Исследование решений уравнений мелкой воды в окрестности подвижной линии уреза Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 15, № 6, 2010

Исследование решений уравнений мелкой воды в окрестности подвижной линии уреза*

С. П. Баутин, С. Л. Дерябин Уральский государственный университет путей сообщения, Екатеринбург, Россия e-mail: SBautin@math.usart.ru, SDeryabin@math.usurt.ru

А. Ф. Соммер Новосибирский государственный университет, Россия e-mail: nisei@sibmail.ru

Г. С. Хакимзянов Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия

e-mail: khak@ict.nsc.ru

Для уравнений мелкой воды построены решения начально-краевых задач в виде рядов, локально сходящихся в окрестности подвижной границы вода—суша для произвольного рельефа дна. Определены закон и скорость движения этой границы при различных режимах взаимодействия волны с берегом. Полученные результаты аналитического исследования решений использованы для разработки новых аппроксимаций краевых условий на подвижной линии уреза. Приведены результаты численного решения тестовых задач с помощью явной схемы предиктор-корректор второго порядка аппроксимации на адаптивных сетках, отслеживающих положение границы вода—суша.

Ключевые слова: линия уреза, пологий откос, неровное дно, процесс наката и отката волны, уравнения мелкой воды, аналитическое решение, численное моделирование, конечно-разностная схема, адаптивная сетка.

Введение

Для расчета распространения длинных волн в морских акваториях и наката таких волн на берег широкое распространение получили численные методы, основанные на аппроксимации уравнений мелкой воды. При приближении волны к берегу линия уреза начинает смещаться в сторону суши, поэтому решение задачи приходится отыскивать в области с подвижной границей. Кроме того, на самой линии уреза полная глубина воды обращается в нуль, а число Фруда становится бесконечным, что создает дополнительные трудности при численном моделировании взаимодействия волн с берегом [1]. Вследствие этих обстоятельств для оценки точности различных численных методов решения задач с подвижной линией уреза, а также для корректной постановки на ней краевых условий необходимы аналитические исследования поведения решения в процессах наката и отката волн.

*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 08-01-00052, 09-05-00294 и 10-05-91052-НЦНИ).

Аналитические решения системы одномерных нелинейных уравнений мелкой воды, описывающие накат и откат необрушающихея стоячих волн на плоский откос, получены в работе [2]. Предложенный в ней подход получил дальнейшее развитие в статьях [3, 4], в которых учтено влияние начальной формы волны на поведение траектории точки уреза и ее скорости, В [5] выведена аналитическая формула для вычисления максимума вертикального наката уединенной волны на относительно крутой плоский откос, сопряженный с участком горизонтального дна,

В публикациях [6-9] установлено, что для относительно крутых плоских откосов максимальные значения высоты наката необрушающихея волн и глубины отката будут одинаковыми для линейной и нелинейной теорий мелкой воды, что позволяет рассчитывать максимальные заплески или откаты с помощью простых инженерных формул линейной теории, хотя, конечно же, эта теория неверно описывает детали течения, В работах [10-12] выполнено подробное исследование влияния формы набегающей волны на максимальные значения высоты и скорости наката на плоский откос, глубины и скорости отката.

Реальный береговой склон представляет собой криволинейную поверхность, поэтому взаимодействие волн с таким берегом имеет более сложный характер, чем в случае плоского откоса, и для детального описания процессов наката—отката необходимо использование методов численного моделирования [13], Самым трудным при этом является моделирование движения линии уреза, что подтверждается, в частности, и тем, что небольшие, казалось бы, модификации разностных краевых условий на линии уреза приводят к значительным изменениям величин заплесков или к неустойчивости счета [14], Результаты аналитических исследований, выполненных в указанных выше работах, позволяют оценивать зоны затопления, максимальные амплитуды колебаний уровня воды вблизи берега, другие интегральные характеристики и могут служить в качестве тестов для проверки качества численных алгоритмов по глобальным характеристикам (за весь временной промежуток взаимодействия волны с берегом). Однако эти результаты не дают (в общем случае криволинейного дна) ответа на вопрос: как, зная положение линии уреза и скорость ее точек на текущем временном слое, сделать правильные вычисления этих характеристик на следующем слое. Поэтому необходимы теоретические исследования решения в малом по времени (на интервалах порядка временного шага схемы) и исследования локальных свойств решения в окрестности линии уреза (см, работу [15] и библиографию к ней), на основе которых можно было бы конструировать на этой линии корректные численные краевые условия с заданной точностью. Данным вопросам и посвящена настоящая работа. Авторами выполнено аналитическое исследование решений нелинейных уравнений мелкой воды в окрестности границы вода—суша не только для плоского откоса, но и для произвольного рельефа дна и прилегающей суши. Рассмотрены три различных режима взаимодействия волны с берегом: накат необрушающейся волны в общем случае, накат необрушающейся волны в частном случае совпадения в начальный момент времени касательных в точке уреза к свободной границе и рельефу дна и накат с обрушением. Решения поставленных начально-краевых задач построены по методологии [16] в виде локально сходящихся рядов. Получен закон движения точки уреза, и найдены условия и моменты времени, когда один режим течения переходит в другой.

Вторая часть работы посвящена использованию полученных теоретических результатов при постановке разностных краевых условий на подвижной линии уреза. Отметим, что наибольшее распространение для расчета взаимодействия волн с берегом

получили конечно-разностные методы сквозного счета, в которых нестационарная область течения с подвижной линией уреза вкладывается в большую область простой формы, например в прямоугольник, содержащий акваторию, линию уреза и прилегающую к берегу часть суши, В этой области с неподвижной границей решаются те же уравнения гидродинамики, что и в исходной области течения, при этом суша либо покрывается тонкой пленкой воды, удерживаемой силой трения, либо заменяется мелкой акваторией с горизонтальным дном, либо в точках суши скорость и полная глубина воды полагаются равными нулю. Для приближенного нахождения положения подвижной линии уреза проводится анализ вычисленных значений полной глубины воды на каждом шаге по времени [15] и линия уреза определяется, например, как граница области, в узлах которой полная глубина равна нулю [17] или не превышает заранее заданной малой величины [18], либо каким-то иным образом.

Есть и другой подход, предложенный в [19], которого мы и придерживаемся в настоящей работе, — счет с выделением линии уреза, т, е, в области с подвижной границей, В этом случае для решения одномерных задач область течения покрывается равномерной подвижной сеткой, один из крайних узлов которой совпадает с подвижной точкой уреза. Дальнейшее развитие данный подход получил в работе [14], где, в частности, указано, что разностные краевые условия в точке уреза следует конструировать на основе аппроксимации уравнения движения, записанного в подвижной системе координат, Во многих работах (см., например, [20]) использовались лагранжевы координаты, "привязанные" к точке уреза, движущейся по плоскому откосу. Общим недостатком этих публикаций является отсутствие описания используемых в точке уреза разностных краевых условий,

В настоящей работе приведены аппроксимации краевых условий на подвижной линии уреза, основанные на результатах аналитического исследования решений в окрестности этой линии. Проведенные расчеты тестовых задач наката волн на берег с использованием явной схемы предиктор-корректор второго порядка аппроксимации на адаптивных неравномерных сетках, отслеживающих положение границы вода—суша [21], показали существенное преимущество предложенных аппроксимаций перед известными используемыми аппроксимациями.

1. Постановка задачи

Рассмотрим плоский слой жидкости, ограниченный свободной поверхностью и непроницаемым дном. Предполагается, что жидкость находится в гравитационном поле, является несжимаемой и невязкой. Декартова система координат Оху выбирается так, что уравнение свободной поверхности покоящейся жидкости имеет вид у = 0, при этом у = -к(х) — известная функция, задающая рельеф дна и прилегающей суши. Будем считать, что поверхностные волны являются длинными и распространяются по нормали к прямолинейной береговой линии. При указанных допущениях задача наката волн на берег может решаться [22] в рамках нелинейной модели мелкой воды первого приближения, уравнения которой имеют вид

ди . . , .

— + — = С, х > х0и), г > 0. (1)

дЬ дх

Рис. 1. Свободная граница y = n(x, t) и соответствующая ей точка уреза xo(t) (•) при Hx(xo(t)) = 0(1), Hx(xo(t)) = 0 (2), Hx(xo(t)) = ^(3)"

Здесь

u = ( Hi«)' f(u)=( Я«2 + ^72) ' G(u)=( gtfhx) '

t — время; «(x,t) — усредненная по глубине горизонтальная составляющая вектора скорости; Я = n + h — полная глубина; n(x,t) — отклонение свободной поверхности от невозмущенного уровня y = 0; g — ускорение свободного падения; x0(t) — подвижная левая граница области решения (подвижная точка уреза). Уравнения (1) дополняются краевым

Я(xo(t)'t) = 0, t > О, (2)

и начальными

Я(ж, 0) = Я0(ж), «(ж, 0) = w0(x), ж > x00, (3)

условиями, где x0(t) — искомая координата точки уреза (рис, 1), x00 = ж0(0) — положение этой точки в начальный момент времени, при этом предполагается, что волна движется справа налево. В численных расчетах область решения ограничивалась справа достаточно удаленной границей ж = L, на которой ставились неотражающие граничные условия 1211,

Уравнения (1) можно переписать в педивергептпой форме

ut + Aux = G, (4)

где A = df/du — матрица Якоби. Ее собственные значения A1)2 вычисляются по формулам

Ai = и - л/дН, А2 = и + л/дН. (5)

Предполагается, что при ж > x0(t) полная глубина положительна (Я(x,t) > 0). Тогда Ai = A2 и система уравнений (4) имеет гиперболический тип. В точке уреза x0(t) собственные значения (5) одинаковы (в силу условия Я(x0(t),t) = 0), поэтому линия ж = x0(t) является характеристикой кратности, равной двум [15], аналогично тому, как в задаче об истечении идеального газа в вакуум разделяющая их граница является кратной характеристикой. Отмеченная аналогия позволяет использовать в случае уравнений мелкой воды разработанный ранее |16| метод получения аналитических решений уравнений идеального газа в окрестности границы газ—вакуум.

2. Аналитическое решение уравнений мелкой воды в окрестности подвижной линии уреза

Для системы уравнений (1), переписанной в виде

Иг + Ихп + Ипх = 0, щ + пхп + дИх = д/(х), (6)

рассмотрим задачу Коши с начальными условиями, заданными в некоторый момент времени Ь = Ь0:

И (х,Ьо) = Ио(х), п(х,г0)= по(х). (7)

Здесь /(х) = к'(х). В частном случае плоского откоса, заданного функцией

у = —к(х) = —к (х — хоо), (8)

где х00 — точка уреза в начальный момент времени Ь = ¿0, имеем /(х) = к = сошt > 0, В зависимости от начальных условий возможны три случая, которые будут исследованы отдельно, а именно: И'(х00) = 0 И'(х00) = 0 и И'(х00) = то, при этом всегда

И0Ы0) = 0. (9)

2.1. Случай Н0(х00) = 0

Будем предполагать, что функции п0(х), И0(х), /(х) являются аналитическими. Тогда по теореме Ковалевской [23] задача (6), (7) имеет единственное аналитическое решение. Представим это решение в виде ряда по степеням (Ь — Ь0)

(+ — ¿0 )к

= ^яь(ж)—^р—, я =(#,«), (ю)

к=0 '

и найдем его коэффициенты. Из начальных условий (7) получаем, что

40(х) = (И(х), щ(х)), а из уравнений (6) при Ь = Ь0 следует, что

И\(х) = —И'щ — И0Щ0, щ(х) = д/ — дИ0 — п0щ. (11)

Последующее дифференцирование системы (6) по ¿, подстановка Ь = Ь0 и уже найденных коэффициентов ряда (10) дают следующие соотношения:

И2(х) = — И'0п1 — И0п'1 — И'п0 — И1п'0, п2(х) = —дИ' — п0п1 — п[п0;

кк Ик+1(х) = — ^ Ск(И'пПк-п + ИпЩк-п), пк+1(х) = —дИк — ^ СкП'пПк-п- (12)

п=0 п=0

Таким образом, решение задачи Коши (6), (7) построено в виде сходящегося ряда (10), Теперь можно определить закон движения точки уреза и ее скорость. Зная решение (10), перепишем краевое условие

И (х0(г),г) = 0

(13)

в виде

н0(х0(г)) + Щ{х„(*))(* - ¿о) + н2(х+ • • • + + ■ ■ ■ = 0. (14)

Поскольку при исследовании данного случая предполагалось, что Я0(х00) = 0, то согласно теореме о неявной функции существует единственная локально-аналитическая функция х = х0(£), проходящая через точку (х00,£0). Найдем эту функцию, представив закон движения точки уреза в виде ряда по степеням (£ — ¿0):

ж0(£) = Жоо + Хог^ - г0) + х02 ^ ^ Н-----Ь Хок^ ^ Н--------(15)

Чтобы найти коэффициент х01 рада (15), продифференцируем равенство (14) по ¿:

Н0 (Х0(*))х0(*) + Я1(Х0(*)) + Н1 (Х0(*))х0(*)(* — ¿0) + #2(Х0 (*))(* — ¿0) +

(/_ / )2 (/ —/ )к—1 (/ —/ )к + + = (16)

и положим в соотношении (16) £ = ¿0:

Н0(х00)х01 + Я1(х00) = 0.

Из последнего равенства находим

Я 1(ж00) ,

Ж01 - " ДЙЫ" (17)

Дифференцируя равенство (16) по £ и полагая затем £ = ¿0, получаем коэффициент

ГЯ2(ж00) + 2Я((ж00)ж01 + Яо(ж0о)жо! • (18)

х02

Я0(х00)

Для нахождения остальных коэффициентов ряда (15) продифференцируем равенство (14) /с раз по £ (к > 2) и положим £ = ¿0. В результате будем иметь

х03 = —

Я0(х00)

Яз(х00) + 3 (Я'х02 + Я2х01) + 3 (Я0'х01х02 + Я''х21 + Я''х01)

1

х0к = —

Я0 (х00)

Як(х00) + ^ . (19)

Здесь — функции, известным образом за висящие от Я^^хда) и х0га, где 1 < т < к, 0 < I < к — 11 < п < к — 1.

Подставляя построенный ряд (15) в решение (10), получим значение скорости жидкости в точке уреза

и|л=ло(4) = и(х0(£),£) = и°(£). (20)

Для исследования свойств функций (15), (20) введем новую независимую переменную

г = х — х0(£). (21)

Тогда во все моменты времени точка уреза будет иметь одну и ту же координату г = 0, а система уравнений (6) примет вид

Иг + (п — х0г (Ь))Иг + Ипх = 0, щ + (п — х0г(Ь))пг + дИх = д/(г + х0(Ь)).

Положив в этой системе г = 0 и соответственно И(0,Ь) = 0, получим

х0г = п°, х0(Ь0) = х00-,

п° + д (И21=)= д/Ыг)), п°(10) = п00, (22)

где п°(Ь) = п(Ь,г)\х=0, Щ0 = Щ^)-

В силу того что построенные функции (15), (20) определяются единственным образом, они одновременно являются решениями задачи (22), Анализ этой задачи показывает следующее:

1 — зная функции (15), (20), из второго уравнения системы (22) получаем значение выводящей с поверхности уреза производной функции И(г,Ь):

Нг\г=о = /(жо(^)) — —и°; (23)

д

2 — закон движения границы уреза (15) сохраняется до того момента времени Ь = когда выводящая с поверхности уреза производная функции И(г,Ь) становится равной бесконечности (Их(0,Ь*) = то).

2.2. Случай Н'(хоо) = 0

Равенство И'(х00) = 0 означает совпадение в тачальный момент времени Ь = Ь0 касательных, проведенных к поверхности дна и к поверхности воды в точке уреза (см, рис, 1), Пусть все производные И(1\х00) = 0 при 0 < I < р, а производная И(р\х00) = 0, Тогда в системе (6) сделаем вырожденную замену переменных: вместо функции И(х,Ь) введем функцию 9(х, Ь) то формуле И = 9Р. В результате система (6) перепишется в виде

вг + вхи + -вих = 0, щ + ихи + рд9р~19х = дЦх). (24)

р

Поскольку И(1\х00) = 0 для 0 < I < р, то

И0(х) = (х — х00)р И°(х), (25)

причем Н°(хоо) ф 0, Тогда бЦж) = {х — жоо)Н°{х) и, следовательно, 9'0(хоо) ф 0,

Введем новую независимую переменную (21), где х = х0(Ь) — неизвестный пока закон движения точки уреза. Тогда в переменных г, Ь система (24) запишется как

вг + {и-хы)вг + -виг = 0, щ + (и - хы)иг + рд9р~19х = + х0), (26) р

начальные условия будут иметь вид

9(г,^) = 90(г + х00), п(г,Ь0) = щ(г + х00),

(27)

а краевое условие (13) заменится на условие

0(М)|*=о = 0. (28)

Полагая в системе (26) г = 0 и учитывая (28), получим

Хоь = Хо(¿о) = Хоо, « = /(Хо(¿)), «°(*о) = «00- (29)

Очевидно, что задачу (29) можно получить из задачи (22), если в последней положить И |^=о = 0, что выполняется автоматически для рассматриваемого в данном разделе случая.

Поскольку функция /(х) в окрестности точки х = хоо является аналитической, то решения системы (29) будут аналитическими функциями; в частности, для плоского откоса (8) получим решение

к

=-го)2+ - + х0о, и°(г) = кд(г-г0) + и0о, (зо)

которое для ¿, близких к ¿о, при иоо < 0 описывает накат волны на плоский откос, а при иоо > 0 — откат.

Зная решение задачи (29), по-другому сформулируем начально-краевую задачу для функций 0, и, задав на границе г = 0 известные значения

0(0,*) = 0, и(0, ¿) = м°(*). (31)

В результате получим характеристическую задачу Коши (26), (27), (31), для которой справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Существует ¿1 > ¿о такое, что при ¿о < * < ¿1 в некоторой окрестности границы уреза Го существует единственное локально-аналитическое решение задачи (26), (27), (31).

Доказательство данной теоремы опирается на теорему о существовании единственного аналитического решения характеристической задачи Коши стандартного вида [16, 23], Задача (26), (27), (31) является характеристической задачей Коши с данными (31) на характеристике кратности, равной двум, поэтому для построения единственного локально-аналитического решения следует задать два дополнительных условия. Ими являются условия (27),

Разложим решение задачи (26), (27), (31) в ряд по степеням г:

00 к

= Я = (0,и), (32)

к=о '

что при малых г возможно в силу аналитичности решения этой задачи в некоторой окрестности линии Го — границы уреза.

Полагая в системе (26) г = 0 и учитывая краевые условия (31), получаем 0о(*) = 0, ио(*) = м°(*). Чтобы найти следующие коэффициенты ряда (32), продифференцируем систему (26) по г и положим г = 0, В результате получим системы транспортных уравнений:

3

Р= 2: ви + -91Щ = 0, ии + и21 + 2дв21=д/'(х0(г)), (33)

р +1

р> 2: ви + ~-в1Щ = 0, ии + и\ = д1\х0{1)). (34)

Р

Эти нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений описывают поведение первых выводящих с границы уреза Г0 производиых 9Х |^=0 и пх |^=0, Если ввести новую неизвестную функцию

у(Ь) = ехр J п1(т)б,т,

го

то системы уравнений (33), (34) примут вид

9\г 3уг

р =2:

р> 2: -г1 = -

9г 2у

1г _ (Р + 1)Уг

угг = уд Ы1)) — 292] Угг = уд/' (х0(Ь)).

(35)

(36)

91 Ру

Решения полученных систем находятся при начальных данных

у(и) = 1, уг(и) = пю = п1(и), 9^) = 910.

Решение первого уравнения системы (35) определяется формулой в\ = вю/ урф-Подставляя полученное выражение во второе уравнение системы (35), получим одно транспортное уравнение в виде, удобном для численного интегрирования:

угг = уд

92

ГЫ1))~

В частном случае плоского откоса (8) полученное транспортное уравнение имеет вид

Уы = -2д-

2 10

у2

и легко интегрируется: сначала определяется

Уг = 8ёп(щ0)^и210 + 4дв210 ^

- 1

у

а затем решение последнего уравнения записывается в неявном виде

SgIl(пlо)

л/(а + Ъу)у - |мю| а

Ь

Ъл/Ъ

1п

(у/а + Ъу — у/Ьу) (|мю| + VЪ

= Ь — Ь0,

где а = 4д9'20, Ь = п210 — а Для плоского откоса транспортное уравнение угг = 0 системы (36) имеет очень простое решение

у = 1 + пю(Ь — и)-

Таким образом определяются первые коэффициенты Q1(t) ряда (32), Для построения последующих коэффициентов система (26) дифференцируется к раз по г и в полученные соотношения подставляются г = 0 и ранее найденные коэффициенты Ql (I < к).

г

В результате получаются следующие системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

р = 2 : + ^ вкщ + + ^ в1ик =

пы + (к + 1) [итк + ] = ^к(¿), (37)

р > 2 : + ^ вкщ + + ^ =

Пк4 + (к + 1)п1Пк = ^2к (£). (38)

Ввиду громоздкости выражений для ^1к, ^2к их конкретный вид здесь не приводится. Начальные условия для систем (37), (38) однозначно определяются при разложении в ряд по степеням г начальных функций (27),

Системы (37), (38) линейны, поэтому первые особенности их решений совпадают с особенностями решений систем (33), (34), Проведенные ранее [16] исследования решений систем, подобных (33), (34), показали, что в некоторых случаях существует конечный момент времени £ = ¿* > £0, когда функция у(£) становится равной нулю, В этот момент производные их|^=0 = ^ и 9Х|^=0 = 01 равны бесконечности (рис, 2, а). Закон движения границы уреза, определяемый из (29), сохраняется до этого момента £ = ¿* момента возникновения бесконечных градиентов на границе уреза.

2.3. Случай Н'0(х00) = ^ — задача об опрокидывании волны

В рассматриваемой задаче возникновение в какой-либо момент времени бесконечных производных вг |^=0, п|^=0 может привести к опрокидыванию волны и, как следствие, к изменению конфигурации течения. Аналогичная ситуация возникает, когда уже в начальный момент времени £ = ¿0 появляется третий случай: Н0(ж00) = то.

Далее эти обе ситуации рассматриваются в следующем приближении: в начальный момент времени £ = ¿0 функция Н0(ж) = Н(ж, £) в точке ж = ж00 имеет разрыв первого рода от Н = 0 до Н00 = Н0(ж00) > 0 а правее то чки х = ж00 функци я Н0(ж) предполагается аналитической (рис, 2, б). Помимо функции Н0(х) аналитическая функция и0(ж) также считается заданной:

П0 (ж) = и(ж, ¿)| г=г0, П0 (ж00) = П00 и00

Н

Н

Г

II

I

X

III

Рис. 2. Профиль функции 0(х, ¿*) с бесконечной производной в точке х = х* (а); задача о распаде специального разрыва при Ь = ¿0 {б) и конфигурация течения при Ь > ¿0 после распада разрыва (в)

0

X

X

Поставленная задача называется задачей о распаде специального разрыва [16]. Решение ее моделирует течения, возникающие после опрокидывания волны. Схематично конфигурация течения, возникшего после момента времени Ь = Ь0, показана па рис. 2, е.

В рассматриваемой задаче в момент Ь = Ь0 начинается движение жидкости, определяемое заданными функциями И0 (х), п0 (х) и в дальнейшем называемое невозмущенной волной (область III на рис, 2, в), Кроме того, в момент Ь = Ь0 в результате опрокидывания волны (в результате распада поставленного разрыва) возникает еще одно течение, граничащее с невозмущенным течением и далее называемое возмущенной волной (область II на рис. 2, е). Это другое течение — возмущенная волна — отделено от невозмущенной волны линией Г — звуковой характеристикой данных течений, на которой имеет место слабый разрыв. С левой стороны возмущенная волна отделена от сухого берега (область I на рис. 2, е) линией Г0 — границей уреза, где выполняется условие И(х,Ь)|г0 = 0. Требуется построить невозмущенную и возмущенную волны, а также найти законы движения ^ и Г0,

Как уже отмечалось, задача Коши для системы (6) с аналитическими начальными данными в момент времени Ь = Ь0 имеет при малых \Ь — ¿0| единственное аналитическое решение, которое можно представить в виде сходящихся рядов по степеням (Ь — Ь0) с кох

х = х00. При помощи этого решения однозначно определявтея [22] функция х = х1(Ь), задающая закон движения поверхности слабого разрыва Г — звуковой характеристики невозмущенной волны, через которую непрерывно стыкуются невозмущенная и возмущенная волны. Также однозначно в виде аналитических функций

И 1х=хф) = И0(Ь), п1х=хф) = п0(Ь) (39)

определяются значения функций И(х,Ь), п(х, Ь) на звуковой характеристике Г^ Поэтому далее будут предполагаться известными невозмущенная волна, линия Г и функции И0(Ь), п0(Ь).

Для построения возмущенной волны, как и в [16] при построении решения задачи о распаде разрыва, в системе (6) делается следующая замена переменных: за независимые переменные берутся Ь и И, а за неизвестные функции — х и п. В результате (6) запишется как

хг = п + Ипн, хн пг — И (пн )2 + д = дхн / (х). (40)

Г1 Г0

Г1 Г1

кратности, равной единице, то для получения единственного локально-аналитического решения необходимо задать одно дополнительное условие [16]. В случае опрокидывания волны этим условием в пространстве переменных (Ь, И) является условие вертикали [16]

х(Ь,И )\г=го = х00■ (41)

Теорема 2. Существует Ь1 > 0 такое, что при Ь0 < Ь < Ь1 в некоторой окрестно-Г1

Доказательство теоремы, как и в [16], состоит в сведении ее к теореме о существовании единственного аналитического решения у характеристической задачи Коши стандартного вида.

Г0

этого решения, разложим решение задачи (39)—(41) в ряд по степеням (Ь — Ь0):

™ (Ь — Ь )к

Щг,Н) = ^Ък(Н)[ к10) , (42)

к=0 '

что при малых \Ь — ¿0| возможно в силу аналитичности решения задачи о распаде раз-

Г1

В системе (40) положим Ь = Ь0 и, учитывая (41), будем иметь

хг(Н) = щ(Н) + Ни'0(Н), и'0(Н) =

После интегрирования второго уравнения полученной системы определяются

х\(Н) = и* ± Зу/дН, щ(Н) = щ±2у/дН.

Произвольная постоянная п*, возникшая при интегрировании, находится с помощью второго начального условия из (39) по формуле

и* = и0(х00) т 2л/дН0(х0о) = и00 т 2л/дН00.

Далее согласно физическому смыслу задачи в последнем уравнении нужно взять знак минус, а в трех предыдущих — плюс. Ниже (в лемме 2) будет показано, что величина

Щ = Що ~ 2 л/дН00 (43)

есть начальная скорость границы уреза после распада рассматриваемого разрыва. Дифференцируя систему (40) по Ь, полагая Ь = Ь0 и учитывая условие (41), имеем

3 3

х2{Н) = щ(Н) + Ни1,, Ни[(Н) - -щ(Н) = --дЦхоо)-

После интегрирования второго уравнения получим

7 3 3

х2{Н) = -ишЯ4 + дЦхоо), щ(Н) = щ0Н* + дЦх00).

Дифференцируя систему (40) к раз по Ь, полагая Ь = Ь0 и учитывая условие (41) и ранее полученные выражения для ИДИ) (I < к), имеем

о /77

хк+1(Н) = щ(Н) + Ни'к(Н), Ни'к(Н) - -кщ(Н) = ^—Р2к(Н).

4 2 у/д

Интегрирование последнего уравнения этой системы приводит к формулам

хк+1 (Я) = Л + Н-±кико + ^(Я),

ик{н) = т1

ик0 + -^- [ Р2к(Н)^НН-1к~ЧН 2 у/д 3

го

г

Здесь Fik, F2k — функции, зависящие от Ri(H) (/ < k); их вид не приводится ввиду громоздкости.

Произвольные постоянные uk0, появившиеся при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений для uk(H), определяются при помощи условий (39), Для этого H0(t) подставляем в правые части выражения для u(t, H) из (42), a u0(t) — в левые части. Раскладывая получившиеся справа и слева функции в ряды по степеням (t — t0) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем соотношения, из которых однозначно находятся константы uk0.

Лемма 1. Коэффициенты рядов (4.2) при k > 1 имеют вид

13 3

Rfc(tf ) = afc + pfc(tf, m, m, m ь я),

где ak — постоянные век 'торы, Pk — вектор-многочлены, от указанных аргументов, степени которых не выше, чем Ak, A = const. При этом,

lim Pk = 0.

Доказательство леммы аналогично соответствующему доказательству для нормального газа из [16] и проводится индукцией по k. Сначала доказывается, что F2k(H) обладают нужной структурой, а затем непосредственным интегрированием выясняется, что Rk(H) обладают указанной структурой,

С помощью леммы 1 установлены следующие свойства рядов (42):

H

= So(t, Я, я! In Я) + -4si(t, Я, я! In Я) +

дН Hè

I 13 3 In H 13 3

+—S2(i, Я, Я2 , Я4 , Я 4 In Я) + —-s3(t, Я, Я2 , Я4 , Я4 In Я),

Я 4 Я 4

где Si (г = 0... 3) — аналитические вектор-функции от перечисленных аргументов и поэтому Si |н=0 являются анадитическими функциями от t в окрестности точки t = t0;

2 — при H — 0 главная часть производной dR/dH имеет вид

и поэтому dR/dH — то при H — 0;

3 — функции x(t, H), u(t, H) имеют структуру

x = x0(t) + xl(t, H), u = U0(t) + Ul(t, H),

причем, как уже отмечено в лемме 1,

lim xl(t, H) = 0, lim Ul(t,H) = 0,

H^0 H^0

a функции x0(t), U0(t) имеют вид

k=0 ' k=0 '

Для функций х0(Ь), и0(Ь) справедлива следующая лемма. Лемма 2. Ряды (44) являются, решением вспомогательной задачи

X = и0, ж(*о) = хоо, и0 = д/(х), и0(^о) = и*. (45)

Лемма доказывается разложением решения задачи (45) в ряд по степеням (Ь — ¿0) и сравнением полученных рядов с рядами (44), Ряды оказываются равными. На основании приведенных лемм доказывается следующая теорема. Теорема 3. Существует Ь2 > 0 такое, что при Ь0 < Ь < Ь2 область сходимости, рядов (42) покрывает всю область возмущенной волны, от Г до Г0 включительно. Закон движения границы уреза Г0 определяется, из решения задачи, (45)- Причем на границе уреза дИ/дЯ |н=0 = ж во все моменты времени Ь > ¿0.

Доказательство теоремы аналогично доказательству из [16] для нормального газа и проводится по методике, позволяющей установить неограниченность области сходимости рядов по соответствующей переменной в случае полиноминальной структуры коэффициентов ряда. Поскольку при Ь > Ь0 на границе уреза дх/дЯ|н=0 = ж, то в физическом пространстве это условие переходит в условие Ях|Го = 0, т.е. после опрокидывания волны, в возмущенной волне на, границе уреза всегда, реализуется, второй случай.

Заметим, что у задач (29) и (45) совпадают системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Если в начальных данных задачи (45) высоту начального разрыва

Я Я00 = 0

тоже будут совпадать.

При накате волны на берег и00 < 0, и поэтому вели чипа и* — скорость границы уреза в момент распада начального разрыва — отрицательная,

В частном случае плоского откоса решение системы (45) имеет вид

к

х0^) =-д{1 - г0)2 + - г0) + х00, и°(г) = кд(г-г0) + (46)

к>0

распада разрыва скорость движения границы уреза убывает по модулю. Если бесконечные градиенты на урезе не возникают, то конфигурация течения не будет меняться и в момент времени

/ -t

''ост ^О ,

кд

точка уреза остановится и начнется откат волны. При этом для плоского откоса (8) величины утах (максимальная высота заплеека) и хтах (максимальная величина горизонтального продвижения точки уреза на берег) примут значения

_ ^

У шах п ) "Стах Хдд

Таким образом, при Ь > ¿0 построено решение задачи об опрокидывании волны в момент Ь = ¿0. Отметим, что ранее в работе [15] также отмечалось, что при накате бора на плоский откос возникает распад разрыва с образованием возмущенной волны, в которой поверхность воды в точке уреза касается поверхности дна, а точка уреза х = х0(Ь) оказывается нечувствительной к другим частям течения в том смысле, что она

движется по плоскому откосу как изолированная материальная точка под действием лишь силы тяжести, т.е. согласно параболическому закону движения (46),

Резюмируя вышеизложенное, отметим, что выше в зависимости от начальных условий рассмотрены три различных случая, возникающих при выходе волны на берег. Решения поставленных начально-краевых задач построены в виде рядов, сходящихся в окрестности границы уреза. Закон движения этой границы определяется либо в виде ряда (15), либо в результате решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (29) или (45), Поведение выводящей производной на границе уреза определяет момент времени Ь = Ь*, до которого сохраняется непрерывная картина течения и после которого возникает другая конфигурация течения. Значение этой производной определяется либо в виде (23), либо при решении системы транспортных уравнений (33) или (34), Подчеркнем, что проведенные исследования носят локальный характер: все свойства решений установлены в окрестности границы уреза.

3. Расчет наката с использованием аналитического решения в точке уреза

Для расчета наката поверхностных волн на берег использовалась схема предиктор-корректор на адаптивной сетке [24], аппроксимирующая со вторым порядком уравнения (1) и сохраняющая в линейном случае монотонность профилей численного решения. Адаптивная сетка {хп^ (] = 0,...,Ы) строилась методом эквираепределения [21] и имела в отличие от [14] подвижные сгущения в окрестностях вершин и впадин волн либо вблизи точки уреза х0(Ьп), которая совмещалась та каждом временном слое Ь = Ьп с самым левым расчетным узлом хЩ. Такое совмещение позволяло четко отслеживать движение точки уреза даже па грубой сетке (при небольшом числе узлов М),

Для вычисления величин хЩ+\ ИЩ+1 и пП+1 на (п + 1)-м слое по времени необходимо иметь разностные краевые условия в точке уреза. Для вычисления полной глубины будем использовать формулу (13), полагая

ИЩ+1 = 0. (47)

Если разностная производная ИЩ0 па п-м слое по времени, определенная по формуле

Ип Ип

Ко = 1 _ „п ' (48)

х1 — х0

\\

т < \ИЩ0\ < М, (49)

где 0 < т ^ М т, М — заданные числа, то согласно результатам, изложенным в разделе 2,1, для приближенного вычисления нового положения точки уреза можно использовать частичную сумму ряда (15), в качестве которой возьмем следующую:

(1 — ¿0 )2

х0(Ь) = х00 + х01(Ь - ¿о) + Ж02-• (50)

Учитывая равенства (17), (18), (11, (12), получим

х01 = п0(х00), х02 = —дп'о (х00),

(51)

где По(х) = Ио(х) — Л,(х). Полагая £ — £о = гДе г _ шаг 110 времени, и используя равенства (51), приходим к разностному аналогу выражения (50)

хп0+1 = хп0 + ип0т - дт,1(52)

Для определения скорости «П+1 воспользуемся простейшей аппроксимацией второго уравнения системы (15):

иП+1 ип пп — Пп

= -«о - «»)

/ X1 Хо

При численном решении задачи будем считать, что второй случай (Ио(хоо) = 0) реализуется при выполнении условия

|ИП,о|<т, (54)

где т — заданное в (49) малое положительное число. Теперь для вычисления величин хЩ+1 и «П+1 следует воспользоваться аппроксимацией системы (29), Ради простоты примем модифицированную схему Эйлера

хп0+1 = хп0 + тип0 + ^ д/ (4), «Г1 = ип0 + тд/ (4) + ^ д</' (4), (55)

которая для плоского откоса (8) дает точное решение (30),

В качестве критерия возникновения третьего случая — обрушения волны — будем

||

|ИП,о| >М, (56)

где М — заданное в (49) достаточно большое положительное число. Расчет значений хЩ+1 и «П+1 проводится теперь с помощью разностной схемы, аналогичной (55) и аппроксимирующей систему (45):

х%+1 = + тщ + уд/ (х%), ип+1 = щ + тд/ (х%) + ^дщГ (х%) , (57)

при этом для вычисления м* по формуле (43) используем значения моо = мЩ и Иоо = ИЩ за "скачком" (в первом, соседнем с урезом, узле сетки) , т, е.

м* = «п

- Зл/дЯ?- (58)

Отметим, что для плоского откоса (8) формулы (57) точно описывают аналитическое решение (46),

3.1. Движение волны понижения по сухому горизонтальному руслу

Предполагается, что справа от плотины, расположенной в точке с координатой х^, пол-

И1

плотины образуется волна понижения, ограниченная слева подвижной точкой контакта х = хо(£) с сухим дном, а справа — подвижной точкой сопряжения х = х1(£) с покоящейся жидкостью. Возьмем эту волну понижения в некоторый момент времени в качестве

начальных данных для уравнений (1), Тогда точное решение задачи (1)—(3) при Ь > 0 имеет следующий вид:

0 ^ х ^ х0(Ь),

хоЦ) ^ х ^ хг(г), (59)

хх(Ь) ^ х ^ Ь,

0 ^ х < х0(Ь),

х0Ц) ^ х ^ хг(г), (60)

хх(Ь) ^ х ^ Ь,

(Го), (61)

(Гх). (62)

Эта задача интересна тем, что подвижная точка контакта сухое дно—вода (далее "точка уреза") аналогична подвижной точке уреза при набегании волн на наклонный берег, поэтому задача может служить в качестве тестовой для апробации алгоритмов

Го

Го Го

характеристикой Гх — возмущенная волна (волна понижения) со сверхкритическим течением в подобласти х0(Ь) < х < х^, справа от Гх — невозмущенная волна (в данном примере — покоящаяся жидкость с постоянной глубиной Их).

Рассматриваемая задача относится ко второму случаю (И'(х00) = 0), поскольку в на-

Г0

цией вида (25) с показателем р = 2:

Ио(х) = (х - хоо) И°(х),

где хоо = ха- Шьу/Щ, Н°(х) = (34)"2. Отметим, что для точного решения равенство И'х(х0(Ь)= 0 выполняется при всех Ь > 0, однако для разностной производной (48) это равенство нарушается, поэтому в процессе расчета проводился анализ всех критериев (49), (54), (56)".

Представленные на рис. 3 результаты получены при заданных т = 10-3, М = 10 и следующих значениях входных параметров:

Их = 1, гь = 1, хЛ =12, Ь = 20, Н(х) = 1.

Как видно из рис. 3, а, в окрестности "точки уреза" расчетный и теоретический профили свободной границы визуально неразличимы. Причиной столь высокой точности является как использование разностных краевых условий в "точке уреза", выведенных на основе аналитического исследования решений, так и применение адаптивных сеток, имеющих сильное сгущение около границы Г0 (см. рис. 3, б, на котором изображены траектории узлов адаптивной сетки, построенной согласно управляющей функции

0

2

при

Их при

0 при

при

0

где Ь — длина области решения, принято д = 1 и

х0(г) = х<1-2у/н~1(г + гь) = х<1 + \fH~iit + и)

где а > 0).

= 1 + а\гц\,

(63)

Рис. 3. Движение волны понижения по сухому руслу: a — графики точного (сплошные линии) и численного (штрих) решений: свободная поверхность y = n(x, T) в моменты времени T = 1 (г), 2 (гг) и 3 (ш); траектория x = x0(t) "точки уреза" и ее скорость u = uo(t) при N = 100 (1) и 800 (2)-, б— траектории узлов адаптивной сетки при N = 400, a = 40

Во многих работах (см., например, [25]) отмечается, что профиль полной глубины при численном решении подобных тестовых задач с подвижной "точкой уреза" обычно передается неплохо, однако для скорости наблюдаются значительные погрешности. Применяемый в настоящей работе метод адаптивных сеток дает для скорости движения "точки уреза" визуально неразличимые с точным решением графики (в рассматриваемой задаче м°(£) = — 2), Чтобы эти графики различались, были проведены расчеты па подвижных равномерных сетках ^ = 1), Из рис, 3, а видно, что на равномерных сетках погрешность вычисления хо(£) и м°(£) становится заметной, однако при измельчении сетки она уменьшается. Более того, для выбранного значения т = 10-3 погрешность расчета этих величин исчезает не только на адаптивных, но даже и на равномерных сетках, если для последних взять N > 1200, Это объясняется тем, что на таких мелких сетках всегда выполняется критерий (54) и формулы (55), которые для исследуемой задачи принимают вид

Хд+ — Хд + тМд; «о+ — «о,

точно передают положение (61) и скорость м°(£) подвижной "точки уреза" хо(£). При использовании адаптивной сетки, сгущающейся к точке уреза, этот же результат получается на меньшем количестве узлов. Отметим, что такая точность никогда не достигалась для применяемых ранее аппроксимаций краевых условий в точке уреза [21],

3.2. Накат одиночной волны на плоский откос

Рассматривается задача о набегании волн на плоский откос, сопрягающийся с горизон-

1

w , . 0.5 — x tan 9 при 0 ^ x ^ y = — h(x) = < . r

1 —1 при xs ^ x ^ L

где 9 — угол наклона откоса, xs = 1.5 cot 9 — абсцисса основания склона. В начальный момент времени точка уреза имела координату x00 = 0.5 cot 9.

Имеются вполне удовлетворительные численные методы расчета взаимодействия поверхностных волн с относительно крутыми откосами (например, 9 > 20° в [20]). Для 9

ны в процессе наката или при появлении опрокидывающегося бора в фазе отката [15], 9

лых амплитуд набегающей волны [7, 8]. Однако численное моделирование даже необ-рушающихея волн на пологих откосах представляет собой непростую задачу [18] из-за сложности счета в протяженной области малых значений полной глубины и сверхкритичного режима течения в окрестности точки уреза. В настоящей работе максимальные значения вертикального заплеска в расчетах полностью совпали с теоретическими значениями, приведенными в работе [5] для уединенной волны с амплитудой A из диапазона от 0.005 до 0.01 и малого угла наклона откоса (cot 9 = 19.85). Этот интересный факт можно интерпретировать как косвенное подтверждение эквивалентности решений, полученных разными путями и представленных в разной форме в настоящей работе и в [5].

Расчеты выполнялись также для одиночных волн другой формы. Приведем, например, результаты расчетов наката одиночной волны, которая в начальный момент времени задавалась формулами

rj(x,t) =rjo(x), u(x,t) = щ(х) =--^о(^) д /g^

t=o t=o 1 + По (x)

где

A f ,2n(x — xw)

(l + cos (

( \ I I J I , \x xw\ < A/2,

По(х) = \ 2 \ v A J

0, lx — xwI > A/2,

A — длина волны, xw — абсцисса ее верши ны при t = 0.

0.06 П

0.04

У

150 t

100 50

Рис. 4. Накат одиночной волны на пологий плоский откос (9 = 2.8°): a — профили свободной границы y = n(x, t) в моменты времени t = 20 (i), 30 (2), 40 (3) и 50 (4); б— траектории узлов адаптивной сетки при N = 400, a = 6

0

а б

Рис. 5. Поведение точки уреза: а — горизонтальное смещение точки уреза при 9 = 2.8°: А =

0.005 (1), 0.009 (2); б — вертикальное смещение точки уреза при А = 0.01 9 = 2° (1), 5° (2), 8°

Представленные на рис. 4 и 5 результаты расчетов получены при следующих значениях параметров: Л = 30, хт = х3 + Л/2, Ь = х3 + Л. Как следует из 4, а (см. с. 37), в процессе взаимодействия волны с берегом может реализоваться любой из трех режимов: (49), (54) или (56). В описываемых расчетах переключение режимов осуществлялось по пороговым значениям т = 10-5 и М = 1, а подвижная сетка строилась па основе управляющей функции (63), адаптируясь к форме волны и к подвижной точке уреза (рис. 4, б).

Интересной особенностью взаимодействия одиночной волны с пологим откосом является колебательный характер процесса наката—отката (рис. 5, а). При этом низкочастотные колебания точки уреза не связаны с отражением волн от правой границы х = Ь: она пропускает движущиеся вправо волны практически без отражения. С численными эффектами колебания также не связаны, поскольку схема [24] свободна от "паразитических" осцилляций. Причина их возникновения, видимо, в особом режиме взаимодействия набегающей волны с очень пологим склоном. На возможность длительных низкочастотных колебаний точки уреза при набегании одиночной волны на очень пологий берег указано в работе [26], но изучено это явление пока недостаточно. Отметим, что с увеличением крутизны плоского откоса колебательный характер движения точки уреза практически исчезает. Это следует из рис. 5,6, на котором изображены графики функции Я(£) = п(хо(£),¿) при разных углах наклона 9. Видно, что при 9 = 8° процесс взаимодействия одиночной волны с плоским откосом сводится к простому накату и откату, после которого точка уреза быстро возвращается в свое первоначальное хоо

3.3. Результаты численного моделирования наката одиночной волны на неровный модельный откос

Для исследования влияния неровности рельефа дна и прилегающей суши на процессы наката—отката был выбран модельный рельеф с ненулевой кривизной, заданный

a б

Рис. 6. Накат одиночной волны с амплитудой A = 0.01 на неровный откос при Qq = 5o (i) и 11° (2): a — профили дна y = — h(x) (сплошные лиши) и локальные углы наклона дна Q = Q(x) (штрих); б— вертикальное смещение R(t) точки уреза

с помощью гладкой монотонно убывающей функции

У = ~h(x) = + tanh [с(х - £)], (65)

где h+ < 0 — глубина дна в правой бесконечно удаленной точке, h- > 0 — высота суши в левой бесконечно удаленной точке,

2 tan 1 hQ — h+

2с 1 '

0q — максимальный угол наклона неровного склона, который достигается в точке перегиба hQ — высота суши в точке x = 0 (0 < hQ < h-). Согласно уравнению (65) в начальный момент времени точка уреза имеет координату

при этом 0 < х00 <

В расчетах использовались следующие значения параметров: = —1, Н- = 0.15, Л,0 = 0.14, длина области Ь = 60. На рис. 6, а модельный профиль для двух значений 90

90 = 5°

ности начальной точки уреза не превышают 2.5°. Начальное возмущение задавалось в виде одиночной волны (64), при этом полагалось хад = 0.75Ь, Л = 30. Параметры разностной схемы бранись такими же, как в предыдущей задаче.

На рис. 6, б" приведены графики вертикального смещения точки уреза дня двух зна-90

уреза также имеет место. Как и дня плоского откоса, максимальная амплитуда колеба-

90 90

увеличению частоты колебаний.

Заключение

В работе выполнено аналитическое исследование решений нелинейных уравнений мелкой воды в окрестности границы вода—суша, описывающих процессы наката и отката волн на криволинейный склон. Рассмотрено несколько режимов взаимодействия волны с берегом и для каждого из них с использованием методологии [16] выписано решение в виде локально сходящихся рядов. Разработаны новые аппроксимации краевых условий в подвижной точке уреза, существенно использующие полученный аналитически закон движения этой точки. На тестовых примерах показано, что применение предложенных аппроксимаций позволяет рассчитывать на длительные времена процессы наката и отката волн как на плоские, так и на криволинейные откосы. Авторы считают, что методология [16] позволит в дальнейшем выполнить обобщение полученных результатов на случай движения криволинейной линии уреза при накате волн, распространяющихся над пространственно неоднородным рельефом дна.

Список литературы

[1] Вольцингер Н.Е., Клеванный К.А., Пелиновский Е.Н. Длинноволновая динамика прибрежной зоны. Л.: Гидрометеоиздат, 1989. 272 с.

[2] Carri er G.F., (¡не enspan Н.Р. Water waves of finite amplitude on a sloping beach // J. Fluid Mech. 1958. Vol. 4, No. 1. P. 97-109.

[3] Carrier G.F., Wu T.T., Yeh H. Tsunami run-up and draw-down on a plane beach // Ibid. 2003. Vol. 475. P. 79-99.

[4] Kanoglu U. Nonlinear evolution and runup-rundown of long waves over a sloping beach // Ibid. 2004. Vol. 513. P. 363-372.

[5] Synolakis C.E. The runup of solitary waves // Ibid. 1987. Vol. 185. P. 523-545.

[6] Мазова P.X., Пелиновский Е.Н. Линейная теория наката волн цунами на берег // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1982. Т. 18, № 2. С. 166-171.

[7] Кайстренко В.М., Пелиновский Е.Н., Симонов К.В. Накат и трансформация волн цунами на мелководье // Метеорология и гидрология. 1985. № 10. С. 68-75.

[8] Pelinovsky E.N., Mazova R.Kh. Exact analytical solutions of nonlinear problems of tsunami wave run-up on slopes with different profiles // Natural Hazards. 1992. Vol. 6, No. 3. P. 227-249.

[9] Synolakis C.E. Tsunami runup on steep slopes: How good linear theory really is // Ibid. 1991. Vol. 4, No. 2-3. P. 221-234.

[10] Диденкулова И.И., Заибо Н., Куркин А.А. и др. Накат нелинейно деформированных волн на берег // Докл. РАН. 2006. Т. 410, № 5. С. 676-678.

[11] Диденкулова И.И., Куркин А.А., Пелиновский Е.Н. Накат одиночных волн различной формы на берег // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2007. Т. 43, № 3. С. 419-425.

[12] Диденкулова И.И., Пелиновский Е.Н. Накат длинных волн на берег: Влияние формы подходящей волны // Океанология. 2008. Т. 48, № 1. С. 5-10.

[13] Yeh Н., Liu P., Synolakis C.E. Long-wave Runup Models. Singapore: World Sci. Publ., 1996. 403 p.

[14] Лятхер В.М., Милитеев А.Н. Расчет наката длинных гравитационных волн на откос // Океанология. 1974. Т. 14, № 1. С. 37-42.

[15] Hibberd S., Peregrine D.H. Surf and runup on a beach: A uniform bore // J. Fluid Mech. 1979. Vol. 95, pt 2. P. 323-345.

[16] Баутин С.П., Дерябин С.Л. Математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум. Новосибирск: Наука, 2005. 390 с.

[17] Федотова З.И. Обоснование численного метода для моделирования наката длинных волн на берег // Вычисл. технологии. 2002. Т. 7, № 5. С. 58-76.

[18] Kobayashi N., DeSilva G.S., Watson K.D. Wave transformation and swash oscillation on gentle and steep slopes //J. Geophvs. Res. 1989. Vol. 94, No. CI. P. 951-966.

[19] Судобичер В.Г., Шугрин С.М. Движение потока воды по сухому руслу // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1968. Т. 13, вып. 3. С. 116-122.

[20] Pedersen G., Gjevik В. Run-up of solitary waves // J. Fluid Mech. 1983. Vol. 135. P. 283-299.

[21] Численное моделирование течений жидкости с поверхностными волнами / Г.С. Хаким-зянов, Ю.И. Шокин, В.Б. Барахнин, Н.Ю. Шокина. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001. 394 с.

[22] Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. 368 с.

[23] Баутин С.П. Характеристическая задача Коши и ее приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 2009. 368 с.

[24] Шокин Ю.И., Хакимзянов Г.С. Схема предиктор-корректор, сохраняющая гидравлический скачок // Вычисл. технологии. 2006. Т. 11. Спец. выпуск, посвященный 85-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко. Ч. 2. С. 92-99.

[25] Vincent S., Caltagirone J.-P. Numerical modelling of bore propagation and run-up on sloping beaches using a MacCormack TVD scheme //J. Hydraulic Res. 2001. Vol. 39, No 1. P. 41-49.

[26] Synolakis C.E., Bernard E.N., Titov V.V. et al. Validation and verification of tsunami numerical models // Pure and Appl. Geophis. 2008. Vol. 165. P. 2197-2228.

Поступила в редакцию 10 сентября 2010 г.