Научная статья на тему 'ТЕХНОЛОГИЯ ЛОКАЛИЗАЦИИ КОРНЕЙ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ'

ТЕХНОЛОГИЯ ЛОКАЛИЗАЦИИ КОРНЕЙ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
55
15
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Вестник кибернетики
ВАК
Область наук
Ключевые слова
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНОЛОГИЯ / КОРНИ / ЛОКАЛИЗАЦИЯ / ПОЛИНОМЫ / МНОЖЕСТВА / ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Паршуков Андрей Николаевич, Бессмельцева Олеся Васильевна

Предложена вычислительная технология локализации границы области расположения корней семейств полиномов системой линейных неравенств.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Паршуков Андрей Николаевич, Бессмельцева Олеся Васильевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The work suggests a computing method of localizing the roots of polynomial families with a system of linear inequalities.

Текст научной работы на тему «ТЕХНОЛОГИЯ ЛОКАЛИЗАЦИИ КОРНЕЙ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ»

А. Н. Паршуков, О. В. Бессмельцева

Технология локализации корней полиномиальных множеств

Предложена вычислительная технология локализации границы области расположения корней семейств полиномов системой линейных неравенств.

Введение

В настоящей работе рассматривается задача локализации корней семейства полиномов вида (в обозначениях [1]):

аэ(п, 5) = а°(п, в) + Ба(л - 1, 5), (1)

с о о

где а°(п, 8) = в" + а П-1 5П~1 + ... + а ' 5'... + а 0 ,

Ба(п- 1, 5) = {<1 а„_1 5П"1 + ... + с1а0: с1а,Т [-Ра,; Оа1 П0,П 1 }, а 5 — свободная переменная.

Полином а°(п, 5) будем называть «средним»; второе слагаемое в (1) описывает интервалы отклонений коэффициентов относительно «средних» значений.

Корням 1Г полинома а°(п, 5) соответствуют точки на комплексной плоскости С1; наличие интервальной неопределенности коэффициентов в (1) (обусловленное вторым слагаемым) приводит к тому, что корни

расплываются в некоторую область Ь(аС ) (рис.). (На рисунке Ь(а°) обозначено множество корней 1г

полинома а°(п, 5): Ь(а°) = {1г, г1^'Г> } 1 СV Настоящая работа посвящена технологии локализации корней этой области системой линейных неравенств.

с

Рис. Локализация области Ь(а ) системой линейных неравенств

В общем виде выпуклая оболочка Э на плоскости задается семейством неравенств вида: Э = {5 : ау + Ьх + с, £ 0, / I I } 1 С1, (2)

здесь х и у обозначены соответственно действительная х = Ре 5 и мнимая у = = 1т 5 части комплексного числа 5; I — мощность множества неравенств

1= ГЙ .

S

Предполагается, что известна начальная оценка расположения области L(a ), заданная выпуклой оболочкой вида (2). Зафиксируем a, b; и M, и будем искать такие с, при которых линии

a/y + b x + с = 0 (3)

впервые касаются границы области L(a ) (см. рис.).

Предлагается схема итеративного вычисления коэффициентов с, при которых линия (3) коснется границы области L(a ).

S

Вычислительная технология проверки принадлежности области L(a ) выпуклой оболочке вида (2) изложена в работе [1]. Приведем здесь основное утверждение данной работы.

Утверждение. Пусть L(a°) i int S*), тогда для того, чтобы для семейства полиномов (1) выполнялось

S '

L(a ) i S, для всех значений коэффициентов из заданных интервалов достаточно, чтобы выполнялось условие

min

m* 3 1, где m* = m(s),

здесь ^S — граница области S.

S

Важно отметить: условие касания контура ^S и границы области L(a ) в точке s соответствует m(s) = 1. Технология вычисления значения m(s) для точки s контура обхода содержится в [1]. Отрезок линии (3), который входит в контур ^У, будем называть «значимой» частью. Изменяя св (3), мы тем самым изменяем положение линии на плоскости и, по сути, варьируем контур ^S. Обозначим как m*(/)

минимальное значение графика m(s), вычисленное вдоль «значимой» части линии (3). Тогда условие касания

S

линии (3) границы области L(a ) запишется: m*(i) = 1.

Проблематика аналитического вычисления такого значения с;, при котором m*(/) = 1, заключается в том, что m*(/) есть алгоритмическая функция; ее значение находится в результате достаточно большого числа вычислений вдоль соответствующей линии.

Предлагаем итеративный алгоритм поиска коэффициента с; с заданной точностью по m*(/):

с(к + 1) = с(k) + DQ-(k),

где к— индекс итерации; с(к) — текущее значение переменной с; с(к + 1) — новое значение с. Движению внутрь области соответствует положительное изменение коэффициента с;: D^k) 3 0. Это движение ограничено:

Dc,(k) i [0, ], (4)

здесь обозначает то минимальное значение Dс{к), при котором соответствующая линия впервые

коснется корней «среднего» полинома а°(п, s). Обозначим его корни как \r = ar + jhr, г I ; здесь явно выделены действительная аг и мнимая Ъг части корня lr, j— мнимая единица (/ = )■ Тогда

min

с{к, г), где Cj(k, г) = -щ\>г - Ъ\ аг - с{к). (5)

Для поиска такого значения на отрезке (4), при котором |m*(/) - 1| £ e , где e — заданная точность

S

достижения границы области L(a ), воспользуемся классической схемой половинного деления. В принятых обозначениях схема половинного деления принимает следующий вид.

Алгоритм вычисления Dc/(k)

Шаг 1. Проверяем условие |m*(/) - 1| £ e. Если данное условие выполняется, тогда переходим на шаг 6. В противном случае переходим на шаг 2.

с,А

Шаг 2. Вычисляем ' по формуле (5).

Шаг 3. Принимаем

Шаг 4. Проверяем условие m*(/) 3 1 для + 1) = с(К) + D^k). Если данное условие выполняется, тогда возвращаемся к шагу 1. В противном случае переходим к шагу 5.

Шаг 5. Принимаем DQ(k) = DQ(k)/2 и возвращаемся к шагу 4.

Шаг 6. Останов.

Заключение

Предложенная вычислительная технология позволяет локализовать область расположения корней системой линейных неравенств.

Литература

1. Паршуков А. Н. Схема синтеза модального регулятора для объекта с интервальной неопределенностью коэффициентов / Ин-т криосферы Земли СО РАН. Тюмень, 2001. 23 с. Деп. в ВИНИТИ, 09.07.01, № 1616.

A. N. Parshukov, O. V. Bessmeltseva METHOD OF LOCALIZING THE ROOTS OF POLYNOMIAL SETS

The work suggests a computing method of localizing the roots of polynomial families with a system of linear inequalities.

*) За int S обозначена внутренняя часть области S: int S = S/^S.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.