А. Н. Паршуков, О. В. Бессмельцева
Технология локализации корней полиномиальных множеств
Предложена вычислительная технология локализации границы области расположения корней семейств полиномов системой линейных неравенств.
Введение
В настоящей работе рассматривается задача локализации корней семейства полиномов вида (в обозначениях [1]):
аэ(п, 5) = а°(п, в) + Ба(л - 1, 5), (1)
с о о
где а°(п, 8) = в" + а П-1 5П~1 + ... + а ' 5'... + а 0 ,
Ба(п- 1, 5) = {<1 а„_1 5П"1 + ... + с1а0: с1а,Т [-Ра,; Оа1 П0,П 1 }, а 5 — свободная переменная.
Полином а°(п, 5) будем называть «средним»; второе слагаемое в (1) описывает интервалы отклонений коэффициентов относительно «средних» значений.
Корням 1Г полинома а°(п, 5) соответствуют точки на комплексной плоскости С1; наличие интервальной неопределенности коэффициентов в (1) (обусловленное вторым слагаемым) приводит к тому, что корни
расплываются в некоторую область Ь(аС ) (рис.). (На рисунке Ь(а°) обозначено множество корней 1г
полинома а°(п, 5): Ь(а°) = {1г, г1^'Г> } 1 СV Настоящая работа посвящена технологии локализации корней этой области системой линейных неравенств.
с
Рис. Локализация области Ь(а ) системой линейных неравенств
В общем виде выпуклая оболочка Э на плоскости задается семейством неравенств вида: Э = {5 : ау + Ьх + с, £ 0, / I I } 1 С1, (2)
здесь х и у обозначены соответственно действительная х = Ре 5 и мнимая у = = 1т 5 части комплексного числа 5; I — мощность множества неравенств
1= ГЙ .
S
Предполагается, что известна начальная оценка расположения области L(a ), заданная выпуклой оболочкой вида (2). Зафиксируем a, b; и M, и будем искать такие с, при которых линии
a/y + b x + с = 0 (3)
впервые касаются границы области L(a ) (см. рис.).
Предлагается схема итеративного вычисления коэффициентов с, при которых линия (3) коснется границы области L(a ).
S
Вычислительная технология проверки принадлежности области L(a ) выпуклой оболочке вида (2) изложена в работе [1]. Приведем здесь основное утверждение данной работы.
Утверждение. Пусть L(a°) i int S*), тогда для того, чтобы для семейства полиномов (1) выполнялось
S '
L(a ) i S, для всех значений коэффициентов из заданных интервалов достаточно, чтобы выполнялось условие
min
m* 3 1, где m* = m(s),
здесь ^S — граница области S.
S
Важно отметить: условие касания контура ^S и границы области L(a ) в точке s соответствует m(s) = 1. Технология вычисления значения m(s) для точки s контура обхода содержится в [1]. Отрезок линии (3), который входит в контур ^У, будем называть «значимой» частью. Изменяя св (3), мы тем самым изменяем положение линии на плоскости и, по сути, варьируем контур ^S. Обозначим как m*(/)
минимальное значение графика m(s), вычисленное вдоль «значимой» части линии (3). Тогда условие касания
S
линии (3) границы области L(a ) запишется: m*(i) = 1.
Проблематика аналитического вычисления такого значения с;, при котором m*(/) = 1, заключается в том, что m*(/) есть алгоритмическая функция; ее значение находится в результате достаточно большого числа вычислений вдоль соответствующей линии.
Предлагаем итеративный алгоритм поиска коэффициента с; с заданной точностью по m*(/):
с(к + 1) = с(k) + DQ-(k),
где к— индекс итерации; с(к) — текущее значение переменной с; с(к + 1) — новое значение с. Движению внутрь области соответствует положительное изменение коэффициента с;: D^k) 3 0. Это движение ограничено:
Dc,(k) i [0, ], (4)
здесь обозначает то минимальное значение Dс{к), при котором соответствующая линия впервые
коснется корней «среднего» полинома а°(п, s). Обозначим его корни как \r = ar + jhr, г I ; здесь явно выделены действительная аг и мнимая Ъг части корня lr, j— мнимая единица (/ = )■ Тогда
min
с{к, г), где Cj(k, г) = -щ\>г - Ъ\ аг - с{к). (5)
Для поиска такого значения на отрезке (4), при котором |m*(/) - 1| £ e , где e — заданная точность
S
достижения границы области L(a ), воспользуемся классической схемой половинного деления. В принятых обозначениях схема половинного деления принимает следующий вид.
Алгоритм вычисления Dc/(k)
Шаг 1. Проверяем условие |m*(/) - 1| £ e. Если данное условие выполняется, тогда переходим на шаг 6. В противном случае переходим на шаг 2.
с,А
Шаг 2. Вычисляем ' по формуле (5).
Шаг 3. Принимаем
Шаг 4. Проверяем условие m*(/) 3 1 для + 1) = с(К) + D^k). Если данное условие выполняется, тогда возвращаемся к шагу 1. В противном случае переходим к шагу 5.
Шаг 5. Принимаем DQ(k) = DQ(k)/2 и возвращаемся к шагу 4.
Шаг 6. Останов.
Заключение
Предложенная вычислительная технология позволяет локализовать область расположения корней системой линейных неравенств.
Литература
1. Паршуков А. Н. Схема синтеза модального регулятора для объекта с интервальной неопределенностью коэффициентов / Ин-т криосферы Земли СО РАН. Тюмень, 2001. 23 с. Деп. в ВИНИТИ, 09.07.01, № 1616.
A. N. Parshukov, O. V. Bessmeltseva METHOD OF LOCALIZING THE ROOTS OF POLYNOMIAL SETS
The work suggests a computing method of localizing the roots of polynomial families with a system of linear inequalities.
*) За int S обозначена внутренняя часть области S: int S = S/^S.