Теоремы существования и единственности для нелинейно-дисперсионных уравнений Грина — Нагди Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 18, № 5, 2013

Теоремы существования и единственности для нелинейно-дисперсионных уравнений Грина — Нагди*

С. П. Бдутин, С. Л. Дерябин Уральский государственный университет путей сообщения,

Екатеринбург, Россия e-mail: SBautin@math.usurt.ru, SDeryabin@math.usurt.ru

Рассматривается нелинейно-дисперсионная модель длинной волны — система уравнений Грина — Нагди. Доказана теорема существования и единственности аналитических решений невырожденных начально-краевых задач для одномерных систем уравнений Грина — Нагди. В виде сходящихся рядов построены точные решения начально-краевых задач с различными граничными условиями, которые могут быть использованы для тестирования численных методик.

Ключевые слова: нелинейно-дисперсионные уравнения Грина — Нагди, характеристическая задача Коши, теоремы существования и единственности, сходящиеся ряды, точные решения.

Для описания распространения длинных волн используются многие модели — от классических уравнений мелкой воды [1, 2] до системы уравнений газовой динамики и полной системы уравнений Навье — Стокса [3, 4]. В настоящее время для моделирования движения волн на воде наиболее широкое распространение получили численные методы, основанные на аппроксимации уравнений мелкой воды. Однако на границе уреза полная глубина жидкости обращается в нуль, что приводит к сильному вырождению системы и создаёт дополнительные трудности при численном моделировании выхода волны на берег. Вследствие этого для построения надёжных численных методов решения задач с подвижной линией уреза необходимы аналитические исследования, позволяющие определить условия на границе уреза. В работах [5, 6] такие исследования проведены для классических уравнений мелкой воды и получен закон движения границы уреза, который эффективно использовался при расчётах.

Вместе с тем замечено, что для детального моделирования явления на продолжительное время требуются модели, способные воспроизводить дисперсию и отражать неоднородность процесса в вертикальном направлении. Считается, что этим условиям в моделях мелкой воды отвечают нелинейно-дисперсионные уравнения Грина — Нагди [7]. Но система уравнений Грина — Нагди существенно сложнее классических уравнений мелкой воды и не является гиперболической. При её исследовании возникают нетривиальные начально-краевые задачи, в частности, как будет показано ниже, задача Коши для этой системы не имеет единственного решения. Исследованию некоторых начально-краевых задач для системы уравнений Грина — Нагди посвящена данная работа.

* Исследование поддержано РФФИ (проект № 11-01-00198) и Министерством образования и науки РФ (проект № 1.8490.2013).

1. Построение решения начально-краевой задачи для одномерной системы уравнений Грина — Нагди

Рассматривается слой жидкости, ограниченный свободной поверхностью и непроницаемым дном. Предполагается, что жидкость находится в гравитационном поле, является несжимаемой и невязкой. Кроме того, считается, что течение жидкости — безвихревое. Декартова система координат выбирается так, что уравнение свободной поверхности покоящейся жидкости имеет вид г = 0, при этом г = — Л(ж) — известная функция, задающая поверхность непроницаемого дна.

Тогда система уравнений мелкой воды второго приближения для одномерных течений Грина — Нагди имеет вид [7]

Н + Нх« + Н«х = 0,

« + «х« + дН = дЛх + (Н — Л.Ж)Я2 + Н

1 \ 1 Н

Я1 Нх--+--+--Я"1г

х 2 х 2 2х 3 1х

Здесь Н — полная глубина жидкости от непроницаемого дна до свободной поверхности, « — скорость жидкости, д — ускорение свободного падения и использованы следующие обозначения:

#1 = «х4 + «хх« — «

#2 = («4 + «х«)Лх + Лхх«2

Я

я

1х

«хх4 I «ххх« «х«х

2х — («4х + «хх« + «х)Лх + Лхх(«4 + 3«хи) + Лххх« .

Заметим, что приведённые выражения содержат слагаемые с частными производными по времени. Подставляя Я1, Я2, Я1х, Я2х в систему (1), после тождественных преобразований получим подробный вид системы уравнений Грина — Нагди:

Н + Нх« + Н«х = 0,

3Нх 3 / 2 Н \

«4хх + н «4х н2 I 1 + Лх ЛхНх Лхх I «4

3 Нх 3 2 3

«ххх« + ( «х н « ) «хх 2Н(3Лхх««х + Лххх« ) + н2««х +

+ — Нх)(Лх««х + Лхх«2 — Н«х — д). (2)

Для системы (2) задаются начальные условия

Н (¿о,х,у) = Но(х), «(¿о,х,у) = «о (ж). (3)

Решение задачи (2)-(3) не является единственным, так как при £ = ¿о и подстановке начальных условий (3) во второе уравнение системы (2) для выводящих производных «4|4=4о = «1(х) получается система дифференциальных уравнений по ж второго порядка

3Н

«1хх + — Н2 I 1 + Лх — ЛхНох--^Лхх | «1 = ^(х).

3

Но, 2

Здесь ^(ж) — функция, известным образом вычисляемая с помощью условий (3).

Для получения единственного решения задачи (2)-(3) необходимо задать дополнительные условия. В частности, такими условиями могут быть

и(г,Хоо) = и0 иж(£,Жоо) = и1^). (4)

Также предполагается, что условия (3), (4) — согласованы

ио(хоо) = и0 (¿о), иох (жоо) = м1(^о).

Функции ио(ж), Яо(ж), ^(ж), ио(£), м1(^) будут предполагаться аналитическими в окрестности точек ж = жоо и £ = £о соответственно.

В данной работе не рассматривается выход волны на берег, поэтому предполагается, что в момент времени £ = £о точка ж = жоо не лежит на границе уреза, т. е. исследуется так называемый невырожденный случай:

Но (жоо) = 0. (5)

При этих предположениях справедлива следующая теорема.

Теорема. Задача (2)-(4) имеет единственное локально-аналитическое решение.

Доказательство теоремы проведём по методике [4, 8].

Введём новые неизвестные функции Я = ЯХ, V = иХ, w = и система (2) перепишется в виде

Я* + ЯхИ = -2Яv - Яш, Н = -Яи - Яv,

3Я 3 / 2 Я \

ш* + - Н2 I 1 + ^х - ^Х Я - — йлл I и* + ИШх =

3ЯХ \ 3 3

V--/ ш - 2Я(3^**^ + ^ХХХМ2) +

3

+Н2(^Х - Я)(Л,Х^ + Л-ХХМ2 - Яv2 - д),

0 ■ и* + = V,

0 ■ V* + ^ = ш. (6)

Для системы (6) задаются начальные условия

Я(£о,ж) = Яох (ж) = Яо(ж), Я (¿о,ж) = Но(ж), и(£о,ж) = ио(ж),

v(íо,ж) = иох(ж) = Vо(ж), ш(£о,ж) = иохх(ж) = шо(ж). (7)

Для приведения системы (6) к стандартному виду [4] введём дополнительно две новых неизвестных функции и = и*, V = V*. Тогда система (6) перепишется в виде

Я* + ЯХи = -2Яv - Яш, Я* = -Яи - Яv, 3Я 3 2 Я

ш* + ишх = - —V + — I 1 + - й*Я - —^ХХ | и + Р,

«4 = и, V = V, о ■ и* + их = V, 3Я 3 / 2 Н

о ■ V* + Vx + «^х = — нV + н 11 + лх — Лх я — —Лхх I и + р,

или в векторной форме

А(Я, Н, V,«, V, и, V)У4 + В(Я, Н, V,«, V, и, V)Ух = С(Я, Н, V,«, V, и, V),

где

V = {Я, Н, V,«, V, и, V},

1000000 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 А = 0 0 0 1 0 0 0 , В 0000100 0000000 0000000

( —2Я« — Нш

— Я« — Н-у

/ « 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 « 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0

V 0 0 « 0 0 0 1

С

3Я 3 2 Н

"Н^ + н (1 + лх — ЛхЯ — уЛхх I и + р

и

V

V

3Я 3 Н

-Н^ + 1 + лх — ЛхЯ — уЛхх I и + р

Здесь

3 Нх 3 2 3

р = ( V--Н"« ) V — 2Н(3Лхх«У + Лххх«2) + Н2«У+

3

+ Н2 (Лх — Я)(Лх«« + Лхх«2 — н^2 — д).

Для системы (8) необходимо задать начальные условия

Н (¿о,ж) = Но(ж), Я^о,ж) = Нох(ж), «(¿о,ж) = «о(ж),

«(¿о, ж) = «ох (ж), и>(го,ж)= «охх(ж), и (¿о ,ж) = «1 (ж),

V (¿о,ж)= (ж), (9)

где функции «1, г>1 пока не найдены. Для их определения проведём следующие вспомогательные построения.

Последние два уравнения системы (6) продифференцируем по ¿ и, подставляя из третьего уравнения, получим

«*х = V*, ^х

3Я 3 2 Н

"Я^* + Н \ 1 + Лх — ЛхЯ — —Лхх | «4 — «№х + Р.

'10)

Положив в системе (10) £ = £о, будем иметь систему обыкновенных дифференциальных уравнений

3Яо 3 I 2 Но 1

= VI, = -+ Н2 |1 + ^х - ^хЯо - "у^хх I «1 - «0^0х + Ро. (11)

Чтобы получить начальные условия для системы (11), необходимо условия (4) продифференцировать по £ и принять £ = £о:

«1(хоо) = «°(£о), г>1(хоо) = (¿о). (12)

По теореме Коши задача (11)—(12) имеет единственное аналитическое решение [9] и, следовательно, функции и1, найдены. Таким образом, для системы (8) поставлены начальные условия (9) и граничные условия (4).

Задача (8), (9) является характеристической, поскольку определитель матрицы Л равен нулю. Ранг матрицы Л равен пяти — две нижние строки состоят из нулей, а верхний минор размерности 5x5 равен единице. Поэтому поверхность £ = £о является характеристикой кратности 2 и для построения единственного решения необходимо задать два дополнительных условия [4]. Этими условиями являются (4).

В матрице Л два правых столбца и две нижние строки состоят из нулей, а минор размерности 2 х 2, стоящий в нижнем углу матрицы В, отличен от нуля. Следовательно, задача (4), (10), (11) является характеристической задачей Коши стандартного вида [4], в силу чего для неё справедлив аналог теоремы Ковалевской [4]. Таким образом, теорема доказана.

Аналитическое по всем переменным решение задачи (2)-(4) представим в виде сходящегося ряда по степеням £ - £о:

Е(£,ж) = ^] ¥к(х)( о) , Е = {Н,и}. (13)

к=о '

В системе (2) примем £ = £о и, учитывая (3), будем иметь

3Нох 3 I 2 Но . Н1 = -НохИо-НоИох, «1хх +--«1х- Н2 I 1 + ^х - ^хНох--—Лхх ) «1 = ^(х). (14)

Здесь

^1(х) = -«оххх«о + ( «ох Н «о «охх - птт (3Лхх«оиох + Лххх«2) +

У Но у 2Но

33

+—:з^оМох + 772(Лх - Нох)(ЛхМоМох + Лхх«2 - Но^ - д) — Но Но

известная функция, вычисляемая с помощью начальных условий (3).

Чтобы получить остальные коэффициенты ряда (13), продифференцируем систему (2) п - 1 раз по положим £ = £о, и с учётом (3) имеем

га—1

Нга = - ^ СП—1 (Нкх^ га—к—1 + ^«.«(га— к— 1}х)

к=о

ЗИох 3 I 2 Ио .

игажж + £7 ИI 1 + ^жЯ0ж 0 ^-жж ) ига (15)

Я0 Я0 \ 2

где Сга(ж) — функция, вычисляемая с помощью начальных условий (3) и уже найденных , 0 < / < п. Её вид не приводится ввиду громоздкости. Замечание. Все коэффициенты ряда (13) ип(ж) являются решениями линейных неоднородных уравнений. Причем однородные уравнения для всех коэффициентов одинаковые, не зависят от и0 (ж) и имеют вид

и ЗНю-г , 3 ( „ Н0 \

и +—и - Н2 I 1 + ^ - - —йжж) и = 0.

Начальные условия для дифференциальных уравнений систем (14), (15) получаются, если функции и0(£), и1^) из условий (4) разложить в ряд по степеням £ — £0.

Таким образом, в виде ряда (13) для задачи (2)-(4) построено единственное аналитическое решение.

2. Построение точных решений начально-краевой задачи с различными граничными условиями

Рассмотрим несколько частных случаев решения задачи (2)-(4). Пример 1.

Предположим, что дно горизонтально: — Л,(ж) = Л,00. В этом случае система уравнений (2) имеет вид

Н + Яжи + Яиж = 0,

ЗНж 3 _ I 3ЯЖ \ 3 ЗН 2

Н — Я2И* = — + I иж + Я2Иих + Я2 (ЯиЖ

Предположим, что в начальный момент времени жидкость покоится и поверхность воды горизонтальна:

и(£0,ж) = И0(ж) = 0, Я (¿0,ж) = Я0(ж) = Я00 = . (17)

Однородное уравнение для всех будет иметь вид

3

Интегрируя его, получим

и«,жж и™ 0.

Я020

Уз Х -Уз Х

и„ = Сщб н00 Х + С2„ен00Х.

^3

Если ввести обозначения т = ——, то

Я00

и„ = С1„етж + С2„ е-тж.

Для коэффициентов ряда (13) получим следующие уравнения:

га—1

Яга = — ^ СП- 1(Як:жига-к—1 + Як«(га-к-^ж^ игажж — т2ига = Сга(ж). (18)

к=0

Интегрируя второе уравнение системы (18), будем иметь

1

«п = Сыетх + С2гае-тх + —

2т

етх / Сп(£)е-т?^ - е-

хоо

хоо

19)

С помощью этих коэффициентов строится весь бесконечный ряд.

Используя условия (17) и учитывая Н1 = 0, Н2 = — Нои1х, вычислим правые части дифференциальных уравнений (18):

С1(ж) = 0, С2(ж) = 0,

3

Сэ (х) = — 2и1и1ххх + 2и1хи1хх + Н2хи1х +

Но

оо

3Г Ноо

2х.

Далее для задачи (16), (17) рассмотрим три вида граничных условий. 1. Построим решение задачи (16), (17) с граничными условиями

м(г,Хоо) = &(г — ¿о), «ж(^,Хоо) = 0.

(20)

Физический смысл этих условий следующий: возмущение течения жидкости происходит в точке х = хоо за счёт постоянного увеличения или уменьшения скорости жидкости. При Ь > 0 движение потока жидкости ускоряется, при Ь < 0 — тормозится.

С помощью условий (20) определим начальные условия для дифференциальных уравнений из (18):

«1(хоо) = Ь, И1х(хоо) = 0, Пп (хоо) = «пх(хоо) = 0, п > 1.

В этом случае для определения С11, С21 получим систему

С11етХ00 + С21е-тХ00 = Ь, С11етХ00 — С21е-тХ00 = 0, решая которую, находим

См = - е-

г1 — рг С21 = — е

В результате имеем первые коэффициенты ряда (13)

Н1 = 0, « = - (ет(х-х00) + е-т(ж-ж00)

Ь 2

Для вторых и третьих коэффициентов ряда (13) получаются следующие формулы:

НооЬт , , . / чч

«2 = 0, Н2 =--°— (ет(х-х00) — е-т(х-х00)) , Нэ = 0,

Ь2

2

« =__^2т(ж-ж00) — е-2т(ж-ж00) — 2 ^ет(х-ж00) — е-т(х-

+7ТГ [1 — т(х — хоо)] (ет(х-х00) — е-т(х-

+

4Н

X

X

Аналогично определяются коэффициенты ряда (13) «п, п > 3:

(X х

етх J Сп(£)е-т^ - е-тх I )ет^ I . (21)

хоо хоо

2. Построим решение задачи (16), (17) с граничными условиями

м(г,хоо) = 0, Мх(^,Хоо) = Ь(£ - ¿о). (22)

Физический смысл этих условий следующий: значение скорости в точке х = хоо во все моменты времени удерживается равным нулю, однако происходит изменение скорости вдоль оси Ох. При Ь > 0 скорость увеличивается вниз по потоку жидкости, при Ь < 0 — вверх по потоку.

Для первых коэффициентов ряда (13) имеем

Н = 0, = -Яоо«1х, «1 = иь «2 = Ц>.

С помощью условий (22) определим начальные условия для дифференциальных уравнений из (18):

«1 (хоо) = 0, «1х(хоо) = Ь, и„(хоо) = Ипх(хоо) = 0, п > 1. Определим С11, С21:

- с11етх00 + С21е-тх00 = 0,

Ь

С11етх00 - С21е-тх00 = —.

т

В результате имеем

Ь

2т ' 21 2т

С11 = —е-тх00, С21 =--етх00,

Ь

и = _(ет(х-х00) _ е-т(х-х00))

М1 = 2т(е е ),

Н Ь

Н = — оо (ет(х-х00) + е-т(х-х00))

Вычисляя вторые коэффициенты ряда (13), получим

«2 = 0, Нз = 0. Третьи коэффициенты ряда (13) имеют вид

Ь2

«3 =__^2т(х-х00) — е-2т(х-х00) — 2(ет(х-х00) — е-т(х-х00)^ +

+ 3Ь! [1 - т(х - хоо)] (ет(х-х00) - е-т(х-х00)) . 4тНоо

Коэффициенты ряда (13) пп находятся из (21). Следовательно, и в данном случае все коэффициенты ряда можно определить в явном виде.

3. Построим решение задачи (16), (17) с граничными условиями

п(г,Хоо) = вт(г - ¿о), их(г,Хоо) = 0. (23)

Физический смысл этих условий следующий: возмущение течения жидкости происходит в точке х = Х00 за счёт периодического увеличения или уменьшения скорости жидкости. На начальном отрезке времени поток ускоряется, на следующем — тормозится и т. д.

В данном случае первые и вторые коэффициенты ряда (13) совпадают с соответствующими коэффициентами из пункта 1.

С помощью условий (23) определяются произвольные постоянные

С1п = С2п = 0, если п = 2к,

Сщ = (-1)к е-тх°°, С2п = (-1)к+1 етХ00, если п = 2к + 1.

Тогда для коэффициентов пп ряда (13) получаются формулы

1

U2k =

*>n

x x

~,mx I l „-mx

emx Gn{£)e-m- e-mx Gn(£)em

2m

U2k+1 = (— 1)k+1em(x-xoo) + ( —i)k+le-m(x-xoo) +

xoo xoo

x x

G-(0e-mdC - 2me-mx ^ G{i)emС

xoo xoo

Анализ структуры коэффициентов ряда (13) показал, что во всех трёх рассмотренных случаях справедлива следующая лемма.

Лемма. Коэффициенты ряда (13) имеют вид Pn (x,emx, e-mx), где Pn являются многочленами от указанных аргументов, степени которых не превышают A • n, A = const.

Доказательство леммы аналогично соответствующему доказательству из [7] и проводится индукцией по n. Сначала доказывается, что Gn(x) обладают нужной структурой, а затем непосредственным интегрированием выясняется, что Fn (x) обладают указанной структурой.

Пример 2.

Предположим, что дно — прямой откос: -h(x) = d + ax. В этом случае система уравнений (2) имеет вид

Ht + Hxu + Hux = 0, 3Hx 3 2 I 3Hx \

Utxx + ~H~Utx - H(1 + a + aHx)Ut = -UxxxU + I Ux + ~H~U J Uxx +

332 + H^UUx + H2 (a + Hx )(aUUx + Hux + g). (24)

Предположим, что в начальный момент времени жидкость покоилась и поверхность воды горизонтальна:

U(t0,x) = U0(x) = 0, H (t0,x) = H0(x) = d + ax. (25)

Однородное уравнение для всех пп будет иметь вид

(й + ах)2^' + 3а(й + ах)Ц^ - 3(1 + 2а2)Цп = 0.

(26)

Если ввести новую независимую переменную у = й + ах, то получим уравнение Бесселя

У2^- + 3у— + ли, = 0,

йУ2

где Л = -3(1 + 2а2)/а2. Решение его имеет вид [9]

Цп = Сыу-1+ * + С2пУ

-1-*

где ц = 2^1 - л = 2^7а2 + 3/а = 0.

Для коэффициентов ряда (13) в этом частном случае получим следующие уравне-

ния:

1

Нп = - ^^ С^^^х^п-к-1 + Нк«(п —к—1)х)

к=о

3а

« +--

п (й + ах)

_ 3(1 +2а2) = С ( )

/-, \ ^ «п ^п(х) .

(й + ах)2

Общее решение второго уравнения системы (27) имеет вид [9]

(27)

С1п (й + ах)-1+2 + С2п (й + ах)-1—2 +

1

+ -ц

(й + ах)-1+ 2 I (й + а£)2- 2 Сп(£)й£ -(й + ах)-1-* I (й + а£)2+*Сп(£К

\2- *

-1-*

\2+ *

С помощью условий (25) вычислим правые части дифференциальных уравнений (27)

бао

С1(х) = 77?, с2(х) = 0,

Но

3а 3а 3а 3

Сз(х) = -2И1И1ххх + 2 ( «1х + —«1 ) «1хх - Н2Н2«1х + "^^х« + Т^^хИ^-

Н

о

о

Н

о

Но

б

12ао 3о 2

"Т7^Н2 + 772 Н2х + Но«1х + 77зН2м1.

Но Но Н

о

Начальные коэффициенты ряда (13) следующие:

Но = й + ах, Н1 = 0, Н2 = -а«1х, = С11(й + ах)-1+* + С21(й + ах)-1-* +

ц I 2 - ц

1

й + ах й + ахоо

-1+*'

1+ 2

1

2+ц

1

й + ах й + ахоо

1 2

х

х

Для граничных условий (20) постоянные С11, С21 определяются как решение системы

Си (( + ахоо)2 + С21 (( + ахоо) 2 = Ъ(( + ахоо),

Си ( -1 + — \(( + ахоо)2 + С2Л -1 - — | (( + ахоо) 2 = 0.

Напомним, что в настоящей работе не рассматривается случай выхода волны на берег, и поэтому Но(хоо) = ( + ахоо = 0. Тогда главный определитель этой алгебраической системы имеет значение -— = 0. В результате получим значения постоянных С11, С21

и C1n, С2п:

С11 = Ъ ( -+ - ) (( + ахоо)1-2, V — 2 /

С21 = Ъ (--■ ) (( + ахоо)1+2,

2)

С1п = С2п = 0, п> 1. Окончательно коэффициенты ряда (13) в случае граничных условий (20) имеют вид

1 1 ( + ах П1 = Ъ -+-

-1+в

1+ 2

-1-В 1 2

— 2 1 \ ( + ахоо

,1 1 \ ( ( + ах

+ Ъ —- +

— 2 ( + ахоо

12д_ — 12 - —

1

( + ах ( + ахоо

-1+2

2+—

1

-1-в' ( + ах 4 2

( + ахоо

П2 = 0,

ип

—

(( + ах)-1+2 I (( + а£)2-2Оп(£)(%-

2-

+ ахГ1-2 у (( + <)2+2^«ж

Х00

, п> 2.

1

х

1

х

Для граничных условий (22) получаются следующие значения постоянных:

Ъ

С11 = —(( + ахоо) 2, —

Ъ в

С21 =--(( + ахоо )2+2,

—

С1п = С2п = 0, п> 1.

Коэффициенты ряда (13) в случае граничных условий (22) имеют вид

Ь

= — (й + ахоо) ц

12о

ц 12 - ц

й + ах й + ахоо

-1+*

1+ 2

й + ах й + ахоо

-1- *' 1 2

+

1

й + ах й + ахоо

-1+*'

1+ 2

2+ц

1

й + ах й + ахоо

-1- *' 1 2

«п

ц

(й + ах)

- 1+*

(й+ае )2 - * Сп (е)^е-

х00

+ ах)-^ «* + ае )2+2 с. К)«

х00

, п > 2.

«2 = 0,

Для граничных условий (23) имеем: при п = 2к - 1

при п = 2к

С1п =(-1)

к+1

(2 + ц)

2ц

(й + ахоо)1 2

С2п =(-1)'

; (2 - ц)

2ц

(й + ахоо)1+*

С1п = С2п =

Коэффициенты ряда (13) в случае граничных условий (23) следующие:

1 1 \ I й + ах 1 ц 2 у I й + ахоо

-1+*

1+ 2

1 1 \ ( й + ах

+ I

-1- * 1 2

ц 2 / \ й + ахоо

+

12о ц I 2 - ц

1

й + ах й + ахоо

-1+*'

1+ 2

2+ц

1

й + ах й + ахоо

1 2

«2 = 0,

«2А: = -ц

х х

(й + ах)-1+* I(й + ае)2-*£2,^(еК - (й + ах)- 1 -* ^(Ноо + ае)2+*Сп(еК

х00 х00 -1+*

+ (-1)М

ц 2 / \ й + ахоо

-1-*

1 1 \ ( й + ах 4 2

ц 2 / \ й + ахоо

+

1

+-ц

(й+ах)-1+* ш+ае)2-2(ек - (й+ах)-1-21 (й+ае)2+2Сп(ек

\2- *

-1-*

-1- о

*

х00

х00

1

х

1

х

1

1

х

х

Выводы

1. В работе доказаны теоремы существования и единственности решения различных начально-краевых задач, которые для системы Грина — Нагди являются аналогом характеристической задачи Коши.

2. В виде бесконечных сходящихся рядов построены точные решения начально-краевой задачи с различными граничными условиями. Начальные отрезки этих рядов могут быть использованы для тестирования численных методик при моделировании длинных волн.

Список литературы

[1] Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003. 33б c.

[2] ХАкимзянов Г.С., Шокин Ю.И., Барахнин В.Б., ШокинА Н.Ю. Численное моделирование течений жидкости с поверхностными волнами. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001. 394 c.

[3] Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1983. 319 c.

[4] Баутин С.П. Характеристическая задача Коши и ее приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 2009. 3б8 c.

[5] Баутин С.П., Дерябин С.Л., Соммер А.Ф., ХАкимзянов Г.С. Исследование решений уравнений мелкой воды в окрестности подвижной линии уреза jj Вычисл. технологии. 2010. Т. 15, № б. С. 19-41.

[6] Bautin S.P., Sommer A.F., Khakimzyanov G.S., Shokina N. Yu. Use of analytic solutions in the statement of difference boundary conditions on movable shoreline jj Rus. J. of Numerical Analysis and Math. Modeling. 2011. Vol. 2б, No. 4. P. 353-377.

[7] Федотова З.И., ХАкимзянов Г.С. Нелинейно-дисперсионные уравнения мелкой воды на нестационарном дне jj Вычисл. технологии. 2008. Т. 13, № 4. С. 114-12б.

[8] Баутин С.П., Дерябин С.Л. Математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум. Новосибирск: Наука, 2005. 390 c.

[9] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 57б с.

Поступила в редакцию 27 декабря 2Q12 г., с доработки — S апреля 2Q13 г.