Обоснование токовой нагрузки обмоток трансформаторов симметрирующего устройства Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.314.21

ОБОСНОВАНИЕ ТОКОВОЙ НАГРУЗКИ ОБМОТОК ТРАНСФОРМАТОРОВ СИММЕТРИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА

Максим Юрьевич Егоров, ассистент

ФГБОУ ВО «Великолукская государственная сельскохозяйственная академия», Россия, г. Великие Луки

В статье приводится теоретическое обоснование максимально возможных величин токов в первичных и вторичных обмотках трансформаторов симметрирующего устройства в зависимости от величины, характера и режима трехфазной нагрузки на его выходе. Рассмотрено четыре технически возможных в сельских электрических сетях напряжением 0,4 кВ случая: симметричная нагрузка, несимметричная нагрузка с одинаковым коэффициентом мощности по фазам, несимметричная нагрузка с различным коэффициентом мощности по фазам и несимметричная нагрузка с различными коэффициентом мощности и характером по фазам. При этом отдельно были подробно проанализированы и рассмотрены следующие ключевые вопросы и моменты: крайние значения коэффициентов мощности, наиболее вероятный характер и режим нагрузки в тех или иных наиболее характерных для низковольтных сельских электрических сетей и потребителей электроэнергии случаях. За основу взяты ранее выведенные математические соотношения для токов первичных и вторичных обмоток трансформаторов симметрирующего устройства [2], для которых на базе компьютерной программы для математических расчетов Ыа^еаё с использованием штатных процедур и функций оптимизации производится максимизация по величинам модулей фазных токов и величинам фазовых сдвигов между токами и напряжениями соответствующих фаз, в результате чего получаются условия максимума указанных токов, на основе которых вычисляются соотношения между номинальным фазным током нагрузки и величинами данных токов. Приведенные в данной статье результаты являются частью важных исходных данных и положений, необходимых для обоснования конструктивных и электрических параметров трансформаторов симметрирующего устройства.

Ключевые слова: симметрирующее устройство, трансформаторы, несимметричная нагрузка, коэффициент мощности, токовая нагрузка.

Введение

Основными элементами симметрирующего устройства, токовую нагрузку которых необходимо обосновать в зависимости от заданной нагрузки на выходе устройства, являются обмотки силовых трансформаторов. Величины токов в обмотках трансформаторов в соответствии с законом Джоуля-Ленца [3] обусловливают выделение тепла, кото-

рое во избежание перегрева и выхода из строя трансформатора не должно превышать определенных пределов, допустимых для его конструкции. Полученные значения токов для первичной и вторичных обмоток из соображений надежности должны определять наиболее напряженный тепловой режим для того или иного характера и режима трехфазной нагрузки. Указанные

значения будут одними из исходных данных для обоснования и расчета конструктивных и электрических параметров трансформаторов симметрирующего устройства.

Результаты и обсуждение

По цепям из вторичных обмоток силовых трансформаторов в общем случае согласно принципиальной электрической схеме симметрирующего устройства должен протекать номинальный ток его нагрузки, что однозначно определяет данный ток в качестве расчетного для указанных обмоток (рис. 1).

Максимально возможный ток первичных обмоток трансформаторов, как было установлено ранее [2], практически (если пренебречь намагничивающим током) равен току нулевой последовательности, создаваемому трехфазной нагрузкой симметрирующего устройства. Поэтому при обосновании его величины необходимо рассмотреть четыре возможных случая: симметричная

нагрузка, несимметричная нагрузка с одинаковым коэффициентом мощности по фазам, несимметричная нагрузка с различным коэффициентом мощности по фазам и несимметричная нагрузка с различными коэффициентом мощности и характером по фазам (активно-индуктивный и активно-емкостной характер). Это, в числе прочего, позволит определить наиболее тяжелый характер и режим трехфазной нагрузки.

При симметричной нагрузке, в качестве которой могут выступать, например, трехфазные электродвигатели различных агрегатов, ее ток нулевой последовательности равен нулю, а значит, первичные обмотки трансформаторов будут загружены довольно малым по величине током, численно равным току холостого хода трансформатора. Ток холостого хода типовых тороидальных трансформаторов мощностью до 5 кВА при номинальном напряжении питания не превышает 3% от номинального тока первичной обмотки [5].

Рисунок 1 - Принципиальная схема симметрирующего устройства

Поэтому расчетный ток первичных обмоток в этом случае можно с учетом запаса принимать равным 5% от величины приведенного к первичной стороне номинального фазного тока нагрузки. Для заданного соотношения между числами витков обмоток у трансформаторов симметрирующего устройства указанный приведенный ток будет равен одной трети от величины фазного тока нагрузки. Более точный расчет тока первичной обмотки в данной ситуации осложняется отсутствием сведений о массе и геометрических размерах магнитопровода, которые на текущей стадии вычислений еще неизвестны, а, наоборот, рассчитываются на основе информации данного этапа, и не даст суще-

мии материалов и снижения массы готового изделия.

Для анализа величины тока первичных обмоток трансформаторов в остальных режимах нагрузки симметрирующего устройства необходимо записать зависимость, в которой величина модуля тока нулевой последовательности нагрузки будет выражена через модули фазных токов и фазовые сдвиги между ними. С этой целью введем следующие обозначения: 1а.вых, 1в.вых, 1с.вых - модули фазных токов; фА1, фВ1, фС1 -начальные фазы соответственно фазных токов нагрузки I А. в Ь1Х, I в . в ых и I с. в ЬХ. Используя обозначения, запишем для тока первичной обмотки любого трансформатора, например, первого:

ственного выигрыша в плане эконо-

I 1 . 1= 7( I А. в ых ■ е 1 ^I + I в . в ых ■ е1 * * 1 + I с. в ых ■ е1 * с .').

(1)

Для вычисления комплексного значения тока I 1 . 1 предварительно преобразуем показательную форму записи комплексных фазных токов в алгебраическую и путем простых преобразований получим: 1 .

I 1 . 1= -•( I А. в ых ■ С о 5 Фа. I + I в . в ых ■ С о 5 фв . I + I с . в ых ■ С о 5 ф с . 1+ ->

- + Г ( и. в ых ■ 5 1 пФа. I + I в . в ых ■ 51п фв .I + I с. в ых ■ 5 1 пф с.1 ) ). (2)

Теперь можно вычислить модуль тока I 1 . 1 по формуле:

_

11.1 = "V ( I А. в ых ■ С о 5 Фа. I + I в . в ых ■ С о 5 Ф в . I + I с. в ых ■ С о 5 Ф с . I ) 2 + -

- +( и. в ых ■ 5 1п Фа. I + I в . в ых ■ 51 Пф в . I + I с. в ых ■ 5 1п ф с. о 2. (3)

Произведя элементарные преобразования с учетом ряда известных тригонометрических соотношений, окончательно для модуля комплексного тока первичной обмотки трансформатора можно записать:

1

11.1 = "

3 Л/

т2 т2

^.ВЫХ ^ 1

В.ВЫХ

+ 12

с.вых

+ 2 • и. в ых ■I в . в ых ■ С о 5( Ф А. I - Ф в . I ) +

+2-1

А.ВЫХ 1 1с.ВЫХ

С о 5(Фа. I - ф с. О +

- + 2 • I в . в ых ■ I с. в ых ■ С о 5(ф в . I - ф с. I ). (4)

Выражения для токов первичных обмоток остальных трансформаторов математически выводятся и выглядят аналогично (4).

При несимметричной нагрузке с одинаковым коэффициентом мощности по фазам сдвиги по фазе между соответствующими фазными напряжениями и токами будут одинаковые, и с учетом равенства углов сдвига между фазными напряжениями на выходе симметрирующего устройства можно сказать, что одинаковыми будут и углы сдвига фаз между фазными токами нагрузки, то есть |фА.1 - фыМфА! - фс.1|=|фв.1 - Фс.1|=120° Отсюда следует: 1

= 1л,

^А.ВЫХ + ^в.вых + ^с.вых _ и.вых ■ 1в.вых

" — и.В ЫХ ■ I С. В ЫХ — I В . В ЫХ ■ I С. В ЫХ. (5)

Рассмотрим подкоренное выражение как функцию трех переменных. Необходимо найти ее максимум в области, ограниченной следующим образом: 0 < 1а.вых < 1н, 0 < 1в.вых < 1н, 0 < 1с.вых < 1н, где 1н - номинальный фазный ток нагрузки симметрирующего устройства. Максимум подкоренной функции будет определять максимум всего выражения. Выполнив стандартный алгоритм исследования функции с использованием элементарных преобразований, получаем, что данная функция достигает максимальных значений в точках границы заданной области: 1Авых = 1н, 1в.вых = 1н, 1с = 0; 1а.вых = 0, 1в.вых = 1н, 1с = 1н; 1а.вых = Iн, 1в.вых = 0, 1с = 1н; 1а.вых = Iн, 1в.вых = 0, 1с = 0; 1а.вых = 0, ь.ВЫХ = Iн, 1с = 0; 1АВЫХ = 0, 1ввых = 0, 1с = 1Н. Во всех этих точках значение выражения (5)

1

одинаково и равно — 1Н. Отсюда следует, что при несимметричной нагрузке с

одинаковым коэффициентом мощности по фазам токи первичных обмоток силовых трансформаторов симметрирующего устройства максимальны и составляют одну треть от номинального фазного тока при двух условиях: при одинаковых по модулю и равных номинальному значению токах в любых двух фазах и нулевом токе в третьей фазе, либо при равном номинальному значению токе любой из трех фаз и нулевых токах в оставшихся двух фазах.

Несимметричная нагрузка с различным коэффициентом мощности по фазам в существующих сетях напряжением 0,4 кВ обычно представлена группой распределенных тем или иным образом по всем трем фазам однофазных нагрузок с индуктивным характером сопротивления, которые создают фазный ток, отстающий от фазного напряжения на угол в пределах от 0° до 90°, что соответствует значениям коэффициента мощности от 1 до 0. Преобразуем формулу (4), выразив начальные фазы токов через начальные фазы соответствующих напряжений и сдвиги фаз между данными токами и напряжениями, учитывая, что начальные фазы напряжений фаз А, в и с соответственно равны 0°, -120° и 120°:

1

1'->= 1м

ТА ТА ТА

^.ВЫХ ^ ^.ВЫХ ^ ^.ВЫХ ^

+2 • 1а.в ЫХ ■ I в . в ЫХ ■ с О 5(дфв - А ФА + 1 2 0 °) + " +2 • 1А. в ЫХ ■ I с. в ЫХ ■ с О ^(Ар С ~ А (рА - 1 2 0 °) + " +2 • I в . в ых ■ I с. в ых ■ с о 5(А ф с - А рв - 240^, (6)

где Ä9a - сдвиг фаз между фазными напряжением и током фазы A; Дфв - сдвиг фаз между фазными напряжением и током фазы B; Дфс - сдвиг фаз между фазными напряжением и током фазы C. Полученное выражение является функцией шести переменных и содержит в своем составе тригонометрические функции, поэтому аналитическое определение максимума данного выражения в той или иной заданной области сопряжено с определенными трудностями. Учитывая это, будем решать задачу отыскания максимума рассматриваемой функции численным методом с использованием компьютерной программы для математических вычислений Mathcad [4, 7], в среде которой сформируем необходимый расчетный алгоритм. Область поиска в общем случае ограничим следующим образом: 0 < IA.BbiX < IH, 0 < Ьвых < Ih, 0 < ICBbix < Ih, 0° < Ä9a < 90°, 0° < Дфв < 90°, 0° < Дфс < 90°. В качестве Ih будет выступать номинальный фазный ток нагрузки симметрирующего устройства. Предварительно представим выражение (6) следующим образом: 1

V'I н = "•

3 м

(кр !-1 н) +(кр 2-1 н) +(кр 3-1 н) +

+2 - к

pl Кр2

I2

1Н

с о s(A фв - Л фА + 1 2 0 °) +

+2 - к

pl КрЗ

I2

1Н

с о s^ ф с - Л фА - 1 2 0 °) +

+2 - к

р2 КрЗ

I2

1Н

с о s^ ф с - Л фв - 240°) ,

(7)

где kp2, kp3 - вспомогательные расчетные коэффициенты для токов соответственно фаз А, В и ^ численно равные отношению соответствующего фактического фазного тока к его номинальному значению и способные в рассматриваемых условиях принимать любое значение от 0 до 1;

^о - вспомогательный расчетный коэффициент для тока первичной обмотки трансформатора, численно равный отношению наибольшего значения этого тока к номинальному фазному току нагрузки симметрирующего устройства.

Данное преобразование выполнено для того, чтобы при численном решении поставленной задачи, дающем обычно лишь частный результат, введенные коэффициенты позволили определить общие соотношения между максимально возможным значением тока первичной обмотки и номинальным фазным током нагрузки для любого значения последнего, а также между самими фазными токами. Действительно, если принять ТН равным единице, то при нахождении максимума выражения (7) в заданной области будут

вычислены все вышеуказанные коэффициенты.

Следует заметить, что угол отставания тока от напряжения величиной, равной 90°, у индуктивных нагрузок практически недостижим, кроме редких случаев применения обмоток, введенных в сверхпроводящее состояние, когда активное сопротивление обмоточного провода равно нулю. Во всех остальных случаях угол отставания будет лишь стремиться к 90°. Например, у обмоток малогабаритных контакторов данный угол, как показали расчеты

на основе простых измерений коэффициента мощности, находится в пределах от 70° до 80°, однако такие контакторы относятся к числу маломощных нагрузок и осуществляемый ими вклад в величину общего коэффициента мощности довольно небольшой. Чаще же всего такие распространенные нагрузки индуктивного характера, как однофазные и трехфазные асинхронные электродвигатели и люминесцентные лампы с электромагнитным балластом без компенсирующих конденсаторов, согласно паспортным данным на них, имеют коэффициент мощности не ниже 0,5, что соответствует углу отставания тока от напряжения не выше 60°. Эти же нагрузки в соответствии со своей мощностью вносят существенный вклад в величину общего коэффициента мощности. Кроме того, электрические проводки, а значит, и стабилизаторы напряжения, и симметрирующие устройства рассчитывают на ток полностью загруженных по механической мощности электродвигателей, у которых в такой ситуации коэффициент мощности обычно не ниже 0,7, что примерно соответствует углу отставания тока от напряжения не больше 45°. Поэтому целесообразно при определении максимума выражения (7) варьировать углы отставания в пределах от 0° до 60°, так как в этом случае расчеты для углов

выше 60° представляют только теоретический интерес.

В результате вычислений по составленному в программе МаШсаё алгоритму и их анализа установлено, что ток первичной обмотки трансформатора при индуктивном характере нагрузки по фазам достигает максимального значения вне зависимости от величины заданного предельного фазового сдвига между током и напряжением при следующем условии: токи любых двух фаз одинаковы и равны 1Н при нулевом токе оставшейся фазы, а в опережающей фазе, имеющей ненулевой ток (сдвинутой против часовой стрелки относительно другой фазы с ненулевым током), фазовый сдвиг между током и напряжением равен заданному предельному Дфтах при нулевом фазовом сдвиге в другой фазе с ненулевым током, например, 1АВЫХ =

1в.вых = 1ш 1с.ВЫХ = ° ДфА = Дфmax, Дфв = 0. При этом максимальное значение тока первичной обмотки трансформатора находится в прямой зависимости от величины Дфтах. Поместим в таблице 1 результаты вычислений коэффициента кр0 при соблюдении вышеуказанного условия относительно величин модулей токов в зависимости от предельного фазового сдвига Дфтах между током и напряжением, определяющегося заданным коэффициентом мощности соб(ф) нагрузки конкретной фазы.

соб(Ф) 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0

Дфтах 0° 18° 26° 32° 37° 41° 46° 49,5° 53° 57° 60° 90°

кр0 0,33 0,42 0,46 0,48 0,50 0,51 0,53 0,55 0,56 0,57 0.58 0,64

Данные приведенной таблицы следует использовать при выборе максимальных токов первичных обмоток силовых трансформаторов при несимметричной нагрузке симметрирующего устройства индуктивного характера с различным коэффициентом мощности по фазам. Для этого необходимо задаться номинальным фазным током ^ устройства и наименьшим возможным значением коэффициента мощности нагрузки любой из фаз. В зависимости от заданного cos(ф) выбирается по таблице коэффициент ^о, и ток первичной обмотки вычисляется по следующей формуле:

!1.1 = VI* (8)

Например, если номинальный фазный ток нагрузки симметрирующего устройства равен 4,5 А, возможно подключение однофазной нагрузки индуктивного характера с коэффициентом мощности 0,75, то наибольший ток первичной обмотки трансформатора нужно принять равным 2,3 А.

Несимметричную нагрузку с различными коэффициентом мощности и характером по фазам можно с теоретической точки зрения рассматривать как наиболее общий случай, когда к трехфазной сети в разных ее фазах могут одновременно быть подключены однофазные нагрузки активно-индуктивного и активно-емкостного характера. Однако следует заметить, что практически такая ситуация маловероятна, так как бытовые и промышленные электрические приборы и устройства имеют именно активно-

индуктивный характер сопротивления, а, например, конденсаторы как нагрузки, имеющие емкостной характер сопротивления, подключаются напрямую под переменное напряжение лишь для компенсации реактивной мощности индуктивного характера [6] или для целей фильтрации помех [1, 9], и ни в том, ни в другом случае, согласно логике их применения, общий ток той или иной фазы не может опережать напряжение, кроме случаев перекомпенсации, не являющихся, однако, нормальным режимом работы компенсирующих конденсаторных установок. При компенсации реактивной мощности обычно, наоборот, не стремятся к достижению единичного коэффициента мощности [8], так как это чревато перекомпенсацией в силу вероятностного характера изменения величины индуктивной нагрузки, а конденсаторы в фильтрах помех, применяемых, например, в электроинструменте, оборудованном универсальными коллекторными двигателями переменного тока, не создают в силу величины их электрической емкости сколько-нибудь значительного емкостного тока. Поэтому расчеты для указанного характера несимметричной нагрузки представляют разве что теоретический интерес.

Для расчетов можно использовать выражения (6) и (7), а также ранее составленный алгоритм в программе Mathcad, приняв углы отставания тока от напряжения с положительным знаком, а углы опережения - с отрицательным знаком. Область поиска максимума функции в общем

случае будет ограничиваться так: 0 - 1а.вых - 1н, 0 - 1в.вых - 1н, 0 - 1с.вых - 1н, -90° - ДфА - 90°, -90° - Дфв - 90°, -90° - Дфс - 90°. В итоге получаем, что ток первичной обмотки трансформатора при несимметричной нагрузке с различными коэффициентом мощности и характером по фазам достигает максимального значения при следующих вариантах условий: первое условие - токи любых двух фаз одинаковы и равны 1Н при нулевом токе оставшейся фазы, причем в опережающей фазе, имеющей ненулевой ток (сдвинутой против часовой стрелки относительно другой фазы с ненулевым током), ток отстает от напряжения, а в другой фазе с ненулевым током - опережает напряжение на заданные предельные фазовые сдвиги; второе условие -токи всех трех фаз одинаковы и равны 1Н, причем в одной из фаз сдвиг по фазе между током и напряжением равен Дфтах.с, в отстающей от нее на 120° фазе сдвиг равен Дфтах.ь а в опережающей исходную на 120° фазе сдвиг равен

0,5-(|Дф max. ь|+|Дф max. с|) - |Дф max.Cl. Здесь обозначены: Дфтах.ь -наибольший заданный сдвиг по фазе между током и напряжением индуктивного характера, ДфтахС -наибольший заданный сдвиг по фазе емкостного характера (условно при-

нят с отрицательным знаком). Притом для заданных фазовых сдвигов , сумма модулей которых меньше 120°, возможно только действие первого условия, а для фазовых сдвигов, сумма модулей которых больше или равна 120°, одно и то же по величине максимальное значение будет получаться при действии как первого, так и второго условия. Поместим в таблице 2 при соблюдении вышеуказанных условий относительно величин модулей токов и распределения фазовых сдвигов между током и напряжением по фазам результаты вычислений коэффициента кр0 в зависимости от зад анн ых предельных значений коэффициентов мощности индуктивного и емкостного характера для наиболее возможных с практической точки зрения случаев. При этом величину максимально возможного тока первичной обмотки трансформатора можно, как и ранее, рассчитывать по формуле (8).

Выводы

1. Наиболее вероятной трехфазной нагрузкой в сельских электрических сетях напряжением 0,4 кВ является несимметричная нагрузка активно-индуктивного характера с коэффициентом мощности не ниже 0,5.

Таблица 2 - Зависимость кр0 от значений и характера соБ(ф) нагрузки

Коэффициент мощности соБ(ф) Индуктивный характер

0,95 0,90 0,85 0,80 0,75

Емкостной характер 0,95 0,50 0,53 0,55 0,56 0,57

0,90 0,53 0,55 0,57 0,59 0,60

2. Наибольшее значение тока первичной обмотки каждого из трансформаторов при нагрузке активно-индуктивного характера не будет превышать 64%, а наименьшее

- 33% от номинального фазного тока трехфазной нагрузки симметрирующего устройства.

3. Наиболее тяжелой нагрузкой для симметрирующего устройства является несимметричная нагрузка с различным коэффициентом мощности и характером по фазам при соблюдении одного из следующих условий:

- токи любых двух фаз одинаковы и равны 1Н при нулевом токе оставшейся фазы, причем в опережающей фазе, имеющей ненулевой ток (сдвинутой против часовой стрелки относительно другой фазы с ненулевым током), ток отстает от напряжения, а в другой фазе с нену-

левым током - опережает напряжение на заданные предельные фазовые сдвиги;

- токи всех трех фаз одинаковы и равны 1Н, причем в одной из фаз сдвиг по фазе между током и напряжением равен Дфтах.с, в отстающей от нее на 120° фазе сдвиг равен Дфтах.ь а в опережающей исходную на 120° фазе сдвиг равен

max. ь|+|Дф max. с|) - |Дф max.C|.

4. При несимметричной нагрузке с различным коэффициентом мощности и характером по фазам при наиболее вероятных в сельских электрических сетях напряжением 0,4 кВ значениях коэффициентов мощности емкостного и индуктивного характеров наибольший ток первичной обмотки не будет превышать 60% от номинального фазного тока трехфазной нагрузки симметрирующего устройства.

Библиографический список

1. Бойко В.И. Системотехника электронных схем: Аналоговые и импульсные устройства / В.И. Бойко, АН. Гуржий, В.Я. Жуйков. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 496 с.

2. Егоров М.Ю. Теоретическое исследование симметрирующего устройства в установившемся режиме работы / М.Ю. Егоров // Промышленная энергетика. - 2017. - №5. - С.21-24.

3. Касаткин А.С. Электротехника / А.С. Касаткин, М.В. Немцов. - М.: Высш. шк., 2005. - 544 с.

4. Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad 13 / Д.В. Кирьянов. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 528 с.

5. Котенев С.В. Расчет и оптимизация тороидальных трансформаторов и дросселей / С.В. Котенев, А.Н. Евсеев. - М.: Горячая линия-Телеком, 2013. - 360 с.

6. Лещинская Т.Б. Электроснабжение сельского хозяйства / Т.Б. Лещинская, И.В. Наумов. - М.: КолосС, 2008. - 655 с.

7. Любимов Э.В. Mathcad. Теория и практика проведения электротехнических расчетов в среде Mathcad и Multisim / Э.В. Любимов. - СПб.: Наука и техника, 2012. - 400 с.

8. Сибикин Ю.Д. Электроснабжение / Ю.Д. Сибикин, М.Ю. Сибикин. - М.: РадиоСофт, 2011. - 328 с.

9. Хоровиц П. Искусство схемотехники / П. Хоровиц, У. Хилл. - М.: Мир, 2009. - 704 с. E-mail: egorov.ostrov@live.ru

182112 Псковская область, г. Великие Луки, пр. Ленина, д. 2, ФГБОУ ВО Великолукская ГСХА

Тел.: +7 (81153) 7-16-22