Температурный эффективный потенциал минимальной суперсимметричной стандартной модели Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 10, №3, 2008

УДК 539

температурный эффективный потенциал

МИНИМАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИЧНОЙ СТАНДАРТНОЙ МОДЕЛИ

© 2008 А.О. Борисов1, М.В. Долгополов1, М.Н. Дубинин2, Э.Н. Рыкова1

1 Самарский государственный университет 2 Московский государственный университет

Обсуждаются эффективные потенциалы в моделях с расширенным скалярным сектором при ненулевой температуре. Для двухдублетного сектора Хиггса МССМ рассмотрены возможности двух подходов - диаграммного и эффективного потенциала. В диаграммном подходе массы скалярных полей определяются в минимуме потенциала через поправки к его параметрам.

Введение

Стандартная модель (СМ) взаимодействия частиц, в последние десятилетия получила уверенное экспериментальное подтверждение как составная часть низкоэнергетического приближения более фундаментальной теории. Однако в рамках СМ не удается описать возникновение барионной асимметрии при электрослабом фазовом переходе [1]. Среди многочисленных обобщений модели Глешоу-Вайнберга-Салама наиболее мотивированной сегодня является минимальная суперсимметричная стандартная модель (МССМ) [2, 3]. Это связано, прежде всего, с возможностью в рамках этой модели получить эффективное описание бариогенезиса (при ненулевой температуре), нарушения CP-инвариантности и усиления интенсивности фазового перехода первого рода, что соответствует выполнению условий Сахарова [4].

В статье рассматриваются температурные потенциалы (свободная энергия) Хиггса СМ и МССМ, полученные в подходе эффективного потенциала, и потенциал, полученный с использованием диаграммного метода, позволяющего учесть вклады скалярных кварков при различных масштабах массовых параметров.

Ф

' *1 + *2 ' Фа + h + *3 ,

V V2 у

(1)

в котором Фа есть постоянное фоновое поле, h - скалярное поле, а *а (a=1,2,3) - поля гол-дстоуновских бозонов. Потенциал Хиггса на древесном уровне, записанный в терминах фонового поля, имеет вид

V) (Фа )

m Х2 Х J.4

Т фа+ 4 Ф”

(2)

с положительными X и m 2. Минимум циала определяется условием 2 сы скалярных полей равны

v =

X

потен. Мас-

mh = 3ХфС - m2,

m* = Хфф - m2. (3)

Тогда с учетом условия минимума mh(v) = 2Xv2 = 2m2 и m*(v) = 0.

В однопетлевой эффективный потенциал дают вклад W± - и z 0 -бозоны с массами

2

m2w^c) = f Фа2, mM ) = Фа2.

(4)

Основной фермионный вклад в однопетлевой эффективный потенциал представлен топ-кварком с массой

Эффективный потенциал СМ при нулевой температуре

Поля с нулевым спином СМ [5] образуют ^О^-инвариантный дублет

2 h2 2

у2(Фс ) = -f Ф2, (5)

где ht - постоянная юкавского взаимодействия для топ-кварка.

762

Физика

Выражение для перенормированного однопетлевого эффективного потенциала получается с использованием ренормализа-ционных условий [6] и включает в себя контрчлены, в том числе для вакуумной энергии. Мы приведем результаты с использованием регуляризации обрезанием. В данной схеме перенормировки игнорируется вклад в однопетлевой эффективный потенциал хиггсовс-кого сектора и не присутствует космологическая постоянная. Однако, в отличие от других схем перенормировки, например, MS -схемы, контрчлен для массы Sm2 содержит вклады калибровочных бозонов и топ-кварка. В этом случае перенормированный однопетлевой эффективный потенциал СМ может быть представлен [7] в фс -зависимом виде с конечной частью

V (Фс) = Ш)+

1

64л2

n

т2(фс)l ln

т2(фс) m,2(v)

3

+ 2m2

(v)m2(фс )k(6)

где степени свободы п, равны

nW = 6, nZ = 3 nh = 1 Пх = 3 nt = _12 (7)

Температурный эффективный потенциал в СМ

Рассмотрим однопетлевой эффективный потенциал СМ при конечной температуре. Использование результатов приведенной выше ренормализационной схемы дает перенормированный эффективный потенциал при нулевой температуре, представленный выражением (6), содержащим вклады W± - и Z0 -бозонов и топ-кварка. Конечнотемпературная часть однопетлевого эффективного потенциала может быть записана [7] в виде

AV (1)(фс, T)

T 4

2л2

X nJB [m,2/ T2 ]

i=W Z

+ n,JF [m,2/ T2 ]

(8)

где функции JB и JF не являются аналитическими по переменной (fin)2 = (m / T)2 (случай малых m), и в общем случае определяются [8] как

JB[m2fi2] = Idxx2 ln

0

1 _ ex2 + m2fi2

JF [m 2fi2] = | dxx2 ln

0

1 + e

-fi2 +m2fi2

, (9)

(10)

Если массы частиц по сравнению с температурой малы, то используют высокотемпературный предел (разложение) (m/T<<1)

функций JB и JF [8]:

л л m л I m

45 + 12 T2 6 I T2

_ 2л7/! У(_1)' С(2‘ +1 Г| l + 1

Й0 (l +1)!

m2 „2т2

Т I 2 /Т2Л . Т 6 2 /Т2 14 7л л m 1 m 1

Jf (m IT ) ^ Jf (m / T << 1) = ——_ — -=n _ —

-л!!! X (_1)i (1 _ 2_2i_1 )rf 1+1

4 tt (l +1)! V 4 2

3/2

1m

JB (m21T2) ^ JB(m21T2

1)

ln

(+2

l+2

(11)

(12)

Выражения (6) и (8) в высокотемпературном приближении приводят к однопетлевому эффективному потенциалу СМ [7]:

V (Фс, T) = D(T- _ T; ф _ ЕГФ3 + Ш Ф4, (13) с коэффициентами

D =2mW+mZ+2ml

E =

8v2

2mW + TWz

B = -

4kv2 T 2 = mh -8Bv"

0 4D ’

3 4 (2mW + mZ _ 4mZ )i

64 л V

A(T) = X_

3

16л2А

, 2mil^AW. + mlln^^_4m,4lnAA^

2--41 W ABT2 Z ABT2 ' AFT 2

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

где ln AB = ln ab _ 3/ 2, ln AF = ln a/ _ 3/ 2, ab = 16л2ехр(3/2 _ 2yE ) (ln ab = 5,4076), af = л2 exp(3/2 _2yE) (lnaf = 2,6351).

В высокотемпературном приближении из (6) сумма

3л X nm2(vK2(^ ) (19)

дает вклад в квадратичное слагаемое в потенциале, не влияющее на тип фазового перехода, его появление связано с выбором схемы перенормировки однопетлевого потенциала. Все массы, которые присутствуют в выражениях для коэффициентов, соотношения (14)-(18), являются физическими массами при нулевой температуре. Потенциал (13) обычно и является предметом исследований в теориях электрослабых фазовых переходов.

Эффективный потенциал МССМ при нулевой температуре

В общей двухдублетной модели (частным случаем которой является МССМ) [2] вводятся два идентичных скалярных дублета Oj и ф комплексных полей

763

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 10, №3, 2008

®1

Ф 2 =

= ф+( x) ' "U0( x) J

Ф+ (x)'' _ ф x) J_

- т

± (v1 + Г + х)

W2

- т

2

W2

Tj (^2^'С + Г + i%2)

(2°)

(21)

с ненулевыми вакуумными ожиданиями

(ф1>

- ( ° V21 Vi

(Ф 2)

e?_ ( °

42

- ( ° 42 {v2e'e

(22)

Важным здесь является то, что поля <mi, Г, Xi не являются физическими в произвольном базисе Ф1, Ф 2. Можно переопределить базис (20), (21) выбором независимых скалярных компонент дублетов. Поэтому отношение абсолютных величин вакуумных

ожидании - параметр

tgP =

v,

(v2 = vf + v22),

не является полностью (однозначно) определенным [9]. Введенные фазы Q и £ отражают возможныи произвол (физическии) в выборе относительного разворота величин вакуумного ожидания и относительного поворота дублетов комплексных скалярных полеИ. Чтобы определить физические величины в общей модели, необходимо развить базисно-независимую технику [9,1°].

В произвольном базисе полей Хиггса ф, Ф2 может содержать следующие инвариантные члены [2]:

U(ф1> Ф2 )=-ft2 (Ф+Ф1)-Р (Ф+Ф2 )- £2 (Ф+Ф2 )- «22*(Ф+Ф1 )

+ Л (Ф+Ф1) + Л (Ф+Ф2) + Л (<Ф+<Ф )(ф+Ф2 )+ Л (Ф+Ф2 Хф+<Ф )

+ Л (Ф+Ф2 ) + ^ (Ф+Ф1 J

- Л (Ф+Ф1 )ф+Ф2 )+ Л (Ф+Ф1 )ф+Ф1 )+ Л(Ф+Ф2 )ф+Ф2 )+ 4(Ф+Ф2 )ф+Ф1 )

(23)

с эффективными действительными параметрами £12, £22, Л,..,Л4 и комплексными в об-

щем случае параметрами £22, Л5, Л, Л, нарушающими CP-инвариантность [2,11]. Заметим, что для получения поправок к параметрам Л,2,5,6,7 достаточно рассмотрение комбинаций нейтральных компонент дублетов, а для получения поправок в Л,4 необходимо рассмотрение и верхних (заряженных) компонент дублетов. Эти поправки считались рядом авторов, например, [2, 1°, 11]. Отметим, что при рассмотрении двухдублетного сектора Хиггса МССМ вводятся суперсимметричные гранич-

ные условия на параметры потенциала Л,...,7, что приводит также к конкретизации параметра tgP в массовом базисе скалярных полей.

Температурный эффективный потенциал в МССМ

В случае декаплинга, если mh « mo, Ф = H, A, H±, даф(ф) = дафф2 / v2, переходя к полярной системе координат (см. [12]), потенциал МССМ (23) в высокотемпературном приближении можно привести к виду потенциала СМ (13) с коэффициентами

MT)

6mW + 3mZ + 6Wj + mH + m\ + 2mR±

D= 24v2 ’

6mW + 3mZ + m3H + mA + 2mH±

E =--------------3----------,

12^3

B = (6mW + 3mZ -12m4 + mH + mA + 2m4 ± )

64^ v

2[1-

1

mtln-

r(6mWln-

r+ mtln-

— + 3m; ln-

r+ 2m4 ± ln-

-12m; ln-

+

ABT

AfT

H

)]

ABT

ABT

ABT

(24)

(25)

(26) (27)

где из-за расширения сектора Хиггса учтены дополнительные степени свободы

nH = nA = 1, nH± = 2, (28)

связанные с четырьмя новыми физическими бозонами Хиггса ( H, A, H ± ) МССМ. Из (25) видно, что, по сравнению с (15) коэффициент E в МССМ увеличивается за счет расширения сектора Хиггса, и тем самым способствует усилению фазового перехода первого рода.

В случае отсутствия явного режима де-каплинга для точного представления двухдублетного температурного эффективного потенциала необходимо учитывать две нейтральные степени свободы - два поля в потенциале, что приводит к значительным усложнениям, связанным с рассмотрением функций массовых матриц.

Результаты для МССМ в диаграммном подходе

Рассмотрим конечнотемпературные вклады в параметры Л (i=1,...,7) потенциала (23) для невырожденного массового случая (отличающихся масс скалярных кварков), происходящие из сектора “бозоны Хиггса -скалярные кварки” МССМ [2], полученные в диаграммном подходе с мнимым временем теории поля при конечной температуре. Например, конечнотемпературный вклад в Л5 имеет вид

764

Физика

ДЯ5 = ЗА;!л2А^1 [mQ, mv,T] + 3hbv24;I [Mq, mD, T],

(29)

где л - массовый параметр хиггсино (параметр смешивания в хиггсовском секторе), At, Ab - трилинейные константы взаимодействия в скалярном секторе, mQ, mv, mD - массовые параметры скалярных кварков. Аналитические выражения для суммы по частотам Мацубара, возникающие после интегрирования по трехмерному импульсу для диаграмм, определяющих вклад в данном случае в параметр Х5, обозначены через I[mQ,mD,T].

Конечнотемпературные вклады в параметры Ai в пределе численно совпадают с результатами при нулевой температуре как для невырожденных масс, так и для равных массовых параметров [2].

Учет температурных поправок из сектора скалярных кварков позволяет определить спектр тепловых масс бозонов Хиггса. Ринг-вклады этого сектора увеличивают коэффициент (25) при кубическом по полю слагаемом в высокотемпературном приближении потенциала МССМ.

Учет ring-вкладов

Для учета вкладов ring-диаграмм (см., например, [13] - ring-диаграммы в СМ) в эффективный потенциал следует добавить [14] следующее слагаемое (метод Арнольда-Эспиноза):

ДГ„„(Ф.Т) = -22 2niM3W.T)-m3(«]

YZ*JL i=bosons

(30)

где операторы М2(ф, T) содержат ш2(ф) и температурные вклады, причем, как обычно, mt2 (ф) = Аф2 и n~ = = 6 . Например, для

стоп-кварка (левого (L) и правого (R), 1 и 2, соответственно) с массой m~^ (ф), будем иметь

МL (Ф, T) - m~L,R (Ф) + П~L,R (T), (31)

где зависящий от температуры вклад собственной энергии есть

п~ (T) Фg2;T2 +1 g2 +±g'2T2 +1 h2T2,

4

9'

108'

4 2rr2 , 4 „t2rr2 , 1 ;„^2 (32)

п ~ (T) = - g2sT2 +—g ,2T2 +- h2T

h 90 s 2y 3 t

и gs - константа сильного взаимодействия. Тогда оказывается возможным подобрать

такую область параметров теории - т.н. окно легкого стопа [15], при которой проявляется электрослабый бариогенезис. Масса стопкварка определяется соотношением

m~ « mv

+ 0,15mZ cos2A + mt2

1 - it

2 Л

m

Q J

(33)

где At = At - л /tgfi - параметр смешивания для стоп-кварка. Фазовый переход первого рода наиболее интенсивен [15] при значении нарушающего симметрию параметра mU = -П~ (T) . Тогда для коэффициента при кубическом члене в эффективном потенциале МССМ получается выражение

E-.

' ЕСМ +

h sin

А - A,2/ mQ J

442п

(34)

3

значение которого может может быть больше, чем ЕСМ (Eв СМ (15)) [15]. В принципе, в этом случае для массы бозона Хиггса порядка 100 ГэВ можно говорить о сильном фазовом переходе первого рода.

Выводы и перспективы

В статье рассмотрены основные подходы к вычислению эффективного потенциала в моделях с расширенным скалярным сектором, например, в двухдублетном секторе Хиггса минимальной суперсимметричной модели. Интерес представляет описание фазового перехода первого рода в таких моделях. Увеличение интенсивности перехода сильно зависит от нулевых мод Мацубара для дополнительных скалярных бозонов в расширениях СМ, которые определяют величину кубического по полям слагаемого в эффективном температурном потенциале. Представляется перспективным вычисление параметров потенциала в диаграммном подходе, поскольку метод разложения эффективного потенциала не позволяет рассмотреть ситуацию, например, с невырожденными массовыми параметрами сектора бозоны Хиггса - скалярные кварки.

Благодарности

А.О. Борисов выражает благодарность за финансовую поддержку фонду Династия и МЦФФМ.

765

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 10, №3, 2008

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рубаков В.А., Шапошников М.Е. Электрослабое несохранение барионного числа в ранней Вселенной и в столкновениях частиц при высоких энергиях // УФН. 1996. Т.166. №5.

2. Ахметзянова Э.Н., Долгополов М.В., Дубинин Ы.Н. Нарушение CP-инвариантности в двухдублетном хиггсовском секторе МССМ // ЭЧАЯ. 2006. Т. 37. В.5.

3. Борисов А.О., Долгополов М.В., Рыкова

Э.Н. Сценарии бариогенезиса и необходимость расширения Стандартной модели // Известия Самарского научного центра РАН. 2008. Т. 10. № 3.

4. Сахаров А.Д. Нарушение CP-инвариантности, C-асимметрия и барионная асимметрия Вселенной // Письма в ЖЭТФ. 1967. Вып.5.

5. Окунь Л.Б. Лептоны и кварки. М.:УРСС, 2005.

6. Линде А.Д. Физика элементарных частиц и инфляционная космология. М.:Наука, 1990.

7. Anderson G. W., Hall L.J. The electroweak phase transition and baryogenesis // Phys. Rev. D. 1992. V.45.

8. Dolan L., Jackiw R. Symmetry behavior at finite temperature // Phys. Rev. D. 1974. V.9.

9. Davidson S., Haber H.E. Basis-independent methods for the two-Higgs-doublet model // Phys. Rev. D. 2005. V. 72; Haber H.E.,

O ’NeilD. Basis-independent methods for the two-Higgs-doublet model II. The significance of tgfi // Phys.Rev. D. 2006. V.74; Gunion J.F., Haber H.E. Conditions for CP-violation in the general two-Higgs-doublet model // Phys. Rev. D. 2005. V.72.

10. Branco G.C., Lavoura L., Silva J.P. CP Violation. Jul 1999. 544pp. International Series of Monographs on Physics, No. 103. / / Oxford University Press. Oxford, UK: Clarendon, 1999; Branco G.C., Rebelo M.N., Silva-Marcos J.I. CP-odd invariants in models with several Higgs doublets // Phys. Lett. B 2005. V.614.

11. Dubinin M.N., Semenov A.V Triple and quartic interactions of Higgs bosons in the Two-Higgs-Doublet Model with CP violation // Eur. J. Phys. 2003. V. C28.

12. Kanemura S., Okada Y., Senaha E. Electroweak baryogenesis and quantum corrections to the triple Higgs boson coupling // Phys.Lett.B. 2005. V.606.

13. Carrington M.E. The effective potential at finite temperature in the standard // Phys. Rev. D. 1992. V.45.

14. Brignole A., Espinosa J.R., Quiros M. and Zwirner F. Aspects of the electroweak phase transition in the minimal sypersymmetric standart model // Phys. Lett. B. 1994. V.324.

15. Carena M., Quiros M., Wagner C.E.M. Opening the window for electroweak baryogenesis // Phys. Lett. B. 1996. V.380.

THE TEMPERATURE EFFECTIVE POTENTIAL IN THE MINIMAL SUPERSYMMETRY STANDARD MODEL

© 2008 A.O. Borisov1, M.V. Dolgopolov1, M.N. Dubinin2, E.N. Rykova1

1 Samara State University

2 Moscow State University

The basic approaches to the effective potentials in the models with the extended scalar sector at finite temperature are discussed. For the two-doublet Higgs MSSM sector the opportunities of two approaches -diagram and effective potential - are considered. In the diagram approach the masses of scalar fields are determined in the minimum of effective potential through evolution of its parameters.

766