CC BY
37
4/2010 М1 ВЕСТНИК
К ИССЛЕДОВАНИЮ МАНЕВРЕННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ЭКСКАВАТОРА - ДРАГЛАЙНА
ON THE RESEARCH OF A MANEUVERABILITIES OF EXCAVATOR - DRAGLINE
P.3. Хайруллин R.Z. Khayrullin
ГОУ ВПО МГСУ
Представлены результаты решения задачи о максимуме угла поворота стрелы экскаватора — драглайна на фиксированном отрезке времени с финитным гашением возникающих колебаний ковша.
The results of solution of the problem about a maximum of rotation angle of an excavator - dragline derrick on the fixed interval of time with terminal damping of a scoop swing are presented.
Введение
В [1] разработана эффективная технология исследования маневренных возможностей управляемых механических систем и представлены результаты ее применения к задачам оптимального маневрирования аэрокосмических летательных аппаратов. В [2] с использованием методов [1] решена задача о наискорейшем перемещении ковша экскаватора - драглайна в заданную точку с финитным гашением возникающих колебаний ковша.
В настоящей работе представлены результаты применения разработанной технологии к задаче о максимуме угла поворота стрелы экскаватора - драглайна на фиксированном отрезке времени с финитным гашением возникающих колебаний бифилярно подвешенного к стреле ковша. Эта задача является двойственной к задаче о наискорейшем перемещении ковша экскаватора - драглайна в заданную точку [2]. Полученные в настоящей работе результаты полностью согласуются с [2].
1. Постановка задачи
Движение модели "стрела на поворотной платформе - подвешенный к стреле ковш " (Рис.1) описывается при определенных условиях следующей системой дифференциальных уравнений [2]:
&+ 8 _ &29 J &2ф _ м (1)
&2 I &2 "" &2
ВЕСТНИК 4/2010
где (р - угол поворота платформы вокруг вертикальной оси, (Г - отклонения ковша
от плоскости стрелы, приведенное к оси вращения платформы, 3 т - приведенный
момент инерции системы относительно оси вращения платформы, М - движущий момент поворота платформы относительно неподвижного основания экскаватора,
Система уравнений (1) верна в предположении, что масса ковша пренебрежимо мала по сравнению с суммарной массой стрелы и движущей платформы, ковш "не может" совершать колебания в плоскости стрелы, угол, характеризующий отклонение ковша от плоскости стрелы, достаточно мал.
В качестве управляющей функции выберем движущий момент поворота платформы относительно неподвижного основания. Длина подвеса ковша предполагается постоянной.
Будем рассматривать движение системы "стрела на поворотной платформе - подвешенный к стреле ковш " на фиксированном отрезке времени t £ [0, Т]. Пусть в начальный момент времени t = 0 система находилась в состоянии покоя:
о-(0) - 0, (р(0) = 0, <г(0) - 0, (р(0) - 0 . (2)
Требуется построить ограниченное величиной М13 управление М(^) :
|М^)| < М13 , 0 < t < Т , (3)
переводящее систему за фиксированное время Т из состояния покоя (2) в требуемое конечное состояние покоя:
о-(Т) - 0, о-(Т) - 0, (р(Т) - 0 , (4)
и обеспечивающее максимальное отклонение стрелы от начального положения: (р(Т) ^ тах . (5)
4/2010 ВЕСТНИК _4/2010_МГСУ
При этом максимальная угловая скорость поворота стрелы не должна превосходить заданной величины С1:
тах
г
ср(г)
< С1 . (6)
Сформулированная задача оптимального управления может быть сведена к форме стандартной задачи оптимального управления при наличии ограничений на управляющую функцию и переменную состояния.
2. Алгоритмы метода параметризации семейства управлений
Качественный анализ структуры оптимального управления проведен в [2]. Установлено, что оптимальное управление имеет вид, изображенный на рис. 2. Представленные ниже алгоритмы существенно используют свойства симметрии управляющей функции.
Семейство управлений, изображенное на рис. 2а, параметризуем одним параметром ^ = г2. В качестве невязки выберем г = ст(Т). Тогда соответствующая краевая задача принципа максимума сводится к одному нелинейному уравнению г(^) = 0. Зависимость г = гвычисляется на основе численного интегрирования (1). Моменты времени г1, гз, г4, г5 однозначно определяются из ограничений на время движения Т, на угловую скорость поворота платформы и условия симметричности
искомой управляющей функции. Ограничения (р(Т) = 0 и сг(Т) = 0 будут выполнены автоматически в силу симметрии.
Семейство управлений, изображенное на рис. 26, параметризуем двумя параметрами ^ = (г1, г2). В качестве компонентов вектора невязок г = (г1, г2) выберем
г1 = с(Т) , г2 — <т(Т) . Тогда соответствующая краевая задача принципа максимума сводится к системе нелинейных уравнений второго порядка г(^) = 0. Моменты времени гз, г4, г5, гб однозначно определяются из ограничений на время движения Т, угловую скорость поворота платформы и условия симметричности искомой управляющей функции. Ограничение (р(Т) = 0 будет выполнено автоматически в силу симметрии управляющей функции.
Семейство управлений, изображенное на рис. 2в, параметризуем двумя параметрами ^ = (г2,г3). В качестве компонентов вектора невязок г = (г1,г2) выберем
г1 = с(Т) , г2 — (т(Т) . Тогда соответствующая краевая задача принципа максимума сводится к системе нелинейных уравнений второго порядка г(^) = 0. Моменты времени г1, г4, г5 , г6, г7 вычисляются однозначно, как и в рассмотренных выше
случаях, а условие (р(Т) = 0 будет выполнено автоматически.
ВЕСТНИК 4/2010
»1
\Г
% 1
С 4
6]
И
Рис. 2
Изображенное на рис.2г семейство функций является предельным для описанных выше семейств.
Расчеты показали, что построенные таким образом управления и соответствующие им траектории удовлетворяют необходимым условиям экстремума в форме принципа максимума Л.С.Понтрягина.
Отметим, что описанные алгоритмы являются простыми методиками расчета оптимальных траекторий и управлений.
Качественный анализ необходимых условий экстремума для задачи (1)-(6) показал, что они эквивалентны соответствующим условиям экстремума для задачи о наискорейшем перемещении ковша экскаватора - драглайна в заданную точку с финитным гашением колебаний ковша [2]. Вследствие этого, управления и траектории, являющиеся оптимальными для задачи (1)-(6), будут оптимальными и для задачи, исследованной в [2], и наоборот.
3.Результаты расчетов
Расчеты проводились при следующих значениях параметров:
4/2010 М1 ВЕСТНИК
V2 = — = 0,6-1- , С, = 0,12-^—— , М13 = У 0,02 н • Ж . Основные пара-
l С С
метры оптимального управления: угол поворота стрелы и время поворота стрелы содержатся в Таблице 1.
Таблица 1.
Время поворота стрелы, сек 16 16,472 18 20
Максимальный угол поворота стрелы, град 67,1 72 74,8 81,2
Вид оптимального управления Рис.2а Рис.2г Рис.2б Рис.2в
Заключение
Основные результаты работы:
1. Проведена адаптация технологии исследования маневренных возможностей управляемых механических систем к задачам определения предельных маневренных возможностей экскаватора - драглайна.
2. Эффективность разработанной технологии продемонстрирована на задаче о максимуме угла поворота стрелы экскаватора - драглайна на фиксированном отрезке времени с финитным гашением возникающих колебаний бифилярно подвешенного к стреле ковша. Полученные результаты полностью согласуются с результатами решения задачи о минимуме времени поворота стрелы экскаватора на требуемый угол [2].
Литература
1. Голубев Ю.Ф., Хайруллин Р.З. К исследованию маневренных возможностей КЛА при спуске в атмосфере. Известия РАН, Теория и системы управления, 1996г, №4.
2. Хайруллин Р.З., Певзнер Л.Д., Горюнов В.Ю. Оптимальное управление движением ковша экскаватора - драглайна. Препринт института прикладной математики РАН, №72, 1998.
The Literature
1. Golubev Ju.F., Khayrullin R.Z. On the research of spacecraft maneuverabilities during the atmosphere descent. Jornal Izvestija RAN, Theory and control systems, 1996, №4.
2. 2. Khayrullin R.Z., Pevzner L.D., Goijunov V.Ju. Optimal' control by motion of excavator - dragline scoop. Preprint of Institute of Applied Mathematics, RAN, №72, 1998.
Ключевые слова: экскаватор - драглайн, ковш, оптимальное управление, метод параметризации семейства управлений
Key words: excavator - dragline, scoop, optimal control, method of parametrization of control function set
129337, Москва, Ярославское шоссе д.26, МГСУ, тел. (499)183-28-74, e-mail: zrk@nm.ru Рецензент: Ю.В.Кириченко, д.т.н., проф., МГГУ
