkola, 1987. 319 p.
5. Bessonov L. A. Teoreticheskie osnovy elektrotekhniki [Theoretical bases of electrical engineering], Moscow: Vysshaya shkola, 1973. 752 p.
6. Zeveke G. V., Ionkin P. A., Netushil A. V., Strahov S. V. Osnovy teorii tsepej [Bases of the theory of circuits], Moscow: Energiya, 1975. 752 p.
7. Vasyutinskij S. B. Voprosy teorii i rascheta transformatorov [Transformer Theory and Calculation Questions]. Leningrad: Energiya, 1970. 432 p.
8. Belopol'skij I. I., Karetnikova E. I., Pikalova L. G. Raschet transformatorov i drosselej maloj moshchnosti [Calculation of transformers and throttles of low power], Moscow: Energiya, 1973. 400 p.
9. Bal'yan R. H. Transformatory dlya radioelektroniki [Transformers for radio electronics], Moscow: Sovetskoe radio, 1971. 720 p.
10. Vol'dek A. I., Popov V. V. Elektricheskie mashiny. Vvedenie v elektromekhaniku. Mashiny postoyannogo toka i transformatory [Electric machines. Introduction to electromechanical. DC machines and transformers], Moscow: Piter, 2008. 320 p.
11. Ermolin N. P. Raschet transformatorov maloj moshchnosti [Calculation of transformers of low power], Leningrad: Energiya, 1969. 192 p.
12. Shidlovskij A. K., Kuznetsov V.G. Povyshenie kachestva energii v elektricheskih setyah [Improving Power Quality in Electrical Networks], Kiev: Naukovadumka, 1985. 268 p.
13. Kotenev S. V., Evseev A. N. Raschet i optimizatsiya toroidal'nyh transformatorov i drosselej [Calculation and optimization of toroidal transformers and throttles]. Moscow: Goryachaya liniya - Telekom, 2013. 360 p.
14. Lejtes L. V., Pintsov A. M. Skhemy zameshcheniya mnogoobmotochnyh transformatorov [Equivalent circuit of multiwinding transformers], Moscow: Energiya, 1974. 192 p.
15. Kasatkin A. S., Nemcov M. V. Elektrotekhnika [Electrical engineering], Moscow: Vysshaya shkola, 2005.
544 p.
16. Tihomirov P. M. Raschet transformatorov [Calculation of transformers], Moscow: Lenand, 2014. 528 p.
17. Kartashov E. M. Analiticheskie metody v teorii teploprovodnost i tverdyh tel [Analytical methods in the theory of thermal conductivity of solid bodies], Moscow: Vysshaya shkola, 1985. 480 p.
18. Kotenev S. V., Evseev A. N. Raschet teplovogo rezhima dlya transformatora toroidal'nogo tipa [Heat calculation for toroidal type transformer], Prakticheskaya silovaya elektronika [Practicalpower electronics], 2003, No. 10, pp.21-25.
19. Lejtes L. V. Elektromagnitnye raschety transformatorov i reaktorov [Electromagnetic calculations of transformers and reactors], Moscow: Energiya, 1981. 392 p.
20. Starodubtsev Yu. N. Teoriya i raschet transformatorov maloj moshchnosti [Theory and calculation of low-power transformers], Moscow: IP RadioSoft, 2005. 320 p.
Submitted 25.09.2019; revised 18.11.2019.
About the authors:
Maksim Yu. Egorov, Ph. D. (Engineering), senior lecturer of the chair «Mechanization of livestock production and use of the electric power in agriculture»
Address: Velikiye Luki state agricultural academy, 182112, Russian Federation, Velikie Luki, Lenin Avenue, 2 E-mail: egorov.ostrov@live.ru Spin-code: 3327-5599
Ivan A. Korolev, the undergraduate student
Address: Velikiye Luki state agricultural academy, 182112, Russian Federation, Velikie Luki, Lenin Avenue, 2 E-mail: rubicon_@mail.ru Spin-code: none
Contribution of the authors:
Maksim Yu. Egorov: research supervision, developed the theoretical framework, critical analyzing and editing the text.
Ivan A. Korolev: writing of the draft, made the layout and the formatting of the article, collection and processing of materials.
All authors have read and approved the final manuscript.
