CC BY
24
УДК 51
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
© А.А. Папышев
Papyshev A. A. Theoretical model ol' mathematical problems system. The article reveals the didactic conditions of the realization of the developing education basic demands and aims. These demands and aims are necessary for implementing the developing education at the lessons of mathematics as well as for forming mathematical notions such as «an exercise» and «a problem». The article reveals the connection between these two notions on the basis of which the theoretical model system of mathematical problems was worked out.
Концепция задачи как явления обучения математике должна учитывать особенности математического знания и его усвоения. Специфика математики как науки состоит в том. что она специально выделяет количественные отношения и пространственные формы, которые присущи всем без исключения предметам и явлениям. и делает их объектом своего исследования. При обращении математических понятий отвлекаются от конкретного, качественного содержания изучаемых объектов и отношений. Эта характерная особенность, присущая математическому познанию в целом, была отмечена Ф. Энгельсом [1] в «Анти-Дюринге». Чтобы исследовать количественные отношения и пространственные формы в чистом виде, — писал он, — «необходимо совершенно отделить их от содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии. лишенные толщины и ширины, равные а и Ь, х и у, постоянные и переменные величины...».
Специфика предмета математики обусловливает ряд особенностей математической абстракции [2, 3]. Чтобы выделить количественные отношения и пространственные формы в «чистом» виде, математик должен применить абстракцию «наибольшей силы». Абстрагирование в математике чаше всего осуществляется через ряд последовательных ступеней обобщения. В математике преобладают абстракции от абстракций. Следующая особенность математичкой абстракции состоит в использовании идеальных объектов. В образовании математических понятий большое место занимают различные абстракции осуществимости. Следует отметить широкое использование в математике символического языка и алгоритмических процессов. Особенность математического познания состоит также в том, что многие системы абстракции в математике, возникнув на базе опыта и практики или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращения к опыту, важнейшей особенностью математики, которая отличает ее как от естествознания. так и от опытных наук вообще, является дедуктивный характер ее доказательств. В •экспериментальных науках мы постоянно обращаемся к наблюдениям и опытам (экспериментам), чтобы проверить тс или иные утверждения. Совершенно иначе обстоит
дело в математике. Теорема считается доказанной только в том случае, если она логически выделена из аксиом и ранее доказанных теорем.
При всей своей абстрактности математические знания возникли из практики и применяются в практике, поэтому преподавание математики обязательно должно связывать ее с реальными вещами, с другими дисциплинами. Это требование к усвоению математики особо подчеркивает функцию задач служить средством связи теории с практикой. Высокая степень абстракции математических понятий требует особого внимания к их формированию. Важное место в этом процессе должно быть отведено мотивации: введению понятия мотивации, его определению, усвоению определения. Изучение теорем требует их мотивации, усвоения формулировки теорем, понимания каждого слова, используемого в формулировке, применения, систематизации понятий и теорем. В статье «О геомегрии» [4| академик А.Д. Александров подчеркивает, что особенностью геометрии, выделяющей ее не только среди остальных частей математики, но и среди других наук, является то, что в ней самая строгая логика соединена с наглядным представлением. Утверждения г еометрии. - отмечает он, - высказываются и доказываются для идеальных геомегрических объектов, но воспринимаются как утверждения об объектах наглядно представимых и применяются к реальным вешам, в которых объекты реализуются очень условно. Поэтому каждый элемент курса геометрии (аксиома, теорема, определение) должен опираться на возможно более простое и ясное наглядное представление. Соответственно этому изложению следует начинать с наглядной картины - с рисунка па доске, описания, показа модели, рассмотрения примеров. Вместе с рисунком должно идти разъяснение его пространственного содержания, возбуждающее верное пространственное представ]ієние. Логически организованное представление даег нужную формулировку определения или теоремы. Переходя от наглядных представлений и примеров к формулировкам, нужно внимательно связать их с наглядным представлением. Оперирование математическими объектами, приводящее к открытию их свойств, должно предшествовать логическому установлению этих свойств. Все это выдвигает повышение требования к формированию
математических понятий и умений. В частности, в формировании умений особую значимость приобретает материализованный этап. т. е. выполнение задач на непосредственное оперирование моделями математических объектов, а также осуществление связи теории с практикой.
Логика математики заключена не только в отдельных понятиях, теоремах и доказательствах, но и во всей системе в целом. Поэтому усвоение математики невозможно без систематизации знаний по различным основаниям, что осуществляется посредством выполнения специальных задач. Применение понятий, теорем и формул в различных конкретных ситуациях предполагает владение следующими действиями: распознавать объекты, выводить следствия из непосредственно заданной информации, переосмысливать объекты в плане других понятий, переходить от понятия к его свойствам. преобразовывать требование задачи в равносильное ему. конструировать различные модели конкретных ситуаций, соотносить с условием и требованием задачи свои мыслительные действия с чертежом, распознавать ситуации, удовлетворяющие условию теоремы и т. д. Овладение действиями в оперировании знаниями должно лежать в основе формирования понятий и усвоения теорем, формул. Кроме обобщенных умений. изучение каждого конкретного раздела основывается на соо тветствующих ему действиях.
Анализ формирования математических понятий позволил выделить следующие требования к задачам: способствовать усвоению существенных свойств, их синтезированию: способствовать усвоению терминологии, символики, пониманию смысла каждого слова в определении понятия, запоминанию определения, овладению объемом понятия: раскрывать взаимосвязь понятия с другими понятиями; обучать применению понятия. В организации усвоения теоремы задачи должны: способствовать мотивации введения теоремы; выявля ть закономерность, отраженную в теореме; способствовать усвоению содержания теоремы; способствовать пониманию значения каждого слова в формулировке теоремы, запоминанию формулировки теоремы; обеспечивать поня тие идеи доказательства, раскрывать приемы доказательств: обучать применению теоремы; раскрывать взаимосвязь изучаемой теоремы с другими теоремами. Каждое требование реализуется с помощью специальных задач. Так. усвоение существенных свойств понятия достигается в процессе выполнения задач на распознавание объектов, принадлежащих понятию, на выведение следствий из факта принадлежности понятия, задач, требующих анализа условий, дополняя их так, чтобы из условий вытекала принадлежность объекта понятию; усвоению содержания теорем способствует выполнение задач на выделение условия и заключения теоремы, па вычисление на чертежах и моделях фигур, удовлетворяющих условию теоремы, на распознавание ситуаций, соответствующих теореме, на моделирование условия теоремы.
В учебном процессе задачи могут выступать разными сторонами: служить средством усвоения знаний, быть носителем действий, стимулировать познавательную деятельность школьников, выступать одной из форм проявления методов обучения, служить средством контроля за усвоением содержания обучения и т. д. каждый из признаков задач, взятый сам по себе, от-
дельно от других, описывает лишь определенную их сторону. 11оэтому. чтобы понять сущность задач, следует учитывать все их стороны. Однако для каждой конкретной ситуации может быть использован лишь один из указанных выше аспектов, например, рассмотрение задачи как средства формирования умений. Очевидно. некоторые конкретные задачи являются упражнениями. Например, задача «Решить уравнение л-2 + 1х + 12 = 0» является упражнением для ученика VII класса, если она используется в соответствии с логикой изучения темы «Квадратные уравнения». Однако эта задача не является упражнением для ученика V класса, потому что в этом случае не выполняются признаки понятия упражнения. Упражнением для учащихся VI классов изучающих признаки равенства треугольников, будет задача «Отрезки АВ и СД пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок ВД, если отрезок АС = 10 м?». В то же время задача: «Докажите, что если каждая из двух пересекающихся прямых некоторой плоскости параллельна другой плоскости, то эти плоскости параллельны» не является для них упражнением.
Для решения вопроса об отнесении конкретной задачи к упражнению важны цель се использования, место в усвоении содержания, адекватность ее решения той деятельности, которую вызывает изучение материала.
Возникает вопрос: Какова связь между понятиями упражнения и задачи?
Сравнивая содержание понятия задачи с содержанием понятия упражнения, видим, что первое шире второго. Выделим понятие упражнения из понятия задачи. Для этого необходимо указать видовые отличия упражнения.
При взаимодействии человека и задачной ситуации изменяется как сама задачная ситуация, так и субъект. Изменения в задачной ситуации обусловлены требованием задачи. К ним относятся преобразование условия, изменения связи между объектами задачной ситуации и т. д. Изменения о субъекте характеризуются присвоением ему знаний, умений и навыков. Результат, соответствующий цели деятельности, в психологии называют прямым продуктом (результатом). Цель задачи -результат, который характеризует изменения в системе «человек - залачная ситуация». Используя эту терминологию. сказанное можно выразить и так: прямым продуктом задачи могут выступать либо изменения в задачной ситуации, либо изменения в личности решающего задачу. Упражнением является задача, если прямым ее продуктом является приобретение знаний, умений и навыков. Очевидно, что теорема школьного курса относится к задачам, прямым продуктом которых служат изменения в самой задачной ситуации.
Итак, задачи представляют собой многоаспектные явления обучения математике, обладающие следующими основными признаками:
- быть носителем действий, адекватных содержанию обучения математике;
- являться средством усвоения знаний, умений и навыков;
быть способом организации и управления учебно-познавательной деятельностью учащихся, в частности, способом ее стимулирования и мотивации, контроля за усвоением знаний и умений;
- являться одной из форм проявления методов обучения:
служить средством связи теории с практикой. Построенная модель задач характеризует со всех сторон процесс обучения. С точки зрения содержания обучения задача есть носитель действий, с точки зрения методов обучения задача - одна из форм их проявления, со стороны средств задачи выступаю ! средством усвоения знаний, умений и навыков, в деятельностном плане задачи являются одним из видов учебно-позна-вательной деятельности, которая имеет свои цели, средства и методы. Целями этой деятельности является усвосіїис знсії'ии. і їсіГіїлї м умении, сродством И рС_ шения задач, методами - специфические методы взаимодействия задачи, ученика и учителя (самостоятельное выполнение задач, коллективный поиск решения задачи и т. д.). В отношении к понятию задачи поня тие упражнения выступает как вид, характеризующийся тем. что прямым продуктом решения задачи являются знания, умения и навыки, приобретенные решающим задачу.
В учебном процессе задачи могут выполнить свое назначение, если они представлены в определенной системе. Возникает вопрос: какова теоретическая модель конкретной системы задач (назовем ее системой задач)“?
Любые задачи в обучении выполняются с определенной целью (формирование понятий, систематизация понятий, обучение доказательству и т. д.). Все эти цели связаны между собой с целями обучения в школе. Следовательно. одним из компонентов системы «задачи» являются цели выполнения заданий. Внутри этого компонента необходимо различать общие и частные цели. Например, одной из целей выполнения заданий по математике являются формирования понятий. Усвоение существенных свойств понятия - частная цель. Другой пример. Обучение векторному методу - общая цель. Формирование умения переводить геометрический язык на векторный - частная цель. Очевидно, что достижение обшей цели осуществляется через достижение частных целей. Поэтому не следует упускать из виду общие цели при осуществлении частных целей. Например, обучение школьников доказательству теорем -общая цель. Эта цель должна реализоваться, в основном, при изучении первых разделов курса геометрии 7 класса. Однако анализ учебников геометрии 7 класса показывает, что достижению этой цели не уделяется должного внимания, она «не пробивается» через частные цели изучения первого раздела геометрии. Общие и частные цели выполнения заданий по математике и определяются целями обучения математике, тем не менее они сами образуют систему, развитие которой определяется, прежде всего, ее внутренним строением и логикой. В связи с этим возникает ряд важных вопросов: 1) выявить состав целей использования задач, выделить общие и частные цели как по всему курсу, так и по отдельным его разделам и темам;
2) изучить закономерные связи между общими и частными целями использования задач.
Достижение каждой цели требует определенной деятельности и, следовательно, владения действиями, адекватными ей. Например, применение векторного метода в конкретных ситуациях предполагает владение умениями: 1) переводить геометрический язык на век-
горный и наоборот: 2) выполнять операции с векторами; 3) представлять вектор в виде произведения вектора на число, суммы векторов, разности векторов:
4) выполнять преобразования векторных равенств;
5) переходить от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и наоборот; 6) выражать длину вектора через его скалярный квадрат: 7) выражать величину угла между векторами через их скалярное произведение.
Оперирование понятием овладения действиями распознания объектов, принадлежащих этому понятию, выведения следствий из принадлежности объекта понятию и их комбинацией. Все действия, адекватные знаниям и способам деятельности, составляющим содержание обучения математике, реализуются в обучении посредством задач. На выполнение заданий оказывает влияние условие, требование задачи, характер отношения, которыми связаны ее данные и искомые. Таким образом, в системе «задачи» в качестве ее компонента должны учитываться содержание задачи и действия, осуществляемые с ней. Будем называть этот компонент содержанием задач. Очевидно, что овладение различными действиями осуществляется на разных этапах по содержания задач. Выполнение действий осуществляется на основе определений понятий, теорем, способов деятельности, поэтому в содержание задач имплицитно «заложено» содержание обучения математике, а поскольку содержание задач является компонентом системы «задачи», то в указанной системе учитывается и содержание обучения математике.
Выполнение задач вызывает разные виды умственной деятельности учащихся (репродуктивную, творческую). I !оэтому в системе «задачи» в качестве ее компонента должна выступать умственная деятельность учащихся. Между тем можно привести немало случаев, когда процессы, протекающие ири выполнении заданий, содержавшихся в школьных учебниках математики, не адекватны той деятельности, которую вызывает усвоение материала.
11римеры.
1. Усвоение понятия на уровне творческою применения требует владения приемом переформулировки требования задачи в новое, по отношению к которому данное требование является следствием. Однако выполнение заданий, например, курса алгебры и геометрии не способствует овладению этим приемом.
2. Действия 1-7. перечисленные выше, адекватны деятельности использования векторов в различных конкретных ситуациях. В учебниках геометрии не предусмотрено формирование действий 1, 5, что веде!' к несоответствию процессов, протекающих при выполнении заданий учебников геометрии деятельности применения векторного метода. Очевидно, что выполнение различных по содержанию заданий вызывает разные виды умственной деятельности учащихся.
Умственная деятельность учащихся зависит не только от содержания задач, но и от последовательности их выполнения. Для формирования умения обычно предлагают несколько однотипных задач. Допустим, изучается преобразование трехчлена а2 + lab + b2 в квадрат двучлена. Для выработки умения применять правило указанного преобразования предлагаются задачи. В ранее действующем задачнике по алгебре 11.A. Ларичева содержалось 23 однотипных задачи, для
решеиия которых использовалось прямое применение этого правила. В действующих сейчас учебных пособиях «Алгебра 7» [5] подряд дается от 5 до 8 таких однотипных задач. На первый взгляд кажется, что чем больше ученик решит однотипных задач, тем лучше. Но именно в выполнении таких задач скрывается опасность непреднамеренно содействовать появлению ошибок в действиях учащихся и тем самым способствовать снижению эффективности процесса обучения. Пробелы в знаниях учащихся порой удается обнаружить лишь при изучении последующей темы, так как все однотипные задачи данной темы выполняются учеником верно. Ошибки появляются в результате изменения отчетливости восприятия учащимися отдельных компонентов изучаемого материала. Следовательно, между умственной деятельностью ученика, последовательностью выполнения им задач, количеством однотипных задач, комбинаций их с другими типами задач (структурой задач) имеются закономерные связи. Из сказанного следует, что в системе «задачи» важным является такой компонент, который характеризуется строением совокупности задач, порядком их выполнения учащимися. В строении этого компонента, в его взаимосвязях с другими компонентами возникает много вопросов, не получивших до сих пор исчерпывающего решения. Например: 1) Каким должно быть оптимальное количество тренировочных и творческих задач? 2) Каким образом сочетать задачи, формирующие понятия и. например, пространственное мышление? и т. д.
Выполнение задач протекает в определенных организационных формах: фронтальная работа с классом, индивидуальная работа с отдельными учащимися, самостоятельная работа на уроке, домашняя работа и т. п. Отсюда следует, что организационные формы выполнения задач входят в качестве одного из компонентов в систему «задачи». Он связан с целями использования задач, их структурой, с учебной деятельностью учащихся, содержанием задач.
Итак, проведенный анализ действующих учебников алгебры показывает, что между:
- целями использования задач,
- содержанием задач,
- умственной деятельностью учащихся,
- строением совокупности задач,
- организационными формами выполнения задач существуют связи, носящие функциональный характер. Поэтому объект, названный нами термином «задача», действительно является системой, обладаю-
щей специфическими свойствами, обеспечивающими ему определенную целостность.
Во-первых, данный объект в единстве учитывает все основные компоненты процесса обучения, а не только отдельную его сторону, например, содержательную. целевую и т. д.
Во-вторых, в данном объекте учтен весь круг задач, связанных с выполнением заданий, все аспекты задач (формирование понятий, умений, мышления).
В-третьих, в описанном нами объекте представлены целевой, содержательный, логический, гносеологический, управленческие аспекты организации деятельности. т. е. все наиболее известные ее компоненты из выделяемого современной наукой и методологией диалектического пути познания объективной реальности.
Система задач школьного курса есть проекция рассмотренной системы «задачи» на содержание учебного материала курса математики. Ее теоретическими основами являются закономерности функционирования системы «задачи», т. е. закономерные связи внутри каждого компонента, между отдельными ее подсистемами. Другими словами, система «задачи» есть теоретическая модель любой конкретной системы задач математического курса, служащая целям теоретического осмысления задач как методического явления. Система «задачи» не зависит от конкретного содержания учебного курса. Система «задачи» учебного курса отражает вариант движения системы «задачи» применительно к этому курсу, логики взаимосвязи его разделов, а также связи это!-о курса с другими предметами. Построение системы задач конкретного математического курса (или ее подсистем) и является движением от абстрактного к конкретному. Одним из признаков задач является способность их выступать в качестве формы проявления методов обучения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Эн.'альс Ф. Анти-Дюринг. Переворот в науке, произведенный господином Ьвгением Дюрингом. М.. Политиздат, 1983. XII, 483 с.
2. ¡‘умиин ¡‘.И. О ттрироле математического знания // Очерки по методологии математики. М.: Мысль, 1968. 302 с.
3. Рыбников К.А. Введение в методологию математики. М.: МГУ, 1979. 128 с.
4 Менчикская НА. Интеллектуальная деятельность при решении арифметических задач И Изв. АПН РСФСР. М., 1946. С. 99-134.
5 Алгебра: Учебник для 7 кл. сред шк. / Ю Н. Макарычев, Н.Г. Мин-дюк и др.; под ред. С.А. Геляковског о. 3-е изд. М.: Просвещение, 1993. 240 с.
Поступила в редакцию 27 февраля 2006 г.
