Температурные деформации пластинки с наружным опорным контуром произвольной формы от действия температуры, меняющейся по толщине пластинки Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

116

тем

Проблематика транспортных сис-

сб. научн. трудов 10-й Международной конференции Украинской ассоциации дистанционного образования. - Харьков-Ялта: УАДО, 2006. - С. 109-114.

УДК 539.3

С. А. Видюшенков, Е. В. Соколов, О. В. Козьминская

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ПЛАСТИНКИ С НАРУЖНЫМ ОПОРНЫМ КОНТУРОМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ ОТ ДЕЙСТВИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ, МЕНЯЮЩЕЙСЯ ПО ТОЛЩИНЕ ПЛАСТИНКИ

Рассматриваются температурные деформации пластинки под действием температуры, меняющейся по ее толщине. В этом случае возникает чистый изгиб, пластинка деформируется по сферической поверхности и вид деформации не зависит от формы внешнего контура пластинки. Для того чтобы при этом не возникали напряжения, опорный контур пластинки должен быть окружностью.

пластинка, перепад температур по толщине, чистый изгиб, температурные деформации, дифференциальное уравнение изгиба, изгибающие моменты, напряжения, максимальный прогиб.

Введение

Прежде всего следует отметить, что перепад температур по толщине тонкостенной конструкции равносилен действию на неё изгибающего момента. Поэтому, если перепад температур по толщине пластинки остаётся постоянной величиной в пределах всей пластинки, то она испытывает деформацию, называемую чистым изгибом. В этом случае пластинка, не имеющая отверстия, форма наружного контура поверхности которой произвольна, деформируется по сферической поверхности.

1 Деформация круглой пластинки

Вначале рассмотрим свободно деформирующуюся круглую пластинку, а в дальнейшем обобщим полученные результаты на случай произвольной формы наружного контура пластинки.

Дифференциальное уравнение изгиба круглой пластинки при постоянном перепаде температур по толщине является однородным и имеет такой вид:

d

dr

1 d ( dW'' r

r dr

\

dr

0

= 0,

(1)

2007/3

Proceedings of Petersburg Transport University

Проблематика транспортных систем

117

где W- прогиб пластинки; r - радиальная координата.

Изгибающие моменты определяются по следующим формулам:

M1 = - D1

fd 2W vdw''

\

dr2 r dr

f

Mtl; M2 = - D

d 2W

1 dW

v-----+

dr r dr

M

1

(2)

где Di - цилиндрическая жёсткость пластинки;

M,1 =(1 + v)Diph; v -

коэффициент Пуассона; P - коэффициент линейного расширения материала; Dt - перепад температур по толщине пластинки; h - толщина пластинки.

Интегрируя уравнение (1), получим прогиб в такой форме:

W = Сх — + C2ln r + C3.

2

(3)

Для пластинки, не имеющей отверстия в центре, в силу ограниченности прогиба должно быть С2 = 0.

Если пластинка деформируется свободно, то при температурном изгибе она будет опираться на точки наружного контура, в то же время радиальные изгибающие моменты на наружном контуре обращаются в нуль. Тогда в соответствии с рисунком 1 будем иметь:

W (a ) = M1 (a ) = 0. (4)

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2007/3

118

тем

Проблематика транспортных сис-

Рис. 1. Расчётная схема пластинки

Подставляя в формулы для изгибающих моментов Mi и M2 значение прогиба, определенного по формуле (3), с учетом С2 = 0 получим:

1 + V

M1 = M2

DC1 - M,

(5)

Отсюда следует, что изгибающие моменты во всех сечениях пластинки постоянны, поэтому из граничного условия M1 (а) = 0 следует, что

C =

2 M+

(6)

(1 + v ) D

Второе граничное условие W (a) = 0 позволяет определить постоянную

C

C3 =

Ma2

2 (1 + v ) D

Следовательно, с учетом соотношений (5) и (6) будем иметь:

M, (a2 -r2)

W=-2(17^ •M1 = M2 =0

(7)

Отсюда следует, что круглая свободно лежащая пластинка деформируется по сфере, а напряжения во всех ее точках равны нулю.

2 Деформация пластинки с наружным контуром произвольной формы

Из формулы (5) следует, что изгибающий момент при любой форме наружного контура во всех его точках будет иметь одинаковые значения. Поэтому независимо от формы наружного контура произвольная постоянная определяется по формуле (6).

Следовательно, формула (7) применима при любой форме опорного контура, если r = а есть радиус опорного контура пластинки (рис. 2).

Из рисунке 2 видно, что при таком деформировании пластинки она будет опираться на точки, лежащие на окружности, в которую вписывается вся пластинка. В данном случае это будут точки А, В и D.

Поэтому максимальный прогиб такой пластинки будет достигаться в центре этой окружности, то есть при r = 0, и определяется по формуле:

2007/3

Proceedings of Petersburg Transport University

Проблематика транспортных систем

119

W

'' г

(8)

max

2 (1 + v) D

наружный контур пластинки

D

опорный контур пластинки

Рис. 2. Форма наружного и опорного контура свободно деформирующейся

изотропной пластинки

3 Деформирование пластинки со смещенным опорным контуром

Иначе обстоит дело, если при свободном деформировании пластинки ее опорные точки лежат на окружности, центр которой (точка 01) смещен относительно точки О (рис. 2) и эта окружность полностью размещается внутри пластинки.

Если радиус такой малой окружности r = b, то ее прогиб в точке Oi будет

В то же время прогиб любой другой точки пластинки, опирающейся на точки окружности радиуса r = b, будет определяться по формуле:

где r - расстояние от рассматриваемой точки пластинки, расположенной на расстоянии r от центра Oi (рис. 3).

Mb

(9)

(10)

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2007/3

120

тем

Проблематика транспортных сис-

2b

Рис. 3. Схема деформирования пластинки, если окружность ее опорного контура

лежит внутри пластинки

В общем случае прогибы наружного контура пластинки не будут одинаковыми и, как было показано выше, определяются по формуле (10).

Следует отметить, что если опорные точки пластинки не лежат на одной окружности, она не может деформироваться свободно . При этом форма ее деформирования не будет сферической и в ней обязательно возникнут температурные напряжения и температурные деформации, имеющие большие градиенты в области опор, не лежащих на опорной окружности.

Заключение

Таким образом, действие на пластинку температуры, меняющейся по толщине пластинки, приводит к чистому изгибу и возникновению температурных деформаций. При этом пластинка деформируется по сферической поверхности вне зависимости от формы наружного контура. Если опорные точки пластинки не лежат на окружности, то ее деформирование не является свободным и возникают большие градиенты в области опор.

УДК 631.10

О. В. Григорьева, А. В. Панин

МЕТОД СЕЛЕКЦИИ НЕФТЯНЫХ РАЗЛИВОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АВИАЦИОННЫХ СРЕДСТВ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО МОНИТОРИНГА

В настоящее время для экологической оценки природных ресурсов и окружающей среды широко используются многочисленные средства дистанционного зондирования

2 Видюшенков С.А., Соколов Е.В. Влияние конфигурации наружного контура фасет, образующих поверхность зеркала антенны радиотелескопа // Методы прикладной математики в транспортных системах : сб. научн. трудов. - Вып. 6. - СПб.: СПбГУВК, 2002. -С.17-22.

2007/3

Proceedings of Petersburg Transport University