Система задач как предмет научного исследования Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

СИСТЕМА ЗАДАЧ КАК ПРЕДМЕТ НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

А.А. Папышев,

кандидат педагогических наук, доцент Таразского государственного педагогического института, Республика Казахстан

Концепция задачи как явления обучения математике должна учитывать особенности математического знания и его усвоения. Специфика математики как науки состоит в том, что она специально выделяет количественные отношения и пространственные формы, которые присущи всем без исключения предметам и явлениям, и делает их объектом своего исследования. При обращении математических понятий отвлекаются от конкретного, качественного содержания изучаемых объектов и отношений. Эта характерная особенность, присущая математическому познанию в целом, была отмечена Ф.Энгельсом [1] в «Анти-Дюринге». Чтобы исследовать количественные отношения и пространственные формы в чистом виде, писал он, «необходимо совершенно отделить их от содержания, оставить это последнее с стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, равные a и b, x и y, постоянные и переменные величины...».

Специфика предмета математики обусловливает ряд особенностей математической абстракции [2, 3]. Чтобы выделить количественные отношения и пространственные формы в «чистом» виде, математик должен применить абстракцию «наибольшей силы». Абстрагирование в математике чаще всего осуществляется через ряд последовательных ступеней обобщения. В математике преобладают абстракции от абстракций. Следующая особенность мате-магической абстракции состоит в использовании идеальных объектов. В образовании математических понятий большое место занимают различные абстракции осуществимости. Следует отметить широкое использование в математике символического языка и алгоритмических процессов. Особенность математического познания состоит также в том, что многие системы абстракции в математике, возникнув на базе опыта и практики или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращении к опыту. Важнейшей особенностью математики, которая отличает ее как от естествознания, так и от опытных наук вообще, является дедуктивный характер ее доказательств. В экспериментальных науках мы постоянно обращаемся к наблюдениям и опытам (экспериментам), чтобы проверить те или иные утверждения. Совершенно иначе обстоит дело в математике. Теорема считается доказанной только в том случае, если она логически выделена из аксиом и ранее доказанных теорем.

При всей своей абстрактности математические знания возникли из практики и применяются в практике, поэтому преподавание математики обязательно должно связывать ее с реальными вещами, с другими дисциплинами. Это требование к усвоению математики особо подчеркивает функцию задач служить средством связи теории с практикой. Высокая степень абстракции математических понятий требует особого внимания к их формированию. Важное место в этом процессе должно быть отведено мотива-

ции: введению понятия мотивации, его определению, усвоению определения. Изучение теорем требует их мотивации, усвоения формулировки теорем, понимания каждого слова, используемого в формулировке, применения, систематизации понятий и теорем. В статье «О геометрии» [4] академик А.Д. Александров подчеркивает, что особенностью геометрии, выделяющей ее не только среди остальных частей математики, но и среди других наук, является то, что в ней самая строгая логика соединена с наглядным представлением. Утверждения геометрии, отмечает он, высказываются и доказываются для идеальных геометрических объектов, но воспринимаются как утверждения об объектах, наглядно представимых, и применяются к реальным вещам, в которых объекты реализуются очень условно. Поэтому каждый элемент курса геометрии (аксиома, теорема, определение) должен опираться на возможно более простое и ясное наглядное представление. Соответственно этому изложение следует начинать с наглядной картины - с рисунка на доске, описания, показа модели, рассмотрения примеров. Вместе с рисунком должно идти разъяснение его пространственного содержания, возбуждавшее верное пространственное представление. Логически организованное представление дает нужную формулировку определения или теоремы. Переходя от наглядных представлений и примеров к формулировкам, нужно внимательно связать их с наглядным представлением, с формулировками. Оперирование математическими объектами, приводящее к открытию их свойств, должно предшествовать логическому установлению этих свойств. Все это выдвигает повышение требования к формированию математических понятий и умений. В частности, в формировании умений особую значимость приобретает материализованный этап, т. е. выполнение задач на непосредственное оперирование моделями математических объектов, а также осуществление связи теории с практикой.

Логика математики заключена не только в отдельных понятиях, теоремах и доказательствах, но и всей системе в целом. Поэтому усвоение математики невозможно без систематизации знаний по различным основаниям, что осуществляется посредством выполнения специальных задач. Применение понятий, теорем и формул в различных конкретных ситуациях предполагает владение следующими действиями: распознавать объекты, выводить следствия из непосредственно заданной информации, переосмысливать объекты в плане других понятий, переходить от понятия к его свойствам, преобразовать требование задачи в равносильное ему, конструировать различные модели конкретных ситуаций, соотносить с условием и требованием задачи свои мыслительные действия с чертежом, распознать ситуации, удовлетворяющие условию теоремы, и т.д. Овладение действиями в оперировании знаниями должно лежать в основе формирования понятий и усвоения теорем, формул. Кроме обобщенных умений, изучение каждого конкретного раздела основывается на соответствующих ему действиях.

Анализ формирования математических понятий позво-

лил выделить следующие требования к задачам: способствовать усвоению существенных свойств, их синтезированию; способствовать усвоению терминологии, символики, пониманию смысла каждого слова в определении понятия, запоминанию определения, овладению объемом понятия; раскрывать взаимосвязь понятия с другими понятиями; обучать применению понятия. В организации усвоения теоремы задачи должны: способствовать мотивации введения теоремы; выявлять закономерность, отраженную в теореме; способствовать усвоению содержания теоремы; способствовать пониманию значения каждого слова в формулировке теоремы, запоминанию формулировки теоремы; обеспечить понятие идеи доказательства, раскрывать приемы доказательств; обучать применению теоремы; раскрывать взаимосвязь изучаемой теоремы с другими теоремами. Каждое требование реализуется с помощью специальных задач. Так, усвоение существенных свойств понятия достигается в процессе выполнения задач на распознавание объектов, принадлежащих понятию, на выведение следствий из факта принадлежности понятия, задач, требующих анализа условий, дополняя их так, чтобы из условий вытекала принадлежность объекта понятию. Усвоению содержания теорем способствует выполнение задач на выделение условия и заключения теоремы, на вычисление на чертежах и моделях фигур, удовлетворяющих условию теоремы, на распознавание ситуаций, соответствующих теореме, на моделирование условия теоремы.

В учебном процессе задачи могут выступать разными сторонами: служить средством усвоения знаний, быть носителем действий, стимулировать познавательную деятельность школьников, выступать одной из форм проявления методов обучения, служить средством контроля за усвоением содержания обучения и т. д. Каждый из признаков задач, взятый сам по себе, отдельно от других, описывает лишь определенную их сторону. Поэтому, чтобы понять сущность задач, следует учитывать все их стороны. Однако для каждой конкретной ситуации может быть использован лишь один из указанных выше аспектов, например, рассматривать задачи как средство формирования умений. Очевидно, некоторые конкретные задачи являются упражнениями. Например, задача "Решить уравнение х2+7х+12=0" является упражнением для ученика VII класса, если она используется в соответствии с логикой изучения темы "Квадратные уравнения". Однако эта задача не является упражнением для ученика V класса, потому что в этом случае не выполняются признаки понятия упражнения. Упражнением для учащихся VI классов, изучающих признаки равенства треугольников, будет задача "Отрезки АВ и СД пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок ВД, если отрезок АС = 10 м?" В то же время задача: "Докажите, что если каждая из двух пересекающихся прямых некоторой плоскости параллельна другой плоскости, то эти плоскости параллельны" не является для них упражнением.

Для решения вопроса об отнесении конкретной задачи к упражнению важны цель ее использования, место в усвоении содержания, адекватность ее решения той деятельности, которую вызывает изучение материала.

Возникает вопрос - какова связь между понятиями упражнения и задачи?

Сопоставляя содержание понятия задачи с содержанием понятия упражнения, видим, что первое шире второго. Выделим понятие упражнения из понятия задачи. Для

этого необходимо указать видовые отличия упражнения.

При взаимодействии человека и заданной ситуации изменяется как сама заданная ситуация, так и субъект. Изменения в заданной ситуации обусловлены требованием задачи. К ним относятся преобразование условия, изменения связи между объектами задачной ситуации и т. д. Изменения о субъекте характеризуются присвоением им знаний, умений и навыков. Существенно важными во взаимодействии человека и заданной ситуации являются изменения в личности ученика, решающего задачу. Результат, соответствующий цели деятельности, в психологии называют прямым продуктом (результатом). Цель задачи - результат, который характеризует изменения в системе «человек - задачная ситуация». Используя эту терминологию, сказанное можно выразить и так: прямым продуктом задачи могут выступать либо изменения в за-дачной ситуации, либо изменения в личности решающего задачу. Упражнением является задача, если прямым ее продуктом является приобретение знаний, умений и навыков. Очевидно, что теорема школьного курса относится к задачам, прямым продуктом которых служат изменения в самой задачной ситуации.

Итак, задачи представляют собой многоаспектные явления обучения математике, обладающи следующими основными признаками:

- быть носителем действий, адекватных содержанию обучения математике;

- - являться средством усвоения знаний, умений и навыков;

- - быть способом организации и управления учебно-познавательной деятельностью учащихся, в частности, способом ее стимулирования и мотивации, контроля за усвоением знаний и умений;

- являться одной из форм проявления методов обучения;

- - служить средством связи теории с практикой.

Построенная модель задач характеризует процесс обучения со всех сторон. С точки зрения содержания обучения задача есть носитель действий, с точки зрения методов обучения задача - одна из форм их проявления, со стороны средств задачи выступают средством усвоения знаний, умений и навыков, в деятельностном плане задачи являются одним из видов учебно-познавательной деятельности, которая имеет свои цели, средства и методы. Целями этой деятельности является усвоение знаний, навыков и умений, средствами - решения задач, методами -специфические методы взаимодействия задачи, ученика и учителя (самостоятельное выполнение задач, коллективный поиск решения задачи и т.д.). В отношении к понятию задачи понятие упражнения выступает как вид, характеризующийся тем, что прямым продуктом решения задачи являются знания, умения и навыки, приобретенные решающим задачу.

Литература

1. Энгельс Ф. Анти-Дюринг. Переворот в науке, произведенный господином Евгением Дюрингом. - М.: Политиздат, 1983.

2. Рузавин Г.И. О природе математического знания /Очерки по методологии математики. - М.: Мысль, 1968.

3. Рыбников К. А. Введение в методолгию математики. - М.: МГУ,1979.

4. Менчинская НА. Интеллектуальная деятельность при решении арифметических задач //Известия АПН РСФСР. - Москва, 1946.