CC BY
26
В.В. Лавлинский,
доктор технических
наук, доцент,
Воронежский
государственн ый
лесотехнический
университет
им. Г.Ф. Морозова
Е.А. Рогозин,
доктор технических наук, профессор
С.Н. Яньшин,
кандидат технических наук, доцент, Военный учебно-научный центр ВВС «Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЕЙСТВИЙ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННЫХ СИСТЕМ
THEORY OF MATHEMATICAL MODELING OF MOVEMENT FOR DEFINITION OF PURPOSIVE SYSTEMS
В статье рассматриваются теоретические основы математического моделирования действий для описания целенаправленных систем. Данные системы направлены на достижение конкретных целей и должны быть взаимосвязаны друг с другом. Представленные теоретические основы опираются на сформулированные теоремы и аксиомы, описанные в более ранних статьях. Действия описываются на примере методов нейронных сетей с прямой связью и в среде MATLAB. Итогом являются результаты моделирования действий с помощью аппарата нейронных сетей в среде MATLAB для оценки взаимосвязи целенаправленных систем.
This article examines the theoretical foundations of mathematical modeling of action to describe the targeted systems. These systems are designed to achieve specific objectives and should be linked with each other. Presents the theoretical foundations of the rely on of the theorem and axioms described in earlier articles. The actions are described on the example of the methods of neural networks with a direct link and MATLAB. The result are the simulation results of the ACTIONS using neural networks in MATLAB to evaluate the relationship of targeted systems.
Введение
Как правило, исследования систем, определяемых как целенаправленные, направлены на изучение их поведения для получения какого-либо ресурса, тем более, если данный ресурс имеет ограничения.
Поэтому действия определяют условия выполнения чего-либо как для одной системы, так и их совокупности, то есть не менее двух взаимодействующих систем одновременно. В этом случае совершенствование теоретических основ математического моделирования для описания целенаправленных систем, базирующихся на математическом подходе описания действия [1—8], и их совокупностей с оценкой достижения конечной цели является своевременной и актуальной задачей.
1. Теоретические предпосылки математического моделирования действия для описания целенаправленных дискретных и непрерывных систем
Под ДЕЙСТВИЕМ будем понимать взаимосвязь как минимум двух систем, определяющую изменение выходных параметров одной системы и формирующую изменение хотя бы одного входного параметра у другой системы. Схематично понятие ДЕЙСТВИЯ представлено на рис. 1.
Так как одна из целенаправленных систем (purposeful system) Si имеет свою цель, а другая целенаправленная система Sj — свою (которые они должны достичь), то взаимосвязь таких систем предлагается формулировать с точки зрения систем управления на основе описания взаимосвязи входных сигналов (параметров) системы Sj и выходных сигналов (параметров) системы Si.
Вх,. Выхг Вху Вых1 .
-V, Выхп! Действие D k Вху BbvcpJ
X s. I У 8. г Дys. ' j X SJ
Рис. 1. ДЕЙСТВИЕ для дискретных систем
С помощью такого подхода предлагается оценивать действия как для дискретных систем, так и для непрерывных.
Применительно к дискретным системам математически это можно представить в следующем виде:
А у, Д А х, или Д =А ^ ДА или Д X = Д (Д , С1)
г j 1 } -1 1
где у8 — выходные сигналы (параметры) системы 81, х8 — входные сигналы (парамет-
I j
ры) системы Sj, д уБ — изменение выходных сигналов (параметров) системы 81, д х —
1 j
изменение входных сигналов (параметров) системы Sj, д — взаимосвязь к-го ДЕЙСТВИЯ.
Применительно к непрерывным системам математически это можно представить в следующем виде:
-=(г)
йУз
(2)
йг йг
где у — выходные сигналы (параметры) системы 81, х8 — входные сигналы (пара-
метры) системы Sj,
4 Уз1
йг
— изменение выходных сигналов (параметров) системы 81 во
времени (скорость изменения выходных сигналов (параметров) системы 8), _^ — из-
йг
менение входных сигналов (параметров) системы Sj во времени (скорость изменения входных сигналов (параметров) системы Sj), Бк(г) — взаимосвязь к-го ДЕЙСТВИЯ во времени (рис. 2).
ах
(1 у лд-
(Н
(Н
<уг (И
Я,
Л«* Действие О ! й.у. Вых
(Н
Рис. 2. ДЕЙСТВИЕ для непрерывных систем
2. Описание действий с использованием аппарата нейронной сети в среде МЛТЬЛБ для дискретных систем
В данной работе для описания ДЕЙСТВИЙ дискретных систем предлагается использовать метод нейронных сетей. Ввиду этого осуществляется моделирование описаний ДЕЙСТВИЙ для взаимодействующих систем с использованием входов, выходов и двух слоёв нейронной сети: скрытого и выходного (рис. 3). Основой такого моделирования выбран метод нейронных сетей с прямой связью, который позволяет описывать математически ДЕЙСТВИЯ взаимосвязанных систем за счёт формирований скрытого и выходного слоёв, обеспечивающих связь дискретных выходных сигналов первой системы и входных дискретных сигналов второй системы Б2.
Рис. 3. Описание ДЕЙСТВИЙ для взаимодействующих систем на основе использования нейронной сети с прямой связью
На рис. 3 R определяет количество входов для первой системы. Кроме того, для моделирования нейронной сети необходимо определять количество планируемых экспериментов. Если, например, у первой системы S1 имеется пять входов и будет выполнено восемнадцать экспериментов, то для MATLAB должен быть определён входной массив размерностью 5 на 18 (рис. 4, а). Также предлагается за счёт скрытого уровня нейронной сети задать количество нейронов, которые определяют ДЕЙСТВИЯ взаимодействующих систем S1 и S2. В примере задаём количество нейронов равное 40 (рис. 4, б). В скрытом уровне также необходимо определить вес W каждой входной величины R и её смещение Ь.
а) б)
Рис. 4. Формирование данных нейронной сети для описания ДЕЙСТВИЙ в MATLAB двух взаимосвязанных систем с дискретными входами и выходами
На выходе необходимо указать количество целей T для планируемых экспериментов и соответственно задать массив, который определяется количеством целей системы и количеством экспериментов. При условии, если цель одна, массив задаётся размерностью 1 на 18 (рис. 4, а).
Также следует отметить, что в MATLAB при определении количества входных сигналов системы сразу определяется минимальное количество необходимых экспериментов. Так, для пяти входов системы MATLAB определяет, что количество экспериментов должно быть не меньше 18. Результаты моделирования ДЕЙСТВИЙ в MATLAB представлены на рис. 5.
Рис. 5. Результаты моделирования ДЕЙСТВИЙ в MATLAB
Пусть для дискретных систем ДЕЙСТВИЕ определяет следующие условия его формирования (наличия):
1. Для первой системы Х должно быть сформировано непустое множество выходов, то есть {^ 0.
2. Выходы ду8 первой системы Х должны быть связаны с входами дх второй
1 ^
системы Я]- через функцию связи д.
3. Для второй системы должно быть сформировано непустое множество входов, то есть | }*0.
Пусть непустое множество выходов {удля первой системы & является
полной группой событий, тогда сумма вероятностей у ) всех выходов должна быть
к=1
равна 1 и, следовательно, множество выходов | у | можно представить как вектор вероятностей событий, выполненных системой в виде вектора-строки , ^, ^,^ |.
Выполнение каждого вероятностного исхода может быть представлено в виде вектора-строки их реализаций. Так, в чёткой логике может быть два исхода реализации вероятностей для каждого выходного сигнала (параметра): либо она выполнена в полном объеме (элемент вектора-строки выполнения вероятностного исхода равен единице), либо она не выполнена вообще (элемент вектора-строки выполнения вероятностного исхода равен нулю).
Применительно к нечёткой логике может быть множественное количество исходов, описываемых функциями принадлежности. Причём взаимодействие функций принадлежности для каждой лингвистической переменной, описывающей выходные сигналы (параметры) системы может быть описано правилами принятия решений, определяющими взаимосвязь между выходными сигналами (параметрами) системы & и входными сигналами (параметрами) системы при условии, что множество входных сигналов (параметров) системы не является пустым: {X }*0 и что отдельный входной сигнал (параметр) системы не равен нулю: Хх * 0, то есть имеется хотя бы один
входной сигнал (параметр), который у неё изменился.
Поэтому для использования метода теории нечеткой логики целесообразно выработать подход для построения функций принадлежности в МЛТЬЛВ: как для входных нечетких переменных, так и для выходных нечётких переменных. В этом случае определяются понятия для лингвистических переменных. Например, возьмём такие лингвистические переменные, как «не связаны», «слабо связаны», «связаны» и «сильно связаны» и построим функции принадлежности для нечетких переменных в среде MATLAB.
В данной работе предлагается следующий метод определения граничных значений для функций принадлежности лингвистических переменных «не связаны», «слабо связаны», «связаны» и «сильно связаны». Например, если необходимо оценить связь 10 ДЕЙСТВИЙ выходных сигналов системы & с входными сигналами X- системы 5-, то воспользуемся оценкой двух десятков экспертов.
Пусть Дк=10, а экспертов 20 человек. Тогда на основе результатов опроса предлагается рассчитывать выходную количественную характеристику лингвистической переменной «не связаны» по оценке граничных значений у функции принадлежности
йп1. Такие значения предлагается вычислять для лингвистической переменной zl «не связаны» следующим образом (3):
zl = (0|20+1116+210+310+410+5|0+610+7|0+810++9|0+10|0)/(20+16)=(0-20+1-16+2^0+ +3-0+4-0++5-0+6-0+7-0+8-0+9-0+Ш-0)/36 =16/36=0,44. (3)
В числителе (3) в круглых скобках цифра слева от вертикальной черты обозначает числовое значение лингвистической переменной, определяющей понятие данной лингвистической переменной, а цифра справа от вертикальной черты обозначает количество экспертов, которые отдали предпочтение данному числовому значению лингвистической переменной. Например, в первых круглых скобках (3) первая вертикальная черта определяет, что для понятия «не связаны» значению 0 отдали предпочтение все двадцать экспертов, значению 1 отдали предпочтение только 16 экспертов, а всем оставшимся числовым значениям для понятия «не связаны» ни один эксперт не отдал предпочтения. В знаменателе (3) выполняется суммирование количества экспертов, которые дали экспертную оценку в определении числового значения лингвистической переменной. Результатом вычисления для лингвистической переменной zl «не связаны» является значение 0,44.
С целью определения выходной количественной характеристики лингвистической переменной Z2 «слабо связаны» по оценке граничных значений у функции принадлежности йп2 использовались значения, представленные в виде зависимости (4):
z2=(0|0+1|20+2|8+3|1+4|0+5|0+6|0+7|0+8|0+ +9|0+10|0)/(20+8+1)=39/29=1,34. (4)
Результатом вычисления для лингвистической переменной Z2 «слабо связаны» является значение 1,34.
С целью определения выходной количественной характеристики лингвистической переменной zз «связаны» по оценке граничных значений у функции принадлежности ^3 использовались значения, представленные в виде зависимости (5):
zз=(0|0+1|0+2|6+3|8+4|20+5|20+6|5+7|0+8|0++9|0+10|0)/59=246/59=4,16. (5)
Результатом вычисления для лингвистической переменной zз «связаны» является значение 4,16.
С целью определения выходной количественной характеристики лингвистической переменной Z4 «сильно связаны» по оценке граничных значений у функции принадлежности ^4 использовались значения, представленные в виде зависимости (6):
z4=(0|0+1|0+2|0+3|3+4|6+5|9+6|20+7|20+8|20+9|20+10|20)/118=878/118 =7,44. (6)
Результатом вычисления для лингвистической переменной Z4 «сильно связаны» является значение 7,44.
Далее все значения результатов вычислений для лингвистических переменных необходимо нормировать, что даёт следующие результаты: zl — 0,06; Z2 — 0,18; zз — 0,56; Z4 — 1. Полученные результаты и являются граничными параметрами для функций принадлежностей йп1, ^2, йп3 и ^4.
Функции принадлежности для входных лингвистических переменных с определёнными в работе границами представлены на рис. 6.
Рис. 6. Функции принадлежности для лингвистических переменных «не связаны», «слабо связаны», «связаны» и «сильно связаны» в MATLAB
Аналогичным способом формируются выходные нечёткие переменные системы, а далее, используя метод Мамдани или Сугено, необходимо составить правила взаимодействия между переменными входа и выхода, которые определяются с помощью связующего оператора «and» или «or». Правила должны оценивать взаимосвязи, которые показывают правильность выбора функций принадлежности для входных нечетких переменных «не связаны», «слабо связаны», «связаны» и «сильно связаны» и выходных нечетких переменных.
Заключение
Таким образом, использование теоретических основ математического моделирования ДЕЙСТВИЯ для описания целенаправленных дискретных систем позволяет применять аппарат нейронной сети и аппарат нечёткой логики в среде MATLAB, что представлено в данной работе. Причём такой подход позволяет описывать дискретные системы с использованием методов как чёткой логики, так и нечёткой для описания как самих лингвистических переменных входов и выходов для дискретных систем, так и их функций принадлежности с формируемыми границами для них.
Данные вопросы, а также процесс математического моделирования ДЕЙСТВИЯ для описания целенаправленных непрерывных систем с использованием аппарата нейронной сети и аппарата нечёткой логики в среде MATLAB будут рассмотрены более подробно в дальнейших работах авторов.
150
ЛИТЕРАТУРА
1. Лавлинский В. В., Иванова О. Г. Формирование моделей и методов взаимодействия информационных процессов // Прикладная физика и математика. — 2015. — № 4. — С. 49—61.
2. Лавлинский В. В. Теоретические предпосылки решения проблем формирования моделей и методов взаимодействия информационных процессов // Моделирование систем и процессов. —2013. —№ 2. — С. 30—36.
3. Сербулов Ю. С., Лавлинская О. Ю., Лавлинский В. В. Мера информации в задачах выбора и распределения информационных ресурсов // Инженерная физика. — 2010. — № 4. — С. 7—8.
4. Лавлинский В. В., Иванова О. Г. Формирование моделей и методов взаимодействия информационных процессов // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. — 2014. — № 5. — С. 39—50.
5. Зубрицкий П. Ю., Лавлинский В. В. Информационное обеспечение для оценки пороговых значений в распознавании релевантных свойств информационных объектов в условиях априорной неопределенности // Вестник Воронежского государственного технического университета. — 2011. — Т. 7. — № 6. — С. 209—214.
6. Лавлинский В. В., Рогозин Е. А., Яньшин С. Н. Теоретические основы математического моделирования для описания целенаправленных систем // Вестник Воронежского института МВД России. — 2017. — № 2. — С. 143—153.
7. Лавлинский В. В. , Лядов В. В., Песецкая Т. В., Склярова С. В. Метод снижения неопределённости при нахождении оценки психологической особенности человека // Моделирование систем и процессов. — 2016. — № 3. — С. 27—33.
8. Лавлинский В. В., Лавлинская О. Ю. Информационные технологии оценки взаимосвязи преподаваемых дисциплин на основе методов нечеткой логики среды Matlab // Вестник ВИВТ. — Воронеж, 2008. — № 3. — С.107—112.
REFERENCES
1. Lavlinskiy V. V., Ivanova O. G. Formirovanie modeley i metodov vzaimodeystviya in-formatsionnyih protsessov // Prikladnaya fizika i matematika. — 2015. — # 4. — S. 49—61.
2. Lavlinskiy V. V. Teoreticheskie predposyilki resheniya problem formirovaniya modeley i metodov vzaimodeystviya informatsionnyih protsessov // Modelirovanie sistem i protsessov. —2013. —# 2. — S. 30—36.
3. Serbulov Yu. S., Lavlinskaya O. Yu., Lavlinskiy V. V. Mera informatsii v zadachah vyi-bora i raspredeleniya informatsionnyih resursov // Inzhenernaya fizika. —2010. — # 4. — S. 7—8.
4. Lavlinskiy V. V., Ivanova O. G. Formirovanie modeley i metodov vzaimodeystviya informatsionnyih protsessov // Priboryi i sistemyi. Upravlenie, kontrol, diagnostika. — 2014. — # 5. — S. 39—50.
5. Zubritskiy P. Yu., Lavlinskiy V. V. Informatsionnoe obespechenie dlya otsenki porogovyih znacheniy v raspoznavanii relevantnyih svoystv informatsionnyih ob'ektov v usloviyah apriornoy neopredelennosti // Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tehnich-eskogo universiteta. — 2011. — T. 7. — # 6. — S. 209—214.
6. Lavlinskiy V. V., Rogozin E. A., Yanshin S. N. Teoreticheskie osnovyi mate-maticheskogo modelirovaniya dlya opisaniya tselenapravlennyih sistem // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2017. — # 2. — S. 143—153.
7. Lavlinskiy V. V. , Lyadov V. V., Pesetskaya T. V., Sklyarova S. V. Metod snizhe-niya neopredelyonnosti pri nahozhdenii otsenki psihologicheskoy osobennosti cheloveka // Modelirovanie sistem i protsessov. — 2016. — # 3. — S. 27—33.
8. Lavlinskiy V. V., Lavlinskaya O. Yu. Informatsionnyie tehnologii otsenki vzai-mosvyazi prepodavaemyih distsiplin na osnove metodov nechetkoy logiki sredyi Matlab // Vestnik VIVT. — Voronezh, 2008. — # 3. — S.107—112.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Лавлинский Валерий Викторович. Профессор кафедры вычислительной техники и информационных систем. Доктор технических наук, доцент.
Воронежский государственный лесотехнический университет имени Г. Ф. Морозова.
E-mail: vglta@vglta.vrn.ru
Россия, 394087, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8. Тел. (473) 253-78-47.
Рогозин Евгений Алексеевич. Профессор кафедры автоматизированных информационных систем ОВД. Доктор технических наук, профессор.
Воронежский институт МВД России.
E-mail: evgenirogozin@yandex.ru
Россия, 394065, г. Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. (473) 200-51-82.
Яньшин Сергей Николаевич. Ведущий научный сотрудник управления НИИ РЭБ. Кандидат технических наук, доцент.
Военный учебно-научный центр ВВС «Военно-воздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина» (г. Воронеж).
E-mail: yanshin@list.ru
Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54 а. Тел. (950) 750-08-88.
Lavlinskiy Valeriy Victorovich. Professor of the chair of Computer Science and Information Systems. Doctor of Technical Sciences, Assistant Professor.
Voronezh State University of Forestry and Technologies named after G. F. Morozov.
E-mail: vglta@vglta.vrn.ru
Russia, 394087, Voronezh, Timiryazev Str., 8. Tel. (473) 253-78-47.
Rogozin Evgeniy Alekseevich. Professor of the chair of Automatic Informative Systems of the Law Enforces Agencies. Doctor of Technical Sciences, Professor.
Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.
E-mail: evgenirogozin@yandex.ru
Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. (473) 200-51-82.
Yanshin Sergey Nikolaevich. Leading researcher of the department of Scientific Research Institute of Electronic Warfare. Candidate of Engineering Sciences, Assistant Professor.
Air Force Academy named after Professor N. E. Zhukovskiu and Y. A. Gagarin.
E-mail: yanshin@list.ru
Work address: Russia, 394064, Voronezh, Starykh Bolshevikov Str., 54 a. Tel. (950) 750-08-88.
Ключевые слова: модели; математическое моделирование; целенаправленные системы; цель; действие; взаимодействие; противодействие.
Key words: models; mathematical modeling; purposive system; the purpose; activity; interaction; opposition.
УДК 004.9
