Тема "обратные тригонометрические функции" в курсе изложения тригонометрии в средней школе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Раздел V. Математика. Физика. Информатика

Н.В. Болотина

ТЕМА «ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ» В КУРСЕ ИЗЛОЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Аннотация. В статье рассмотрена роль темы «Обратные тригонометрические функции» при изучении курса тригонометрии в средней школе, методики ее реализации в основных комплектах школьных учебников. Обоснованы пути совершенствования методики преподавания темы в рамках профильного обучения математике

Ключевые слова: Обратная функция, аркфункция, методика изучения

N.V. Bolotina

TOPIC "INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS" IN THE COURSE OF PRESENTATION OF

TRIGONOMETRY IN HIGH SCHOOL

Abstract.The article considers the role of the theme "Inverse trigonometric functions" in the study of the course of trigonometry in high school, the methods of its implementation in the main sets of school students. The ways of improving the methods of teaching the topic in the framework of specialized training in mathematics are substantiated

Key word: Inverse function, arkfunktsiya, study technique.

Одной из важнейших задач курса математики старших классов является логическое завершение всех основных линий, входящих в программу школьного математического образования. Одной из таких линий является линия функции. Изучение темы «Обратные тригонометрические функции» входит в программу как основной компонент, и на итоговом тестировании встречается в заданиях различных групп. Однако в том, что изучение обратных тригонометрических функций представляет для учащихся определенные трудности, сомневаться не приходится. Учащиеся, зачастую, не справляются с решением даже элементарных заданий, не говоря уже о примерах повышенной сложности. Нередко возникает ситуация, когда учащиеся даже не принимаются за решения задач, с обратными тригонометрическими функциями, а если и берутся, то производят над ними некорректные действия. Несмотря на то, что тема является достаточно сложной для восприятия даже у старших школьников, необходима выработка стратегии преподавания, которая, во-первых, создавала преодолимые трудности на пути освоения программы, во-вторых, позволяла не только осознанно владеть школьной программой, но и развивать и формировать различные личностные качества. Кроме того, одна из важнейших задач, которая стоит перед преподавателем - подготовить учеников к успешному прохождению централизованного тестирования. Основная сложность при ее реализации это несоответствие уровня сложности заданий и количества часов, отводимых по программе на изучение темы.

Таблица1

Пример поурочного планирования 10 класса по учебнику Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / Под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 2008

Урок № Количество часов

№ п/п Наименование раздела Содержание - контрольные работы

1 Тригонометрические функции любого угла Угол поворота. Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс любого угла. Знаки значений тригонометрических функций. 1-3 4-8 10 (часов) + 1к.р.

Соотношение между

тригонометрическими функциями одного и 9-10

того же угла. Приме-

нение основных триго-

нометрических формул к преобразованию выражений

Радианная мера угла. Вычисление значений тригонометрических

2 Тригонометрические функции числового аргумент Тригонометрические функции числового аргумента и их графики 12-16 5 часов

3 Основные свойства функций Функции и их графики 17-20 21-22 23-24 25-26 26 часов +1 к.р.

Четные и нечетные функции. Периодичность тригонометрических функций.

Возрастание и убывание функций. Экстремумы.

Исследование функций. Свойства тригонометрических функций

4 Формулы сложения и их следствия Формулы сложения 28-30 31-35 8 часов

Следствия из формул сложения. Формулы приведения формулы двойного аргумента, формулы суммы и разности тригонометрических функций

5 Решение тригонометрических уравнений и неравенств Арксинус, арккосинус и арктангенс 36-37 38-40 41-43 44-49 15 часов + 1 к.р.

Решение простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических неравенств

Примеры решения тригонометрических уравнений и систем неравенств

Приведенный пример поурочного планирования показывает, что на изучение обратных тригонометрических функций в общеобразовательных школах отводится всего 2 часа (а по учебнику Алимова вообще рассматривается как сложный, дополнительный материал), хотя значение этой темы достаточно велико -она составляет необходимую основу для решения тригонометрических уравнений и неравенств, изучаемых позднее. Кроме того, обратные тригонометрические функции помогают в отработке навыков работы с обратными функциями, закреплении понятия взаимно однозначных отображений.

Анализ учебной литературы по теме «Обратные тригонометрические функции» Методика изучения обратных тригонометрических функций в учебнике Мордковича А.Г. [3] В учебнике Мордковича А.Г. не изучаются обратные тригонометрические функции, а лишь даются определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. При изучении тригонометрических функций учащиеся учатся решать простые уравнения вида cos x = a, sin x = a, tg x = a и ctg x = a , где a является табличным значением. Вполне уместно замечание о том, что делать в случае, когда значение а не является табличным? Как записать решение такого уравнения? Упоминается договор обозначать одно из решений такого уравнения специальным символом, который состоит из трёх частей: приставки arc (новый математический символ), упоминания об исходной функции, относительно которой решают уравнение (sin, cos), и упоминания о правой части исходного уравнения, значения исходной функции.

При разборе решения уравнений cos x = a и sin x = a пользуются единичной окружностью, т.к. в этом случае ответ более чем очевиден. Изучение тригонометрического материала в учебнике Мордковича А.Г. ведётся по следующей схеме:

функции - уравнения - преобразования.

Следует отметить, что данная схема вызывает некоторые вопросы. Логичнее изучить сначала тригонометрические преобразования, т.к. этот материал очень большой, содержит немало формул, большинство из которых учащимся необходимо знать. А после, решая различного рода тригонометрические уравнения, навыки преобразований тригонометрических выражений постоянно оттачивались бы. Авторы обосновывают свою точку зрения тем, что логичнее сначала изучить «чистые модели» (простейшие тригонометрические уравнения), а потом изучать «усложненные модели» (уравнения, решение которых предполагает предварительные преобразования) [25, с.3].

В рамках главы изучаются простейшие уравнения; уравнения, при решении которых применяется метод введения новой переменной: однородные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным с помощью основного тригонометрического тождества, например,

sin2 x-5cosx + l = 0.

Важным типом задач являются задачи на отбор корней уравнения, которые укрепляют понимание того, что уравнение имеет бесконечное множество решений. Следует отметить, что в данном учебнике присутствует объяснение промежутка, выбранного для значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. При изучении арккосинуса и арксинуса рассматриваются случаи, когда a>0, и случаи, когда a<0. В каждом из этих случаев получают на окружности две точки. Наименьшее положительное значение x, которое попадает на одну из этих точек, называют арккосинусом или арксинусом. Также в учебнике приводятся некоторые свойства. Разбор частных случаев сомнителен, ведь учащиеся уже знают табличные значения, знают готовые формулы для нахождения корней уравнений. Тем более при таком изучении материала у учащихся формируется представление графического решения этих уравнений. Всё это позволит учащимся легко решить уравнение, которое относится к частному случаю. Т.к. авторы учебника не преследовали цель знакомить учащихся именно с обратными тригонометрическими функциями, то в учебнике не рассматриваются свойства этих функций и построение графиков. Тем не менее, в учебнике можно увидеть некоторые намёки на свойства. Например, в учебнике приводится и поясняется свойство нечетности функции

arcsin(-x) = - aresin х .

Методика изучения обратных тригонометрических функций в учебнике Виленкина Н.Я. [2]

Немного другой подход к изучению темы «Обратные тригонометрические функции» изложен в учебнике Виленкина Н.Я. Здесь понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса также вводятся при решении уравнений sin x=a, cos x=a, tg x=a и ctg x=a соответственно. Решение уравнений объясняется графически, с использованием числовой окружности единичного радиуса. Прежде чем рассматривать общие случаи, авторы предлагают рассмотреть решение некоторых «табличных» уравнений. Рассмотрим данный метод на решении уравнения cos x=a. Так как cos t - абсцисса точки M(t) координатной окружности, то для решения уравнения cos t=m надо сначала найти точки на окружности, имеющие абсциссу m, т.е. точки пересечения окружности с прямой x=m. Здесь с учащимися можно выяснить взаимное расположение окружности и прямой и чем характеризуется каждый из трёх возможных случаев:

1) если |m|<1, то получаются две точки пересечения;

2) если |m|=1, то одна точка пересечения;

3) если |m|>1, то точек пересечения не существует.

После отыскания этих точек находят множества чисел, которым они соответствуют, и объединяют эти множества.

После рассмотрения нескольких примеров с табличными значениями авторы переходят к общему случаю и понятию арккосинуса. Если в уравнении cos x=a , |a|<1, то можно увидеть, что прямая x=a пересекает верхнюю половину окружности только один раз. Иными словами, если |а|<1, то существует единственное число х0, такое, что cos х0 = а. причём 0 < х0 < л. Это число и называют арккосинусом. Точное определение арккосинуса учащиеся уже могут сформулировать самостоятельно, т.к. все важные моменты уже были оговорены с учителем. А потому желательно дать учащимся задание сначала самостоятельно сформулировать определение, а потом записать под диктовку учителя и сравнить. Также можно будет разобрать, какие моменты учащиеся упустили при самостоятельном формулировании и почему в каждом из этих случаев определение будет неточным. Такая работа над определением закрепит понимание учащихся. После введения понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа учащихся знакомят с основными свойствами обратных тригонометрических функций и учат основным приёмам решения тригонометрических уравнений. Главным отличием является то, что в учебнике после рассмотрения тригонометрических уравнений рассматриваются и изучаются обратные тригонометрические функции.

В учебнике Виленкина Н.Я. при изучении темы «Функции» вводились понятия «непрерывная функция», «обратная функция» и «монотонная функция» поэтому к моменту изучения обратных тригонометрических функций учащиеся знают эти определения. Также рассматривалась теорема, в которой говорится, что

если функция на каком-то отрезке монотонна, то и обратная ей функция также монотонна; если функция непрерывна, то и обратная функция также непрерывна. Однако данные рассуждения не так наглядны. Целесообразнее предложить учащимся увидеть соответствующие свойства, не обращая внимания на то, что

I' агсх'т х -функция, обратная s¡n х.

г л л

существует синус, областью значения синуса на данном

Т.к. для каждого угла из отрезка

22

отрезке является отрезок [-1; 1] и каждому числу из отрезка [-1; 1] соответствует только одно значение арк-

л л

синуса из промежутка

2' 2

то данная функция является непрерывной.

Т.к. большему углу из отрезка

л _ л 2' 2

соответствует больший синус, справедливо и обратное

утверждение: большему синусу соответствует больший угол из отрезка

л _ л 2' 2

(арксинус). Поэтому

функция возрастает.

Функция является нечётной arc sin -х = -arc sin х, а потому график симметричен относительно

центра координат. Далее рассматриваются производные обратных тригонометрических функций и некоторые пределы, связанные с обратными тригонометрическими функциями. Завершают параграф «Обратные тригонометрические функции» пункты «Некоторые тождества» и «Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции». Большинство тождеств в учебнике просто приводится, а доказательство их выносится в упражнения. Рассматриваются уравнения вида f (arcsin x)= 0 и arcsin f (x)= a .

Методика изучения обратных тригонометрических функций в учебнике Алимова Ш.А. [1]

В учебнике Алимова Ш.А., так же, как и в учебнике Виленкина Н.Я., прежде всего, рассматривается решение «табличных» уравнений, суть которых в отыскании угла, синус, косинус, тангенс или котангенс которого является табличным значением. Решение уравнений рассматривается на числовой окружности. Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса не отличаются от указанных выше определений. Промежуток для каждого определения выбирается аналогичным образом - на этом промежутке соответствующее уравнение имеет ровно один корень. Так же, рассматриваются и доказываются основные свойства обратных тригонометрических функций. Главным преимуществом является то, что в этом учебнике подробно расписывается графический метод решения уравнений tg x=a и ctg x=a и тригонометрических неравенств. Отдельная глава в учебнике посвящена тригонометрическим функциям, в которой изучаются и обратные тригонометрические функции. Нужно отметить, что тригонометрия у Алимова Ш.А. изучается в конце 10-го класса, после изучения всех школьных функций (логарифмической, показательной, степенной), поэтому у учащихся уже в полной мере сформировано понятие функции как зависимости между двумя переменными. Изучение тригонометрических и обратных тригонометрических функций ведётся по следующему плану:

1) Задается область определения функции у = sinx— множество R всех действительных чисел.

2) Определяется множество значений — отрезок [-1;1].

3) Утверждается, что у = sinx— функция периодическая, с периодом, равным 2%.

4) Определяется нечетность функции.

5) Определяются различные значения функции у = sin х на различных интервалах:

- значение, равное 1, при х = 7 2тгп, где ?i е Z;

-наибольшее значение, равное 0, при = ?гп, где ё 2;

-наименьшее значение, равное -1, при:\ = — 7 — 2тгп где 'i

- положительные значения на интервале (0, л) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на где п = ±1, ±2,... ;

- отрицательные значения на интервале (-л, 0) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2теп, где п = ±1, ±2.....

6) Рассматриваются отрезки возрастания и убывания данной функции:

л л

- возрастает на отрезке и на отРезках- получаемых сдвигами этого интервала на

- убывает на отрезке и на отрезках, получаемых сдвигами этого интервала на 2згп.

Следующие параграфы повторяют все указанные выше пункты, но уже для функций

у = cos х, у = tgx .

После этого, в параграфе §43 автор по тому же самому плану рассматривает свойства обратных тригонометрических функций. Центральными понятиями в этом изучении является определения арксинуса и арккосинуса числа.

Рис. 1 Графическая интерпретация определения арксинуса и арккосинуса угла.

Определение. Арксинусом числа а называется угол из отрезка [—7; т], синус которого равен числу а (рис.1).

Определение: Арккосинусом числа а называется угол из отрезка [С1 тг] , косинус которого равен числу а (рис.1).

При этом, отрезки на которых задаются эти понятия выбираются аксиоматически, т.е. их происхождение никаким образом не объясняется. Подобный подход практикуется в достаточно большом количестве учебных пособий и обусловлен следующим фактом — учащиеся на момент изучения данного материала либо не знакомы с понятием обратной функции, либо это понятие существует отвлеченно от изучаемой темы. Авторы исследования данной тематики, например [4], справедливо полагают, что процесс изучения и восприятия материала можно усовершенствовать. Для этого необходимо формировать понятие аркфункций, опираясь на теоретический материал об обратной функции. Действительно, изложение этой небольшой части теоретического материала позволяет:

1) Объяснить области задания арксинуса и арккосинуса числа.

2) Графически представлять обратные функции, в том числе и аркфункции.

3) Помогает проводить работу с изучением и построением графиков различных аркфункций вида

Основные моменты реализации данной гипотезы могут выражаться следующими пунктами:

1) Даем определение функции с графическим представлением области определения и области значения функции (рис.3):

D(f E(f)

Рис.3 Задание области определения и значений функции Важно подчеркнуть, что допустима следующая ситуация: (рис.4)

D(f) Б(0

Рис.4 Нарушение взаимной однозначности функции

2) Далее, если мы меняем область определения и область значения данной функции, то необходимо исключить 2 случай (рис.4), т.е. обратимость функции у = [(х) возможна только в том случае, если она определена взаимнооднозначно.

3) Переходя к графической интерпретации, получения графика функции, обратной к данной функ-

При таком подходе

1) области определения функций задаются исходя из требования однозначности, и не определяются аксиоматически.

2) арксинус и арккосинус числа могут быть определены, как некоторые значения обратных тригонометрических функций.

3) Графики аркфункций строятся исходя из требований однозначности и симметрии относительно биссектрисы координатного угла.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алимов, Ш.А., Колягин, Ю.М. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый уровень. - М.: Просвещение, 2012. -354 с.

2. Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ. 10 кл.: уч. Для углубл. изуч. математики в общеобразовательных учреждениях. -М.:Мнемозина, 2010. -342 с.

3. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень). - М.: Мнемозина, 2009. -264 с.

4. Родионова, И.А. Совершенствование методики преподавания обратных тригонометрических функций в старшей школе, Научный альманах • 2016 • N 6-1(20), стр 381-384.

5. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования. www.fgos.ru