Теоретические основы формирования метода геометрических мест точек при решении задач на построение на плоскости и в пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1.Ушинский, К.Д. Общий взгляд на возникновение наших народных школ // Избранные педагогические сочинения. - М.: Педагогика, 1974. -Т.2.

2.Буряк, В.К. Самостоятельная работа учащихся: Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1984.

3.Усова, А. В. Самостоятельная работа учащихся по физике в средней школе / А.В. Усова, З.А. Вологодская. - М.: Просвещение, 1981.

4.Российская педагогическая энциклопедия / гл. ред. В.В. Давыдов. - М.: Большая Росс. энциклопедия, 1999. - Т. 2.

5.Организация самостоятельной работы студентов по педагогическим дисциплинам: учебно-методический комплекс / под ред. А.П. Тряпицы-ной. - СПб.: Изд-во РПГУ им. А.И. Герцена, 2009. - Ч.1.

Статья поступила в редакцию 14. 06.10

УДК 372.851.4

О.Н. Веретенникова, преп. ГГПИ, г. Глазов, Е-mail: vereton@rambler.ru

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ МЕТОДА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ ТОЧЕК ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

В статье описана методика обучения учащихся решению задач на построение на плоскости и в пространстве методом геометрических мест точек в рамках деятельностного подхода с помощью выделения обобщенного приема решения задач данным методом и его целенаправленного формирования.

Ключевые слова: прием учебной деятельности, этапы формирования приема, метод геометрических мест точек.

Задачи на построение отличаются широкими возможностями выбора методов их решения, разнообразными приложениями в практической деятельности, богатыми межпредметными и внутрипредметными связями; приобщают учащихся к посильным самостоятельным исследованиям; способствуют пониманию происхождения различных геометрических фигур, возможности их преобразования; связаны практически со всеми разделами школьного курса геометрии, что позволяет использовать их как средство повторения, обобщения и систематизации изученного геометрического материала. Поэтому на протяжении многих лет они вызывают интерес ученых-методистов.

В методике обучения планиметрии особенно часто встречаются работы, касающиеся обучения учащихся решению задач на построение методом геометрических преобразований, а в методике обучения стереометрии - выполнению построений на проекционном чертеже. Метод геометрических мест точек, также встречающийся в школьных учебниках, недостаточно исследован. Трудности, возникающие при обучении решению задач данным методом, связаны с ограниченностью времени их изучения, небольшим количеством задач, предлагаемых учебниками геометрии, и отсутствием эффективной методики обучения решению таких задач. В связи с этим при изучении математики (в качестве эффективной методики) особую значимость приобретает выделение обобщенного приема решения задач на построение методом геометрических мест точек и его целенаправленное формирование.

Изучением приемов учебной деятельности и процесса их формирования у учащихся занимались многие ученые (Д. Пойа, Ю.М. Колягин, О.Б. Епишева и В.И. Крупич, Г.И. Саранцев, Л.М. Фридман, Г.Д. Балк, Л.О. Денищева, С.В. Арют-кина, Г.Х. Воистинова, И.В. Гайдамакина, Г.Н. Ермакова и др.). Анализ и обобщение их работ позволяет определить прием деятельности как систему (совокупность) действий, выполняемых в определенном порядке и служащих для решения учебных задач. В процессе его формирования можно выделить четыре основных этапа, при прохождении которых будет достигаться формирование обобщенного приема решения геометрических задач на построение методом геометрических мест точек.

Попытка выделения общего приема решения задач на построение методом геометрических мест точек на плоскости была предпринята О.Б. Епишевой и В.И. Крупичем [1], но авторы ограничились описанием только двух этапов решения задач на построение - анализом и построением. Приема, охватывавшего все этапы решения задач на построение методом геометрических мест точек, а также приема, относящегося к стереометрическим задачам, сформулировано не было. Кроме

того, не рассматривалась проблема формирования сформулированного приема.

Для определения полного состава приема решения задач указанным методом были проанализированы особенности каждого этапа решения геометрических задач на построение методом геометрических мест точек, подходы разных авторов к определению состава приема и решения конкретных задач, и выделен перечень действий (умственных или практических), последовательное выполнение которых приведет к решению задачи. Состав приема решения стереометрических задач на построение методом геометрических мест точек существенно не отличается от соответствующего приема на плоскости. Его модификация обусловлена тем, что, во-первых, наравне с плоскими фигурами могут быть заданы в условии задачи или получены в ответе, поверхности (плоскости, сферы и т.д.); и, во-вторых, фактическое построение заменяется воображаемым (в уме). Поэтому изменения касаются не состава приема, а интерпретации некоторых действий, входящих в него: 1) во всех действиях, упоминающих данные или искомые фигуры, под словом «фигура» понимаем как плоскостные, так и пространственные объекты (т.е. учитываем возможность иметь поверхности по условию задачи или получить их по построению); 2) в действиях, требующих выполнения построений, под словами «построить фигуру» будем понимать указание, в какой последовательности и какие нужно выполнять построения, чтобы решить задачу, и возможно создание при необходимости примерного чертежа.

В результате проведённого исследования состав обобщенного приема решения задач на построение на плоскости и в пространстве методом геометрических мест точек можно представить так:

1. Определить, какие геометрические фигуры заданы условием задачи и какую фигуру требуется построить; с помощью чертежа-наброска установить отношения, свойственные им.

2. Установить, расположение какой точки необходимо знать для того, чтобы построить искомую фигуру, и сформулировать условия, определяющие это расположение.

3. Назвать геометрические места точек (или фигуры), удовлетворяющие каждому из этих условий; построить их.

4. Найти общие точки названных (построенных) фигур; построить искомую фигуру.

5. Доказать, что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи.

6. Установить условия разрешимости задачи и определить число решений:

а) установить выполнимость каждого отдельного шага построения;

б) установить, при каких условиях задача имеет решение и количество решений.

В процессе формирования приема решения задач на построение методом геометрических мест точек можно выделить (как уже было сказано) четыре этапа. Охарактеризуем методические особенности каждого этапа.

Первый этап - подготовительный. На этом этапе необходимо обеспечить мотивацию изучения обобщенного приема решения задач на построение методом геометрических мест точек и актуализацию знаний, необходимых для решения задач на построение этим методом. К ним относятся: знание определения геометрических фигур и геометрических мест точек плоскости (пространства); умение строить известные геометрические фигуры и геометрические места точек (умение мысленно представить известные геометрические фигуры и геометрические места точек пространства и строить их схематические изображения); умение распознавать геометрические фигуры и геометрические места точек на чертеже и в условии задачи; умение определять взаимное расположение геометрических фигур, тел, поверхностей; умение находить точки и линии пересечения геометрических фигур.

Решение стереометрических задач методом геометрических мест точек требует развитого пространственного воображения, поэтому необходимо в этот блок включить задания, которые на следующих этапах облегчили бы пространственное представление фигур и поверхностей, их взаимосвязи и взаимное положение.

Кроме сведений, перечисленных выше, необходимо также вспомнить четырехэтапную схему решения задач на построение - анализ, построение, доказательство, исследование и содержание каждого этапа данной схемы.

После того, как выделены все знания и умения, необходимые для успешного усвоения приема решения задач на построение методом геометрических мест точек, преподаватель может разработать набор заданий, позволяющих восстановить их в памяти учащихся.

Следующий этап - ознакомление с приемом, целью которого является разъяснение учащимся структуры приема, каждого действия, входящего в эту структуру. Исследования методистов в рамках деятельностного подхода показывают, что неэффективно давать прием в готовом виде, а целесообразнее организовать самостоятельное открытие его учащимися. Тогда этот этап распадается на две ступени: 1) решение задач «по соображению» - на основании изученной теории, по аналогии с известными ранее приемами, на основании обобщения и переноса известного приема, интуитивно и т.п.; 2) осознание учащимися действий по решению каждой частной задачи (как правило, с помощью ответов на вопрос преподавателя: «Выделите и перечислите по порядку, какие действия вы делаете для решения данной задачи»), а затем на основе анализа и сравнения частных приемов, находя общие и отличительные действия в каждом из частных приемов, строится обобщенный прием, содержание которого фиксируется в виде правила, памятки, инструкции, блок-схемы и т.п. Фиксация введенного приема - важный момент второго этапа, т.к. учащиеся должны иметь возможность обращаться к нему [1].

Для того чтобы учащимися были выделены и осознаны действия, входящие в состав обобщенного приема решения задач на построение методом геометрических мест точек, на этом этапе должны решаться задачи, различающиеся по: используемым множествам точек и их количеству, наличию или отсутствию параметров, числу решений. Количество задач может варьироваться в зависимости от умения учащихся обобщать полученные теоретические сведения; порядок предъявления их учащимся подчиняется принципу "от простого к сложному".

На этапе усвоения приема необходимо обеспечить усвоение состава действий обобщенного приема решения задач на построение методом геометрических мест точек, его применение в стандартных ситуациях, т.е. обучаемым следует предложить такие задачи, частные приемы решения которых должны охватывать все действия из состава обобщенного

приема решения задач на построение методом геометрических мест точек, допускать варьирование их операционного состава, соответствовать основным положениям теории поэтапного формирования умственных действий.

Согласно основным положениям теории поэтапного формирования умственных действий в этом блоке должно быть не менее четырех задач [2], в целом же количество задач зависит от уровня математической подготовки учащихся. Порядок предъявления задач на данном этапе не важен. Результатом решения этого блока задач должно стать усвоение состава обобщенного приема.

Последний этап формирования обобщенных приемов решения задач на построение методом геометрических мест точек - этап переноса обобщенного приема в нестандартные ситуации, возможно также и его преобразование. Направления преобразования приема определяют задачи, при решении которых происходит уменьшение числа действий, увеличение числа действий, включение новых действий в состав обобщенного приема решения задач на построение методом геометрических мест точек. Это такие задачи, как, например, задачи с нестандартной формулировкой; планиметрические задачи, решаемые с привлечением пространственных аналогов; задачи, решаемые без использования приема; более трудные задачи, например, со сложным исследованием или требующие развитых пространственных представлений и др. Количество задач зависит от уровня математической подготовки школьников и от целей обучения (если предполагается углубленное изучение предмета, развитие математических способностей учащихся, то количество задач увеличивается). В ходе их решения необходимо акцентировать внимание учащихся на преобразовании состава обобщенного приема. Результатом решения задач этого блока может стать сформированное умение преобразовывать состав обобщенного приема и решать нестандартные задачи на построение на плоскости и в пространстве методом геометрических мест точек.

Для эффективного усвоения приема решения задач на построение методом геометрических мест на каждом из выделенных этапов необходима активная деятельность учащихся по решению задач, причем задачи должны быть подобраны так, чтобы в процессе их решения каждый этап формирования приема был успешно пройден учащимися.

В существующих учебных пособиях по геометрии как для общеобразовательных школ, так и для школ с углубленным изучением математики содержится очень небольшое количество задач на применение метода геометрических мест точек или они вовсе отсутствуют. Поэтому для обучения учащихся решению таких задач необходимо разработать систему упражнений (задач), ориентированную на формирование обобщенного приема решения задач на построение методом геометрических мест точек.

В методической литературе встречаются различные исследования по вопросу составления систем упражнений, циклов, блоков, цепочек задач. В последнее время на первый план выдвигается классификация (группировка) упражнений (задач) по их месту в процессе обучения математике [3]. Согласно теории учебной деятельности это место заключается в принадлежности к тому или иному этапу процесса формирования приемов учебной деятельности. В связи с тем, что нами выделено четыре основных этапа в процессе формирования приема, то и задачи целесообразно представить в виде четырех взаимосвязанных блоков. Особенности каждого блока задач зависят от специфики соответствующего этапа в процессе формирования приема и могут быть подобраны с учетом данных методических рекомендаций. Кроме того, задачи каждого блока можно (а для первого блока задач необходимо) подобрать таким образом, чтобы они являлись подготовительными для задач последующего блока. Так будет осуществлен циклический подход к организации задач. В свою очередь для планиметрических задач первого блока подготовительными будут являться задачи, решаемые при изучении текущих тем в 5-7 классах, в состав приема решения которых входят выделенные действия. Кроме того, целесообразно специально включать в

разные темы задачи, системы упражнений на отработку одного или нескольких действий в качестве пропедевтики метода геометрических мест точек (например, более сложных действий, одним из которых является действие «установить, при каких условиях задача имеет решение и количество решений»).

Разработав, таким образом, систему упражнений, учитывающую изложенные рекомендации, мы решим проблему недостатка задач на применение метода геометрических мест

Библиографический список

точек (в планиметрии и стереометрии) в действующих учебниках геометрии, а также обеспечим успешное прохождение каждого этапа процесса формирования приема и соответственно его усвоение.

Таким образом, сформулированный прием и целенаправленное его формирование с помощью специальной системы упражнений, состоящей из четырех блоков задач, позволят более эффективно обучать учащихся решению задач на построение методом геометрических мест точек.

1. Епишева, О.Б. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учеб. деятельности: Кн. для учителя / О.Б. Епишева, В.И. Крупич. - М.: Просвещение, 1990.

2. Талызина, Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников: кн. для учителя. - М: Просвещение, 1988.

3. Саранцев, Г.И. Упражнения в обучении математике. - М.: Просвещение, 2005.

Статья поступила в редакцию 12.06.10

УДК 378.147

Р. М. Зайкин, канд. пед. наук, доц. АГПИ, г. Арзамас, E-mail: doktorzaykin@rambler.ru О ВИДОВОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРОФЕССИОНАЛЬНО ОРИЕНТИРОВАННЫХ ЗАДАЧ

Выделяются виды профессионально ориентированных задач, используемых в практике обучения математике, приводится описание каждого из них. Характеризуются возможности этих видов задач в реализации профессиональной направленности обучения математике на гуманитарных специальностях вузов.

Ключевые слова: математическая подготовка, профессиональная направленность обучения, сюжетная задача, профессионально ориентированная задача, видовое многообразие.

Под математической профессионально ориентированной задачей, чаще всего, понимают сюжетную задачу, фабула которой заимствована из той или иной сферы профессиональной деятельности человека, а решение отыскиваются математическими средствами [1, с. 23]. Такие задачи играют большую роль в математической подготовке специалистов самых различных сфер практической деятельности человека. Профессионально ориентированные задачи, используемые в математической подготовке специалистов гуманитарного профиля, можно различать, прежде всего, по их доминирующей функциональной направленности.

Если фабула математической задачи содержит такое профессионально значимое содержание, которое информационно важно для обучаемых, привлекает их внимание, а тем самым, и активизирует их учебно-познавательную деятельность, то такая задача, в первую очередь, будет способствовать повышению познавательного интереса студентов к изучению математики. Она также будет способствовать и развитию интереса к будущей профессии обучаемого. В некоторой мере она будет помогать осуществлять и другие направления реализации профессиональной направленности обучения математике. Такие задачи можно называть профессионально мотивирующими (ПМЗ).

Если фабула математической задачи содержит такое профессионально значимое содержание, которое позволяет раскрывать применение математических методов в сфере будущей профессиональной деятельности обучаемого, то такая задача, в первую очередь, реализует третье из выделенных нами направлений профессиональной направленности обучения. Такого рода математические задачи можно называть профессионально прикладными (ППЗ).

Если фабула математической задачи содержит такое профессионально значимое содержание, которое позволяет, осуществлять развитие профессионально значимых качеств личности обучаемых, то такая задача, в первую очередь, реализует четвертое из основных направлений. Подобные задачи можно называть профессионально развивающими (ПРЗ).

Очевидно, выделение названных видов профессионально ориентированных математических задач во многом условно.

Важно принимать в расчет не все функции каждого вида, а лишь доминирующие. Разумно полагать также, что каждый из выделенных видов может быть подразделен на несколько самостоятельных подвидов.

Общее представление о возможностях охарактеризованных выше видов задач в реализации направлений профессиональной направленности обучения приведено на схеме 1. (Жирными стрелками здесь и далее выделены те направления, на реализацию которых применение соответствующего вида задач будет направлено в первую очередь, а пунктирными стрелками - направления, реализующиеся при применении соответствующего вида задач опосредованно).

Мера профессиональной направленности математической задачи будет зависеть от способа и объема представления в ней профессионального значимого содержания, а также от силы его воздействия на личность решающего задачу.

Поскольку всякая математическая профессионально ориентированная задача есть задача сюжетная [2, с. 20], то, очевидно, что профессионально значимое для обучаемого содержание ее фабулы будет содержаться в составляющих ее сюжета.

Тогда понятно, что профессионально ориентированные задачи можно различать еще и по содержательнопрофессиональному критерию, а, точнее говоря, по представленности в компонентах ее сюжета профессионально значимого (нематематического) содержания. Очевидно, что в случае, когда профессионально значимое содержание будет присутствовать во всех составляющих сюжета задачи, то она будет близка к профессиональной, и, напротив, в случае, когда профессионально значимое содержание будет отсутствовать во всех составляющих сюжета задачи, она будет являться просто математической. Все остальные случаи будут занимать промежуточные положения между этими двумя крайними. Теоретически возможные варианты представленности профессионально значимого содержания в составляющих сюжета задачи приведены в таблице 1.