CC BY-NC-ND
46
Г.Е. Крейдлин, Г.Б. Шабат
Теорема как вид текста: II. Когнитивные операции над формулировками теорем
В работе анализируются четыре когнитивные операции над текстами — специализация, десигнация, универсализация и экзистенциализа-ция. Показано, что эти операции применимы не только к формулировкам теорем, т.е. к математическим текстам, но и к текстам другой тематики, других жанров и стилей. В результате применения данных операций мы получаем новые полнозначные тексты. Основная цель работы состоит в том, чтобы показать, что понимание этих когнитивных операция составляет суть понимания математических, и не только математических, текстов. Рассматриваемые когнитивные операции объединяет общее свойство, а именно все они связаны с обобщением частных суждений или конкретизацией общих: специализация (снятие квантора общности V или соответствующих ему кванторных слов); десигнация (снятие квантора существования 3); универсализяттия, или универсальное обобщение (навешивание квантора общности V); экзистенциализация, или экзистенциальное обобщение (навешивание квантора существования 3). При рассмотрении каждой операций основное внимание обращается на математически, лингвистически и познавательно интересные случаи. Кроме того, всякий раз подчёркивается важность применения этих операций в дидактической деятельности.
Ключевые слова: специализация, десигнация, универсализация, эк-зистенциализация, теорема, текст, операция.
0. Введение. Постановка задачи
В нашей работе1 были выделены некоторые свойства формулировок теорем, а именно формализуемость, специализируемость, запоминаемость и понятность. В той же работе последнее из свойств было разобрано более подробно. Кроме того, в упомянутой работе было показано, что существуют содержательные интеллектуальные операции над знаниями, или, иначе, преобразования знаний, которые можно извлечь из формулировок теорем.
© Крейдлин Г.Е., Шабат Г.Б., 2011
Эти операции называют когнитивными (от англ. cognitive 'познавательный, относящийся к преобразованиям знаний'). Здесь и в дальнейшем слово операция, равно как и слово преобразование, иногда рассматривается в двух смыслах — как обозначение процесса и как обозначение его результата (в случаях, если нам понадобится различить эти смыслы, мы это будем делать по ходу изложения). Важно отметить, что некоторые когнитивные операции применимы не только к формулировкам теорем, но и к нематематическим текстам; в результате их применения мы получаем новые тексты.
К когнитивным относятся такие преобразования текстов, как адаптация, реферирование, аннотирование, выделение ключевых слов и многие другие. Важно, что набор возможных операций обычно предопределён типом текста, над которым они совершаются. Например, к вопросительным текстам операция реферирования не применяется — в отличие, скажем, от операций адаптации или выделения ключевых слов.
В настоящей работе предполагается рассмотреть четыре когнитивные операции над формулировками теорем; ими, впрочем, не исчерпывается множество разумных когнитивных операций над математическими и другими текстами. Речь пойдёт об операциях специализации, десигнации, универсализации и экзи-стенциализации.2 Они применимы не только к математическим текстам, но используются, например, для извлечения морали из басни, извлечения юридического прецедента из формулировки закона, создания закона на базе совокупности конкретных ситуаций или приложения знания, выраженного в тексте пословицы, к конкретной ситуации.
Есть два важных вопроса, относящихся к рассматриваемым операциям. Это - вопрос о формальных условиях их применимости (в частности, законно ли их применение, не противоречит ли оно законам логики и под.) и вопрос об осмысленности их применения. Ответ на первый вопрос дан нами в разделах 2.1 - 2.4. Что же касается осмысленности, то мы обсудим, когда уместно применять наши операции — в том смысле, что результат их применения будет естественно включить в некоторый текст как некое значимое явление.
Поясним, что мы имеем в виду на примере операции экзи-стенциализации (см. ниже раздел 2.4). Существуют некоторые объекты, уникальные в данной ситуации или в данном тексте (в частности, мы режем хлеб или набираем тексты на компьютере рукой или руками, но об этом специально не говорим). Есть также объекты, уникальные для данного мира или его фрагмента (это, например, Вселенная, константы в физике и математике),
и многие утверждения про уникальные объекты обоих типов не подлежат операции экзистенциализации — её применение было бы избыточным и малоосмысленным.
К вопросам о ситуациях применимости рассматриваемых далее когнитивных операций примыкает вопрос о применимости их к гипотезам, ещё не ставшим теоремами. На этой стадии к ряду гипотез может быть применима операция экзистенциализации, а возможность применения операции универсализации (см. раздел 2.3) составляет смысловое содержание таких гипотез (см. 2.1.1).
Не следует думать, что гипотезы становятся теоремами только в результате применения универсализации. Так, более ста лет назад великий французский математик Анри Пуанкаре сформулировал гипотезу, согласно которой трёхмерная сфера3 однозначно определяется некоторыми своими свойствами. Несколько лет назад петербургский математик Григорий Перельман установил истинность этой гипотезы, не используя универсализации (для п > 4 факт её истинности был уже известен).
Ниже мы покажем, что овладение перечисленными выше когнитивными операциями составляет существо понимания математических (и не только математических) текстов.
1. Пары текстов и соотношения между их компонентами
Среди многих видов интеллектуальной деятельности человека большой интерес представляют семиотически и культурно значимые преобразования текстов. В силу этого многие из текстов, получаемых в результате преобразований исходных, или «входных», текстов, имеют специальные названия: адаптации, рефераты, аннотации и др. Одно из свойств таких новых текстов заключается в том, что некоторые результаты преобразований исходных текстов образуют вместе с ними нерасчленимые, неэксплицитные и культурно связанные пары. Мы имеем в виду, в частности, такие пары, как басня — мораль, закон — прецедент или событие — казус.
Направление преобразований одного компонента пары в другой может быть разным. Так, иногда исходным текстом является басня, а результатом его преобразования является извлекаемая мораль. Она либо в явном виде подаётся автором в том же тексте, либо извлечь мораль из текста предлагается читателю. Иногда «на вход» подаётся мораль, а басня строится как текстовая иллюстрация к ней. То же самое имеет место и с формулировками теорем. Иногда они выступают в качестве входных текстов, к которым
применяются рассматриваемые когнитивные операции, а иногда формулировки являются не входными текстами, а результатами преобразования других текстов, к которым применяются данные когнитивные операции. Интересно, что в басне, как в литературном, или текстовом, жанре мораль никогда не встречается в середине текста (замечание А.К. Жолковского4).
То, какой из текстов в упомянутых парах является исходным, или преобразуемым, а какой — производным, или преобразованным, оказывает влияние на структуру каждого из текстов. Бывает так, что исходный и преобразованный тексты не только образуют некое содержательное единство, но и составляют отдельные части более крупного текста. Например, басня и мораль часто подаются вместе под названием «басня», образуя сложный, совмещённый текст. При таком совмещении встаёт вопрос об их расположении в пределах более крупного текста. Если для автора текста исходной компонентой является басня, то в сложном тексте басня предшествует морали, а если исходной компонентой является мораль, то она в таком сложном тексте идёт первой.
Построение текста собственно басни, основываясь на некотором суждении, именуемом моралью, и извлечение морали из текста басни являются операциями когнитивными, поскольку они являются операциями над знаниями, причём операциями достаточно сложными и пока ещё плохо формализованными. Им много внимания уделяют преподаватели литературы в школе, что не случайно. В задачи преподавания литературы в качестве отдельных компонентов входят обучение школьников операциям извлечения знаний (в частности, для реконструкции авторских замыслов) и обучение разного рода преобразованиям этих знаний (например, извлечению каких-то следствий из текстов, проясняющих содержание последних или уточняющих более широкий контекст, в который эти тексты вкладываются).
В качестве примера приведём небольшой фрагмент записи урока московской учительницы Л. Николаевой, взятый нами из Интернета. Разбирается известная басня И.А. Крылова «Лебедь, рак и щука», и учительница предлагает ученикам отыскать в тексте басни ключевые слова, которые впоследствии помогут извлечь из басни мораль. Учительница задаёт вопрос: Лебедь рвётся в облака. Что можно сказать о нём?, и получает ответ: Он стремительный, упрямый. Далее похожий вопрос задаётся о раке: Рак пятится назад. Что можно сказать о нём? - Он неповоротливый, видит только свою дорогу, нерасторопный. При помощи таких языковых и когнитивных операций создаются образы людей, стоящих за персонажами басни. В конце анализа басни на основании свойств лю-
дей, скрываемых за персонажами, формулируется мораль. Сначала текст морали извлекается из текста басни, т.е. используется язык самой басни, а потом учитель помогает ученикам переформулировать мораль на «прозаическом языке». В данном случае она выглядит следующим образом: Когда люди делают общее дело, но между ними разлад, то в итоге ничего не получается.
Примером текста, в котором мораль предшествует собственно тексту басни, является басня И.А. Крылова «Волк и ягнёнок». Она начинается словами «У сильного всегда бессильный виноват», и эта фраза воспринимается как клишированная мораль. Отметим, что если мораль имеет назидательный характер, то вместо слова мораль часто используется слово урок. Это не случайно, так как урок в обоих смыслах этого слова чему-то учит.
Особое значение приобретает соотнесение компонентов пары взаимосвязанных текстов в юриспруденции. Так, прецедент создаёт основу для написания закона, которого ранее не было. Иными словами, частное событие, отражённое в некотором тексте, называемом описание прецедента, оказывает влияние на факт появления нового текста—текста закона, носящего общественно значимый характер, а также на форму и содержание этого текста. Закон в юриспруденции считается работающим, если он применялся хотя бы один раз, то есть имел место прецедент его применения. В противном случае закон является пустым текстом. Поэтому законы создаются с опорой на прецедент, который либо уже был, либо предполагается возможным, гипотетическим. В этом смысле связь между законом и прецедентом столь же жёсткая, как между басней и моралью: если человек не видит связи между басней и моралью, равно как и между законом и прецедентом, ни басня, ни закон для него не имеют смысла.
Басня как художественный текст нужна для того, чтобы люди извлекли из неё мораль и далее следовали ей в жизни (впрочем, прагматическая цель басни может быть спрятана за красивой формой, от которой люди получают эстетическое удовольствие). Законы как юридические тексты тоже нужны как тексты, применяемые на практике.
Обратимся теперь к формулировкам теорем. В дальнейшем вместо сочетания слов формулировка теоремы мы часто будем говорить просто теорема.
Теоремы, как басни и законы, — это целевые, или телеологические, тексты. Они либо служат обобщением проведённых экспериментов и наблюдений, либо логически выводимы из определённых теоретических построений. В первом случае теоремы тре-
буют подтверждений—либо логических, либо экспериментальных. Теоремы для математика представляют ценность лишь тогда, когда установлена их истинность. Текст, устанавливающий истинность теоремы, называется доказательством. Формулировка теоремы и её доказательство образуют столь же естественную и содержательно слитную пару текстов, как пары «басня-мораль» и «закон-прецедент».
Помимо пары «теорема и её доказательство» в математике встречаются и другие содержательные пары, одной из которых является пара «теорема и следствие из неё». Интересно, что иногда в математических текстах частный случай предшествует теореме (как мораль басне или как прецедент закону); это - путь от частного к общему.
В дальнейшем мы сосредоточимся главным образом на формулировках теорем и на самых важных когнитивных операциях над ними. Эти операции не только моделируют важнейшие формы математической деятельности, но и, как нам представляется, имеют выходящее за сферы математики общесемиотическое содержание.
2. Когнитивные операции над формулировками теорем
Из множества когнитивных преобразований формулировок теорем выделим четыре вида преобразований, объединённых общим свойством: все они связаны с обобщением частных суждений или конкретизацией общих. В математической логике этим преобразованиям соответствуют логические операции снятие и навешивание кванторов (два для квантора общности V и два для квантора существования 3). Эти операции таковы:
• специализация (снятие квантора общности V);
• десигнация (снятие квантора существования 3);
• универсализация, или универсальное обобщение (навешивание квантора общности V);
• экзистенциализация (навешивание квантора существования 3).
Эти операции объединяют математические тексты с художественными (басня) и юридическими (закон). Они применяются, например, для извлечения морали из басни, юридического прецедента (казуса) из формулировки закона, создания закона на основе совокупности конкретных ситуаций или приложения знания, выраженного в тексте пословицы, к конкретной ситуации.
Основная цель нашей работы — показать, что овладение указанными операциями во многом составляет существо понимания математических и очень многих других текстов.
Всякая операция предполагает выявление следующих компонентов, характеризующих её. Это - кто производит данную операцию —'субъект операции', над чем операция производится—'объект операции', в чём заключается операция—'содержание операции' и что даёт данная операция, т.е. каков 'результат операции'.
Дальнейшее изложение и описание операций над теоремами будет состоять в установлении тех конкретных элементов, которые уточняют каждую из четырёх рассматриваемых операций. В настоящей работе мы ограничимся рассмотрением только тех формальных структур и соответствующих им фраз, в которых эксплицирована лишь одна из четырёх рассматриваемых операций. В стороне остались структуры и фразы, в которых явно или неявно присутствуют комбинации (последовательности) кванторных единиц: операторов, кванторных слов, сочетаний слов и т.д.
2.1. Специализация
2.1.1. Операция специализации. Математически интересные
специализации
Под специализацией, как мы уже говорили, понимается операция снятия квантора общности. Часто, имея в виду результат применения операции специализации, мы в бытовой речи употребляем слова частный случай. Частным случаем является конкретное описание некоторого события или положения дел (token event), входящих в более крупные классы (type events). Например, это разговор двух конкретных людей, имеющий типичные черты поведенческого и речевого акта спора. Или речь может идти об описании конкретного акта купли-продажи, иллюстрирующего стереотипные моменты любого такого акта.
В математике обучение пониманию теорем, в частности формул, и их применению, несомненно, предполагает рассмотрение частных случаев, то есть результатов применения операции специализации. Мы утверждаем, что для полноценного усвоения материала их изучение совершенно необходимо. Кроме того, в математике имеются гипотезы, которые доказаны (или, что то же самое, стали теоремами5) лишь в определённых частных случаях. Они могут служить ключом к поиску доказательств в других случаях. Такая ситуация имела место, например, при доказательстве Последней Теоремы Ферма.6 В течение примерно двух столетий математики, опираясь на идеи и конструкции предшественников, последовательно доказывали её частные случаи.7
Многие формулы содержат кванторы общности — явные или, чаще, скрытые (кванторы общности подразумеваются, но не пишутся и не произносятся). Возьмём, например, формулу суммы конечной геометрической прогрессии с двумя кванторами общности. Для любого целого неотрицательного п и любого q Ф 1 имеет место равенство
1+q+q2+...+qn=
Начнём с того, что чтение и понимание левой части этого равенства представляет некоторую трудность, которая возникает при малых п, то есть при анализе простейших частных случаев. При п = 5 не вызывает сомнений, что 1+q+q2+...+q5 = 1+q+q2+q3+q4+q5+. Здесь многоточие интерпретируется однозначно; и то же относится к частным случаям п = 6, 7 и т.д. Частный случай п = 4 уже может вызвать небольшой дискомфорт, поскольку в равенстве 1+q+q2+... +д4 = 1+q+q2+q3+q4 под многоточием скрывается единственное слагаемое, что противоречит нормам употребления знака «многоточие» в естественном языке. Специализация п = 3 может показаться ещё более непонятной, поскольку требует специального соглашения, опять-таки связанного с употреблением знака многоточия. Здесь подразумевается равенство 1+q+q2+...+q3 = 1+q+q2+q3. Особое внимание обращают на себя частные случаи п = 2, 1, 0, в которых формула суммы превращается, соответственно, в формулы о3-1
1+д+д2+...+дп= 1 , ^
2 1 и 1= -—1 1+^= 11 4—1
Как и в предыдущем примере, тут требуется уточнение употребления знака многоточия.
Мы рассмотрели снятие квантора общности по переменной п; при этом переменная q осталась под квантором общности. Можно рассмотреть и другую специализацию — снятие квантора общности по q.
1—
Так, при q = цО = 0,1 получим 1+0,1+0,01+...0,0...01= -^р
п—1
Несмотря на кажущуюся тривиальность этой специализации, она демонстрирует один из способов представления числа х,!}.
п
Обе рассмотренные специализации важны ещё и потому, что, во-первых, они раскрывают связь между формулами суммы геометрической прогрессии и формулами сокращённого умножения, и, во-вторых, дают содержательные примеры делимости многочленов.
Среди частных случаев, или специализаций, выделим особо так называемые вырожденные случаи. Вырожденные случаи в действительности относят объекты, явления или ситуации к другому классу, маркируя границу между двумя классами. По этой причине вырожденные случаи иногда называют пограничными.
Приведём ряд примеров из разных разделов математики, где понятия частных и вырожденных (пограничных) случаев играют очень важную роль. Примеры приводятся в порядке нарастания сложности.
Начнём с неравенства треугольника, утверждающего, что длина любой стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других сторон. Слова не превосходит означают 'меньше или равно', то есть нестрогое неравенство. Вырожденным случаем неравенства треугольника является как раз равенство, а именно равенство длины одной из сторон треугольника сумме длин других сторон. В школьной математике считается, что такого «треугольника» вообще нет: ведь упомянутое равенство выполняется лишь в том случае, когда одна из вершин «треугольника» расположена на противолежащей ей стороне (или на продолжении этой стороны). Зачем же такое соотношение между сторонами треугольника вообще нужно рассматривать?
Один из возможных ответов состоит в следующем. В школьном курсе математики изучается векторная алгебра, и многим учащимся кажется, что геометрия треугольника никак с ней не связана. Однако эта связь существует, и вот пример её проявления.
Рассмотрим треугольник, одна из вершин которого, точка О, является началом координат, а две другие вершины — концы исходящих из точки О векторов а и Ь . Одно из трёх неравенств треугольника (относящееся к стороне, соединяющей концы этих векторов) гласит: | а — Ь | < | а | + | Ь |, и оно сохраняет силу и для коллинеарных векторов8 — в этом случае исходный треугольник является вырожденным. Существенно и то, что в школе в совсем другом разделе курса математики, а именно в «алгебре», проходят неравенство модуль суммы (любых двух чисел) не превосходит суммы (их) модулей - данная словесная формулировка получается из последнего неравенства заменой Ь на -Ь . Это неравенство обычно применяется к действительным числам, то есть к случаю вырожденного треугольника, расположенного на действительной прямой (с вершинами в точках 0, а, Ь). При переходе от неравенства с модулями к неравенству треугольника попутно, как мы можем увидеть, осуществляется перевод с языка геометрии на язык алгебры и наоборот.
Приведём более сложный пример вырожденного случая. Речь идёт о следующей теореме:
Для любых целых неотрицательных п и к, удовлетворяющих
неравенству к < п, количество ^-элементных подмножеств п-эле-
ментного множества равно —п— .
к!(п-к)!
Её формулировка не вызывает затруднений в случае 0 < к < п. Между тем частные случаи нестрогих неравенств к = п и к = 0 достаточно интересны и требуют отдельного рассмотрения. Случай к = п проще: несомненно, что в 17-элементном множестве имеется ровно одно 17-элементное подмножество, а именно само множество. Приведённая формула в этом случае даёт верный ответ в силу общепринятого в математике соглашения 0!=1.
Рассматриваемая теорема утверждает, что в п-элементном множестве к-элементных подмножеств столько же, сколько (п—к)-элементных. При к = п встаёт вопрос о количестве 0-элементных подмножеств — вопрос, который, на первый взгляд, может показаться бессмысленным. Между тем теорема и в этом вырожденном случае даёт ясный ответ: в любом конечном множестве имеется ровно одно 0-элементное подмножество — а именно, пустое множество. Этот ответ вполне согласуется с представлениями современной математики, в соответствии с которыми пустое множество признаётся подмножеством любого множества.
Оба соображения, «скрывающиеся» за частными случаями к = п, и к = 0, демонстрируют внутренние связи и согласованность разных разделов математики, здесь — комбинаторики и теории множеств. И вообще, рассмотрение вырожденных случаев часто позволяет устанавливать нетривиальные соответствия между разными видами текстов и иных семиотических объектов.
Чтобы убедиться в наличии подобных соответствий, рассмотрим более внимательно другой вырожденный случай к=0. Обобщением известных школьных формул сокращённого умножения (1+х)2=1+2х+-Х и (1+х)3=1+3х+3х2+Х является бином Ньютона:
п! п! п! „ п! , п! п!
(1+х)п= —+-х+-:г+...+-хк+...+-х"_1+-х?
У ' 0!п! 1!(п—1)! 2!(п—2)! к!(п-к)! (п—1)!1! п!0!
При каждом к число обсуждаемого вида п! является
к!(п-к)!
коэффициентом при степени хк в правой части бинома. При к = 0
п!
это число — свободный член ' . = 1. И здесь, как мы видим, дейст-
0!п!
вует соглашение 0! = 1. Сказанное не только подтверждает известное положение о количестве пустых подмножеств произвольного конечного множества, но и эксплицирует связь между коэффициентами так называемой производящей функции (в правой части
последнего равенства) и количествами подмножеств данного конечного множества.
Последний нетривиальный пример специализации в математике, который мы хотели бы здесь привести, связан с рядом Лейбница9
1- 1 + -1 - 1 + ... = -Я-3 5 7 4
Это неожиданное и красивое равенство — всего лишь частный случай (!) ряда Тейлора для арктангенса:
агС® х = х - -33 + 5 - 7 + ... ; ряд Лейбница получается из него при х =1.
До сих пор все приводимые нами специализации были частными случаями математических утверждений, сформулированных явным образом. Есть, однако, специализации, которые являются частными случаями утверждений, которые никогда не были сформулированными явно. Речь идёт о так называемых контрпримерах10.
Каждый из контрпримеров привносит новое существенное знание, опровергая существовавшие когда-то распространённые математические заблуждения. Так, примеры нигде не дифференцируемых функций опровергли предположение о том, что если функция не дифференцируема, то точки, в которых производная не существует, «разрежены». Были построены противоречащие наивной интуиции примеры подмножеств плоскости, не имеющих площади. А намного раньше были построены примеры несоизмеримых отрезков (на самом деле имелись в виду длины отрезков, а еще точнее, длины тех кривых, для которых определена длина11). Простейший из этих примеров - сторона квадрата и его диагональ, а гораздо более сложный - окружность и её диаметр.
Подобные специализации играли и продолжают играть роль, не менее важную, чем общие суждения, - частный случай иногда не менее важен, чем общий. Интересно, что в истории математики часто бывало так, что объекты, обладающие патологическими свойствами и поначалу психологически классифицируемые как отклонения от правил, оказывались массовыми, даже более массовыми, чем объекты с «нормальными» свойствами.
2.1.2. Лингвистически интересные специализации
Существуют особые языковые способы обозначения операции специализации и результатов её применения. Эти способы непосредственно связаны с намерениями говорящего, точнее, с его коммуникативными целями.
Предположим, что говорящий произнёс фразу Все птицы имеют клюв и продолжает Курица имеет клюв. Зачем же он из всех птиц выделяет курицу? Затем, видимо, что хочет косвенно сообщить адресату, что курица — это птица, а не только то, что она имеет клюв. Иными словами, в отличие от многих других предложений синтаксической структуры «Субъект — Предикат — Объект» то, что предикат имеет клюв относится к курице является «новым», то есть является частью новой информации.
В русском языке есть производные предлоги типа включая, в том числе и под., которые могут присоединяться к словам, вводящим специализацию. Например, говорящий произносит следующий текст: Петя любит всех животных, включая собак. Очевидно, что собака — это животное, и сообщение этой информации адресату преследует скорее другие цели. Это может быть выделение особого подкласса животных, о которых и будет вестись дальнейший разговор. Лингвисты в подобных случаях говорят о выделении важной информации. Кроме того, специализация здесь может служить средством напоминания о данном подклассе животных12.
Бывает так, что частный случай как результат применения операции специализации помогает понять, к какому общему утверждению он относится. Иными словами, операция специализации в таких случаях прямо сближается с парной ей операцией универсализации (см. 2.3 ниже). Одним из языковых средств, соотносящих частные и общие утверждения, является частица «даже». Ср. текст, произнесённый учительницей: Стыдно, даже пятиклассники могут решить эту задачу. Очевидно, что этот текст «скрывает» информацию о том, что адресатами этого текста являются ученики старших классов. Более общим утверждением было бы высказывание Все должны суметь решить эту задачу.
Подытоживая сказанное, отметим, что специализация, вводимая предлогами включая, в том числе и другими словами того же рода, может служить не только средством введения новой информации —помимо приведённого выше текста о курице, можно привести и такой пример: Все ученики нашего класса, в том числе Петя, решили эту трудную задачу. Тот факт, что Петя — ученик нашего класса, по-видимому, адресатам известен, но то, что он решил трудную задачу, может быть и новым, и неожиданным.
Из приведённых примеров видно, что констатация принадлежности объекта к классу иногда скрыта, а иногда неизвестна или предполагается говорящим неизвестной адресату. В случае же, если она известна, возможны другие мотивы её сообщения.
Наконец, наличие языковых свидетельств того, что была при-
менена операция специализации, ставит вопрос о том, к какому именно исходному объекту она была применена.
2.2. Десигнация
2.2.1. Операция десигнации
Десигнация13 - это когнитивная операция, заключающаяся в снятии квантора существования в выражении хР(х), т.е. в переходе от этого выражения к выражению Р(а).
Рассматриваемая операция может осуществляться на разных этапах обработки выражений вида хР(х):
• на начальном этапе - либо предъявляя определённый объект с именем а, который обладает свойством Р, либо выделяя такой объект, не именуя, а характеризуя его набором свойств, в который входит и свойство Р.
• на других этапах. В этих случаях мы до поры до времени имеем дело с выражением хР(х) и проводим различные рассуждения (или применяем различные когнитивные операции) именно с этим выражением. Иногда это бывает вынужденным, поскольку мы не можем ни предъявить объект а, ни описать его набором свойств. Если мы хотим применить операцию десигнации, то единственное, что нам остаётся здесь, - это обозначить существующий объект, т.е. дать ему некоторое имя, и далее иметь дело с этим объектом.
2.2.2. Примеры применения операции десигнации
А) Рассмотрим фразу Есть режиссёры, снявшие более двадцати мультфильмов. Возможны две группы продолжений этой фразы, различающиеся характером применения операции десигнации. Так, мы можем сразу сказать Это - Юрий Норштейн и далее говорить о нём. Но мы можем также не указывать имён таких режиссёров и вести речь о всех режиссёрах, обладающих указанным свойством. В этих случаях часто используется следующий языковой приём: объект вводится в текст словами Назовём его NN или подобными, после чего в акте коммуникации или тексте ведётся речь об NN.
Б) К операции десигнации нередко прибегают сыщики, следователи и подобные люди. Некий человек убил Петрова, в силу чего истинность фразы Существует х, убивший Петрова не вызывает сомнений. Пока убийца неизвестен, квантор существования не может быть снят; между тем ничто не мешает нам использовать выражение (дескрипцию) убийца Петрова, как характеризующее этого человека.
В) В приводимом ниже примере само слово неизвестная подчёркивает, что мы не можем указать объект, существование которого утверждается.
Знаю - есть неизвестная Широта из широт, Где нас дружба чудесная Непременно сведёт...
Между тем, знание о существовании объекта (широта), обладающего указанными в примере свойствами, позволяет говорить о нём (в данном случае — как об эмоционально и позитивно оцениваемом объекте).
2.2.3. Прямая десигнация и косвенная десигнация
Если свойство P задаёт объект однозначно (как бывает, например, когда мы знаем, что дескрипция убийца Петрова задаёт конкретно-референтный и единичный объект), то P(a) играет роль контекстного имени данного объекта (см. книгу Гильберта и Бер-найса14).
Первый из приведённой выше группы примеров можно назвать примером прямой десигнации, а второй — косвенной (здесь объект задаётся своим свойством или свойствами).
Рассмотрим другие случаи применения операций прямой и косвенной десигнации, обращая внимание на отдельные связанные с ними языковые и математические особенности.
А. В обычной бытовой речи мы вполне можем использовать предложения с кванторными словами некоторые, некие, один, существуют, есть, имеются и др., которые являются языковыми эквивалентами квантора существования. Однако, давно сформулированные в лингвистике постулаты, или максимы, дружеского речевого общения (Грайс и др.), призывают нас - в тех ситуациях, когда мы знаем имена объектов, скрывающихся за этими словами, — в норме эти имена указывать явным образом.
Представим себе следующий диалог. Муж приходит домой и говорит жене: Некоторые люди в нашем подъезде сделали евроремонт. Если он знает, кто именно сделал евроремонт, такая фраза выглядит неестественно, по меньшей мере она звучит как загадка, которую жене предлагается разгадать. При прямой десигнации муж должен был бы сказать жене что-то вроде Петровы сделали евроремонт, а при косвенной десигнации—Жильцы с пятого этажа сделали евроремонт (здесь словосочетание жильцы с пятого этажа и есть то свойство, которое задаёт объект). Если же муж не знает, кто сделал ремонт, он вполне может использовать квантор-ные слова некоторые, существуют и под., а ещё лучше — в полном
соответствии с постулатами речевого общения — слово какие-то, которое непосредственно означает, что муж не знает, кто именно сделал евроремонт. Следование максимам речевой коммуникации — лишь один из случаев применения операции десигнации в естественном языке, но не единственный.
Б. Рассмотрим следующий текст: Есть писатели, известные только одним своим произведением. Например, таким писателем является А.С. Грибоедов. Вторая фраза этого текста является примером прямой десигнации, поскольку в ней говорится о реальном объекте, носящим имя А.С. Грибоедов. Этот случай использования десигнации может быть назван приведением примера: слово например здесь вполне можно опустить без изменения смысла текста.
Обратим внимание на некоторые языковые особенности данного текста. Заменим мысленно в первой фразе форму множественного числа слова писатели на форму единственного числа. Сразу возникнет пресуппозиция единственности писателя, о котором идёт речь, а потому употребление слова например во втором предложении будет неправильным. Оно всегда употребляется лишь применительно к множеству, состоящему из нескольких объектов.
Интересно сопоставить языковые единицы например и в частности. Последняя является более употребительным естественноязыковым аналогом формального выражения в частном случае, которое служит маркером рассмотренной ранее операции специализация. Между тем, слово например может использоваться в роли показателя как той, так и другой операции. Ср. неправильный текст *Есть писатели, известные только одним своим произведением. В частности, таким писателем является А.С. Грибоедов.
В математических текстах различие между прямой и косвенной десигнациями играет ещё более важную роль. Это различие связано с возникновением в начале ХХ века нескольких философ-ско-математических школ: конструктивистов, интуиционистов и др. Конструктивисты, например, считали, что «существуют лишь те объекты, которые имеют явное описание или алгоритм построения»15. Основное требование, которое конструктивисты с самого начала предъявляли к доказательствам, состояло в том, чтобы из доказательства существования некоторого объекта можно было извлечь метод его построения. К объектам, доказательство существования которых не удовлетворяли этому требованию, представителями этой школы предлагалось применять словосочетание не может не существовать.
Приведём примеры формулировок теорем существования, которые сыграли важную роль в осмыслении математиками концепта «существования».
А) Теорема Брауэра о неподвижной точке утверждает, что любое непрерывное отображение круга в себя переводит некоторую точку в неё саму (что и означает неподвижность этой точки относительно рассматриваемого отображения). Предположение о существовании непрерывного отображения круга в себя, не имеющего неподвижной точки, приводит к противоречию, а именно, к конструкции несуществующего непрерывного отображения круга на свою границу (окружность), переводящего каждую точку этой границы в себя. Между тем, такой путь доказательства теоремы Брауэра (от противного) не дают никакого способа (алгоритма, метода...), позволяющего явно указать неподвижную точку данного круга. Рассуждение показывает лишь, что неподвижная точка не может не существовать.
Приведённый пример свидетельствует о глубоком различии между конструктивным и неконструктивным способами ведения рассуждений. Снятие квантора существования, то есть перехода от форм вида xP(x) к P(a) с явным указанием объекта a, обладающим свойством P, - это типично конструктивный способ рассуждения.
Пока такой объект не найден, математики, которые признают только конструктивные доказательства (таких математиков и называют конструктивистами) считают рассуждение незавершённым.
Б) Основная теорема алгебры утверждает, что любой непостоянный многочлен с комплексными коэффициентами от одной переменной имеет комплексный корень. Сформулированная в таком виде в начале XIX века, основная теорема алгебры вошла в фонд важнейших математических знаний благодаря, прежде всего, исследованиям К.Ф. Гаусса16. Известны как неконструктивные (соответствующие косвенной десигнации), так и конструктивные доказательства (соответствующие прямой десигнации) этой теоремы. Как и в вышеприведённом примере, неконструктивное доказательство состоит в приведении к противоречию предположения о существовании такого многочлена без комплексных корней, а конструктивные доказательства этой теоремы содержат процедуры нахождения корня рассматриваемого многочлена.
2.2.4. Десигнация и приведение примеров
Представим себе следующую, достаточно часто встречающуюся и в жизни, и в науке ситуацию. Утверждение ' xP(x) истинно, причём известно, что существует много объектов х из данной пред-
метной области, обладающих свойством Р. Какими соображениями руководствуются в таких случаях люди, снимающие квантор существования 3 (то есть осуществляющие операцию десигнации)?
Один из возможных ответов на этот вопрос таков: из ряда возможных выбирается самый простой пример.
Вернёмся к разбираемой выше ситуации евроремонта. Допустим, что его сделали многие жильцы дома, и среди них соседи данной семьи по площадке. Тогда на вопрос жены Кто именно? прагматически естественный и наиболее простой ответ мужа был бы Наши соседи.
А вот пример из опыта преподавания математики. Учитель в классе обращается к ученикам: Приведите пример нечётного составного числа. В качестве правильного ответа он, скорее всего, услышит 9 (здесь мы опираемся на свой опыт преподавания математики в школе). Этот ответ психологически мотивирован: ученики обычно перебирают натуральные числа с самого начала.
Ещё один из возможных ответов на поставленный выше вопрос, это — ответ неожиданный. С когнитивной точки зрения он является более содержательным ответом, чем предыдущий, поскольку в него, как правило, включена новая или нетривиальная информация. Эта информация может вызвать и часто вызывает на практике реально произносимую или молчаливую, но эмоциональную реакцию типа Удивительно; Вот это да!; Не может быть!; <Как> интересно! и т.п. Так, на текст Есть детективы, получившие первую премию на международном конкурсе книг. Это, например, индийские детективы вполне может последовать одна из тех реакций, которые мы привели. Дело в том, что переводы на русский язык детективных произведений с хинди были осуществлены совсем недавно, и информация о существовании такого рода произведений является и новой, и неожиданной (разумеется, наличие детективов вообще, получивших премии на конкурсах, вряд ли может удивить).
Степень неожиданности и смысловое наполнение реакций могут быть разными в зависимости от типа адресата исходного сообщения. При восприятии математических текстов реакции студентов или школьников могут быть одни, а реакции профессиональных математиков — другие: математиков может не удивлять то, что удивляет учащихся, и наоборот. Например, для многих учащихся удивительным является существование непрерывных и нигде не дифференцируемых (или, в другой терминологии, нигде не гладких) функций. Профессионалам же известно, что функций, которые обладают этим свойством, много. Так, к ним относятся многие ряды
Фурье, то есть функции вида /(х) = X [атсоз(тох) + Ьтвт(тх)], где
т=0
mh> am и ти bm — некоторые достаточно быстро убывающие числовые последовательности. При определённых, как любят говорить математики, достаточно слабых, требованиях, предъявляемых к убыванию коэффициентов, обеспечивающих сходимость данного ряда Фурье, функция f определена для любых х и, как правило, нигде не дифференцируема. Удивление может вызвать тот факт, что в подавляющем большинстве случаев сумма гладких синусоид оказывается негладкой. Между тем, предъявление подходящих последовательностей m и am и m и bm является трудной математической задачей.
В заключение раздела 2 подчеркнём, что в большинстве случаев, относящихся к ситуациям математического мира (и не только математического), познавательная, или когнитивная, ценность операции десигнации может зависеть от рассматриваемых ситуаций. В некоторых случаях требуется исключительно прямая десигнация, а в некоторых — только косвенная. Если объект можно изобразить, используя, например, графический код, то в ситуации возможного выбора десигнаций - прямой или косвенной - прямая десигнация предпочтительнее, поскольку объект представлен наглядно, так как воспринимается не только ментально, но и зрительно. В тех же случаях, когда изображение объекта невозможно, чаще пользуются косвенной десигнацией. Дело в том, что косвенная десигнация в большей степени, чем прямая, соотносится со смыслами 'необычность/неизвестность/непознаваемость'.
При выполнении операции десигнации человек может столкнуться со следующими тремя возможностями, связанными с выбором примеров. Первую из них можно назвать отсутствием выбора. Человек знает, какой (единственный) объект обладает данным свойством; в этом случае операция десигнации никакого дополнительного смысла не несёт.
Вторую возможность можно назвать альтернативностью, или свободой выбора. Сразу же отметим, что свобода эта в известной мере иллюзорна: каждый раз находятся существенные соображения, диктующие вполне определённый выбор объекта из множества возможных — и часто это не просто выбор объекта, а выбор вместе с указанием способа его десигнации. Приведём несколько примеров такого неслучайного выбора.
Допустим, учитель хочет показать, что квадратное уравнение вида x2 + px—p = 1 всегда имеет решение. Для этого ему вовсе не обязательно вычислять дискриминант данного уравнения — достаточно привести пример его корня x = 1.
А вот ещё один пример, который иллюстрирует прагматическую важность выбора одного из трёх объектов a, b или c, причём,
каждый из них удовлетворяет формуле ЗхР(ж). Предположим, что мы хотим продемонстрировать верность утверждения Существует планета солнечной системы, которая имеет в русском языке как минимум три имени. У нас есть следующий выбор: мы можем назвать эту планету прямо (прямая десигнация) — Венера — или можем остановиться на указании одного из двух свойств этой планеты: быть утренней звездой (номинация Утренняя звезда) или быть вечерней звездой (номинация Вечерняя звезда). Эти номинации - косвенные десигнации того же самого объекта. Выбор здесь диктуется целями сообщения или общим его контекстом.
Математики часто пользуются возможностями прямой и косвенной десигнации одного и того же объекта в учебных целях - например, при составлении задач. Имея в виду окружность (прямую десигнацию объекта), преподаватель может поставить изопериме-трическую задачу. А именно: Известно, что среди замкнутых плоских кривых заданной длины существует та, которая ограничивает фигуру максимальной площади. Опишите эти кривые. Тут ответ «окружности» его вполне устроит (в этом случае по косвенной десигнации объекта ищется его прямая десигнация). Наоборот, может быть задан объект, и требуется описать его свойства. Это — задача, противоположная предыдущей. Такова, например, задача: Перечислите свойства параллелограмма. При решении этой и подобных задач операция десигнации не применяется.
Наконец, третья из возможностей, о которых мы говорили выше, состоит в том, что нам известно, что утверждение вида хР(х) истинно, однако примеры объектов, обладающих свойством Р, неизвестны.
Приведём классический пример из математики. Рассмотрим теорему И.М. Виноградова17: «существует такое натуральное число N что любое нечётное натуральное число, большее N есть сумма трёх простых чисел». Эта теорема является ослабленным вариантом знаменитой, и, на сегодняшний день пока ещё не решённой, проблемы Гольдбаха18. Упомянутое в теореме число N на сегодняшний день неизвестно19. Иными словами, неизвестной тут является прямая десигнация объекта, при том, что его косвенная десигнация задана непосредственно формулировкой теоремы.
Из двух видов десигнации в обычной бытовой речи для человека более комфортной является прямая десигнация. Чтобы это показать, рассмотрим два примера, один из которых связан с актом дейксиса, или указания, а второй — с ситуацией поиска предмета.
В диалоге—Где лампа?—Какая?—Та, что я купил на прошлой неделе прямое указание лампы невозможно, поскольку лампа, ско-
рее всего, находится вне поля зрения спрашивающего. Точно так же фраза Где-то у меня в квартире есть бутылка коньяка, но не знаю - где наводит на мысль, что говорящий будет эту бутылку искать, поскольку косвенная десигнация здесь едва ли удовлетворит адресата фразы.
При осуществлении операции десигнации, представимой как переход от утверждения вида xP(x) к утверждению P(a), относительно объекта a имеются три возможности:
(1) Объект a известен, единственен и прямо называется;
(2) Объект a известен, не единственен, и прямо называется. Выбор утверждения Р(к) из множества альтернативных утверждений P(b), P(c) и т.д., диктуется прагматическими соображениями
(3) Объект a известен (но не известно, единственен он или нет), при этом он прямо не называется. Вместо этого объект a характеризуется (описывается) какими-то своими свойствами. В отличие от (1) и (2), мы имеем здесь дело со случаем косвенной десигнации объекта a.
Замечание. Среди утверждений вида xP(x) есть утверждения, в которых P(x) само имеет вид yQ(x,y), т.е. входом в операцию десигнации является утверждение x yQ(x,y). С точки математической логики кванторы существования (как и общности) в такого рода структурах перестановочны. Между тем, с точки зрения прагматики и языковой семантики, эти кванторы перестановочны далеко не всегда. В частности, перестановка кванторов отражает изменение в актуальном членении. Например, в утверждении Некоторые москвичи ещё ходят в кинотеатры содержатся два квантора существования, или, как говорят лингвисты, два кванторных слова (точнее, обычное кванторное прилагательное некоторые и нулевое кванторное слово, аналог прилагательного при существительном кинотеатры). Интуитивно, ощущается, что данная фраза - про москвичей, а не про кинотеатры (фраза про кинотеатры звучала бы В некоторые кинотеатры ещё ходят москвичи; но эта фраза имеет другое актуальное членение, а потому — несколько иной смысл). Иными словами, формальная перестановка кванторов существования, допускаемая синтаксисом языка математической логики, здесь меняет языковой смысл исходного высказывания. См. об этом также в разделе «Заключение».
2.2.5. Операция десигнации в преподавательской деятельности
Рассмотрим деятельность математика, связанную с преподаванием его предмета. Допустим, что он рассказывает аудитории о
числах и сообщает, что существуют трансцендентные числа (то есть числа, которые не являются корнями никакого многочлена вида aX + aX—1 + ... + an, где n — натуральное число, все коэффициентами a0, ... ,an — целые числа, причём a0 Ф 0). Преподаватель приводит неконструктивное доказательство существования таких чисел, напоминая учащимся, что множество действительных чисел континуально, а множество алгебраических (то есть нетрансцендентных) чисел счётно20. Предъявить же конкретное трансцендентное число, что фактически означает провести конструктивное доказательство их существования, весьма непросто. Априори преподаватель может выбрать много таких чисел, и каждому из них посвятить отдельный сюжет и отдельное учебное время. У него могут быть на сей счёт самые разные соображения. В частности, он может остановиться на важных, но исключительно иллюстративных примерах, не сопровождая их изложение ни доказательством, ни даже идеей доказательства. Так, учащиеся много лет имели дело с числом п. Установление его трансцендентности является важнейшим результатом, что признаётся всеми математиками. Этот результат после многотысячелетних усилий был получен только в XIX веке французскими математиками Адамаром и Валле-Пуссеном21. Познакомить учащихся с этим примером учитель может считать необходимым, хотя полное доказательство трансцендентности п очень сложно, и его понимание не доступно никому, кроме профессиональных математиков. Но этот же учитель может привести пример другого трансцендентного числа и счесть полезным познакомить аудиторию с существенно более простым, чем в случае к, доказательством его трансцендентности. Методически оба случая более или менее равноправны, хотя ценность второго примера несравненно выше (его ценность ещё более повышается, если важными оказываются используемые при этом доказательстве приёмы).
Таким образом, применение операции десигнации в преподавательской деятельности (причём не только математической) в случае множественности выбора объекта, удовлетворяющего формуле xP(x), будь то прямая десигнация или косвенная, регулируется особыми прагматическими соображениями. Эти соображения могут быть обусловлены свойствами адресанта, свойствами адресата или общим контекстом ситуации.
Отметим ещё одно любопытное обстоятельство, связанное сразу с обеими рассмотренными выше когнитивными операциями — специализацией и десигнацией. Есть русские выражения например, приведём пример и им подобные, которые соответствуют и той, и другой операции, а потому без уточнений не являются
однозначными. Если мы переходим от формулы "■■ xP(x) к P(a), то выбор элемента а в качестве примера ничем не ограничен — у нас есть полная свобода. Если же мы переходим к P(a) от VxP(x), то выбор элемента а не свободен. Языковые сочетания, состоящие из выражений такой (такие) как, например, приведём пример, обсудим пример и под. и самого примера, часто называют экземплификаци-ей, но при этом следует иметь в виду неоднозначность этого слова, которая может существенно затруднять понимание текста.
В английском языке ситуация ещё сложнее: в нём есть два слова, которые на русский язык часто переводятся одинаково, хотя их смыслы не совпадают: exemplification и instantiation (ср. также не полностью совпадающие по смыслу выражения for example и for instance). Если exemplification есть имя операции, при которой приводится более или менее произвольный пример, как в случаях диалогов Кто получил пятёрку ? - Ну, например, Коля или Ты в какие театры ходишь? - В Оперный, Театр теней и другие, то instantiation обозначает введение более содержательных примеров, не примеров ad hoc, а выделение содержательных частных случаев. По-видимому, не случайно инстанциями в обыденном русском языке называют не любые учреждения, а учреждения как части некоего целого с имеющейся между этими частями иерархией.
2.3. Универсализация (навешивание квантора общности V)
Универсализацией, или универсальным обобщением, мы называем когнитивную операцию, заключающуюся в переходе от выражения P(a) к выражению VxP(x).
На практике, однако, входом в операцию универсализации обычно является не одно выражение, а целый набор выражений P(a1), P(a2), P(a3)... Если эти выражения в каком-то разумном смысле исчерпывают все возможности, то переход от данного наборавы-ражений к выражению VxP(x) является законным и оправданным, ср. сказанное с замечанием известного американского математика П.Р. Халмоша: «Сердце математики состоит из конкретных примеров и конкретных проблем. Большие общие теории появляются обычно после обдумывания маленьких, но глубоких суждений; сами же суждения начинаются с проникновения в конкретные частные случаи»22.
Между тем, универсализация, в отличие от предыдущих двух рассмотренных операций, далеко не всегда является математически законной. В дополнение к уже рассмотренной, выделим ещё несколько содержательных ситуаций.
Одну из них можно назвать ситуацией формирования правдоподобных гипотез23, а именно, при наличии достаточно боль-
шого набора истинных выражений Р(а1), Р(а2), Р(а3)... , человек может сформулировать утверждение \/хР(х) в качестве гипотезы. Подтверждение или опровержение такой гипотезы может быть сколь угодно сложной задачей (ярким примером является упомянутая ранее проблема Гольдбаха).
Другая ситуация — это когда на основании единичного истинного суждения Р(а) (или небольшого числа таковых) человек, считая его (их) наиболее ярким представителем целого класса подобных суждений, делает на основании этого «вывод» УхР(х). По такой схеме часто формируются весьма распространённые суждения типа Все мужчины - обманщики, Все дети любят сладкое, Блондинки глупы и под. Затем эти суждения подаются (незаконно) как истинные. Более того, они, как правило, подаются в контексте таких выражений, как всем известно, каждый знает, как учит нас жизнь и др. Такого рода пропозициональные установки придают ложному тексту характер истинного и часто служат языковым средством введения в заблуждение адресата и манипулирования им.
Наконец, ещё одна ситуация — это когда имеются суждения Р(а1), Р(а2), Р(а3)... , некоторые из которых являются ложными, но существуют веские сторонние причины ими пренебречь, а потому операция универсального обобщения признаётся допустимой. Таким образом, принимаются за истинные универсальные суждения хР(х). Со строго формальной точки зрения данное умозаключение является ошибочным. Однако его часто используют во многих областях знаний, в тех, где общие утверждения обычно основываются на реально наблюдаемых явлениях и человеческом жизненном опыте. Это — медицина, экономика, юриспруденция, метеорология, антропология и некоторые другие области. Перед нами своеобразная универсализация, обманчивый характер истинности которой придаёт использование кванторных прилагательных универсализации любой, всякий, каждый, наречий всегда, никогда не, выражений каков бы ни был, что бы ни было и др. или так называемого нулевого квантора общности, то есть языковых единиц, соответствующих квантору общности. Так, за истинные принимаются суждения типа Люди с повышенной температурой больны, Государством обеспечивается соблюдение прав и законных интересов политических партий24, Торфяники всегда горят, Дожди льют каждую осень, В нашей стране каждый год люди уходят в отпуск, Президенты никогда не нарушают своих предвыборных обещаний.
В точных науках аналогичные применения операции универсализации тоже встречаются, но всегда сопровождаются строго
сформулированными условиями или ограничениями. В теории меры говорят о почти всех объектах, имея в виду все объекты, кроме составляющих множество меры нуль. В алгебре тоже говорят о почти всех объектах, но имеют при этом в виду нечто иное, а именно все объекты, кроме их конечного числа. В геометрии иногда рассматривают фигуры в общем положении, то есть пренебрегают вырожденными конфигурациями (типа коллинеарных вершин треугольника).
Замечание. Наряду с универсальным обобщением часто применяется такая когнитивная операция. как родовое (generic) обобщение. Например, говорят Зимой люди носят шубы или Дети любят сладкое, имея в виду не всех людей и детей, а их типичных представителей. Этой операции формально соответствует специализация, относящаяся к почти всем объектам данного класса (а «остаток» считается пренебрежимо малым). Однако в смысловом отношении родовое обобщение не эквивалентно навешиванию такого «квантора общности», поскольку, применяя эту операцию, рядовой носитель языка едва ли имеет в виду такой остаток или попросту пренебрегает им.
2.4. Экзистенциализация (навешивание квантора существования 3 ).
Последняя когнитивная операция, которую мы рассмотрим, это операция экзистенциализации. Экзистенциализация—это переход от утверждения P(a) к утверждению 3 xP(x); эту операцию часто называют также экзистенциальным обобщением. Важное отличие экзистенциализации от трёх рассмотренных выше операций состоит в том, что она сама по себе не даёт нового знания. Действительно, раз P(a) истинно, то, разумеется, и выражение xP(x) истинно: в качестве х достаточно взять а. Между тем, экзистенциализация — это вполне содержательная операция, поскольку она является источником для новых знаний.
Для чего же люди переходят от утверждения P(a) к утверждению xP(x)? Для этого есть много причин. Так, часто знание того, что существует объект с данным свойством, позволяет ставить задачу поиска и изучения других объектов с тем же свойством. Например, знание того, что английский язык имеет два падежа, ведёт к важным вопросам о классе двупадежных языков: Сколько их? Как они распределены географически? Относятся ли все они к той же языковой семье, что и английский язык? и т п.
Нередко знание о существовании объекта с определённым свойством влечёт за собой вопрос о полном перечислении (полной
классификации) объектов, обладающих этим свойством. Так, глава государства на основании сообщения в СМИ о случае взяточничества в его аппарате может пообещать народу проведение серии антикоррупционных мер, которые позволят выявить все подобные случаи (и полностью искоренить взяточничество). Когнитивная операция экзистенциализации весьма распространена не только в жизни, но и в науке. Ещё в глубокой древности был известен такой правильный многогранник, как куб (правильным многогранником называется многогранник, любую вершину которого можно некоторым поворотом перевести в любую другую). Факт существования правильных многогранников был, таким образом, установлен. Однако, полного перечисления правильных многогранников ещё не было. Древнегреческие ученые поставили задачу полной классификации правильных многогранников и с блеском её решили. Они не только перечислили все пять (тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр), но также доказали, что других правильных многогранников не существует (список полон), и глубоко исследовали их геометрию. Значительный вклад в эти исследования внесли Платон, Евклид и Теэтет.
Ещё одну причину введения экзистенциального обобщения можно назвать коммуникативно обусловленной. Если каждый из двух собеседников сформировал суждение хР(х) на основаниях, соответственно, Р(а1) и Р(а2), то теперь они, во-первых, обладают общим знанием, которое может стимулировать дальнейший диалог, не связанный с данными объектами, а во-вторых, у собеседников теперь есть возможность сопоставить (идентифицировать, сравнить) эти объекты.
Наконец, укажем ещё одну причину экзистенциального обобщения. Иногда факт существования объекта с данным свойством для данного человека бывает важнее указания объекта. Например, если некто звонит в авиакассу с вопросом У вас есть свободные места на такой-то рейс?, то он обычно будет вполне удовлетворён утвердительным ответом, тогда как отвечающий даст свой ответ только на основании информации о наличии вполне определённого места (эта информация доступна отвечающему в форме Р(а)). Сам же ответ представляет собой утверждение о существовании (то есть имеющее форму хР(х), которое порождено операцией экзистенциализации.
Схожие ситуации (которые, впрочем, не носят диалогического характера), где более важен факт существования числа, обладающего некоторым свойством, чем указание хотя бы одного такого числа, часто встречаются и в математике, например, в математическом анализе. В этом разделе математики весьма распространены
утверждения с кванторными приставками вида \/е 3 3. В частности, такой приставкой (с известными ограничениями) предваряется определение предела функции. Для установления существования предела важно выявить—любым способом!—истинность экзистенциального суждения, начинающегося с кванторной приставки вида <5 (при любом фиксированном положительном е).
Замечание. При формулировке теорем на естественном языке, к сожалению, редко обращают внимание на грамматическую категорию числа имени того объекта, существование которого утверждается. Например, как равносильные нередко подаются формулировки теоремы «существуют х, такие, что ...» и «существует х, такой, что ...». Между тем с точки зрения русского языка, они выглядят как не равносильные. Первая из них предполагает, что таких х более одного, а для второй, для носителя русского языка, вопрос о количестве таких объектов даже не встаёт. Для математиков же вопрос о числе таких х, если и возникает, то в виде отдельного вопроса: при указанных формулировках этот вопрос не встаёт. А именно, достаточно указать хотя бы один такой х.
Нередко при производстве текстов в диалогическом общении возникают проблемы непонимания или недопонимания, напрямую связанные с тем, имела ли место операция экзистенциали-зации. Например, некая хозяйка хочет починить сломавшийся утюг и делится своей проблемой с гостем. Тот в ответ на её жалобы говорит: Не волнуйтесь, Николай Николаевич легко его починит. Априори, возможны два случая: хозяйка либо знает, кто такой Николай Николаевич, либо о нём понятия не имеет. В первом случае никаких дополнительных вопросов о Николае Николаевиче с её стороны не возникает: она либо успокаивается, узнав, что тот починит утюг, либо уточняет, когда он это сделает. Операция эк-зистенциализации здесь не применялась и едва ли была бы естественной. Во втором случае человек с именем Николай Николаевич хозяйке неизвестен, а потому её естественной репликой был бы вопрос типа А кто такой Николай Николаевич?. По сути дела, хозяйка воспринимает высказывание гостя как высказывание с квантором существования Существует человек, который легко починит ваш утюг, то есть, воспринимает его слова как если бы он произнёс их, произведя операцию экзистенциализации.
Уже на этом примере мы видим, что формальным показателем в диалоге того, была ли произведена операция экзистенциализации, служит продолжение текста, а именно набор потенциально возможных со стороны адресата вопросов к говорящему с целью уточнения содержания текста и его однозначного понимания.
3. Заключение
Подводя итог проведённому анализу когнитивных операций над математическими и другими текстами, мы старались каждый раз отмечать их общие свойства и их отличительные особенности. Нам хотелось показать, что анализ языковых единиц и структур разного рода позволяет уточнить некоторые важные математические понятия. Среди них — кванторы и операции их снятия и навешивания, условия применения этих операций, а также внутренние структуры самих правил (соотношение «левой» и «правой» частей правил).
За пределами настоящей работы остались многие проблемы, относящиеся к связям естественного языка и языка математики. Не имея никакой возможности перечислить здесь даже наиболее важные из них, остановимся лишь на тех, которые имеют прямое отношение к теме данной работы.
Первая проблема касается критериев отбора частных случаев или обобщений как прагматически наиболее интересных. Как известно, математика пока ещё плохо умеет моделировать категорию интереса, что, несомненно, непосредственно связано с недостаточным вниманием к ней со стороны представителей самых разных гуманитарных наук — не только лингвистики, но и философии, психологии и других. Все мы знаем, что то, что может быть интересно одному, может быть неинтересно другому. То, что кому-то интересно сегодня, может быть неинтересно завтра или было неинтересно вчера. Понятия интересности и интереса привязаны к конкретным ситуациям и, шире, условиям жизни. Для математиков, прежде всего, для тех, кто профессионально занимается преподаванием, выбор интересных частных случаев и проведение содержательных обобщений вместе с их обоснованием является важнейшей педагогической задачей, на которую, к сожалению, ещё мало обращается внимания. В этом месте лингвистика опережает математику: она занимается анализом конкретного языкового материала, по большей части представляющего собой описание или разбор каких-то конкретных жизненных ситуаций. Обобщения же в лингвистике носят в основном индуктивный характер и производятся более свободно, чем в математике.
Вторая проблема связана с категориями простоты и сложности. Далеко не всегда интересные частные случаи и обобщения являются самыми простыми. Сложность и простота бывают разные. Поиск простого контрпримера может быть сложной математической задачей. Наоборот, сложная и по форме, и по содержанию теорема может иллюстрироваться очень простым и ясным приме-
ром. Приведение простых примеров и по возможности наиболее простые формулировки обобщений — это тоже важный элемент педагогической деятельности.
Третья проблема связана только с одной когнитивной операцией - операцией универсализации. Эта проблема может быть сформулирована так: существуют ли необобщаемые суждения? Представляется уместным при подходе к этой проблеме выделить по меньшей мере два возможных её уточнения.
Одно из них вызвано неоднозначностью слова необобщаемые: означает ли оно то, что сегодня математики не умеют обобщить данное суждение? Второе уточнение непосредственно связано с существованием уникальных объектов - уникальных в том отношении, что они и только они обладают данным набором свойств. В связи с рассматриваемой проблемой возникает ещё один вопрос - это вопрос об уместности или целесообразности операции универсализации. Подобно тому, как в лингвистике не подлежат обобщению пословицы - в силу их максимально общего характера, - так и в математике выделяются высказывании, которые не подлежат обобщению. Это может означать, что универсализация либо прагматически неуместна, либо невозможна по структурным или содержательным причинам. Например, не обобщается таблица умножения - в этом нет никакой нужды; не обобщается формулировка теоремы, в случае если все кванторы в ней связаны. Наконец, не могут быть в данный момент времени обобщены только что установленные математические факты.
Мы не рассмотрели здесь операции снятия и навешивания сразу нескольких кванторов. В случаях, когда в формулировках теорем имеется несколько кванторов, а в соответствующих им текстах на естественном языке - несколько кванторных слов (возможно, нулевых), возникает ряд сложных проблем, касающихся не только рассмотренных нами когнитивных операций, но и их упорядочения, а также определения условий их однократной или многократной применимости. Мы надеемся когда-нибудь обратиться к этой теме.
* * *
Авторы глубоко признательны всем тем людям, которые читали данную работу на разных стадиях её написания, за критические замечания и проницательные соображения - О.Н. Вендровой, А.Г. Крейдлиной, А.Б.Летучему и Ю.А. Шихановичу.
Примечания
Крейдлин Г.Е., Шабат Г.Б. Теорема как вид текста: I. Понятность // Вестник РГГУ. 2007, № 8, с. 102 - 112.
Некоторые из указанных операций с более общей точки зрения были рассмотрены в известной книге: Пойа Дж. Математика и правдоподобные рассуждения, М.: Наука, 1975.
Понятие трёхмерной сферы является частным случаем, или специализацией (см. раздел 2.1) важного математического понятия n- мерной сферы. Такая сфера (с центром в точке (0,0,...,0)) задаётся уравнением х12 + х22 + ... + xn+12 = r2, где x1, x2 ... , xn1 — координаты точки (п+1)-мерного пространства, а r — радиус сферы. Три специализации этого понятия изучаются в школе: при n = 0 это пара точек, или нульмерная сфера, при n = 1 это окружность, или одномерная сфера, а при n = 2 это двумерная, или привычная всем, «обычная» сфера.
Жолковский А.К. О понятиях «инвариант» и «поэтический мир»: вторая лекция в программе «Академия» на телевизионном канале «Культура» (эфир 5-го октября 2010 г.). Крейдлин Г.Е., Шабат Г.Б. Указ.соч.
Так называют утверждение о том, что уравнение xn+yn=zn неразрешимо в натуральных числах x,y,z при n > 3, сформулированное французским математиком Пьером Ферма в 17 веке и доказанное в конце 20 века английским математиком Эндрю Уайлсом. Иногда эту теорему также называют Большой Теоремой Ферма (в отличие от Малой Теоремы Ферма, утверждающей, что xp - x делится наp при простомp и натуральном x). Подробнее см. в книге: Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма: генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. М.: Мир, 1980. Пойа Дж. Указ.соч.
Коллинеарными называются ненулевые вектора a и ка*, где к — ненулевое действительное число.
Открыв это равенство, выдающийся немецкий учёный Готфрид фон Лейбниц (1646—1716), до тех пор занимавшийся лингвистикой (в частности, анализом древних языков и поиском универсального языка смыслов, lingua mentalis), решил посвятить себя математике.
См. о них, например, в работе: Гелбаум Б., ОлмстедДж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967.
Кривые, не имеющие длины, — ещё один класс удивительных контрпримеров, в сильной степени противоречащий обычной человеческой интуиции. О значениях, употреблениях и функциях русских производных предлогов см.
словарные статьи В.Ю. Апресян о синонимических рядах включая, не исключая, в том числе и кроме1, за исключением, за вычетом, если не считать, не считая2 из «Нового объяснительного словаря синонимов русского языка» (Вып.3. М.: УРСС, 2003) и Крейдлин Г.Е. Значение некоторых производных предлогов русского языка // НТИ, сер.2, М.: ВИНИТИ, 1975, № 8. Десигнация — от лат. designatio 'обозначение, указание'. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М.: Наука, 1979.
2
4
9
10
11
12
Математика. Информатика: энциклопедия. М., Росмэн-Пресс, 2007. (Современная иллюстрированная энциклопедия). С. 204.
Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) — немецкий математик, один из величайших учёных XIX века.
Иван Матвеевич Виноградов (1891—1983), известный российский математик. Христиан Гольдбах (1690—1764), немецкий математик, известный своей гипотезой «Каждое натуральное число, большее 5, есть сумма трёх простых чисел», которую он в 1742 г. сформулировал в письме Л. Эйлеру. Подробнее об этой гипотезе см. в книге: Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? / Пер. с англ. под. ред. А.Н. Колмогорова. 3-е изд., испр. и доп. М.: МЦНМО, 2001. Обсуждение содержания этой теоремы см. в: Курант Р., Роббинс Г. Указ.соч. Вот примерные идея и план доказательства: для каждого алгебраического числа определяется его степень, под которой имеется в виду минимальная степень многочлена (минимальность — это требование, носящее технический характер; оно нужно для точной фиксации степени алгебраического числа) от одной переменной с целыми коэффициентами, корнем которого является это число. Например, рациональные числа — это алгебраические числа степени 1 (так, 7 является корнем многочлена 3х — 7), число V2 имеет степень 2, так как является корнем многочлена х2 — 2, и т.п.). Множество алгебраических чисел данной степени d счётно, поскольку любой многочлен степени d однозначно определяется кортежем своих коэффициентов длины d + 1, а каждый такой многочлен, согласно основной теореме алгебры, имеет не более d корней. Поставим в соответствие каждому многочлену множество его действительных корней. Поскольку каждое из множеств многочленов степеней 1, 2, 3 и т. д. — счётно, а корней у каждого из них — конечное число, то, произвольно пронумеровав множество корней многочлена, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между некоторым подмножеством множества пар вида < многочлен степеии d, номер его корня > и множеством алгебраических чисел степени d. Само множество пар — счётно (как прямое произведение счётного и конечного множеств); его подмножество, а следовательно, в силу установленного взаимно однозначного соответствия, и множество алгебраических чисел степени d — тоже счётно. Множество всех алгебраических чисел тем самым тоже является счётным как объединение счётного множества счётных множеств (здесь используется известный результат теории множеств).
Жак Адамар (1865—1963) — известный французский математик. Шарль Жан Валле-Пуссен (1866—1962) — бельгийский математик. Наlmоs P.R. How to write mathematics // L'Enseignement Math. 1970, № 16(2), C. 123—152; русский перевод статьи вышел под названием «Как писать математические тексты» в журнале «Успехи математических наук» (1971, том XXVI, вып. 5(161)). См. ПойаДж. Указ.соч.
Эта фраза нами заимствована из «Федерального Закона о политических партиях» (ФЗ-93). Хотя в ней нет ни одного кванторного слова, очевидно подразумевается, что речь здесь идёт о всех правах и интересах всех политических партий.
15
16
21
22
