Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 3, С. 40-45
УДК 517.98
ТЕНЬ БИЛИНЕЙНОГО РЕГУЛЯРНОГО ОПЕРАТОРА М. А. Плиев
Рассматриваются формулы проектирования на тень билинейного регулярного оператора, а также на полосу, порожденную решеточным биморфизмом.
Ключевые слова: билинейные регулярные операторы, тень оператора, решеточный биморфизм.
Введение
В последние годы возрос интерес к исследованию билинейных операторов, действующих в векторных решетках [5, 6, 11]. Как и в линейном случае, важным инструментом, позволяющим изучать структуру пространств этих операторов является порядковое проектирование. Большое количество результатов в этом направлении известно для линейных и ортогонально аддитивных операторов [1-3, 7, 8, 10]. В этой связи возникает задача — распространить на билинейный контекст результаты о порядковом проектировании известные для линейных и ортогонально аддитивных операторов. Первый шаг в этом направлении сделан в [9]. Настоящая заметка продолжает этот круг исследований.
1. Предварительные сведения
1.1. Здесь мы приведем некоторые предварительные сведения, необходимые для дальнейшего. Цель настоящего параграфа — зафиксировать терминологию, обозначения и ввести необходимые понятия. Стандартный источник для ссылок по теории векторных решеток и решеточно нормированных пространств — монография [4].
Напомним, что отображение, действующее в векторных простанствах и зависящее от двух переменных называют билинейным, если оно линейно по каждой переменной при фиксировании другой переменной. На протяжении всего текста Е, ^ и О — архимедовы векторные решетки. Билинейный оператор Т : Е х ^ ^ О называют положительным, если Т(ж, у) ^ 0 для всех х £ Е+ и у £ Разность положительных билинейных операторов называют регулярным оператором. Билинейный оператор Т : Е х ^ ^ О положителен тогда и только тогда, когда для любых х £ Е+ и у £ частичные операторы
Т(х, ■): у ^ Т(ж, у) (у £ ^); Т(-,у): х ^ Т(х, у) (х £ Е)
положительны. Через Вг (Е, ^; О) и В+ (Е, ^; О) обозначим соответственно множества регулярных и положительных билинейных операторов из Е х^ в О. Пусть Е, ^, О — векторные решетки, причем О порядково полна. Тогда векторное пространство Вг (Е, ^; О) является порядково полной векторной решеткой, а решеточные операции имеют вид:
© 2008 Плиев М. А.
(Т V 5)(/, д) = 8ПР Т(/, д) + 5(/, д);
I г=1 п ч
/ € Е+, 5 € / + /2 = /, Vг £ {1,..., п}, ^ д» = д; п € N I.
Г п *=1 '
(Т Л ад, д) = Т(/, д) + 5(/?, д);
I г=1 п 4
/ € Е+, д € / + / = /, Vг € {1,..., п}, ^ д = д; п € N I.
¿=1 )
Билинейный оператор Т : Е х ^ ^ С называется решеточным биморфизмом, если частичные линейные операторы Т(ж, ■) и Т(-,у) являются решеточными гоморфизмами, действующими в соответствующих пространствах. Порядковые проекторы, действующие как в векторных решетках, так и в пространствах операторов, будут обозначаться маленькими греческими буквами п, р и т. д. Из контекста всегда будет ясно о каких проекторах идет речь. Пусть А — некоторое подмножество элементов векторной решетки. Через па будем обозначать проектор на полосу {А}^.
2. Проектирование на полосу, порожденную решеточным бимоморфизмом
2.1. В настоящем пункте рассмотрим важное понятие, позволяющее вычислить проекцию положительного билинейного оператора на полосу, порожденныую решеточным биморфизмом.
Пусть Е, ^ и О векторные решетки и О, кроме того, порядково полна. Тенью регулярного билинейного оператора Т € Вг (Е, ^; О) называется множество
(Т) := {5 € Вг(Е,^; О) : (Vр € Вг(Е)), (V а € )), п^^р) < пвд^)}-
Как обычно булевы алгебры порядковых проекторов в пространствах Е и ^ будут обозначаться Вг(Е) и ) соответственно. Множества конечных разбиений единичных проекторов 1е и 1 р будем обозначать Рй(Е) и Рг1(^) соответственно.
Теорема. Для произвольного билинейного оператора Т € Вг (Е, ^; О) имеют место следующие утверждения:
1) УН(Т) — полоса в пространстве Вг(Е, ^; О);
2) УН(т)=УН(|Т|) э Т±±;
3) проекция оператора 5 € В+(Е, ^; О) на полосу УН(Т) вычисляется по формуле
{п т
У^ у^ пт(рк £>гр)Б(Рк, а);
к=1г=1 ч
(рк)П=1 € Pгt(E), (а)т=1 € Рг^); п,т € N I (1)
< Очевидно, что УН (Т) будет векторным подпространством пространства Вг(Е,^; О). Пусть 5 € УН(Е, ^; О) и р € Вг(е), а € ), ж € Е +, у € Тогда
{п п ^
У] 5(рж», ау») : 0 ^ ж» ^ ж, 0 ^ у ^ У, Уг = У; п € N > =1 =1
и, следовательно,
Таким образом, УН(Т) — векторная подрешетка. Легко видеть, что УЖ(Т) порядковый идеал. Пусть 0 ^ 5а | 5
И 5а £ УЖ (Т). Тогда
^ Пт). Таким образом,
УЖ(Е, Е; С) является полосой.
Для операторов 5, Т £ Вг(Е, Е; С), 5 ^ Т включение УЖ(5) С УЖ(Т) очевидно. Кроме того, Т+, Т- £ УЖ(Т) ПУЖ(|Т|). Отсюда получаем, что УЖ(Т) = УЖ(|Т|). Если оператор 5 £ {|Тто 5 = 8ир{п|Т| Л 5}. Таким образом, для любых пар проекторов р £ Вг(Е), о £ Вг(Е) и любых (х, у) х £ Е+, у £ Е+ справедлива формула
П5(рж,сту) = 8иР{п(п|Т|Л5)(рж,СТу)} ^ ®иР{пга|т} = П|Т|(рж,сту) • Таким образом, {|ТС УЖ(Т) установлено. Пусть
{га т ^
Е!>т(№о(рк®<тг);(рк)П=1 £ Рг^Е), (о)]= £ Рй(Е);т,п £ • к=1г=1 )
Для доказательства утверждения (3) необходимо установить следующие факты:
a) 0 ^ йт (5) < 5;
b) йт(йт(5)) = йт(5);
c) йт(5) = 5 ^ 5 £ УЖ(Т);
^ йт — линейный оператор, действующий в пространстве Вг(Е, Е; С). Для любых разбиений (р&)П=1 £ Рй(Е), (ог)™1 £ Рй(Е) оператор 5(р&,07) является осколком оператора 5. При измельчении разбиений (р&) и (о) этот осколок уменьшается. Таким образом, йт(5) будет пределом убывающей сети осколков 5(р&,0г). Формула (а) очевидна. Для доказательства соотношения (с) рассмотрим следующую цепочку выражений:
га т
йт(5) = 5 ^ V (рк)П=1 £ Рй(Е), V (ог£ РИ(Е) ^ £пт(№е,^)5 о (рк ® ог) = 5
к=1 г=1
га т
= Е Е 5 о (Рк ® о)) ^ (Ур £ Вг(е)), (^ £ Вг(Е)) 5(р, о) = к=1 г=1
= Пт(р(Е),^))5 о (р ® о) ^ ^ (Vр £ Вг(е)), (^ £ Вг(Е)) п^е),^)) < Пт(р(е),^))•
Если Т1, Т2 ^ 0, то для произвольных разбиений (рк), (р£) £ Рг^Е), (о^) , (от) £ Рй(Е) можем написать:
Е Е ПтКЕ,^)51 о (рк ® оО) + Е Е ПГ^Е.^Зг о (рк ® °г"))
^ Е Е Пт(р*) (51 + 52) о (рк <8> о)) = Е Е Пт(р^Е,^)51 о (рк ® ог)) + Е Е Пт(р^Е,^)52 о (рк <8> °г)).
Здесь под (рр) £ Рй(Е), (оу) £ Рг^Е) понимаются разбиения более мелкие, чем (р^), (р£) и (оП), (от). Переходя к инфинуму, получаем
йт (51) + йт (52) = йт (51 + 52).
Докажем теперь формулу (Ь). Пусть Ш = Кт(Б) и Б £ В+(Е, ^; О). Для любых р £ Вг(Е), а £ ) справедливо равенство:
п т
Ш(р,а) = ^ Е £>т(Рке^е)Б о (рк ® а1 )(р,а); (р^)П=х £ Рг^Е), (аг)т=х £ Рг^) \ I к=1 г=1 )
{п т т п Л
Е Е ПТ(ркЕ,а1Е)Б 0 (Рк ® а0; Е Рк = р',Еа = а' Г ' к=1 г=1 к=1 г=1 J
Таким образом, Ш(р, а) ^ пт(Р(Е),а(Е))Б(р, а) для любых р £ Вг(Е), а £ ). Это
означает, что Б £ УН(Т). Используя уже доказанное утверждение (с), получаем, что Ш = Кт(V). >
2.2. Векторная решетка Е называется пространством Рисса — Фрейденталя (Е £ ), если для любых е > 0, е £ Е+, х < е существуют а £ Ж, р^ £ Вг(Е), г = 1,..., п, такие, что имеет место формула
п
Е-
г=1
< ее.
Пусть Е £ . Это означает, что дизъюнктные элементы в Е можно разделить проекторами. Иначе говоря, для любого х £ Е найдется р £ Вг(Е) такой, что х+ = рх. Для решеточного биморфизма Т, действующего в паре пространств Рисса — Фрейденталя, полосу УН(Т) удается описать более точно.
Теорема. Пусть Е, ^ £ , О — К-пространство. Тогда для любого решеточного биморфизма Т £ Вг(Е, ^; О) выполнено равенство УЖ(Т) = {ТКроме того, для любого оператора Б £ В+(Е, ^; О) справедливы формулы проектирования:
{п т
ЕЕпт(РкЕ^Е)Б о (рк ® аг); (рк)П=1 £ Р^(Е), (а,)3=1 £ Рг^) ; (2)
к=1 г=1 J
{п т
ЕЕпт(Рке^)Б(ркх,агу); (рк)п=1 £ Р^(Е), (аг^ £ Рг^) I; (3) к=1 г=1 )
(0 ^ х ^ е, 0 ^ у ^ ]).
< Прежде всего отметим, что для любого оператора Б £ УЖ(Т) справедлива формула
Б(р, а) = пт(р(Е),а(Е))Б; р £ Вг(Е), а £ ). (4)
Действительно,
пт (р(е),о(е ))б (х,У) = пт (р(е),о(е ))(б (рх,аУ)
+ Б(рхх, ау) + Б(рх, аху) + Б (рхх, аху)) = Б (рх, ау).
Последнее равенство справедливо в силу того, что справедлива цепочка неравенств
пЯ(рх,<гу) ^ п(р(Е),а(Е)); пБ(р±х,ау) ^ пТ(рх(Е),ст(Е)); пБ(рх,а^у) ^ пТ(р(Е),а^(Е)); пБ(р^х,а^у) ^ пТ(р±(Е),^±(Е))
ипр°ект°ры ПТ(р(Е),а(Р)), ПТ(р^(Е),а(Р)), ПТ(р(Е),а^(Р)), ПТ(р±(Е),а: ±(Р)) попарно дизъюнктны. Пусть 5 £ УН + (Т) и Т Л 5 = 0. Для произвольных е £ Е+, / € ^ + и р £ Вг(Е), а £ ) справедлива формула
п
Т(е,/) Л 5(е,/) < Е ПТ(р}(Е),а{(Р))Т(е,/) + ПТ(р2(Е),^(Р))5(е,/);
7=1
Vг £ {1,..., п} (Р')2=! £ ГГ1(Е); (аг)П=1 £ ГГ^). Используя теперь формулу (4), имеем
Т(е, /) Л 5(е, /) < ^ ПТ(р1(Е),^(Р))Т(е> /) + ПТ(р?(Е),^4(Р))5(е> /) ?
(рг М^Ц 7=1 1 )
= Т(р1е,а/) + 5(рг2е,а/)1 = (Т Л 5)(е,/).
(р)^){ 7=1 )
Тем самым для любых ж £ Е+, у £ и и > ж, V > у будет ¿"(ж, у) Л Т(и, V) = 0, что означает 5(х, у) = пт(е,р)5(ж, у) = 0. Отсюда получаем, что УН(Т) = {Т Формула (2) есть следствие теоремы 2.1. Пусть 0 ^ ж ^ е, 0 ^ у ^ /. Справедлива следующая цепочка равенств
ПТ (е,/)ПТ(рк(Е),а1(Р)) = пТ(рк е,^/)ПТ(рк (Е),а1(Р)) + ПТ(р^:в,а1/)ПТ(рк(Е),а1 (Р)) +ПТ (рк е,^^-{)ПТ (рк (Е)МР)) + ПТ(р^е,а^ )ПТ (рк (Е)МР)) = пТ(рк (е)М/))-пт(е,/)пт5(х,у) = йирПпЯ(е,/)(пТ Л 5)(х,у) = 8ир(пТ Л 5)(ж,у) = Пт5(ж, у).
пп
Теперь можем написать
п т
ПТ 5 (ж,у) = ПТ (е,/) ПТ 5(ж,у) = ^ ^2ПТ(е,/)ПТ (рк Е,а{Р )5 (Рк ж, а у) }
к=11=1
п т
= 1п£{Е Епт(рке^/)5(ркж,агу)}; (рк )П=1 £ (а £ Гг^). >
к=1г=1
Литература
1. Колесников Е. В. Разложение положительного оператора // Сиб. мат. журн.—1989.—Т. 30, № 5.— С. 77-79.
2. Колесников Е. В. Несколько порядковых проекторов, поржденных идеалами векторной решетки // Сиб. мат. журн.—1995.—Т. 36, № 6.—С. 1342-1349.
3. Колесников Е. В. В тени положительного оператора // Сиб. мат. журн.—1996.—Т. 37, № 3.—С. 592598.
4. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.
5. Кусраев А. Г. Ортосимметричные билинейные операторы в векторных решетках // Исследования по современному анализу и математическому моделированию.—Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008.— С. 186-225.
6. Кусраев А. Г., Шотаев Г. Н. Билинейные мажорируемые операторы // Исследования по комплексному анализу, теории операторов и математическому моделированию.—Владикавказ: ВНЦ РАН, 2004.—С. 241-262.
7. Плиев М. А. Проекция положительного оператора Урысона // Владикавк. мат. журн.—2005.—Т. 7, вып. 4.—С. 22-39.
8. Плиев М. А. Порядковое проектирование в пространствах операторов Урысона // Владикавк. мат. журн.—2006.—Т. 8, вып. 4.—C. 22-39.
9. Плиев М. А., Табуев C. Н. О проекциях положительного билинейного оператора // Исследования по математическому анализу.—Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008.—С. 166-176.
10. Aliprantis S. D., Burkinshaw O. The components of the positive operator // Math. Z.—1983.—Vol. 184, № 2.—P. 245-257.
11. Bu Q., Buskes G., Kusraev A. G. Bilinear maps on products of the vector lattices: A survey // Positivity / Eds. Boulabiar K., Buskes G., Triki A.—Basel a.o.: Birkhauser, 2007.—P. 97-126.
Статья поступила 3 декабря 2007 г.
Марат Амурханович Плиев Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН 362027, Владикавказ, РОССИЯ E-mail: plimarat@yandex.ru