Технология исследования управляемых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

СЕМИНАР 15

ДОКЛАД НА СИМПОЗИУМЕ "НЕДЕЛЯ ГОРНЯКА - 99" МОСКВА, МГГУ, 25.01.99 - 29.01.99

Р.З. Хайруллин, проф.,

МГГУ

ТЕХНОЛОГИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Введение

Предельные возможности

управляемых систем могут быть описаны на основе решения серии специальным образом сформулированных задач оптимального управления [1]. В каждой задаче указанной серии ищется максимум (минимум) одного функционала при разных фиксированных значениях некоторого набора других функционалов. В результате решения этих задач могут быть построены такие динамические объекты, характеризующие возможности маневрирования управляемой системы, как области маневрирования, области достижимости, области приведения и др. [1].

В частности, представляющие интерес для практики предельные маневренные возможности экскаватора - драглайна могут быть выявлены на основе решения серии задач о минимуме времени поворота стрелы экскаватора на требуемый угол с финитным гашением возникающих колебаний би-филярно подвешенного к стреле ковша [2].

1. Общая постановка задачи оптимального управления

Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

dx = f(x,u), 0 < t < T (1.1) dt

с начальными условиями

x( 0) = xo (1.2)

определить управление u(t), минимизирующее функционал

F0 [u(•)] ^ min,

(1.3)

удовлетворяющее условию u(t) gU, t є [0,T] , (1.4)

и дополнительным ограничениям

Fj[u(•)] = cj (< cj), j = 1,2,...,m. (1.5)

4 і 1999

где t - независимая переменная (время);

x = x(t) = (xл( t),x2 (t),...,Xn( t))

- вектор-функция текущих значений фазовых координат размерности п ; x0 - вектор-функция начальных значений фазовых координат размерности п ; u = u(t) = (ul(t),u2 (t),...,ur(t))

- вектор-функция управления размерности г , принадлежащая ограниченному замкнутому множеству U ; ;[ = (/,;[2,...,]^п) -вектор-функции размерности п ; Cj - параметры функционалов.

Конечный момент времени T может быть фиксированным или свободным. Функционалы (1.3), (1.5) - дифференцируемы по

Фреше или Гато [3].

В результате решения серии задач (1.1) - (1.5) при разных значениях параметров c ■ строится

описание маневренных возможностей управляемой системы.

2. Общая схема исследования задач оптимального управления

На рис.1 представлена общая схема исследования практических задач оптимального управления с помощью разработанного автором пакета прикладных программ

(ППП). Дадим краткие пояснения.

♦ Исходная задача (ИЗ) опти-

мального управления проверяется на выпуклость вектограммы (выпуклость множества

ff(x,u)}uU ) .

♦ Если вектограмма задачи выпуклая, то ИЗ решается с помощью ППП. При этом искомая оптимальная управляющая функция будет измеримой [4]. В частности, если ИЗ линейна по и, то оптимальной может быть либо релейная управляющая функция, либо

особая управляющая функция [5], либо релейная функция, сопряженная с участками особого управления [5]-[9].

♦ Если вектограмма задачи оп-

тимального управления невыпуклая, то наряду с решением ИЗ осуществляется решение вспомогательной задачи (ВЗ), описываемой системой X е шт[ f(x,u)]

где conv[f (x,u)] - выпуклая оболочка {f(x,u)}uеU [10].

♦ Если решение ИЗ совпадает с решением ВЗ, то это и будет единственным решением ИЗ [10].

♦ Если множество решений ВЗ шире, чем множество решений ИЗ, то в ИЗ возможно наличие "скрытых решений" [10]. В частности, если в ВЗ найденное решение содержит участок особого управления, то в ИЗ соответствующее оптимальное решение будет содержать участок управления в скользящем режиме и наоборот [11].

3. Этапы решения задачи оптимального управления

Решение каждой задачи оптимального управления осуществляется в два этапа:

1. Выявление структуры оптимального закона управления с использованием качественного анализа

а) системы точных или приближенных уравнений движения, включая анализ вектограммы системы на выпуклость с последующим применением, в случае необходимости, практического подхода к решению задач со скользящими режимами [11],

б) необходимых условий экстремума в форме принципа максимума Л.С. Понтрягина [12],

в) необходимых условий оптимальности особых управлений [5],

113

г) необходимых условия оптимальности управлений с учащающимися переключениями [6]-[9] (в случае необходимости),

д) результатов приближенного решения задачи, полученных с помощью прямых методов [13], [14].

2. Решение краевой задачи принципа максимума с помощью метода параметризации семейства управлений (МПСУ) [2], [15], [16].

Реализация этого этапа включает в себя:

а) Выделение из множества допустимых управляющих функций некоторого более узкого семейства, содержащего оптимальную управляющую функцию, и параметризацию этого семейства.

б) Сведение краевой задачи принципа максимума к системе нелинейных алгебраических уравнений с использованием конкретного параметрического представления семейства управлений.

в) Решение нелинейной системы алгебраических уравнений методом Ньютона [17].

4. Создание простых методик расчета оптимальных

управлений и движений

112

На основе качественного анализа результатов, полученных с использованием алгоритмов

третьего параграфа и с использованием конкретного параметрического представления семейства оптимальных управлений строятся простые методики для расчета оптимальных управляющих функций и соответствующих им оптимальных фазовых траекторий [2], [14]-[16] .

5. О результатах применения технологии

С помощью описанной технологии исследовалась задача о минимуме времени поворота стрелы экскаватора-драглайна на тре-

буемый угол с финитным гашением возникающих колебаний би-филярно подвешенного к стреле ковша. Выявлена структура оптимального закона управления. Разработана простая методика расчета оптимальных траекторий стрелы и ковша. Изучена динамика оптимальных управлений и движений. Результаты этих исследований содержатся в [2].

Результаты решения ряда других прикладных задач описаны в [13]-[16]

Заключение

Основные результаты работы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Разработана эффективная технология исследования маневренных возможностей управляемых систем, основанная на комплексном применении различных методов оптимизации.

2. Проведена адаптация этой технологии к задачам исследования маневренных возможностей экскаваторов.

3. Решена задача о минимуме времени поворота стрелы экскаватора-драглайна на требуемый угол с финитным гашением возникающих колебаний бифилярно подвешенного к стреле ковша. Выявлены важные для практики предельные маневренные возможности экскаватора - драглайна.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Голубев Ю.Ф., Хайруллин Р.З. К исследованию маневренных возможностей КЛА при спуске в атмосфере. Изв. РАН, Теория и системы управления, 1996, N 4, с.146-151.

2. Хайруллин Р.З., Певзнер Л. Д., Горюнов В.Ю. Оптимальное управление движением ковша экскаватора -драглайна. - М., 1998. - Препринт/Инт прикл. матем. РАН, N 72.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: - Наука, 1972.

4. Филиппов А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования. Вестник МГУ, 1959, N 2, с.25-32.

5. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.:

- Наука, 1973.

6. Берщанский Я.М. Сопряжение особых и неособых участков оптимального управления. Автоматика и телемеханика, 1979, N 3, с.5-11.

7. Борщевский М.З., Иослович И.В. К задаче оптимального по быстродействию торможения вращения осесимметричного твердого тела около центра масс. ПММ, 1985, т.49, Вып.1, с.35-42.

8. Зеликин М.И., Борисов В.Ф. Режимы учащающихся переключений в задачах оптимального управления. Труды Математического Института АН СССР, 1991, том.197, с.85-166.

9. Marshal C. Cattering Arcs and Chattering Controls. Journal of

ГИАБ

Optimization Theory and Applications. Vol.11, N 5, 1973, p.441-486.

10. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: - Наука, 1973.

11. Гамкрелидзе Р.В. О скользящих оптимальных режимах. ДАН СССР, 1962, т. 143, N 6, с. 1243-1245.

12. Понтрягин.Л.С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е.Ф.. Математическая теория оптимальных процессов. М.: - Наука, 1969.

13. Голубев Ю.Ф., Дегтярева Е.В., Хайруллин Р.З. К построению оптимального шагового цикла. Техническая кибернетика, 1990, N 2, с.214-223.

14. Голубев Ю.Ф., Серегин И.А.,

Хайруллин Р.З. Метод плавающих узлов. Техническая кибернетика,

1991, N 2, с.48-53.

15. Хайруллин Р.З. Область маневрирования КЛА при входе в атмосферу с околокруговой скоростью и большим углом входа. - М., 1994. -

Препринт/Ин-т прикл. матем. РАН , N 63.

16. Хайруллин Р.З. Особые управления и скользящие режимы в задачах оптимизации при спуске КА в атмосфере. - М., 1994. - Препринт/Инт прикл. матем. РАН, N 69.

17. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: - Наука, 1978.

© Р.З. Хайруллин

113

Файл:

Каталог:

Шаблон:

Заголовок:

Содержание:

Автор:

Ключевые слова: Заметки:

Дата создания:

Число сохранений: Дата сохранения: Сохранил:

Полное время правки: Дата печати:

При последней печати страниц: слов: знаков:

ХАЙРУЛ~1

в:\С диска по работе в универе\ОІЛВ_99\ОІЛВ4_99\Все C:\Users\Таня\AppData\Roaming\Microsoft\Шаблоны\Normal.dotm Ю

Лlexandre К^аЬу

07.06.1999 23:09:00 6

16.06.1999 8:14:00 Гитис Л.Х.

20 мин.

14.12.2008 20:34:00 3

1 347 (прибл.)

7 678 (прибл.)