CC BY
19
УДК 539.218+539.199 Б01: 10.15350/17270529.2020.1.7
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ФОРМИРОВАНИЯ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НАНОЧАСТИЦ В ГАЗОВОЙ СРЕДЕ
1,2вахрушев а. в., 1,2федотов а. ю.
1 Удмуртский федеральный исследовательский центр Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова, 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7
АННОТАЦИЯ. В работе предложена многоуровневая математическая модель для исследования процессов формирования, движения, роста и взаимодействия наночастиц. Модель включает в себя уровень молекулярной динамики, описывающий начальные стадии конденсации, и уровень мезодинамики частиц, рассматривающий эволюционное поведение уже сформированных кластеров. Рассмотрены основные формулы метода мезодинамики частиц, в которых реализовано вычисление координат, скоростей, сил, масс наноструктур при переходе от аппарата молекулярной динамики, уравнения движения наночастиц, законы поглощения кластеров. Уравнения движения наночастиц включают в себя описание вращательного движения, а действующие силы содержат вклады потенциального воздействия, влияния свободных атомов наносистемы, сопротивления среды при столкновении наноструктур. Проанализированы механизмы взаимодействия наночастиц на примере потенциалов Леннарда - Джонса и Штокмайера. Вычисление параметров силовых полей осуществляется через усреднение соответствующих характеристик атомов, образующих нанокластер. Использование угловых и несимметричных потенциалов позволяет учесть в математической модели наличие точек роста и активации на поверхности наночастиц. Условие объединения наноструктур сформулировано с точки зрения энергетически выгодного и стабильного состояния и достигается при минимальном значении потенциала между взаимодействующими кластерами. Расстояние между наночастицами вычисляется с учетом их реальных размеров. Эффективность действия потенциала ограничена небольшими дистанциями.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: наночастицы, наноструктуры, газовая среда, математическое моделирование, мезодинамика, взаимодействие, агломерация, конденсация.
ВВЕДЕНИЕ
Наночастицы и материалы на их основе в последнее время находят применение во многих отраслях промышленности, техники и повседневной человеческой деятельности [1 - 3]. Благодаря усовершенствованным свойствам нанокластеры существенно повышают функциональные характеристики объектов, в которые осуществляется их внедрение, а также открывают принципиально новые сферы использования ранее известных веществ. Значительный интерес наночастицы привлекают в области медицина, где наноструктуры находят применение в качестве объектов целевой доставки лекарств [4, 5], бактериологических средств [6, 7], а также как метод борьбы с недоброкачественными образованиями [8, 9].
Отдельным перспективным направлением использования нанокластеров является электроника [10, 11]. В области электроники постоянно ведутся работы с целью уменьшения размеров вычислительного оборудования, повышения его быстродействия и эффективности хранения данных. По этой причине на основе наночастиц и наноструктурных материалов создаются новые устройства памяти и составные элементы микропроцессоров [12, 13]. Известны компактные, иногда размером до нескольких молекул или небольшой группы атомов, наноканальные транзисторы [14, 15], химические датчики [16, 17], температурные сенсоры [18], нанопроволочные резисторы [19, 20] с высоким потенциалом использования вследствие малых размеров и стабильных функциональных свойств. Отдельного внимания заслуживают исследования в сфере оптики, где разрабатываются новые материалы с внедрением наночастиц [21, 22]. За счет поглощения расширенного спектра светового пучка значительно повышается коэффициент полезного действия систем на основе данных
материалов, что обуславливает их активное использование в качестве элементов солнечных батарей и других источников экологически чистых видов энергии.
Пристальное внимание к наночастицам и композитам с их применением требует проведения интенсивных экспериментальных и теоретических исследований в указанной области. Экспериментальные исследования связаны с необходимостью затрат на дорогостоящее оборудование и изготовление опытных образцов. Математическое моделирование позволяет сократить издержки на проведение экспериментов, а также изучить фундаментальные закономерности, возникающие в процессе синтеза и формирования нанокластеров. В качестве математических моделей для исследования свойств наноматериалов в настоящее время используются аппараты квантовой механики [23, 24], молекулярной динамики [25, 26], статистические подходы Монте-Карло [27, 28], модели классической термодинамики [29, 30], методы моделирования мезо- и микромасштаба [31, 32]. Модели квантовой механики, наряду со своей высокой точностью, вследствие значительных объемов вычислений ограничены небольшим размером исследуемой наносистемы. Молекулярная динамика позволяет рассматривать гораздо большее число атомов в наноматериале, но имеет ряд трудностей при вычислении макропараметров таких, как коэффициенты вязкости, объемного расширения, теплопроводности. С помощью моделей Монте-Карло, как правило, успешно определяются обобщенные характеристики, но теряется детальная информация об эволюционном поведении отдельных наночастиц, их структуре, а значит и некоторых функциональных особенностях анализируемых объектов. Принципиально другое построение имеют модели классической термодинамики [29, 30], где вещество рассматривается как непрерывная среда. При континуальном подходе пренебрегают атомарной природой наблюдаемых процессов, что стирает связь между макроскопическими и атомными характеристиками, например между коэффициентом диффузии и частотой столкновения атомов.
В связи со всем вышесказанным в последнее время получили распространение многоуровневые математические модели, позволяющие рассматривать и описывать свойства наноматериалов на нескольких масштабных уровнях. Обширный класс подобных моделей разработан для исследования морфологии и структурных изменений внутри твердофазных нанокомпозитов [33 - 35]. Тем не менее, тесная связь технологий изготовления наночастиц, нанопленок и специфики их эксплуатационного поведения с газовыми средами требует развития методов теоретических исследований в данной области. Основное внимание в работе уделено механизмам взаимодействия, объединения и эволюции наночастиц в газовых средах.
Цель работы заключается в систематизации и описании методов математического моделирования для анализа процессов движения, конденсации и взаимодействия наноструктур. Статья является развитием и обобщением более ранних публикаций авторов [36 - 39], где были рассмотрены общая структура математической модели [36], детали использования межатомного потенциала в наносистемах [37, 38] и результаты исследования реальных технологических процессов [36, 38] и новых перспективных наноматериалов [39].
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Процесс кластеризации и конденсации наночастиц в реальных технических системах и технологических процессах разделен на две основные стадии. На первой стадии происходит зарождение наноструктур из свободно расположенных в газовой среде атомов. Для второй стадии характерно объединение уже сформированных наночастиц, их укрупнение и присоединение. Для моделирования первого этапа конденсации нанокластеров могут быть использованы методы молекулярной динамики и квантовой механики, но в силу значительной ограниченности числа атомов и времени исследования в квантово-механическом подходе, оптимальным вариантом является выбор концепции молекулярной динамики. В методе молекулярной динамики в качестве отдельных элементов модели
выступают атомы наносистемы, а основу составляет уравнение их движения совместно с начальными условиями
= = Г,(<„) = г,0, ^ / = !,...,(1)
где N - число атомов в системе; щ - масса каждого атома; г (/) - радиус-вектор в текущий момент времени; ^ (г) - вектор результирующей силы; и(г) - потенциал, определяющий
движение частиц; Уг-(/) - мгновенный вектор скорости; г = г(^) = |г^),г2),...,тн (/)|
указывает на зависимость потенциальной энергии от совокупности координат всех атомов; , г) - воздействие внешней среды. Значения гг0 и Уг0 характеризуют расположения
частиц и их скорости в начальный момент времени. Далее зависимость векторов от времени без явной необходимости будет опущена.
Движения атомов в наносистеме в первую очередь зависят от вида и параметров потенциала и (г). В настоящее время существует достаточно большое количество разнообразных потенциальных полей, которые выбираются в соответствии с условиями и типом решаемой задачи. Для определенности в работе механизмы взаимодействия и агрегирования наночастиц будут рассмотрены на примере потенциала Леннарда - Джонса [40, 41]. Данное силовое поле выбрано вследствие простоты описания и реализации и в случае необходимости может быть заменено на любой другой вид потенциала.
Для двух атомов потенциал Леннарда - Джонса имеет вид степенной функциональной зависимости от расстояния с учетом двух параметров
(г \12 / \6Л
ии ( г ) = е
г \ ( г
Ш1П | _ 2 Ш1П
(2)
г ) V г ) \ - ' 4 у )
где г - расстояние между парой атомов; е - глубина потенциальной ямы; гтЬ - расстояние, на котором значение потенциала минимально. Параметры е и гтЬ зависят от химического типа рассматриваемых атомов и определяют степень их взаимодействия.
Поле Леннарда - Джонса является парным. Для того, чтобы вычислить результирующую силу из (1), необходимо учесть вклад всех возможных атомов в наносистеме
д 1 ^ ^ ✓ ч / ч /ч^б е
^ А V Ч V ^ т- 7- / \ / , \ / , \ V ^
гГг V4 г г \8Л
г- (*- г )=_±т X ЕЕ и (г1к)+Г (и г )=Г (^ г) + ^
¡к
лг 2 ^ ^ " 4 1к/ 1 7 г 4 7 7 ^ г2
2 1 к,ккк,кк'гшпгк
г„:„, + г-
г
ш1п ¡к
V г1к )
г
ш1п ¡к
V г1к ) )
г1>
г,к=\г,-гк1 % = гыпгк = тш' 2тшк , 1,к = (3)
где г1к, е1к, гш1п¡к - расстояние и параметры взаимодействия для каждой пары атомов с
номерами 1 и к ; е1, ек, гш1п1, гш1пк - эталонные характеристики потенциала для определенного
химического типа атомов.
В классической теории нуклеации, описанной в работах [42 - 44], в качестве основного параметра рассматривается частота зародышеобразования. Теория использует предположение, что процесс зародышеобразования протекает стационарно, и описывает кинетические свойства кластеров в терминах термодинамики. В методе молекулярной динамики кластеризация вызвана энергетически выгодными перестроениями атомов под действием потенциала, отдельно выделенного критерия агломерации не вводится. На расстоянии, близком к г , состояние атомов является наиболее устойчивым, вследствие чего
происходит их агрегация в наночастицу. При отклонении от г между атомами возникают силы отталкивания или притяжения.
Для получения адекватных результатов моделирования методом молекулярной динамики необходимо использовать малый (порядка 1 фс=10-15 с) шаг интегрирования по времени, чтобы корректно учесть движение самых быстрых атомов наносистемы. Данное требование существенно ограничивает размеры изучаемых объектов и времена их наблюдения. Для преодоления возникающих значительных вычислительных затрат при исследовании объемных наноматериалов развиваются крупнозернистые методы [45, 46], где группы атомов объединяются в отдельные монолитные структуры с обособленным потенциалом. Обобщенной и усовершенствованной модификацией модели крупнозернистой молекулярной динамики является метод мезодинамики частиц, предложенный в данной работе.
Метод мезодинамики частиц является эволюционной частью многоуровневой модели формирования, движения и роста наночастиц в газовой среде и опирается на ранее полученные результаты молекулярной динамики. К модели мезодинамики целесообразно переходить на второй стадии конденсации, когда свободно расположенные атомы уже не объединяются в нанокластеры. На данном этапе диаметр наночастиц, как правило, варьируется в пределах 1 - 5 нм, а число входящих в них атомов изменяется в диапазоне 100 - 1000. Точные значения размеров зависят от плотности нанообъектов и выбора исходных материалов. В качестве элементов модели мезодинамики выступают сформированные агломераты, которые рассматриваются как неделимые и несжимаемые объекты. Дополнительными допущениями модели являются сферическая форма исследуемых наночастиц и мгновенное их слияние в случае поглощения.
При переходе от молекулярной динамики совокупность сгруппированных атомов заменяется нанокластерами. Процесс преобразования показан на рис. 1 и описывается следующими выражениями для вычисления координат и свойств новых объектов
т1 =
Е
Е т'г'
т, г.=-
т
Е N = N, V=-
1=1
Е тг V
т
Ъ=Е з.
г ■, = ■
1
Ni
Е г
/ 1 Ш1Пг ?
(4)
г. = ЧП. =Етггг2, 1 = 1,2,...,Мр,
1=1 V г=! г=1
где N - количество наночастиц в перестраиваемой наносистеме; N. - число атомов в каждом нанокластере; I. - момент инерции частицы; гтт;. и 8. - параметры мезодинамичес-
кого потенциала, которые получают усреднением соответствующих атомарных величин. Суммирование ведется по набору атомов в каждой отдельной наноструктуре. Индекс 1 здесь и далее характеризует номер атома, а индекс ] - номер наночастицы. Формулы (4) применяются одномоментно при переходе от уровня молекулярной динамики к мезодинамике частиц и в дальнейшем не используются.
Ъ (г)
я.
Р (г) Ъ (') Наночастица
Группа атомов Рис. 1. Преобразование группы атомов в наночастицу
N
1=1
Так как наночастицы являются объемными телами некоторого размера и характеризуются радиусом Я., то наряду с поступательным движением в методе
мезодинамики рассматривается их вращение, возникающее вследствие неравномерности потенциального поля и точек приложения сил на момент перехода от молекулярной динамики. Для этого в (4) вычисляется момент инерции, служащий мерой статичности вращательного движения. В итоге система уравнений для описания движения и взаимодействия наночастиц будет иметь следующий вид
а \ (г)
т
= Ъ (', г )
; (к2
/< , = >.2,...,*„ (5,
где Ъ г) и М. (¿, ф) - результирующий вектор сил и момент силы у'-ой наноструктуры; ф] (?) - угловой вектор поворота, который для трехмерного случая содержит три значения
ф = (а, р у); ф = {ф! О), ф2 (),..., ф^ Ц)}.
Для характеристики общего случая движения наночастиц по аналогии с поступательными величинами вводятся параметры вращения
(ЛГ: ¿/ф, (Л2Г: <Л2(Я:
1 = ®
где V. и - линейная и угловая скорости у'-го нанокластера; а. и и - соответствующие
ускорения каждой частицы.
Система (5) содержит два дифференциальных уравнения второго порядка. В качестве начальных условий в момент перехода от уровня молекулярной динамики для решения уравнений используются выражения (4). Начальный вектор углов поворота принимается нулевым. Кинетическая энергия наносистемы в методе мезодинамики включает в себя дополнительный вклад вращательного движения каждой наночастицы величиной .
Значительному видоизменению подверглась сила, действующая на каждую наноструктуру. Сила содержит ряд разнородных составляющих, а вращательный момент из (5) действует по направлению, перпендикулярному плоскости движения, и регулируется величиной данной силы
Ъ (^-М^ + пДОЧ^ (7)
1 от,. ]] _ а
М (^ф) = Г (О*Г1 (^г), 1 = ^А...N, (8)
где п (/) - случайная сила с нормальным законом распределения; g - ускорение свободного падения; £ - динамический коэффициент трения; т( - время релаксации термодинамических величин; г = {г(О,Г(0,...,^ (О} - обобщающая переменная.
Физический смысл составных частей силы в (7) иллюстрирует рис. 2. Первое слагаемое в (7) имеет электромагнитную природу, учитывает вклад потенциальной энергии в результирующую силу и вычисляется по аналогии с выражением (3). Потенциал действует уже не между атомами, а между наночастицами. Размеры наноструктур увеличились, по сравнению с величиной атомов, а параметры силового поля наследовались от атомов, входящих в наноструктуру. Поэтому расстояние минимальной энергии потенциала находится вблизи поверхности нанокластера, как это продемонстрировано на рис. 2. Рост объема и массы наночастиц обусловил включение в (7) силы тяжести. Данный вклад начинает оказывать действие, сопоставимое с другими слагаемыми, при приближении размеров частиц к микромасштабам.
Случайная сила п (^) присутствует в уравнении (7) для описания взаимодействия
наноструктур со свободными, несгруппированными атомами. Свободные атомы на рис. 2 показаны более светлым цветом с пунктирной границей, так как они являются виртуальными, их действие отражено в модели математически. Сила п (^) распределена по
нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением, коррелирующим с температурой наносистемы. Связь с температурой имеет также последнее слагаемое из (7), которое служит аналогом силы трения при столкновении нанообъектов. Для определения данных величин используются выражения
а =
т
2кХ- ]
(
С = э
Т-1
V Т
V Т
Л
7=1,2,...,^
(9)
где Лt - шаг интегрирования по времени; кв - постоянная Больцмана; Т - целевая температура; где $ - коэффициент сопротивления, зависящий от формы частиц. Последнее слагаемое в (7) позволяет поддерживать требуемую температуру в наносистеме, замедляя движение наноструктур при повышенной мгновенной реактивности объектов и ускоряя при пониженной.
Наночастица
\ п, (t) 4
I ^
ч /
Свободные атомы
V
п, (tN
(* ч /
Рис. 2. Физический смысл и характер сил в мезодинамике частиц
Важным моментом при построении теоретического аппарата движения и взаимодействия нанокластеров являются условия их объединения. На агломерацию влияет много факторов и обстоятельств. К основным из них относятся текущее расстояние между наночастицами, их массы и размеры, действующие между ними силы, направление и величина векторов скоростей. Согласованность результатов, полученных методами молекулярной динамики и мезодинамики, зависит от теоретически обоснованного критерия нуклеации наноструктур. Так как основополагающее влияние на энергетически стабильное состояние нанообъектов оказывает потенциальная энергия и (г) в (7), то в качестве условия агрегации наиболее мотивированным будет выбор достижения минимальной величины потенциала между взаимодействующими частицами
и{г)к) = 11тп, /> ],к = 1,2,...,^, (10)
где Я} и Я - радиусы двух объединяющихся наночастиц; ^ - расстояние между ними.
Расстояние между нанокластерами вычисляется с учетом их реальных размеров. При этом, в соответствии с (10), эффективность действия потенциала ограничена небольшими дистанциями. Схема взаимной коагуляции наночастиц проиллюстрирована на рис. 3.
В случае использования потенциала Леннарда - Джонса условие поглощения (10) реализуется на расстоянии гтт;1. Так как данная величина достаточно мала (порядка
нескольких ангстрем), то механизмы агломерации активизируются после приближения на , практически при соприкосновении наноструктур. При этом положение и скорость
£
вновь образованного нанокластера вычисляется через уравнения центра масс и закон сохранения импульса
т,г, + тл т,ф, + тфк у тУ,+ тУк т = т, + тк, г=-и—_—, фI = ___-,у=-
т т т
т Ю + т Ю, /—:--
= тю-^ , ^ = ^з + ^ = +¥к, ,,к = 1,2,...,нр, (11)
т/
где индексы , и к относятся к объединяющимся наноструктурам, индекс I принадлежит вновь сформированной новой частице. Объем новой наночастицы определяется, исходя их принципа несжимаемости исследуемых объектов. Количество кластеров после слияния сокращается на единицу, что находит отражение в уменьшении числа N .
Область активации
Две наночастицы Рис. 3. Взаимодействие и объединение наноструктур
Новая наночастица
Вопросам анализа механизмов взаимодействия наночастиц посвящены работы [47 - 50], в которых рассматриваются мезоскопические потенциалы наноструктур и методы их реализации. Потенциалы получают усреднением соответствующих параметров атомов, образующих нанокластеры [49, 50], или использованием системы коллапсирующих твердых сфер [51, 52]. Последний метод отличается специфичным ступенчатым потенциалом взаимодействия, подходит не для всех типов конденсационных задач, но применяются в коллоидных наносистемах для исследования их термодинамических характеристик. Упрощение формы наночастиц до сферической и пренебрежение их внутренней структурой используется в [49], а в [50] отмечается важность учета вращательного движения нанообъектов.
Создание передовых методик экспериментальных исследований на наноуровне и новых технологических процессов изготовления наноматериалов показали наличие неравномер-ностей и неоднородностей процессов агломерации наноструктур, а также существование направленного и ориентированного роста нанокластеров с точками активации, в которых происходит их присоединение друг к другу [53 - 55]. Области активации на рис. 3 выделены цветом и показаны фигурной стрелкой. При использовании симметричного потенциала и допущения в виде сферической формы объектов описание обособленных точек нуклеации на поверхности наночастиц невозможно. Описание сложной геометрии элементов существенно усложняет моделирование и замедляет исследование наносистемы за счет дополнительных вычислений. Выход может быть найден через применение многопараметрического или многочастичного силового поля, учитывающего неравномерное распределение энергетических свойств наноэлементов в пространстве. В качестве несимметричного потенциала может быть использован любой его вид: Стилинжера - Вебера, метод погруженного атома, Гупта, Терсоффа и другие. Для определенности механизмы направленной конденсации в данной работе будут рассмотрены на примере потенциала Штокмайера.
Потенциал Штокмайера [56] является модификацией силового поля Леннарда - Джонса путем введения дополнительного дипольного взаимодействия. Дипольное взаимодействие возникает обычно в полярных молекулярных системах, но дополнительных ограничений на применение потенциала Штокмайера к атомарным объектам нет. При необходимости молекулу можно представить в виде совокупности отдельных атомов, часть из которых обладают угловыми характеристиками, а другие сферически симметричны в пространстве, то есть будут иметь часть нулевых параметров. Параметры и принцип действия потенциала представлены на рис. 4. Количество аргументов для данного энергетического поля увеличено, добавлены угловые зависимости
и8' (г) = ии (г) - (2 соб 0А соб 0в - б1п 0А б1п 0в соб ф),
(12)
где г - расстояние между взаимодействующими объектами; 0А, 0В - полярные углы;
ф = фв — фА - расхождение азимутальных углов; , - дипольные моменты частиц.
Силовое поле Штокмайера позволяет описать не только взаимодействие полярных нанообъектов, но и учесть двустороннюю пространственную ориентацию наноструктур.
к хв
/ \
д0 а \ \ 0 в 2а ,2в ->
В ^ ч ф А, ф В
:Уа * ув
Рис. 4. Параметры и принцип действия потенциала Штокмайера
Для исследования процессов конденсации наноструктур будет более удобна векторная форма записи потенциала Штокмайера [57]
и8' ( г ) =
г
Ш1П
12 г \б\
— 21 ^ г
(12)
где 8, гт1п - параметры силового поля Леннарда - Джонса; ъа, ъв - векторы дипольного момента.
Направления действия дипольных моментов образуют точки активации и ориентированного роста наноструктур. При переходе от молекулярной динамики к уравнениям движения наночастиц параметры потенциала усредняются по соответствующим величинам атомов, образующих агломерат
1 ■>
^П] = ~2 ^ , 8 = "{/П , Ъ] = 2 Ъ , ] = 1,2,•••, МР ,
(13)
г=1
где ц. - вектор дипольного момента, характерный для ] -го нанокластера.
Результирующая сила, действующая на наночастицу, с использованием потенциала Штокмайера выводится подстановкой (12) в (7). Парные параметры силового поля в (14) вычисляются по аналогии с выражением (3). Уравнение для определения силы в методе мезодинамики частиц принимает следующий вид
(
к ,к # ]
68
с
]к
т1п ]к
л
т1п ]к
V г]к )
т
V4 л
\
•л
Л
т1п ]к
V г]к )
+ 3
']к
—т]g + П] (') —С^- V] ('), ] = 1,2,...,Мр•
(14)
В некоторых случаях использования многочастичных и многопараметрических потенциалов вычисление вклада силового поля в обобщающее уравнение вида (7) может быть затруднено. В таких вариантах наносистем энергия наноструктур выражается через сумму потенциалов составных атомов
N
и(гк) = ),,, к = 1,2,..., N. (15)
1=1
В конденсационных задачах и теории нуклеации основополагающее значение имеют процессы агрегации. Распад ранее сформированных кластеров часто либо не рассматривается, либо описывается параметрически. Пример подобного параметрического контроля скорости разделения частиц встречается в [58, 59]. Модель абсолютного присоединения нанокластеров используется в [60], где проводятся исследования самоорганизации кластерных нанодендритов. В методе мезодинамики частиц механизмы распада наноструктур не учитываются, что позволяет более оптимально использовать вычислительные ресурсы при проведении моделирования. Критерием окончания для использования метода мезодинамики служит достижение целевого времени исследования, при этом размер рассматриваемых нанокластров варьируется в достаточно широком диапазоне 45 - 450 нм. Предложенная модель позволяет проанализировать детальное поведение каждой наночастицы в наносистеме на протяжении всего ее жизненного цикла, исследовать структуру, состав, свойства и процесс роста наноэлементов, а не только наблюдать за изменением обобщенных характеристик наноматериала.
ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе предложена многоуровневая математическая модель для исследования процессов формирования, движения, роста и взаимодействия наночастиц. Модель включает в себя уровень молекулярной динамики, описывающий начальные стадии конденсации, и уровень мезодинамики частиц, рассматривающий эволюционное поведение уже сформированных кластеров.
Рассмотрены основные формулы метода мезодинамики частиц, в которых реализовано вычисление координат, скоростей, сил, масс наноструктур при переходе от аппарата молекулярной динамики, уравнения движения наночастиц, законы поглощения кластеров. Уравнения движения наночастиц включают в себя описание вращательного движения, а действующие силы содержат вклады потенциального воздействия, влияния свободных атомов наносистемы, сопротивления среды при столкновении наноструктур.
Проанализированы механизмы взаимодействия наночастиц на примере потенциалов Леннарда - Джонса и Штокмайера. Вычисление параметров силовых полей осуществляется через усреднение соответствующих характеристик атомов, образующих нанокластер. Подсчет параметров происходит однократно при переходе от молекулярной динамики к мезодинамике частиц и при агломерации пары нанообъектов, что значительно сокращает объем вычислений при проведении моделирования. Использование угловых и несимметричных потенциалов позволяет учесть в математической модели наличие точек роста и активации на поверхности наночастиц.
Условие объединения наноструктур сформулировано с точки зрения энергетически выгодного и стабильного состояния и достигается при минимальном значении потенциала между взаимодействующими кластерами. Расстояние между наночастицами вычисляется с учетом их реальных размеров. Эффективность действия потенциала ограничена небольшими дистанциями.
Исследование выполнено в рамках проекта 0427-2019-0029 УрО РАН.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Haase M., Schäfer H. Upconverting nanoparticles // Angewandte Chemie - International Edition, 2011, vol. 50, iss. 26, pp. 5808-5829.
2. Lewinski N., Colvin V., Drezek R. Cytotoxicity of nanoparticles // Small, 2008, vol. 4, iss. 1, pp. 26-49.
3. DeVries G. A., Brunnbauer M., Hu Y., Jackson A. M., Long B., Neltner B. T., Uzun O., Wunsch B. H., Stellacci F. Divalent metal nanoparticles // Science, 2007, vol. 315, iss. 5810, pp. 358-361.
4. Cho K., Wang X. U., Nie S., Shin D. M. Therapeutic nanoparticles for drug delivery in cancer // Clinical Cancer Research, 2008, vol. 14, iss. 5, pp. 1310-1316.
5. Dobson J. Magnetic nanoparticles for drug delivery // Drug Development Research, 2006, vol. 67, iss. 1, pp. 55-60.
6. Morones J. R., Elechiguerra J. L., Camacho A., Holt K., Kouri J. B., Ramirez J. T., Yacaman M. J. The bactericidal effect of silver nanoparticles // Nanotechnology, 2005, vol. 16, iss. 10, pp. 2346-2353.
7. Sondi I., Salopek-Sondi B. Silver nanoparticles as antimicrobial agent: a case study on E. coli as a model for Gram-negative bacteria // Journal of Colloid and Interface Science, 2004, vol. 275, iss. 1, pp. 177-182.
8. Brigger I., Dubernet C., Couvreur P. Nanoparticles in cancer therapy and diagnosis // Advanced Drug Delivery Reviews, 2012, vol. 64, pp. 24-36.
9. Wang M., Thanou M. Targeting nanoparticles to cancer // Pharmacological Research, 2010, vol. 62, iss. 2, pp. 90-99.
10. Ko S. H., Park I., Pan H., Grigoropoulos C. P., Pisano A. P., Luscombe C. K., Frechet J. M. Direct nanoimprinting of metal nanoparticles for nanoscale electronics fabrication // Nano Letters, 2007, vol. 7, iss. 7, pp. 1869-1877.
11. Lee Y., Choi J. R., Lee K. J., Stott N. E., Kim D. Large-scale synthesis of copper nanoparticles by chemically controlled reduction for applications of inkjet-printed electronics // Nanotechnology, 2008, vol. 19, iss. 41, pp. 415604.1-7.
12. Leong W. L., Lee P. S., Mhaisalkar S. G., Chen T. P., Dodabalapur A. Charging phenomena in pentacene-gold nanoparticle memory device // Applied Physics Letters, 2007, vol. 90, iss. 4, pp. 042906.1-3.
13. Baker C. O., Shedd B., Tseng R. J., Martinez-Morales A. A., Ozkan C. S., Ozkan M., Yang Y., Kaner R. B. Size control of gold nanoparticles grown on polyaniline nanofibers for bistable memory devices // ACS Nano, 2011, vol. 5, iss. 5, pp. 3469-3474.
14. Li J., Qin F., Li C. M., Bao Q., Chan-Park M. B., Zhang W., Qin J., Ong B. S. High-performance thin-film transistors from solution-processed dithienothiophene polymer semiconductor nanoparticles // Chemistry of Materials, 2008, vol. 20, iss. 6, pp. 2057-2059.
15. Wu Y., Li Y., Liu P., Gardner S., Ong B. S. Studies of gold nanoparticles as precursors to printed conductive features for thin-film transistors // Chemistry of Materials, 2006, vol. 18, iss. 19, pp. 4627-4632.
16. Haick H. Chemical sensors based on molecularly modified metallic nanoparticles // Journal of Physics D: Applied Physics, 2007, vol. 40, iss. 23, pp. 7173-7186.
17. Zhang Y., Xiang Q., Xu J., Xu P., Pan Q., Li F. Self-assemblies of Pd nanoparticles on the surfaces of single crystal ZnO nanowires for chemical sensors with enhanced performances // Journal of Materials Chemistry, 2009, vol. 19, iss. 27, pp. 4701-4706.
18. Wawrzynczyk D., Bednarkiewicz A., Nyk M., Strek W., Samoc M. Neodymium (III) doped fluoride nanoparticles as non-contact optical temperature sensors // Nanoscale, 2012, vol. 4, iss. 22, pp. 6959-6961.
19. Demami F., Ni L., Rogel R., Salaun A. C., Pichon L. Silicon nanowires based resistors as gas sensors // Sensors and Actuators B: Chemical, 2012, vol. 170, pp. 158-162.
20. Kolmakov A., Chen X., Moskovits M. Functionalizing nanowires with catalytic nanoparticles for gas sensing application // Journal of Nanoscience and Nanotechnology, 2008, vol. 8, iss. 1, pp. 111-121.
21. Günes S., Fritz K. P., Neugebauer H., Sariciftci N. S., Kumar S., Scholes G. D. Hybrid solar cells using PbS nanoparticles // Solar Energy Materials and Solar Cells, 2007, vol. 91, iss. 5, pp. 420-423.
22. Yao K., Zhong H., Liu Z., Xiong M., Leng S., Zhang J., Xu Y., Wang W., Zhou L., Huang H., Jen A. K. Y. Plasmonic Metal Nanoparticles with Core-Bishell Structure for High-Performance Organic and Perovskite Solar Cells // ACS Nano, 2019, vol. 13, iss. 5, pp. 5397-5409.
23. Rigo V. A., Miranda C. R., Baletto F. Ethanol chemisorption on core-shell Pt-nanoparticles: an ab initio study // The European Physical Journal B, 2019, vol. 92, iss. 2, pp. 24-35.
24. Lee S. E., Lim H. K., Lee S. Ab Initio-Based Structural and Thermodynamic Aspects of the Electrochemical Lithiation of Silicon Nanoparticles // Catalysts, 2020, vol. 10, iss. 1, pp. 8-17.
25. Lammers L. N., Bourg I. C., Okumura M., Kolluri K., Sposito G., Machida M. Molecular dynamics simulations of cesium adsorption on illite nanoparticles // Journal of Colloid and Interface Science, 2017, vol. 490, pp. 608-620.
26. Yang P., Zeng Q., Dong K., Zhu H. A quick method for developing interparticle force models of spherical gold nanoparticles from molecular dynamics simulation // Powder Technology, 2020, vol. 362, pp. 501-506.
27. Wang W., Chen D. D., Lv D., Liu J. P., Li Q., Peng Z. Monte Carlo study of magnetic and thermodynamic properties of a ferrimagnetic Ising nanoparticle with hexagonal core-shell structure // Journal of Physics and Chemistry of Solids, 2017, vol. 108, pp. 39-51.
28. Stornes M., Linse P., Dias R. S. Monte Carlo simulations of complexation between weak polyelectrolytes and a charged nanoparticle. Influence of polyelectrolyte chain length and concentration // Macromolecules, 2017, vol. 50, iss. 15, pp. 5978-5988.
29. Letellier P., Mayaffre A., Turmine M. Solubility of nanoparticles: nonextensive thermodynamics approach // Journal of Physics: Condensed Matter, 2007, vol. 19, iss. 43, pp. 436229.1-9.
30. Guisbiers G., Abudukelimu G., Clement F., Wautelet M. Effects of shape on the phase stability of nanoparticles // Journal of Computational and Theoretical Nanoscience, 2007, vol. 4, iss. 2, pp. 309-315.
31. Holian B. L. Formulating mesodynamics for polycrystalline materials // Europhysics Letters, 2003, vol. 64, iss. 3, pp. 330-336.
32. Duan C., Zhang H., Yang M., Li F., Yu Y., Xiao J., Xi H. Templated fabrication of hierarchically porous metal-organic frameworks and simulation of crystal growth // Nanoscale Advances, 2019, vol. 1, iss. 3, pp. 1062-1069.
33. Shveykin A. I., Trusov P. V. Multilevel models of polycrystalline metals: comparison of relations describing the rotations of crystallite lattice // Nanoscience and Technology: An International Journal, 2019, vol. 10, iss. 1, pp. 1-20.
34. Alian A. R., El-Borgi S., Meguid S. A. Multiscale modeling of the effect of waviness and agglomeration of CNTs on the elastic properties of nanocomposites // Computational Materials Science, 2016, vol. 117, pp. 195-204.
35. Trusov P. V., Volegov P. S., Shveykin A. I. Multilevel model of inelastic deformation of FCC polycrystalline with description of structure evolution // Computational Materials Science, 2013, vol. 79, pp. 429-441.
36. Vakhrushev A. V., Fedotov A. Yu. The study of nucleation and condensation of nanostructures in the gaseous medium // The European Physical Journal Special Topics, 2020, vol. 229, iss. 2-3, pp. 305-314.
37. Vakhrouchev A. V. Modelling of the nanosystems formation by the molecular dynamics, mesodynamics and continuum mechanics methods // Multidiscipline Modeling in Material and Structures, 2009, vol. 5, iss. 2, pp. 99-118.
38. Vakhrushev A. V., Fedotov A. Yu., Vakhrushev A. A., Golubchikov V. B., Givotkov A. V. Multilevel simulation of the processes of nanoaerosol formation. Part 1. Theory foundations // International Journal of Nanomechanics Science and Technology, 2011, vol. 2, iss. 2, pp. 105-132.
39. Vakhrushev A. V., Fedotov A. Yu., Severyukhin A. V., Valeev R. G. On the Structure and Properties of Nanofilms Deposited on Porous Aluminum Oxide Substrates // Nanoscience and Technology: An International Journal, 2017, vol. 8, iss. 3, pp. 167-192.
40. Lennard-Jones J. E. Wave functions of many-electron atoms // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1931, vol. 27, iss. 3, pp. 469-480.
41. Jones J. E. On the determination of molecular fields. - II. From the equation of state of a gas. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, 1924, vol. 106, iss. 738, pp. 463-477.
42. Каган Ю. М. О кинетике кипения чистой жидкости // Журнал физической химии. 1960. Т. 34, № 1. С. 92-101.
43. Zurek W. H., Schieve W. C. Multistep clustering and nucleation // The Journal of Physical Chemistry, 1980, vol. 84, iss. 12, pp. 1479-1482.
44. Зельдович Я. Б. К теории образования новой фазы. Кавитация // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1942. Т. 12, № 11-12. С. 525-538.
45. Rudd R. E., Broughton J. Q. Coarse-grained molecular dynamics and the atomic limit of finite elements // Physical review B, 1998, vol. 58, iss. 10, pp. R5893.1-4.
46. Bond P. J., Holyoake J., Ivetac A., Khalid S., Sansom M. S. Coarse-grained molecular dynamics simulations of membrane proteins and peptides // Journal of Structural Biology, 2007, vol. 157, iss. 3, pp. 593-605.
47. Wilson N. T., Johnston R. L. A theoretical study of atom ordering in copper-gold nanoalloy clusters // Journal of Materials Chemistry, 2002, vol. 12, iss. 10, pp. 2913-2922.
48. Garzón I. L., Michaelian K., Beltrán M. R., Posada-Amarillas A., Ordejón P., Artacho E., Sánchez-Portal D., Soler J. M. Lowest energy structures of gold nanoclusters // Physical Review Letters, 1998, vol. 81, iss. 8, pp. 1600-1603.
49. Жеренкова Л. В., Комаров П. В., Халатур П. Г. Моделирование процесса металлизации фрагмента молекулы дезорибонуклеиновой кислоты наночастицами золота // Коллоидный журнал. 2007. Т. 69, № 6. С. 753-765.
50. Алфимов М. В., Кадушников Р. М., Штуркин Н. А., Алиевский В. М., Лебедев-Степанов П. В. Имитационное моделирование процессов самоорганизации наночастиц // Российские нанотехнологии. 2006. Т. 1, № 1-2. С. 127-133.
51. Kao K. C., Tsou C. J., Mou C. Y. Collapsed (kippah) hollow silica nanoparticles // Chemical Communications, 2012, vol. 48, iss. 28, pp. 3454-3456.
52. Santos A. Are the energy and virial routes to thermodynamics equation for hard spheres // Molecular Physics, 2006, vol. 104, iss. 22-24, pp. 3411-3418.
53. Dimonte A., Cifarelli A., Berzina T., Chiesi V., Ferro P., Besagni T., Albertini F., Adamatzky A., Erokhin V. Magnetic nanoparticles-loaded Physarum polycephalum: Directed growth and particles distribution // Interdisciplinary Sciences: Computational Life Sciences, 2015, vol. 7, iss. 4, pp. 373-381.
54. Calzolai L., Franchini F., Gilliland D., Rossi F. Protein - nanoparticle interaction: identification of the ubiquitin - gold nanoparticle interaction site // Nano Letters, 2010, vol. 10, iss. 8, pp. 3101-3105.
55. Velev O. D., Gupta S. Materials Fabricated by Micro- and Nanoparticle Assembly - The Challenging Path from Science to Engineering // Advanced Materials, 2009, vol. 21, iss. 19, pp. 1897-1905.
56. Stockmayer W. H. Second Virial Coefficient of Polar Gases // The Journal of Chemical Physics, 1941, vol. 9, iss. 5, pp. 398-402.
57. Blinov V. N. Columnar phase in the Stockmayer model // Journal of Experimental and Theoretical Physics, 2013, vol. 117, iss. 2, pp. 343-348.
58. Гельчинский Б. Р., Воронцов А. С., Коренченко А. Е., Леонтьев Л. И. Многомасштабное компьютерное моделирование газофазного синтеза металлических наночастиц // Доклады Академии наук. 2011. Т. 436, № 4. С. 486-489.
59. Воронцов А. Г. Моделирование зарождения и роста металлических наночастиц в процессе конденсации из пересыщенного пара // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика. 2009. № 22(155). С. 39-44.
60. Безносюк С. А., Лерх Я. В., Жуковская Т. М. Компьютерное моделирование самоорганизации фрактальных кластерных нанодендритов // Ползуновский вестник. 2005. № 4-1. С. 143-151.
THEORETICAL BASES OF SIMULATION THE PROCESSES OF FORMATION AND INTERACTION OF NANOPARTICLES IN A GAS MEDIA
1,2Vakhrushev A. V., 1,2Fedotov A. Yu.
:Udmurt Federal Research Center UB RAS, Izhevsk, Russia 2Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk, Russia
SUMMARY. A multilevel mathematical model for studying the processes of formation, movement, growth and interaction of nanoparticles is proposed. The model includes the level of molecular dynamics, which describes the initial stages of condensation, and the level of particle mesodynamics, which considers the evolutionary behavior of already formed clusters. The basic formulas of the particle mesodynamics method are considered, in which the coordinates, velocities, forces, and masses of nanostructures during the transition from the molecular dynamics apparatus, the equations of motion of nanoparticles, and the laws of cluster absorption are calculated. The equations of motion of nanoparticles include a description of rotational motion, and the acting forces contain the contributions of the potential impact, the influence of free atoms of the nanosystem, and the resistance of the medium during a collision of nanostructures. The mechanisms of interaction of nanoparticles are analyzed by the example of Lennard-Jones and Stockmayer potentials. The calculation of the parameters of the force fields is carried out by averaging the corresponding characteristics of the atoms forming the nanocluster. The use of angular and asymmetric potentials makes it possible to take into account in the mathematical model the presence of growth and activation points on the surface of nanoparticles. The condition for combining nanostructures is formulated from the point of view of an energetically favorable and stable state and is achieved with a minimum potential between interacting clusters. The distance between the nanoparticles is calculated taking into account their actual size. The effectiveness of the action of the potential is limited by small distances.
KEYWORDS: nanoparticles, nanostructures, gaseous medium, mathematical modeling, mesodynamics, interaction, agglomeration, condensation.
REFERENCES
1. Haase M., Schafer H. Upconverting nanoparticles. Angewandte Chemie - International Edition, 2011, vol. 50, iss. 26, pp. 5808-5829. https://doi.org/10.1002/anie.201005159
2. Lewinski N., Colvin V., Drezek R. Cytotoxicity of nanoparticles. Small, 2008, vol. 4, iss. 1, pp. 26-49. https://doi.org/10.1002/smll.200700595
3. DeVries G. A., Brunnbauer M., Hu Y., Jackson A. M., Long B., Neltner B. T., Uzun O., Wunsch B. H., Stellacci F. Divalent metal nanoparticles. Science, 2007, vol. 315, iss. 5810, pp. 358-361. https://doi.org/10.1126/science. 1133162
4. Cho K., Wang X. U., Nie S., Shin D. M. Therapeutic nanoparticles for drug delivery in cancer. Clinical Cancer Research, 2008, vol. 14, iss. 5, pp. 1310-1316. https://doi.org/10.1158/1078-0432.CCR-07-1441
5. Dobson J. Magnetic nanoparticles for drug delivery. Drug Development Research, 2006, vol. 67, iss. 1, pp. 55-60. https://doi.org/10.1002/ddr.20067
6. Morones J. R., Elechiguerra J. L., Camacho A., Holt K., Kouri J. B., Ramirez J. T., Yacaman M. J. The bactericidal effect of silver nanoparticles. Nanotechnology, 2005, vol. 16, iss. 10, pp. 2346-2353. https://doi.org/10.1088/0957-4484/16/10/059
7. Sondi I., Salopek-Sondi B. Silver nanoparticles as antimicrobial agent: a case study on E. coli as a model for Gram-negative bacteria. Journal of Colloid and Interface Science, 2004, vol. 275, iss. 1, pp. 177-182. https://doi.org/10.1016/i.icis.2004.02.012
8. Brigger I., Dubernet C., Couvreur P. Nanoparticles in cancer therapy and diagnosis. Advanced Drug Delivery Reviews, 2012, vol. 64, pp. 24-36. https://doi.org/10.1016/iaddr.2012.09.006'
9. Wang M., Thanou M. Targeting nanoparticles to cancer. Pharmacological Research, 2010, vol. 62, iss. 2, pp. 90-99. https://doi.org/10.1016/iphrs.2010.03.005
10. Ko S. H., Park I., Pan H., Grigoropoulos C. P., Pisano A. P., Luscombe C. K., Frechet J. M. Direct nanoimprinting of metal nanoparticles for nanoscale electronics fabrication. Nano Letters, 2007, vol. 7, iss. 7, pp. 1869-1877. https://doi.org/10.1021/nl070333v
11. Lee Y., Choi J. R., Lee K. J., Stott N. E., Kim D. Large-scale synthesis of copper nanoparticles by chemically controlled reduction for applications of inkiet-printed electronics. Nanotechnology, 2008, vol. 19, iss. 41, pp. 415604.1-7. https://doi.org/10.1088/0957-4484/19/41/415604
12. Leong W. L., Lee P. S., Mhaisalkar S. G., Chen T. P., Dodabalapur A. Charging phenomena in pentacene-gold nanoparticle memory device. Applied Physics Letters, 2007, vol. 90, iss. 4, pp. 042906.1-3. https://doi.org/10.1063/L2435598
13. Baker C. O., Shedd B., Tseng R. J., Martinez-Morales A. A., Ozkan C. S., Ozkan M., Yang Y., Kaner R. B. Size control of gold nanoparticles grown on polyaniline nanofibers for bistable memory devices. ACS Nano, 2011, vol. 5, iss. 5, pp. 3469-3474. https://doi.org/10.1021/nn200992w
14. Li J., Qin F., Li C. M., Bao Q., Chan-Park M. B., Zhang W., Qin J., Ong B. S. High-performance thin-film transistors from solution-processed dithienothiophene polymer semiconductor nanoparticles. Chemistry of Materials, 2008, vol. 20, iss. 6, pp. 2057-2059. https://doi.org/10.1021/cm703567g
15. Wu Y., Li Y., Liu P., Gardner S., Ong B. S. Studies of gold nanoparticles as precursors to printed conductive features for thin-film transistors. Chemistry of Materials, 2006, vol. 18, iss. 19, pp. 4627-4632. https://doi.org/10.1021/cm0611643
16. Haick H. Chemical sensors based on molecularly modified metallic nanoparticles. Journal of Physics D: Applied Physics, 2007, vol. 40, iss. 23, pp. 7173-7186. https://doi.org/10.1088/0022-3727/40/23/S01
17. Zhang Y., Xiang Q., Xu J., Xu P., Pan Q., Li F. Self-assemblies of Pd nanoparticles on the surfaces of single crystal ZnO nanowires for chemical sensors with enhanced performances. Journal of Materials Chemistry, 2009, vol. 19, iss. 27, pp. 4701-4706. https://doi.org/10.1039/B822784E
18. Wawrzynczyk D., Bednarkiewicz A., Nyk M., Strek W., Samoc M. Neodymium (III) doped fluoride nanoparticles as non-contact optical temperature sensors. Nanoscale, 2012, vol. 4, iss. 22, pp. 6959-6961. https://doi.org/10.1039/C2NR32203J
19. Demami F., Ni L., Rogel R., Salaun A. C., Pichon L. Silicon nanowires based resistors as gas sensors. Sensors and Actuators B: Chemical, 2012, vol. 170, pp. 158-162. https://doi.org/10.1016/i.snb.2011.04.083
20. Kolmakov A., Chen X., Moskovits M. Functionalizing nanowires with catalytic nanoparticles for gas sensing application. Journal of Nanoscience and Nanotechnology, 2008, vol. 8, iss. 1, pp. 111-121. https://doi.org/10.1166/jnn.2008.N10
21. Günes S., Fritz K. P., Neugebauer H., Sariciftci N. S., Kumar S., Scholes G. D. Hybrid solar cells using PbS nanoparticles. Solar Energy Materials and Solar Cells, 2007, vol. 91, iss. 5, pp. 420-423. https://doi.org/10.1016/i.solmat.2006.10.016
22. Yao K., Zhong H., Liu Z., Xiong M., Leng S., Zhang J., Xu Y., Wang W., Zhou L., Huang H., Jen A. K. Y. Plasmonic Metal Nanoparticles with Core-Bishell Structure for High-Performance Organic and Perovskite Solar Cells. ACS Nano, 2019, vol. 13, iss. 5, pp. 5397-5409. https://doi.org/10.1021/acsnano.9b00135
23. Rigo V. A., Miranda C. R., Baletto F. Ethanol chemisorption on core-shell Pt-nanoparticles: an ab initio study. The European Physical Journal B, 2019, vol. 92, iss. 2, pp. 24-35. https://doi.org/10.1140/epib/e2018-90241-3
24. Lee S. E., Lim H. K., Lee S. Ab Initio-Based Structural and Thermodynamic Aspects of the Electrochemical Lithiation of Silicon Nanoparticles. Catalysts, 2020, vol. 10, iss. 1, pp. 8-17. https://doi.org/10.3390/catal10010008
25. Lammers L. N., Bourg I. C., Okumura M., Kolluri K., Sposito G., Machida M. Molecular dynamics simulations of cesium adsorption on illite nanoparticles. Journal of Colloid and Interface Science, 2017, vol. 490, pp. 608-620. https://doi.org/10.1016/i.icis.2016.11.084
26. Yang P., Zeng Q., Dong K., Zhu H. A quick method for developing interparticle force models of spherical gold nanoparticles from molecular dynamics simulation. Powder Technology, 2020, vol. 362, pp. 501-506. https://doi.org/10.1016/ipowtec.2019.10.105
27. Wang W., Chen D. D., Lv D., Liu J. P., Li Q., Peng Z. Monte Carlo study of magnetic and thermodynamic properties of a ferrimagnetic Ising nanoparticle with hexagonal core-shell structure. Journal of Physics and Chemistry of Solids, 2017, vol. 108, pp. 39-51. https://doi.org/10.1016/iipcs.2017.04.014
28. Stornes M., Linse P., Dias R. S. Monte Carlo simulations of complexation between weak polyelectrolytes and a charged nanoparticle. Influence of polyelectrolyte chain length and concentration. Macromolecules, 2017, vol. 50, iss. 15, pp. 5978-5988. https://doi.org/10.1021/acs.macromol.7b00844
29. Letellier P., Mayaffre A., Turmine M. Solubility of nanoparticles: nonextensive thermodynamics approach. Journal of Physics: Condensed Matter, 2007, vol. 19, iss. 43, pp. 436229.1-9. https://doi.org/10.1088/0953-8984/19/43/436229
30. Guisbiers G., Abudukelimu G., Clement F., Wautelet M. Effects of shape on the phase stability of nanoparticles. Journal of Computational and Theoretical Nanoscience, 2007, vol. 4, iss. 2, pp. 309-315. https://doi.org/10.1166/ictn.2007.2320
31. Holian B. L. Formulating mesodynamics for polycrystalline materials. Europhysics Letters, 2003, vol. 64, iss. 3, pp. 330-336. https://doi.org/10.1209/epl/i2003-00178-y
32. Duan C., Zhang H., Yang M., Li F., Yu Y., Xiao J., Xi H. Templated fabrication of hierarchically porous metal-organic frameworks and simulation of crystal growth. Nanoscale Advances, 2019, vol. 1, iss. 3, pp. 1062-1069. https://doi.org/10.1039/C8NA00262B
33. Shveykin A. I., Trusov P. V. Multilevel models of polycrystalline metals: comparison of relations describing the rotations of crystallite lattice. Nanoscience and Technology: An International Journal, 2019, vol. 10, iss. 1, pp. 1-20. https://doi.org/10.1615/NanoSciTechnolIntJ.2018028673
34. Alian A. R., El-Borgi S., Meguid S. A. Multiscale modeling of the effect of waviness and agglomeration of CNTs on the elastic properties of nanocomposites. Computational Materials Science, 2016, vol. 117, pp. 195-204. https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2016.01.029
35. Trusov P. V., Volegov P. S., Shveykin A. I. Multilevel model of inelastic deformation of FCC polycrystalline with description of structure evolution. Computational Materials Science, 2013, vol. 79, pp. 429-441. https://doi.org/10.1016/icommatsci.2013.06.037
36. Vakhrushev A. V., Fedotov A. Yu. The study of nucleation and condensation of nanostructures in the gaseous medium. The European Physical Journal Special Topics, 2020, vol. 229, iss. 2-3, pp. 305-314. https://doi.org//10.1140/epj st/e2019-900105-0
37. Vakhrouchev A. V. Modelling of the nanosystems formation by the molecular dynamics, mesodynamics and continuum mechanics methods. Multidiscipline Modeling in Material and Structures, 2009, vol. 5, iss. 2, pp. 99-118. https://doi.org/10.1163/157361109787959895
38. Vakhrushev A. V., Fedotov A. Yu., Vakhrushev A. A., Golubchikov V. B., Givotkov A. V. Multilevel simulation of the processes of nanoaerosol formation. Part 1. Theory foundations. International Journal of Nanomechanics Science and Technology, 2011, vol. 2, iss. 2, pp. 105-132. https://doi.org/10.1615/NanomechanicsSciTechnolIntJ.v2.i2.30
39. Vakhrushev A. V., Fedotov A. Yu., Severyukhin A. V., Valeev R. G. On the Structure and Properties of Nanofilms Deposited on Porous Aluminum Oxide Substrates. Nanoscience and Technology: An International Journal, 2017, vol. 8, iss. 3, pp. 167-192. https://doi.org/10.1615/NanoSciTechnolIntJ.v8.i3.10
40. Lennard-Jones J. E. Wave functions of many-electron atoms. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1931, vol. 27, iss. 3, pp. 469-480. https://doi.org/10.1017/S0305004100010057
41. Jones J. E. On the determination of molecular fields. - II. From the equation of state of a gas. Proceedings of the Royal Society of London. Series a, 1924, vol. 106, iss. 738, pp. 463-477. https://doi.org/10.1098/rspa.1924.0082
42. Kagan Ju. M. O kinetike kipenija chistoj zhidkosti [On the kinetics of boiling a pure liquid]. Zhurnal fizicheskoj himii [Journal of Physical Chemistry], 1960, vol. 34, iss. 1, pp. 92-101.
43. Zurek W. H., Schieve W. C. Multistep clustering and nucleation. The Journal of Physical Chemistry, 1980, vol. 84, iss. 12, pp. 1479-1482. https://doi.org/10.1021/j100449a010
44. Zel'dovich Ja. B. K teorii obrazovanija novoj fazy. Kavitacija [To the theory of the formation of a new phase. Cavitation]. Zhurnal jeksperimental'noj i teoreticheskoj fiziki [Journal of Experimental and Theoretical Physics], 1942, vol. 12, iss. 11-12, pp. 525-538.
45. Rudd R. E., Broughton J. Q. Coarse-grained molecular dynamics and the atomic limit of finite elements. Physical review B, 1998, vol. 58, iss. 10, pp. R5893.1-4. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.58.R5893
46. Bond P. J., Holyoake J., Ivetac A., Khalid S., Sansom M. S. Coarse-grained molecular dynamics simulations of membrane proteins and peptides. Journal of Structural Biology, 2007, vol. 157, iss. 3, pp. 593-605. https://doi.org/10.1016/í.ísb.2006.10.004
47. Wilson N. T., Johnston R. L. A theoretical study of atom ordering in copper-gold nanoalloy clusters. Journal of Materials Chemistry, 2002, vol. 12, iss. 10, pp. 2913-2922. https://doi.org/10.1039/B204069G
48. Garzón I. L., Michaelian K., Beltrán M. R., Posada-Amarillas A., Ordejón P., Artacho E., Sánchez-Portal D., Soler J. M. Lowest energy structures of gold nanoclusters. Physical Review Letters, 1998, vol. 81, iss. 8, pp. 1600-1603. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.81.1600
49. Zherenkova L. V., Komarov P. V., Khalatur P. G. Simulation of the metallization of a fragment of a deoxyribonucleic acid molecule with gold nanoparticles. Colloid Journal, 2007, vol. 69, iss. 6, pp. 706-717. https://doi.org/10.1134/S1061933X07060063
50. Alfimov M. V., Kadushnikov R. M., Shturkin N. A., Alievskij V. M., Lebedev-Stepanov P. V. Imitacionnoe modelirovanie processov samoorganizacii nanochastic [Simulation modeling of the processes of self-organization of nanoparticles]. Rossijskie nanotehnologii [Russian Nanotechnology], 2006, vol. 1, iss. 1-2, pp. 127-133.
51. Kao K. C., Tsou C. J., Mou C. Y. Collapsed (kippah) hollow silica nanoparticles. Chemical Communications, 2012, vol. 48, iss. 28, pp. 3454-3456. https://doi.org/10.1039/C2CC30411B
52. Santos A. Are the energy and virial routes to thermodynamics equation for hard spheres. Molecular Physics, 2006, vol. 104, iss. 22-24, pp. 3411-3418. https://doi.org/10.1080/00268970600968011
53. Dimonte A., Cifarelli A., Berzina T., Chiesi V., Ferro P., Besagni T., Albertini F., Adamatzky A., Erokhin V. Magnetic nanoparticles-loaded Physarum polycephalum: Directed growth and particles distribution. Interdisciplinary Sciences: Computational Life Sciences, 2015, vol. 7, iss. 4, pp. 373-381. https://doi.org/10.1007/s12539-015-0021-2
54. Calzolai L., Franchini F., Gilliland D., Rossi F. Protein - nanoparticle interaction: identification of the ubiquitin - gold nanoparticle interaction site. Nano Letters, 2010, vol. 10, iss. 8, pp. 3101-3105. https://doi.org/10.1021/nl101746v
55. Velev O. D., Gupta S. Materials Fabricated by Micro- and Nanoparticle Assembly - The Challenging Path from Science to Engineering. Advanced Materials, 2009, vol. 21, iss. 19, pp. 1897-1905. https://doi.org/10.1002/adma.200801837
56. Stockmayer W. H. Second Virial Coefficient of Polar Gases. The Journal of Chemical Physics, 1941, vol. 9, iss. 5, pp. 398-402. https://doi.org/10.1063/1. 1750922
57. Blinov V. N. Columnar phase in the Stockmayer model. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 2013, vol. 117, iss. 2, pp. 343-348. https://doi.org/10.1134/S1063776113080128
58. Gelchinsky B. R., Vorontsov A. S., Korenchenko A. E., Leontiev L. I. Mnogomasshtabnoe komp'juternoe modelirovanie gazofaznogo sinteza metallicheskih nanochastic [Multiscale computer simulation of gas-phase synthesis of metal nanoparticles]. Doklady Akademii nauk [Reports of the Academy of Sciences], 2011, vol. 436, iss. 4, pp. 486-489.
59. Voroncov A. G. Modelirovanie zarozhdenija i rosta metallicheskih nanochastic v processe kondensacii iz peresyshhennogo para [Modeling the nucleation and growth of metal nanoparticles during condensation from supersaturated steam]. Vestnik Juzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Serija: Matematika. Mehanika. Fizika [Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematics. Mechanics. Physics], 2009, iss. 22(155), pp. 39-44.
60. Beznosjuk S. A., Lerh Ja. V., Zhukovskaja T. M. Komp'juternoe modelirovanie samoorganizacii fraktal'nyh klasternyh nanodendritov [Computer simulation of self-organization of fractal cluster nanodendrites]. Polzunovskij vestnik [Polzunovsky Bulletin], 2005, iss. 4-1, pp. 143-151.
Вахрушев Александр Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом «Моделирование и синтез технологических структур» УдмФИЦ УрО РАН, заведующий кафедрой «Нанотехнологии и микросистемная техника» ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, тел. (3412) 21-45-83, e-mail: vakhrushev-a@yandex. ru
Федотов Алексей Юрьевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела «Моделирование и синтез технологических структур» УдмФИЦ УрО РАН, доцент кафедры «Нанотехнологии и микросистемная техника» ИжГТУ имени М.Т. Калашникова тел. (3412) 21-45-83, e-mail: [email protected]
