Теоретические основы упрощенного расчета давления гидроудара в железнодорожной цистерне Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 625.245.62

КЕЛЬРИХ М Б., д.т.н., проф. (ГЭТУТ)

криль с.и., д.т.н., проф. (гэтут;

Теоретические основы упрощенного расчета давления гидроудара в железнодорожной цистерне

Введение

Пусть железнодорожная цистерна, котел которой наполнен жидким грузом целиком или с частичным недоливом, вначале движется с постоянной скоростью по прямолинейному горизонтальному пути, затем в некоторый момент времени сталкивается с однотипной неподвижной цистерной. На жидкость, находящуюся в набегающей цистерне, в момент удара будет действовать продольная сила инерции, из-за чего возникнет кратковременное, но значительное давление жидкости на переднее днище цистерны, а при частичном недоливе еще и изменится размещение жидкости в котле, обусловленное перетеканием ее от заднего конца котла к переднему. Давление жидкости на поверхность днища, обусловленное продольной инерционной силой, называют обычно давлением гидроудара, а задачу о его определении - задачей о гидравлическом ударе в железнодорожной цистерне.

Давление гидроудара зависит от многих факторов: скорости движения, размеров, полной массы и ускорения набегающей цистерны в момент удара, плотности и динамической вязкости налитой жидкости, степени недолива котла цистерны, а также от способа соединения цистерн при их взаимном столкновении. Так, в одном случае набегающая цистерна может натолкнуться на неподвижную цистерну и соединиться с ней с помощью автоматической сцепки, оборудованной поглощающим фрикционным аппаратом, после чего обе цистерны вместе будут двигаться со скоростью, меньшей начальной скорости набегающей цистерны. В другом случае при столкновении цистерны с неподвижной цистерной, последняя может находиться в тупике, поэтому при

соударении с ней набегающая цистерна практически мгновенно будет терять свою скорость. Если при этом котел наполнен с частичным недоливом, после соударения будет наблюдаться плескание жидкости, обусловленное периодически возникающим инерционным перетеканием ее из одного конца котла в другой. И только при полном затухании плескания свободная поверхность жидкости приобретет свою первоначальную форму.

Задача о гидроударе в цистернах является частной задачей динамики упругих твердых тел с полостями, частично наполненных жидкостью [1-3]. В этой связи известные к настоящему времени результаты исследования давления гидроудара в цистернах связаны в основном с теоретическим изучением колебания жидкого груза в котле цистерны [4-9]. Такой подход к определению давления гидроудара является вообще-то сложным, а расчетные значения давления не всегда согласуются с опытными данными, как, например, расчетные значения, полученные в [4].

Цель работы

Разработка упрощенной методики расчета давления гидроудара. Это давление рассматривается с точки зрения относительного равновесия жидкости в момент соударения цистерн. Дело в том, что при соударении набегающей цистерны, наполненной с частичным недоливом, жидкость сначала будет перемещаться на протяжении некоторого малого промежутка времени относительно цистерны, перетекая под действием силы инерции от заднего конца котла к переднему, затем наступит определенный момент, когда процесс перетекания приостановится, жидкость перей-

дет в состояние относительного покоя, изменив свое первоначальное размещение. Именно в тот момент давление жидкости на переднее днище котла будет максимальным. И только в последующие моменты времени будет происходить процесс плескания жидкости. По мере его затухания давление жидкости на днища будет постепенно уменьшаться, достигая своего первоначального значения.

Таким образом, из вышеизложенных физических соображений следует, что давлению гидроудара соответствует квазистатическое состояние жидкости, предшествующее процессу плескания. Это наводит на мысль, что теоретической основой упрощенного расчета давления гидроудара в цистерне может служить дифференциальное уравнение равновесия жидкости на случай ее укоренного переносного движения.

Профиль свободной поверхности жидкости при гидроударе

Рассматривается круглоцилиндрическая цистерна, наполненная жидкостью с частичным недоливом. Двигаясь вначале с постоянной скоростью, затем сталкиваясь с неподвижной цистерной, она приобретает внезапное ускорение. Предполагается, что квазистатистическому состоянию жидкости в набегающей цистерне при внезапном ускорении соответствует относительное равновесие жидкости в аналогичной цистерне, движение которой является прямолинейным и равномерно-замедленным с постоянным ускорением, равным ускорению соударения (рисунок 1). В данном случае абсолютное давление жидкости на переднюю стенку набегающей цистерны при столкновении будет таким же, как и абсолютное давление жидкости на переднюю стенку цистерны-аналога.

Поэтому решение задачи о гидроударе можно получить, решив задачу о давлении жидкости на соответствующую стенку цистерны-аналога. Поскольку искомое давление тесно связано с размещением жидкости в цистерне, рассмотрим в первую очередь вопрос о профиле свободной поверхности жидкости.

Рисунок 1 - Схема размещения жидкости в цистерне при равномерно-замедленном движении цистерны

Если оси координат Ох и Ох, расположение которых показано на рисунке 1, скреплены с движущейся цистерной, то по отношению к ним жидкость при равномерно-замедленном движении цистерны будет находиться в состоянии относительного покоя. На нее будут действовать сила тяжести с ускорением g и сила инерции с ускорением а. В данном случае дифференциальное уравнение поверхности уровня, в частности, свободной поверхности, имеет вид [9]

айх - gdz = 0. (1)

Общим решением уравнения (1) является:

а

х = — х + с. g

(2)

Константу интегрирования с определим из условия, что при определенном значении координаты х = х величина х равняется

первоначальному уровню свободной поверхности Н (рисунок 1). Тогда

с = Н—хо. g

(3)

Подставив (3) в (2), затем заменив обозначение х на х0, получим уравнение

хо =-(х- хо)+ Н, g

описывающее профиль свободной поверхности жидкости при соударении. Функция г0 определена в области 0 < х < х1

(рисунок 1). При этом значению аргумента х = х соответствует значение функции г0 = В, где В - диаметр цилиндрической части цистерны. С учетом этих значений уравнение (4) принимает вид

В = -(х - х,) + н.

ё

Отсюда получаем

х = х, + §ь,

(5)

где Ь = В - Н - высота недолива. Определим координату х, . Она должна удовлетворять условию г0 = Н, при х = х0 для

всех, в том числе и бесконечно больших, значений ускорения а. Этому условию удовлетворяет единственное значение х, , равное

х, = вЬ,

(6)

Давление от инерционной силы

Рассматривая продольное сечение цистерны в плоскости вертикального диаметра, разделим его на две области: область, соответствующую изменению координаты х от 0 до х1, и остальную область, соответствующую изменению х от х1 до Ь. Первая из этих областей характеризуется тем, что в ней находится профиль свободной поверхности. Для определения давления в точках этой области используем основное дифференциальное уравнение гидростатики для переносного ускоренного движения жидкости. При равномерном замедлении движения цистерны ускорение силы инерции, действующей на жидкость, будет положительным и в данном случае дифференциальное уравнение относительного равновесия жидкости можно написать в виде [9]

бР = р (аёх - ёёг),

(7)

где в - коэффициент объемного недолива; Ь - длина цистерны.

Координата х0 является мобильной, ибо

в зависимости от степени недолива она принимает разные значения. Так, при наполнении цистерны целиком величина в = 0 и, следовательно, х, = 0. Для цистерны, налитой наполовину, в = 0,5 поэтому х0 = 0,5 Ь, а в случае пустой цистерны, когда в = 1, величина х0 = Ь. Попутно отметим также, что при решении задачи о свободной поверхности жидкости в цистерне, которая движется горизонтально с постоянным ускорением, в учебниках по гидравлике начало координат выбирают обычно посредине длины цистерны. Это можно считать правомочным лишь для частного случая, когда цистерна наполнена наполовину, что следует из (6). В случае наполнения цистерны с произвольным недоливом такой выбор начала координат нужно признать некорректным.

где Р - статическое давление; р - плотность жидкости.

Проинтегрировав уравнение (7), будем иметь

Р =р(ах - §г) + С, (8)

Константу интегрирования определим, использовав условие: Р = Р0 при х = х0 и

г = г0 = Н, где Р0 - давление на свободную поверхность жидкости. Тогда

С = Р0-р(ах0 -ён).

(9)

После подстановки выражения (9) в уравнение (8) и соответствующих элементарных преобразований получим следующую закономерность распределения абсолютного давления в точках рассматриваемой области:

а

Р = Р + у - (х- х0 )-(г-Н) , (10)

_ § _

где у = рё - удельный вес жидкости.

Упростим формулу (10), заменив в ней

х- х, используя (4), на ^ (0 - Н) . В резуль-

а

тате будем иметь:

Р= Р + у( -х), (11)

при этом х изменяется от 0 до х0 для

заданных значений х.

На основании уравнения (11) можно утверждать, что в первой из вышеуказанных областей роль инерционной силы заключается лишь в изменении начального размещения жидкости и ее начальной свободной поверхности, а давление по высоте этой области распределяется по закону гидростатики.

В частности, при х = х1 величина х0=0 и в данном случае получаем из (11):

Р = Р + у(В - х).

(12)

Переходим к рассмотрению второй из вышеупомянутых областей. Эта область целиком заполнена жидкостью и здесь отсутствует свободная поверхность. В чем же тогда проявляется инерционная сила? Для ответа на этот вопрос установим закономерность распределения давления в точках рассматриваемой области, использовав дифференциальное уравнение Эйлера в проекции на ось Ох [9]. В данном случае оно имеет вид:

дР = — дх g

Интегрируя его, получаем

Р = у—х + С (г). g

(13)

Функцию С(¿) определим путем решения совместно двух уравнений (12) и (13) с учетом того, что х= х1 . В результате находим

С (х) = Р + у(В - х)-^-х1. (14)

g

После подстановки выражения (14) в уравнение (13) и соответствующих преобразований получим формулу для определения абсолютного давления в точках рассматриваемой области:

Р = Р + у(В-х) + у-(х- х).(15) g

и в данном случае координата х изменяется от х до Ь .

Формула (15), в отличие от (11), содержит дополнительное слагаемое (третье), которое представляет собой не что иное, как давление жидкости от силы инерции переносного замедленного движения. В создании этого давления и заключается роль инерционной силы в рассматриваемой области цистерны.

Здесь и ниже будем обозначать давление от инерционной силы символом Р, так что

Р =У—(х - х ). (16) g

Таким образом, теоретически установлено, что давление Р изменяется вдоль продольной оси цистерны по линейному закону от нуля при х = х и до максимума при х = Ь .

Установленный закон изменения давления от инерционной силы подтверждается результатами экспериментальных исследований [10]. Здесь кстати отметить, что во многих теоретических работах, в частности, в [4], линейный характер изменения давления Р постулируют, ссылаясь на результаты опытов.

На основе формулы (16) можно определить давление гидроудара как при полном наливе цистерны, так и при частичном недоливе.

Давление гидроудара при полном наливе

При внезапном ускорении цистерны, целиком наполненной жидкостью, в этом ускорении будет участвовать вся масса жидкости, ибо жидкость будет двигаться вместе с цистерной как твердое тело, не изменяя своей формы и объема. Поэтому при равномерно-замедленном движении цистерны с ускорени-

ем -а0, на жидкость будет действовать сила

инерции с положительным ускорением а0,

так что а = а0. Кроме того, в случае полного

налива параметры х0, х1 и Ь будут равняться

нулю. С учетом вышесказанного, формула (16) принимает вид

Ъ а

Р = у-х,

Я

Р = Ь. Я

(18)

Достоверность формулы (18) доказана путем сопоставления расчетных значение ударного давления, полученных по этой формуле, с соответствующими экспериментальными значениями. Для этого использованы опытные данные, приведенные в [10], по измерению давления гидроудара на переднее днище котла цистерны, целиком наполненной

а0

(17) водой, а также относительного ускорения

при этом координата х изменяется от нуля до Ь . Подставив в (17) значение х = Ь, получим формулу для определения давления гидроудара на переднюю стенку цистерны

Я

при разных скоростях движения цистерны емкостью И= 58 м3, длиной Ь = 9,424 м, диаметром ^=2,8 м. Графики зависимости величин Р и — от скорости цистерны V, заимст-

Я

вованные из [10], изображены на рисунках 2 и 3 соответственно.

• 4

4

4

♦

♦

♦ * ♦

* ♦

V, км/год

Рисунок 2. - График зависимости давления Р от скорости соударения V; точки и соответствующая им сплошная прямая - опыт, пунктирная прямая - расчет

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2

♦ ♦ ♦

^

1 >4 4 1- ♦

________" < ►

ь 4

0 1

V, км/год

а0

Рисунок 3. - График зависимости относительного ускорения — от скорости соударения V

Я

На этих рисунках обозначены точками экспериментальные значения величин, а сплошными прямыми линиями - осредненные экспериментальные значения, полученные методом наименьших квадратов. Пунктиром на рисунке 2 изображена расчетная прямая линия, соответствующая формуле (18). При вычислении давления Р величины относитель-

й а

ных ускорении —, соответствующие скоро-8

стям V, определялись из графиков на рисунке 3. Как видно на рисунке 2, расчетная линия вполне удовлетворительно, с точностью близко 1%, совпадает с экспериментальной линией. Кроме того. Опыты показали, что для котла длиной 10м продольное ускорение цистерны в одно 8 создает давление на днище котла, равное одной атмосфере [10]. Все это и свидетельствует о достоверности формулы (18).

Отметим, что ускорение а0 зависит в

общем случае не только от скорости соударения V, но и от полных масс и способа соединения цистерн при их взаимном столкновении. Поэтому зависимость величины а0 от

определяющих ее параметров должна устанавливаться эмпирически.

Давление гидроудара при частичном недоливе

Рассмотрим более общий случай, когда набегающая цистерна частично недолита. Экспериментально установлено [10], что с

увеличением высоты недолива Ь ударное давление на переднюю стенку цистерны уменьшается, при прочих равных условиях, по сравнению с аналогичным давлением в случае целого наполнения цистерны.

На рисунке 4, заимствованном из [10], изображен график зависимости ударного давления Р от скорости V для цистерны емкостью 58 м3 при высоте недолива Ь= 500 мм. Сопоставляя графики, изображенные на рисунках 2 и 4, видим, что для одних и тех же скоростей давление на рисунке 4 почти в два раза меньше, чем давление на рисунке 2.

Дадим физическое толкование эффекту уменьшения давления гидроудара в случае частичного недолива. Для этого будем исходить из следующих соображений.

Пусть набегающая со скоростью V целиком налитая цистерна, полная масса жидкости в которой равняется т0, сталкивается с неподвижной цистерной, приобретая внезапное отрицательное ускорение - а0. На протяжении определенного, хоть и малого, времени удара ^, соответствующему практически

мгновенной остановке набегающей цистерны, жидкость будет двигаться вместе с цистерной как единое целое, находясь в состоянии переносного замедленного движения и относительного равновесия. Данному случаю будут соответствовать определенное продольное усилие в автосцепке и давление гидроудара.

10 12

V, км/год

Рисунок 4. - График зависимости давления Р от скорости соударения V

Теперь рассмотрим аналогичную набегающую со скоростью V цистерну, только наполненную с недоливом. Масса жидкости в ней т будет меньше массы жидкости при полном наливе, и эта масса т будет равняться: т = (1 -е) т0. В данном случае продольное

усилие в автосцепке и давление гидроудара будут меньше, чем соответствующее усилие и давление от удара цистерны, налитой целиком. Следовательно, одной из причин благоприятного влияния частичного недолива цистерны на уменьшение давления гидроудара является уменьшение полной массы цистерны. Однако, есть еще и другая причина этому влиянию, связанная с уменьшением ускорения продольной силы инерции, действующей на жидкость за время удара. Дело в том, что при внезапном столкновении частично недолитой цистерны жидкость будет перетекать в момент удара от задней стенки цистерны к передней, переходя в состояние относительного равновесия. Следовательно, для недолитой цистерны понадобится больше, нежели в случае полного налива, времени £, чтобы жидкость изменила свое первоначальное размещение и перешла в состояние переносного замедленного движения и относительного равновесия. А поскольку ускорение силы инерции, действующей на жидкость, является пропорциональным отношению V / ^, то при одинаковых скоростях соударения ускорение переносного движения жидкости а при столкновении недолитой цистерны, и следовательно, ускорение этой цистерны, будут меньшими соответствующих ускорений в случае полностью налитой цистерны. Так что это тоже обуславливает эффект послабления давления гидроудара в частично недолитых цистернах.

Выразим ускорение силы инерции а , действующей на жидкость при столкновении недолитой цистерны, через аналогичное ускорение а0 в случае столкновения целиком наполненной цистерны.

В случае недолива характерными для задачи о гидроударе в цистерне являются два линейных масштаба, а именно, Ь и Н, комбинация которых определяет с учетом ускоре-

ния силы тяжести Я, характерный масштаб времени Ь яН . Тогда можем написать

I =

Ь

4ЯН

или, так как Н = Б | 1 - — I Б

£ = ■

Ь

У

ЯН

(

1 -—

Б

л

(19)

В частности, при Ь = 0, из (19) получа-

ем

¿0 =■

Ь

Что касается ускорений а и а0, то

(20)

V.

а = ■

яБ1 - Б

Ь

а = ^ а = ~Г"

(21) (22)

Отсюда

= 1 -

а„

(23)

Таким образом, на основании выражения (23) можем в общем случае написать, с учетом того, что а = а0 при Ь = 0 :

а=Г1 -—1 а,,

я

Б) Я

(24)

приняв во внимание, что показатель степени п определяется эмпирически.

Теперь определим давление гидроудара. После подстановки выражения (24) в (16), будем иметь, принимая х = Ь и учитывая (5):

Р =(1 -е)-—У ГЯ Ь (25)

а

В случае полного налива цистерны, когда е = 0 и Ь = 0, из (25) вытекает формула (18).

Показатель степени п в (25) определяется на основе экспериментальных данных по измерению давления гидроудара в случае недолива цистерны. Величина п зависит от физических характеристик жидкого груза, наполняющего цистерну, а именно: плотности р и динамической вязкости и. А так как //р представляет собой кинематическую вязкость жидкого груза V, показатель степени п можно рассматривать как функцию относи-

„ — V

тельной вязкости V = —, где vw - кинемати-

V

ческая вязкость воды. В частности, в результате обработки опытных данных, представленных на рисунке 4, которым соответствуют

значения Ь = 0,5 м, — = 0,1786, е= 0,12 и

П

V = 1, получено значение п = 2,77.

Основной задачей дальнейших исследований давлений гидроудара в цистернах является отыскание функциональных зависимо-а0

стей величин — и п от определяющих их па-8

раметров для широкого диапазона изменения условий гидроудара.

Выводы

Основной в работе является идея о том, что давление гидроудара при столкновении железнодорожных цистерн можно определить, исходя из представления, что это давление возникает в момент перехода жидкости, наполняющей набегающую цистерну с частичным недоливом, в состоянии относительного равновесия и равномерно-замедленного переносного движения.

В результате выполненных теоретических исследований установлен линейный закон изменения давления от гидроудара вдоль оси цистерны, дано физическое толкование благоприятному влиянию частичного недолива цистерны на уменьшение величины давления, и получены простые формулы для определения давления гидроудара на днища цис-

терн, наполненных целиком или с частичным недоливом. Приведены результаты сравнения расчетных значение давления гидроудара с экспериментальными значениями.

Список литературы

1. Луковский И.А. Введение в нелинейную динамику твердого тела с полостями, содержащими жидкость. - Киев: Наук. думка. 1990. - 296 с.

2. Барняк М.Я., Лещук О.П. Дослщження власних коливань в'язко'1 рщини з вшьною по-верхнею у прямому круговому цилiндрi // Зб. праць ш.-ту математики НАН Укра'ни. - 2008. - Т.5, №2 - С.41-60.

3. Барняк М.А., Лещук О.П. Побудова розв'язюв задачi про власш коливання в'язко'1 рщини у наполовину заповненш сфе-ричнш порожниш // Нелiнiйнi коливання. -2008. - Т.11, №4. - С.439-461.

4. Горьков П.И. Динамическое действие колеблющейся жидкости на цистерны при неполном наливе // Изв. АН СССР, ОТН, №2, -1954. С.19-24.

5. Оценка нагруженности железнодорожной цистерны с жидкостью при соударениях / Г.И.Богомаз, Н.Я.Гаркави, М.Б.Кельрих и др. // Динамика механических систем - Киев: Наук. думка, 1983. - С.121-128.

6. Богомаз Г. И. Динамика железнодорожных вагонов-цистерн. - Киев: Наук. думка, 2004. - 223с.

7. Z. Ye, A.M.Birk. Fluid Pressure in Partially Liquid - Filled Horizontal Cylindrical Vessels Undergoing Impact Acceleration // J. of Pressure Vessel Technology. V.116, N4. - 1994. -PP. 449-459.

8. L. Khezzar, A. Seibi, A. Goharzadeh. Water Sloshind in Rectagular Tanks. - An and Experimental Investigation, Numerical Simulation // Int. J. of Ingineering (IJE), V.3, Issue 2, - 2009. -PP. 174-184.

9. Константинов Ю.М. Гидравлика. - К.: Вища школа, 1981 - 358 с.

10. Долматов А. А., Кудрявцев Н.Н. Динамика и прочность 4-осных железнодорожных

цистерн // Труды ВНИИЖТ, вып. 263. Транс-желдориздат. 1963. - С. 6-122.

Анотацн:

В статье рассмотрена упрощенная физическая модель гидроудара в железнодорожной цистерне, в основе которой лежит представление о том, что максимальное давление жидкости на днище котла цистерны от гидроудара достигается в момент перехода жидкости в состояние относительного равновесия при внезапном ускорении цистерны. Получены простые формулы для определения давления гидроудара в цистернах как с полным наливом, так и с частичным недоливом. Приведены результаты сравнения расчетных значений давления гидроудара с экспериментальными значениями.

У стап розглянуто спрощену фiзичну модель ri-дроудару в залiзничнiй цистерш, в основi яко! лежить уява про те, що максимальний тиск рщини на днище

котла цистерни ввд пдроудару досягаеться в момент переходу рщини у стан ввдносно! р1вноваги при рапто-вому прискоренш цистерни. Одержано прост формули для визначення тиску пдроудару в цистернах як з по-вним наливом, так 1 з частковим недоливом. Наведено результати пор1вняння розрахункових значень тиску пдроудару з експериментальними значеннями.

The article presents the simplified physical model of water hammer in a railroad car's tank. The main assumption of this model is based on the idea that the maximum fluid pressure at the bottom of the tank's boiler of water hammer is achieved when the liquid in a state of relative equilibrium in case of sudden acceleration of the tank.The simple formulas for calculation of pressure for water hammer in the tank as full bulk, and with partially filled tank are discussed. The results of comparison of calculated values of pressure hammer with the experimental data are also presented in this paper