ТЕОРЕМА ФЕРМА Текст научной статьи по специальности «Математика»

The scientific heritage No 48 (2020)

53

Студенту необходимо самостоятельно измерить радиусы колец в случае воздушного зазора между линзой и пластинкой, по ним определить радиус кривизны линзы. Далее измерения повторяются для случая заполнения зазора водой и определяется показатель преломления жидкости. Для съёмки использовалась полупрофессиональная камера с возможностью ручной фокусировки и штатив. Без данной аппаратуры получение качественных изображений крайне затруднительно. Подобным методом были созданы электронные версии и других лабораторных работ из курса оптики.

Таким образом, описанный нами способ реализации лабораторного практикума позволяет, хоть и не в полной мере, сымитировать взаимодействие студента с реальным лабораторным оборудованием. Наличие фото и видео настоящих установок с процессом измерений реальных экспериментальных данных позволяет продемонстрировать явление как есть, а не его упрощённую модель. Однако заметим, что такие съёмки не всегда возможно провести с помощью обычной камеры смартфона, и в случае с некоторыми курсами, такими как оптика, приходится прибегать к использованию оборудования, не всегда имеющегося в распоряжении сотрудников университетов.

Также стоит признать, что даже такой формат представления лабораторного опыта не способен заменить реальный эксперимент. Любое «правильное» изучение естественных наук требует проведения настоящих практических опытов, чтобы студенты могли эффективно наблюдать и понимать изучаемые явления природы. Такой тактильный опыт укрепляет процесс обучения и способствует более глубокому пониманию научного метода в целом и предмета в частности. Но в условиях вынужденного режима дистанционного обучения описанный нами подход вполне оправдан.

Список литературы

1. Jeschofnig P. Effective laboratory experiences for distance learning science courses with self-contained laboratory kits [Электронный ресурс] // Proceedings of the 20th Annual Conference on Distance Teaching and Learning - 2004. - URL: https://www.re-searchgate.net/publication/228489913_Effective_la-boratory_experiences_for_distance_learning_sci-ence_courses_with_self-contained_laboratory_kits (22.06.2020).

2. Драчёв К.А., Губин С.В. Виртуальные лабораторные работы по физике для студентов дистанционной формы обучения / Драчёв К.А., Губин С.В. // The Scientific Heritage. - № 44-1 (44) - 2020. - С. 9-12.

3. Насыров В.В. Виртуальная лабораторная работа «Машина Атвуда» / Насыров В.В., Хаин Д.С. // Материалы научно-практической конференции: ТОГУ-Старт: фундаментальные и прикладные исследования молодых. Хабаровск. - 2020. - С. 6974.

4. Кирюшин А.В. Изучение естественной оптической активности: методические указания к лабораторной работе №53. [Электронный ресурс]. -2006 - URL: http://pnu.edu.ru/media/filer_public/2013/04/03/lab53. pdf (22.06.2020).

5. Швец Н.Л. Определение радиуса кривизны линзы и показателя преломления воды при помощи колец Ньютона: методические указания к выполнению лабораторной работы № 52ф [Электронный ресурс]. - 2014 - URL: http://pnu.edu.ru/media/filer_public/a1/da/a1da1ad2-df0b-4e81-ac22-0e1e89855b8Mab52.pdf (22.06.2020).

ТЕОРЕМА ФЕРМА

Геворкян Ю.Л.

канд. ф.-м. наук, профессор,

Национальный Технический Университет «Харьковский Политехнический Институт» FERMAT'S THEOREM

Gevorkyan Yu.

Cand. of Phys. Math. Sc., Professor, National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute "

Аннотация

В статье предлагается доказательство теоремы Ферма. Вместо целых чисел a, b, С в теореме Ферма рассматривается треугольник с длинами сторон a, b, С. Доказано, что в случае прямоугольного и тупоугольного треугольников уравнение Ферма решений не имеет. При рассмотрении случая, когда a, b, С являются сторонами остроугольного треугольника, доказано, что уравнение Ферма не имеет целых решений при p > 2.

54 The scientific heritage No 48 (2020)

Abstract

In the paper the proof of Fermat's Theorem is proposed. A triangle with the sides a, b, С is considered rather than a set of integers a, b, С. It is proved that in the cases of right and obtuse triangles Fermat's equation has no solutions. When studying the case of a, b, С being the sides of an acute triangle, it is proved that Fermat's

equation doesn't have integer solutions for p > 2.

Ключевые слова: теорема Ферма, геометрический подход, теорема Декарта. Keywords: Fermat's Theorem, geometrical approach, Descartes' theorem.

Данная работа является продолжением исследований [1, 2]. Теорема Ферма. Для любого натурального числа p>2 уравнение

ap + bp = cp (1)

не имеет решений в целых ненулевых числах a, b, С.

Доказательство. Очевидно, что a < С, b < С, С < a + b. Применим геометрический подход, а

именно: вместо тройки чисел a, b, С рассмотрим треугольник с длинами сторон a, b, С.

Возможны три варианта: треугольник прямоугольный, тупоугольный либо остроугольный. В первом случае

a2 + b2 = С2 (2)

Во втором случае из теоремы косинусов следует, что

a2 + b2 < С2 (3)

9 9 9

a + b < с (4)

Объединяя (2) и (3), получаем:

р-2

Умножив неравенство (4) на С , получим:

а2 •ср-2+Ь2 •ср-2<ср.

Откуда

ар + Ьр < ср,

так как а2 • СР 2 > аР, Ь2 • СР 2 > ЬР . То есть, в первых двух случаях уравнение (1) решений не имеет.

Рассмотрим третий случай, а именно: треугольник остроугольный. Не нарушая общности, будем считать, что а < Ь.

При а = Ь, уравнение (1) принимает вид:

ар + ар = ср.

Откуда

с = а^Т..

То есть с является иррациональным числом при а и р целых.

Числа а = к, Ь = к + т, с = к + п, где к, т , п - целые числа, удовлетворяющие неравенствам

п > т, п < к + т,

исчерпывают все возможные варианты целых чисел а, Ь, с, являющихся сторонами треугольника. В остроугольном треугольнике дополнительно выполняется следующее условие:

к > п - т + ^2п (п - т) (5)

Докажем неравенство (5). Как известно,

2 + b2 > с2 , к2 + (к + mf > (к + nf,

2 .....\ , 2 2

к -2к(n-m) + m -n > 0.

Откуда

к > n - m + yj2n (n - m) .

The scientific heritage No 48 (2020) 55

Из неравенства (5) следует, что к > 3. Рассмотрим функцию

f (к, p) = kp + (к + m)p - (к + n)p, (6)

где p положительное число (p > 2) .

Полагая число p целым, преобразуем равенство (6):

f (к, p) = kp - Cj (n - m)kp-1 - C2p (n2 - m2)kp-2 -... -

(7)

-Cp (np-1 - mp-1)к - (np - mp ).

Таким образом, f (к, p) является многочленом степени p целочисленного аргумента к. По теореме Декарта [3] уравнение

f ( к, p ) = 0 (8)

имеет единственный положительный корень при любом p > 2. Докажем некоторые утверждения.

Предложение 1. Пусть f (к, p) < 0 Vp > po (к > 3). Тогда f (к, p) монотонно убывает на

интервале (po, го) по переменной p .

Доказательство.

fp( к, p ) = кр ln к + ( к + m )p ln ( к + m )-( к + n )p ln ( к + n )< Fln ( к + n ) + +(к + m)p ln (к + n) - (к + n)p ln (к + n) = f (к, p) ln (к + n) < 0.

Следовательно, f (к, p) монотонно убывающая функция на интервале (po, го). Предложение 2. Пусть f (к, p) > 0 V к > ко (p > 2) . Тогда функция f (к, p) монотонно

возрастает по переменной к на промежутке (го) .

Доказательство.

f ( к, p ) = pf (к, p -1).

По условию f (к, p - l) > 0. Следовательно, f (к, p) > 0 . То есть, f (к, p) монотонно

возрастает на интервале (^, го).

Предложение 3. Справедлива следующая рекуррентная формула:

f (к, p +1) = hf (к, p)- n(к + n)p - m (к + m)p , (9)

к, m, n, p - целые числа. Причем f (к, p + l) Ф 0 при p > 2.

Доказательство.

f (к, p +1) = кр+р + (к + m )p +1 - (к + n )p +1 = = к ■ № +(к + m)(к + m)p -(к + n)(к + n)p = = к^(к,p)- n(к + n)p -m(к + m)p Очевидно, f (к, p + 1) < 0 при f (к, p) < 0.

Покажем, что f (к, p + 1) Ф 0 при f (к, p) > 0 . Предположим, что f (к, p + 1) = 0 при

некотором произвольном значении p (p > 2). Из равенства (9) следует, что

56 The scientific heritage No 48 (2020)

f ( k, p ) = 1 ^n ( k + n )p - m ( к + m )p J = 1Гkp (n - m) + C\ (n2 - m2)kp-1 +... + C\ (np - mp)к + np kp + Cp (n + m ) kp-1 + C2 (n2 + nm + m2 ) kp-2

к

+... +

k

+Cp (np-1 + np-2m + np-3m2 +... + mp-1) k + (np + np-1m +... + mp )]. (10)

Согласно равенству (10) уравнение f (k, p) = 0 не имеет положительных корней при p ^ 2.

Однако, ранее было показано, что уравнение f (k, p) = 0 имеет единственный положительный

корень при p > 2. Следовательно, f (k, p + 1) Ф 0 при любом p > 2. Что и следовало доказать.

Следствие. В случае, если треугольник прямоугольный либо тупоугольный, уравнение (1) не имеет решений в целых ненулевых числах a, b, С и натуральном p > 2.

Действительно, в первом случае f (k,2) = 0 , а во втором f (k, 2) < 0. В обоих случаях

f ( k ,3)< 0.

Теорема. Уравнение f (k, p) = 0 не имеет целых корней при p > 2.

Доказательство. Возьмем произвольные целые положительные числа m, n (n > m) . Выберем

произвольное целое число k, удовлетворяющее условию (5), то есть f (k, 2) > 0 . Число f (k, 3) может быть отрицательным или положительным.

Пусть f (k, 3) < 0. В силу непрерывности функции f (k, p) по переменной p существует

единственное значение р (2 < р < , такое, что р) = 0 . Если f(k, 3) > 0, то указанный

процесс продолжим, рассматривая f (k, 4) и т.д.

Таким образом, уравнение f (k, p) = 0 при p > 2 не имеет цел^1х корней. Выводы:

1. В случае прямоугольного и тупоугольного треугольников уравнение f (k, p) = 0 не имеет корней при p > 2.

2. В случае остроугольного треугольника уравнение f (k, p) = 0 не имеет целых корней при p > 2.

3. В частном случае при а = b число с является иррациональным, если а, p - целые числа. Что и является окончательным доказательством теоремы Ферма.

Список литературы 2. Геворкян Ю.Л. Теорема Ферма / Scientific

1. Геворкян Ю.Л. Частный случай теоремы Journal of Italia "Annali D'Italia", Vol. 1, 2020 (8), pp.

Ферма / Труды IX Международной научно-практи- 7-16.

ческой конференции "Scientific achievements of 3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.:

modern society", Ливерпуль, Великобритания, 28-30 Наука, 1968. - 431 с. апреля, 2020. - C. 418-429 с.