CC BY
47УДК 681.267
технология и способ экспериментального определения масс-центровочных и инерционных характеристик наноспутников формата CUBESAT
© 2021 г. Белоконов и.в., Баринова Е.в., Ключник в.н., ивлиев А.в., Болтов Е.А.
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва (Самарский университет) Московское шоссе, 34, г. Самара, Российская Федерация, 443086, e-mail: priem@ssau.ru
Ввиду невозможности задания высокой точности исходных данных при теоретических расчётах масс-центровочных и инерционных характеристик (МЦИХ) наноспутников, возникает задача экспериментального определения их фактических значений. По ряду причин устройства, предназначенные для больших аппаратов, не подходят для определения МЦИХ малых аппаратов. В данной работе описывается устройство для измерения координат центра масс и моментов инерции, разработанное в Самарском университете специально для наноспутников формата Cube Sat, а также технология экспериментального определения МЦИХ наноспутников формата CubeSat. Точность определения МЦИХ с помощью предлагаемого устройства подтверждена серией экспериментов с эталонами.
Ключевые слова: наноспутник, координаты центра масс, момент инерции, тензор инерции, измерительный стенд.
DOI 10.33950/spacetech-2308-7625-2021-3-83-95
TECHNICS FOR ExpERIMENTAL DETERMINATION
of cubesat mass-centering
AND INERTIAL CHARACTERISTICS Belokonov I.v., Barinova E.v., Klyuchnik v.N., Ivliev A.v., Boltov E.A.
Samara National Research University (Samara University) 34 Moskovskoe shosse, Samara, 443086, Russian Federation, e-mail: priem@ssau.ru
Due to inability to set a high accuracy of initial data in theoretical calculations of mass-centering and inertial characteristics of nanosatellites, a problem arises concerning the experimental determination of their actual values. For a number of reasons, the devices designed for large spacecraft are not appropriate for small ones. This paper describes a device for measuring the center of mass coordinates and moments of inertia developed at Samara University specifically for CubeSat nanosatellites, as well as a technology for experimental determination of the design parameters of nanoclass spacecraft. The accuracy of determining the design parameters using the proposed device is confirmed by a series of experiments with standards.
Key words: nanosatellite, center of mass coordinates, moment of inertia, inertia tensor, measuring platform.
БЕЛОКОНОв Игорь витальевич — доктор технических наук, профессор,
заведующий межвузовской кафедрой космических исследований Самарского университета,
e-mail: ibelokonov@mail.ru
BELOKONOv Igor vitalyevich — Doctor of Science (Engineering), Professor, Head of the Inter-university Department of space research at Samara University, e-mail: ibelokonov@mail.ru
БАРИНОвА Елена витальевна — кандидат технических наук, старший научный сотрудник НИЛ-102 Самарского университета, e-mail: elenabarinova3131@gmail.com
BARINOvA Elena vitalyevna — Candidate of Science (Engineering), Senior research scientist of Scientific laboratory-102 at Samara University, e-mail: elenabarinova3131@gmail.com
КЛЮЧНИК виталий Николаевич — инженер-конструктор НИЛ-102 Самарского университета, e-mail: klju53@mail.ru
KLYUCHNIK vitaly Nikolaevich — Engineer-designer of Scientific laboratory-102 at Samara University, e-mail: klju53@mail.ru
ИвЛИЕв Александр владимирович — кандидат технических наук, старший научный сотрудник НИЛ-102 Самарского университета, e-mail: ivlievav@mail.ru
IvLIEv Aleksandr vladimirovich — Candidate of Science (Engineering), Senior research scientist of Scientific laboratory-102 at Samara University, e-mail: ivlievav@mail.ru
БОЛТОв Eлисей Александрович — младший научный сотрудник НИЛ-102 Самарского университета, e-mail: boltov_ea@mail.ru
BOLTOv Elisey Aleksandrovich — Junior research scientist of Scientific laboratory-102 at Samara University, e-mail: boltov_ea@mail.ru
1. Введение
Знание проектных параметров, таких как масс-центровочные и инерционные характеристики (МЦИХ), очень важно в проектировании, анализе динамики и эффективном управлении механическими системами, например, космическими аппаратами. Точная оценка проектных параметров даже более важна для аппаратов нанокласса из-за их малых размеров и массы. Обычно используемые инерционные свойства включают девять
параметров, а именно: координаты центра масс (ЦМ), шесть независимых компонентов тензора инерции (три осевых момента инерции и три центробежных).
Способы определения координат ЦМ и тензора инерции можно разделить на несколько категорий:
1) численные методы с использованием систем автоматизированного проектирования (САПР) [1, 2];
2) экспериментальный подход, основанный на методе углового ускорения или колебательном методе [3, 4];
3) метод идентификации параметров, основанный на вибрационных испытаниях [5] или на уравнениях движения незакреплённого объекта [6-8].
Первый метод, основанный на САПР, используется на этапе проектирования для оценки инерционных свойств. Однако, точный учёт характеристик всех частей наноспутника не представляется возможным из-за отсутствия учёта допусков на изготовление и некоторых упрощений изображения таких упругих элементов как, например, кабели.
При использовании третьего метода необходимо определять значительное число параметров. Такие методы сложны и требуют дорогостоящего оборудования, анализ ошибок затруднён. Кроме того, некоторые из этих методов, как, например, описанные в работах [6, 7], можно использовать только после вывода космического аппарата на орбиту, когда внести изменения в его конструкцию уже не представляется возможным.
Поэтому возникает необходимость использования экспериментальных методов [3, 4]. Наиболее распространённым из них является колебательный метод, при котором момент инерции оценивается по результирующему периоду колебаний, когда к системе приложен внешний момент [3, 4]. Наиболее часто используются следующие колебательные методы: крутильный маятник с одним или несколькими стержнями (унифиляр,
трифиляр, мультифиляр) и составной маятник [9]. Крутильный маятник представляет собой тело, подвешенное на торсионной пружине с известной крутильной жёсткостью. Объект совершает колебания относительно вертикальной оси, совпадающей с торсионом и ЦМ [10]. Мультифиляр представляет собой жёсткое тело, подвешенное на гибких проволоках, которое колеблется вокруг оси, проходящей через его ЦМ. В настоящее время очень популярен трифиляр, в котором используются три проволоки равной длины [11, 12].
в некоторых исследованиях центробежными моментами инерции пренебрегают из-за трудности прямого измерения и их относительно небольшой величины [13]. Однако, центробежные моменты, являясь мерой дисбаланса массы объекта, играют значительную роль в устойчивости механической системы, совершающей вращательное движение. Центробежные моменты инерции могут быть измерены методом вращательного баланса [14] и методом измерения осевых моментов инерции, когда центробежные моменты инерции получаются пересчётом из осевых, измеренных относительно различных осей [3, 4].
в настоящее время существует несколько коммерческих стендов для оценки тензора инерции измеряемых объектов. Краткий обзор приведён в табл. 1.
Таблица 1
Сравнение коммерческих стендов для определения центра масс и моментов инерции
Название модели Масса, кг Осевые моменты инерции, погрешность, % Центробежные моменты инерции, погрешность, % Координаты центра масс, погрешность, мм Цена, тыс. дол. Источник
SMARTMechanical InTenso 500-3 500 1 0,5 1,5-3 -400 [15]
SMARTMechanical InTensino 7-400 1 0,5 1,5-3 N/A [15]
Inertia Dynamics 11,4 max 0,5 N/A — -17 [16]
Resonic K Лёгкие 1 N/A N/A N/A [17]
Space Electronics KSR 9 070 max 0,1 N/A 0,025 -345 [18]
Space Electronics XR 115 max 0,25 — — -55 [18]
Space Electronics XKR 2,3 max 0,1 — — -70 [18]
Space Electronics GB 6 000 max 0,1 — — -115 [18]
Space Electronics MP 4 500 max 0,25 — 2,5 -220 [18]
Space Electronics POI 10 500 max 0,1 N/A N/A -250 [18]
Стенд IRANStMI 800-1500 3 — 2,5 N/A [19]
Стенд ЦАГИ SCMiMI-1T 50-1200 1 — 1-2 N/A [19]
Стенд ЦАГИ SCMiMI-0.01T 10 max 1 — 1-2 N/A [19]
Примечание. Прочерк означает, что данные измерения не предусмотрены изготовителем; N/A — данные отсутствуют.
Большинство перечисленных стендов оценивают только осевые моменты инерции тестируемого объекта. Для определения координат ЦМ и центробежных моментов инерции Resonic предлагает использовать 24 ориентации объекта во время испытаний [17], в то время как Space Electronics предлагает метод расчёта центробежных моментов инерции из осевых, требующий, чтобы ось вращения проходила через ЦМ объекта, а серия осей вращения была точно перпендикулярна друг другу [18]. Следует отметить, для многих из этих коммерческих стендов дополнительно требуется изготовление специализированной оснастки, чтобы установить наноспутник в требуемое положение.
С учётом вышеперечисленного для решения задачи определения МЦИХ с высокой точностью при небольших материальных затратах в Самарском университете был разработан стенд, использующий принцип перевёрнутого крутильного маятника, для определения МЦИХ наноспутников [20], который обеспечивает определение координат ЦМ наноспутника формата Cube Sat 1U-3U массой 1...10 кг с погрешностью не более 0,5 мм в строительной системе координат и определение осевых моментов инерции с погрешностью не более 1,5%.
2. Теоретические сведения
В данной работе используются следующие системы координат:
• система координат, связанная с рабочим столом стенда (SXYZ). Начало системы координат, связанной с рабочим столом стенда, находится над осью вращения стенда S. Ось SZ совпадает с осью вращения, направлена вверх. Оси SX и SY лежат в плоскости рабочего стола торсионной платформы;
• собственная система координат (Oxyz). Вторая собственная система координат, связанная с наноспутником, используется для описания координат ЦМ наноспутника. Эта система координат совпадает со строительной системой координат (рёбрами наноспутника). Начало системы координат O выбирается в любой удобной точке наноспут-ника, например, в одной из вершин. Будем полагать, что ось Ox направлена вдоль самого длинного ребра наноспутника;
• центральная система координат (Cxyz). При перемещении начала отсчёта собственной системы координат в ЦМ наноспутника получим центральную систему координат. Направление каждой оси (Cxyz) в центральной системе координат такое же, как и в опорной системе координат Oxyz.
Тензор инерции измеряемого тела определяется в центральной системе координат и может быть записан в виде:
I =
I Ixy I
x xy XZ
I Iy I
xy y yz
I I I
xz yz z
(!)
При разработке стенда в Самарском университете был использован принцип крутильного маятника. Предполагая, что восстанавливающий момент пружины линейно пропорционален угловому смещению ф с коэффициентом пропорциональности kS (крутильная жёсткость) и пренебрегая моментом трения, для объекта, колеблющегося вокруг вертикальной оси, совмещённой с осью вращения (SZ) и ЦМ тела, уравнение движения можно записать в следующем виде [3, 4]:
I ф + ky = 0,
(2)
где ISZ — момент инерции системы относительно оси SZ.
Уравнение (2) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка и при начальном смещении ф0 и нулевой начальной угловой скорости (ф0 = 0) имеет решение:
(
y(t) = y0cos
k с
Данная система имеет частоту и период колебаний T:
ш
ш = .
n
T = 2л.
(3)
С помощью соотношения (3) можно вычислить момент инерции относительно оси Оz при известной крутильной жёсткости kS и периоде колебаний T по формуле
t
SZ
k
S
SZ
SZ
1Бг
4п2
(4)
Формула (4) позволяет вычислить момент инерции всей системы относительно оси, совпадающей с осью вращения.
Если ЦМ наноспутника не совпадает с осью получим:
IБZ = 1о + 12 + т(Х1 + У*) (5)
где 10 торсионной
собственный
момент инерции
платформы; Х
с
У„
координаты ЦМ наноспутника в системе координат, связанной с рабочим столом торсионной платформы.
Собственный момент инерции торсионной платформы /0 можно вычислить по формуле
I, =
Т2 кБ
4п2
(6)
где Т0 — период колебаний пустой торсионной платформы.
Таким образом, из уравнений (5) и (6) получим формулу для определения момента инерции наноспутника:
I =
2
(Т - Ц)к5
4п2
т(Х2 + 72). (7)
Для оценки двух координат ЦМ необходимо провести три измерения, как показано на рис. 1. в результате измерений получаем три значения периода колебаний — Т1, Т2, Т3, соответственно.
Рис. 1. Схема рабочего стола: 1 — начальное положение наноспутника; 2 — положение, когда наноспутник смещён на расстояние АХ только вдоль оси БХ; 3 — положение, когда наноспутник смещён на расстояние АУ только вдоль оси БУ
Используя формулы (5) и (6), получим:
Ц кБ
4п2
= 1о + I + т(ХС + 72),
(8)
= 10 + / + т((Хс + АХ)2 + УС), (9)
Т2 кБ
4п2 71 к с
= 1о + 1г + т(ХС + (Ус + АУ)2). (10)
Исходя из формул (8), (9) и (8), (10) можно записать:
(Т2 - Ц)к5 АХ
Хс 8%2ш АХ
Ус =
(Ц - 1*)к5
АУ
(11)
(12)
8п2т АУ 2
Если оси собственной системы координат наноспутника и системы координат, связанной с рабочим столом стенда, сонаправлены, тогда координаты ЦМ хс, ус можно вычислить по формулам:
Хс = Хс - Х0, (13)
Ус = Ус - Уo, (14)
где Х0, У0 — координаты точки О в системе координат, связанной с рабочим столом стенда.
Таким образом, получены формулы для оценки трёх параметров, а именно /, хс, ус. Для того чтобы найти 1х, I, 2с, необходимо поместить нано-спутник в соответствующее положение на торсионной платформе.
Для оценки центробежных моментов инерции используется метод пересчёта из осевых моментов инерции. Предлагается измерять моменты инерции вдоль трёх осей, которые образуют 45° с положительным направлением осей х, у, 2, а затем вычислить центробежные моменты инерции по формулам:
I =
ху
I =
(I +1)
ху 2
(1х 1г) 2
(15)
(I +1)
I = Уу ^ -1
У? 2 6
Здесь 14 — момент относительно оси между положительным направлением осей
2
I
4
5
x и у; I5 — момент относительно оси между x и z; I6 — момент относительно оси между положительным направлением осей у и z.
3. Описание торсионного стенда
Предлагаемый стенд [20] представляет собой крутильные весы, состоящие из станины и балансира (вала с рабочим столом) (рис. 2). На станине 1 установлены верхний 2 и нижний 3 радиальные подшипники качения, расположенные со-осно. Под подшипником 2 установлен узел 4 крепления торсиона 5. На валу 6 установлены верхний 7 и нижний 8 шипы. В верхней части шип 8 имеет узел крепления 9 торсиона 5. В верхней части вал 6 имеет рабочий стол 10 с координатными отверстиями для установки объекта 11. Станина 1 имеет регулируемые винтовые опоры 12. На рабочем столе 10 установлена стрелка 13, а на станине — датчик 14 положения равновесия рабочего стола 10.
Вал 6 висит на торсионе 5, а подшипники 2 и 3, задающие ось вращения вала 6, воспринимают только радиальную нагрузку, обусловленную несовпадением общего центра масс вала 6, рабочего стола 10 и объекта 11 с осью вращения вала 6.
Рис. 2. Схематическое изображение стенда (описание см. в тексте)
Поскольку радиальная нагрузка на подшипники 2 и 3 определяет момент сопротивления вращению вала 6, для её уменьшения расстояние Н между подшипниками 2 и 3 задано существенно большим, чем отклонение А общего ЦМ от оси вращения вала 6.
Для измерения периода колебаний используется оптический датчик, который отмечает каждое прохождение балансира через положение равновесия. Данные записываются на карту памяти. Затем производится их обработка. Для производства следующего цикла измерений информация на дисплее обновляется до нулевых показаний кнопкой перезагрузки или отключением питания микроконтроллера.
Рабочий стол балансира выполнен в виде плиты с сеткой координатных отверстий для установки эталонных дисков при юстировке (установлении вертикальности оси вращения балансира) и тарировке (определении крутильной жёсткости), а также для установки оснастки базирования объектов. Базирование наноспутников производится по оснастке, входящей в комплект стенда.
В комплект стенда входят тор-сионы с разной крутильной жёсткостью и комплект эталонов, масса которых определена с точностью до одной сотой грамма.
Данный стенд позволяет вычислять один момент инерции, проходящий через ось, параллельную оси вращения, поэтому необходимо проводить серию из как минимум шести экспериментов для того, чтобы определить полный тензор инерции. Поэтому стенд снабжён набором специальной оснастки, позволяющей устанавливать наноспутник формата Cube Sat 1U-3U в требуемых положениях, а именно — горизонтальном, вертикальном и положениях под 45° к плоскости рабочего стола, как показано на рис. 3.
Главным отличием от аналогичных стендов, также использующих принцип крутильных весов, является то, что вес балансира с рабочим столом и объекта с оснасткой воспринимается торсионом. Вертикальное положение оси вращения задаётся радиальными шарикоподшипниками. Нагрузка на подшипники определяется опрокидывающим моментом и расстоянием между подшипниками (базой).
а)
б)
в)
г)
Рис. 3. Набор оснастки: а — горизонтальная; б — вертикальная; в — диагонально-горизонтальная; г — диагонально-вертикальная
Поскольку в данном стенде база почти на порядок превышает смещение ЦМ нагруженного балансира (консоль), и используются прецизионные подшипники без смазки, погрешности, обусловленные затуханием колебаний балансира, приближаются к погрешностям
устройств с аэростатическими подвесами. Кроме того, при малом и стабильном затухании колебаний затухание может быть учтено при расчётах и тарировке крутильной жёсткости стенда. Крутильная жёсткость зависит от напряжения растяжения в торсионе, которое,
в свою очередь, зависит от нагрузки. Постоянная часть нагрузки (балансир и рабочий стол) при тарировке учитывается автоматически. Массы оснастки и объектов могут изменяться в широком диапазоне. Кроме того, при определении ЦМ космического аппарата измерения производятся при его различных положениях на рабочем столе и, соответственно, при различных опрокидывающих моментах, действующих на балансир, а значит — различных нагрузках на шарикоподшипники.
При определении крутильной жёсткости для всех случаев нагрузок и опрокидывающих моментов, действующих при измерениях, влияние растяжения торсиона и трения в подшипниках будет учтено в крутильной жёсткости.
Фактическое положение оси вращения балансира в системе координат рабочего стола, а также её вертикальность определяются по эталонам с известными параметрами при производстве измерений в различных квадрантах рабочего стола. Положение стенда в дальнейшем не изменяется, а фактические координаты оси вращения учитываются при расчётах.
При такой технологии основным источником погрешностей определения МЦИХ являются геометрические параметры оснастки и наноспутника, а также точность установки оснастки на рабочем столе. При определении ЦМ такие погрешности могут быть уменьшены осреднением. Измерения производятся для ориентаций наноспутника, отличающихся на 180° в плоскости рабочего стола, и затем производится осреднение. При измерении моментов инерции определяющее влияние на точность измерений оказывает расстояние от ЦМ наноспутника до оси вращения, а также точность его определения.
4. технология оценки проектных параметров
Технология экспериментальной оценки проектных параметров наноспутника на наземном оборудовании состоит из следующих этапов:
• подготовка стенда к работе;
• определение координат ЦМ;
• определение тензора инерции;
• определение погрешности измерений.
4.1. Подготовка стенда к работе.
Подготовка стенда к работе заключается
в установке вертикальности оси вращения (юстировке) и определении крутильной жёсткости торсионов для различных нагрузок на рабочий стол и опрокидывающих моментов (калибровке).
Юстировка стенда производится с использованием эталонов. Эталоны укладывают по очереди по диагонали от центра вращения на одинаковые, возможно большие расстояния, и путём регулировки винтовых опор в основании стенда добиваются равенства периодов колебаний в симметричных положениях по каждой диагонали. Юстировка каждой диагонали проводится независимо от другой диагонали. в идеале по всем четырём направлениям периоды колебаний должны совпадать.
Калибровка состоит в определении крутильной жёсткости для различных масс. Для этого используется эталонный диск массой т, который устанавливается по диагонали на различные расстояния (г) от оси вращения. Производится измерение соответствующих периодов колебаний (Т.), и вычисляются значения крутильной жёсткости по формуле:
4n2m(r2 - r2)
T 2 _ T 2 i j
(16)
i = 2, ..., n; j = 1, ..., (n - 1).
Затем результат осредняется.
4.2. Определение координат центра масс. Определение координат ЦМ производится на рабочем столе с использованием горизонтальной оснастки (см. рис. 3, а).
По схеме, приведённой в разделе теоретических сведений, с использованием формул (11)—(14) производится вычисление координат хс1, Ус1. Затем необходимо провести аналогичные измерения для повёрнутого на 180° в плоскости рабочего стола положения наноспутника. Осреднить полученные результаты.
Для определения координаты гс повернуть наноспутник относительно оси Ох на 90° и установить в оснастку таким образом, чтобы ось 2 была направлена в положительном направлении оси У рабочего стола. Произвести измерения в прямом и перевёрнутом на 180° в плоскости рабочего стола
положениях наноспутника. Осреднить полученные результаты.
Таким образом будут определены координаты ЦМ наноспутника в системе координат Охуг.
4.3. Определение тензора инерции. Определение моментов инерции производится при известных координатах ЦМ наноспутника (хс, ус, гс). При определении моментов инерции оснастку необходимо устанавливать на планшайбу таким образом, чтобы ЦМ наноспутника был возможно ближе к оси вращения балансира. Используются вертикальная, диагонально-горизонтальная и диагонально-вертикальная оснастки (см. рис. 3, б-г).
Для каждого вида оснастки перед установкой наноспутника необходимо произвести измерение периода с пустой оснасткой. С помощью чертежей оснастки и штанген-глубиномера следует определить проекции Хс, Ус ЦМ установленного в оснастку наноспутника на плоскость рабочего стола.
Для определения момента инерции 12 используется диагонально-горизонтальная оснастка. Наноспутник следует установить в оснастку таким образом, чтобы ось г была направлена вертикально. Вычисление производится по формуле (7).
Аналогично для определения момента инерции 1у следует установить нано-спутник в оснастку таким образом, чтобы ось у была направлена вертикально, вычислить проекции ЦМ на плоскость рабочего стола и произвести измерение. Вычисление производится по формуле, аналогичной (7).
Для определения момента инерции 1х используется вертикальная оснастка (см. рис. 3, б). Наноспутник следует установить в оснастку таким образом, чтобы ось х была направлена вертикально.
Вычисление производится по формуле, аналогичной (7).
Так же производится определение моментов инерции относительно осей, которые образуют 45° с положительным направлением осей х, у, г. При этом используется оснастка, изображённая на рис. 3, в, г. Центробежные моменты инерции вычисляются по формулам (15). Таким образом, будет получен тензор инерции (1).
5. оценка погрешностей
Можно выделить несколько источников погрешностей измерений. Одним из таких источников является использование модели без учёта сил трения. Проведённые эксперименты показали, что погрешность, вносимая моделью, незначительна и косвенно учитывается в экспериментальном определении величины крутильной жёсткости.
Рассмотрим влияние погрешностей определения периода колебаний, расстояния до оси вращения, определения массы на погрешности измеряемых величин. Для оценки абсолютных погрешностей косвенных измерений величины ¥ использовался метод извлечения корня из суммы квадратов:
I
др Л2 Аы
ди.
(17)
где и — параметры, входящие в величину ¥; Аи — погрешность определения таких параметров.
5.1. Погрешность определения крутильной жёсткости. Крутильная жёсткость вычисляется по формуле (16). Тогда абсолютную погрешность определения крутильной жёсткости согласно формуле (17) можно вычислить по формуле:
Л^ = 4п2
^ Г 2 _г 2
Т 2
Т. 2
]
- Лт
+
2тТ. (г2 _ г2)
Л г ] '
( Т2 _ Т2)2
ЛТ
+
2тТ(г2 _ г2)
Л г 1 >
(Т2 _ Т2)
ЛТ.
242 1
2 2тг +
2
-Лг.
Т2 _ Т2 г
Тг _ Т
+
2тг
Т2 Тг
Лг
Т2 Т
2 Л1/2
где Ат — погрешность определения массы; АТ., АТ. — погрешности определения
периода; Аг, Аг ления расстояний.
погрешности опреде-
Разделив полученное выражение на величину крутильной жёсткости, получим формулу для относительной погрешности определения крутильной жёсткости 5£Б :
2
2
( Лт Л 2
+
т
2Т.ДТЛ2
I I
, Г2 - Г2 .
VI 1 >
+
2Т. ДТ.
\2
11
Т 2 - Т12 1
+
2т. Дт.
1
+
2т. Дт.
1
2
2
5
Анализируя данную формулу, можно сделать вывод, что чем больше разность квадратов периодов и квадратов расстояний, тем меньше относительная погрешность определения крутильной жёсткости.
5.2. Погрешность вычисления координат центра масс. Зная погрешность измерения крутильной жёсткости, можно определить погрешность измерения координат ЦМ. Координата ЦМ Хс определяется по формуле (11). Тогда абсолютная погрешность определения координат ЦМ Хс будет иметь вид:
ДХс -
8 п2тДХ 5
\\
' 2ГА
8п2тДХ
-ДТ
+
+
+
' 2
2
ДТ1 8п2тДХ 1
(Т22 - П)к5
+
(Т22 - П)к5
8п2т2ДХ
Дт
+
\\
8п2т(ДХ)2
1 > >\Л1/2 - Д(ДХ)
Абсолютные погрешности определения координат центра масс Ус и Zс определяются аналогично. При вычислении погрешности координат хс, ус, zс необходимо учитывать погрешность определения координат опорной точки О на рабочем столе.
5.3. Погрешность определения осевых моментов инерции. Зная погрешность измерения крутильной жёсткости и погрешности определения координат ЦМ (хс, ус, zс), можно определить погрешность измерения осевых моментов инерции. Момент инерции I определяется по формуле (7). Тогда абсолютная погрешность определения момента инерции имеет вид:
Д1 - 4п2
гг ( т2 - т02)
2
\ч
4 п2
Дкс
+
+
2Т5
4 п2
ДТ
V /- 2 То 0к 5
+
ДТ0
4п2 0
+
+ ((Хс2 + Ус2)Дт)2 + (2ХСДХС)2 + (2УСДУС)2
1/2
Абсолютные погрешности определения моментов инерции I и I
1 ^ у х
определяются аналогично. Погрешность определения центробежных моментов инерции складывается из погрешностей определения соответствующих осевых моментов инерции.
6. результаты эксперимента с эталоном
Для иллюстрации работы стенда в данном разделе приведены результаты эксперимента с эталоном. Эталон представляет собой стальной диск со следующими характеристиками: масса т = 1,92428 кг; внешний радиус 202,5 мм; внутренний радиус 5 мм. На рабочий стол данный эталон устанавливается с помощью центрирующего пальца массой 25,633 г, радиусом 5 мм.
По методике, приведённой в п. 4.1, была определена крутильная жёсткость стенда. Всего было проведено четыре измерения при разных расстояниях от оси вращения. Величина крутильной жёсткости была вычислена по формуле (16). Данные представлены в табл. 2.
Таблица 2
экспериментальное определение величины крутильной жёсткости
№ г2, мм2 3 Т., мс 3 Г2, мм2 Т, мс кр Нм
1 800 2 565,00 7 200 2 728,49 0,56927
2 800 2 565,00 20 000 3 028,39 0,57024
3 800 2 565,00 39 200 3 429,98 0,57005
4 7 200 2 728,49 20 000 3 028,39 0,57072
5 7 200 2 728,49 39 200 3 429,98 0,57020
6 20 000 3 028,39 39 200 3 429,98 0,56986
Среднее значение 0,57006
Таким образом, получено экспериментальное значение величины крутиль-
ной жёсткости
К = 0,57006 Н
м.
Стоит
отметить, что максимальное отклонение величины крутильной жёсткости от среднего значения составляет 0,13%.
Центр масс эталона находится в его геометрическом центре, теоретический момент инерции эталона и центрирующего пальца составляет 1Т = 0,009878 кг-м2. В табл. 3 приведены значения момента инерции, полученные в результате экспериментов, абсолютная погрешность от теоретического значения и относительная погрешность. Можно отметить, что величина относительной погрешности не превышает 1,1%. В табл. 4 приведены координаты ЦМ, полученные экспериментально. Из таблицы видно, что погрешность определения координат не превышает 0,35 мм.
2
2
2
Таблица 3
Экспериментальное определение момента инерции эталона
№ Смещение центра эталона по оси х, мм Смещение центра эталона по оси у, мм Средний период, мс Момент инерции системы, кг-м2 Эксперимент. момент инерции эталона, кг-м2 Абсолютная погрешность, кгм2 Относит. погрешность, %
1 20 20 2 565,00 0,095002 0,009908 0,000030 0,31
2 60 60 2 728,49 0,107498 0,009926 0,000047 0,48
3 100 100 3 028,39 0,132428 0,009897 0,000018 0,19
4 140 140 3 429,98 0,169880 0,009910 0,000031 0,32
5 100 20 2 805,89 0,113684 0,009817 -0,000007 -0,07
6 180 20 3 300,19 0,157266 0,009776 -0,000102 -1,04
7 20 100 2 805,08 0,113618 0,009806 -0,000072 -0,73
8 20 180 3 301,37 0,157379 0,009888 0,000010 0,10
Среднее значение 0,009897 -0,000005 -0,05
Таблица 4
экспериментальное определение координат центра масс эталона
№ XO, мм YO, мм AX, мм AY, мм XC, мм xC, мм YC, мм yC, мм
1 20 20 80 0 19,88 0,12 — —
2 20 20 160 0 19,78 0,22 — —
3 100 20 80 0 99,68 0,32 — —
4 20 20 0 80 — — 19,67 0,33
5 20 20 0 160 — — 19,96 0,04
6 20 100 0 80 — — 100,25 -0,25
Среднее значение 0,22 — 0,04
Заключение
В предложенной работе приведено описание технологии экспериментальной оценки проектных параметров космических аппаратов нанокласса на наземном оборудовании. Детально описана конструкция стенда для определения МЦИХ наноспутников, разработанного в Самарском университете. Для подтверждения заявленной точности была проведена серия экспериментов с эталонами, и показано, что данный стенд обеспечивает определение координат центра масс с погрешностью не более 0,5 мм в строительной системе координат и определение осевых моментов инерции с погрешностью не более 1,5%.
Проведённые эксперименты по определению МЦИХ эталонных дисков показали, что для повышения точности измерений необходимо повышать точность базирования объектов, в т. ч.
минимизировать люфты в посадках оснастки на рабочем столе и нано-спутника в оснастке.
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 20-08-00617).
Список литературы
1. Tianjun Z., Fudong Z., Jianying L., Li F, Changfu Z. Development identification method of inertia properties for heavy truck engine based on MIMS test rig // MATEC Web Conf. 2018. V. 153. № 6. P. 04009.
2. Zheng Q, Yan-gang L., Jian-ping Z. An optimization tool for satellite equipment layout // Advances in Space Research. 2018. V. 61. № 1. P. 223-234.
3. Genta G., Delprete C. Some considerations on the experimental determination of moments of inertia // Meccanica. Kluwer Academic Publishers. 1994. V. 29. № 2. P. 125-141.
4. Ратобыльский В.Ф., Гернет М.М. Определение моментов инерции. М.: Машиностроение, 1969. 246 с.
5. Pandit S.M., Yao Y.X., Hu Z.Q. Dynamic properties of the rigid body and supports from vibration measurements // Journal of Vibration and Acoustics. 1994. V. 116. № 3. P. 269-274.
6. Belokonov I.V., Lomaka I.A. In-flight calibration of nanosatellites inertia tensor: The algorithm and requirements for on-board sensors // Proceedings of the 69 International Astronautical Congress,
IAC. International Astronautical Federation, IAF, 2018. V. 2018-0ctob.
7. Belokonov I.V., Kramlikh A.V., Lomaka I.A., Nikolaev P.N. Reconstruction of a spacecraft's attitude motion using the data on the current collected from solar panels // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2019. V. 58. № 2. P. 286-296.
8. Xu W., Hu Z., Zhang Y, Liang B. On-orbit identifying the inertia parameters of space robotic systems using simple equivalent dynamics // Acta Astronautica. 2017. V. 132. P. 131-142.
9. Harris C.M., Piersol A.G. Harris' shock and vibration handbook. New York: McGraw-Hill. 2002. 1457p.
10. Olmedo N.A., Barczyk M, Lipsett M. Experimental determination of the inertial properties of small robotic systems using a torsion platform // Mechanical Systems and Signal Processing Journal. 2019. V. 131. P. 71-96.
11. Hou Z.C. et al. A new trifilar pendulum approach to identify all inertia parameters of a rigid body or assembly // Mechanism and Machine Theory. 2009. V. 44. № 6. P. 1270-1280.
12. Tang L, Shangguan W. An improved pendulum method for the determination of the center of gravity and inertia tensor for irregular-shaped bodies // Measurement: Journal of the International Measurement Confederation. 2011. V. 44. № 10. P. 1849-1859.
13. Khaligh S.P., Fahimi F, Robert Koch C. A system identification strategy for nonlinear model of small-scale unmanned helicopters // Journal of the American Helicopter Society. 2016. V. 61. № 4. P. 1-13.
14. Fakhari V., Shokrollahi S. A theoretical and experimental disturbance analysis in
a product of inertia measurement system // Measurement: Journal of the International Measurement Confederation. 2017. V. 107. P. 142-152.
15. Resonic, Resonic K. Режим доступа: https://resonic.de/resonic-k/ (дата обращения 01.03.2021 г.).
16. SpaceElectronics, Gb moi series. Режим доступа: https://raptor-scientific. com/content/uploads/202 1/0 1 / MOI-Instruments-m.pdf (дата обращения 01.03.2021 г.).
17. SMARTMechanical-Company, Intenso full mass properties measurement. Режим доступа: http://www.smartmechanical-company.it/en/products/intenso#information (дата обращения 01.03.2021 г.).
18. Inertia dynamics. Режим доступа: https://www.idicb.com/products/moment-of-inertia-measurement-instruments/ moment-of-inertia-measurement-instruments (дата обращения 01.03.2021 г.).
19. Central Aerohydrodynamic Institute. Test Facilities to Determine the Mass-Inertial Characteristics of Moving Objects. Режим доступа: http://www.tsagi.ru/research/ measurements/stendy/ (дата обращения 01.03.2021 г.).
20. Патент № 2698536. Российская Федерация. Устройство для определения положения центра масс и моментов инерции объектов. Белоконов И.В., Баринова Е.В., Ивлиев А.В., Ключник В.Н., Тимбай И.А.; патентообладатель — Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва; заявка 2018135827; приоритет от 09.10.2018 г.; опубликовано 28.08.2019 г. // Бюллетень № 25.
Статья поступила в редакцию 01.02.2021 г. Окончательный вариант — 01.04.2021 г.
Reference
1. Tianjun Z., Fudong Z, Jianying L, Li F., Changfu Z. Development identification method of inertia properties for heavy truck engine based on MIMS test rig. MATEC Web Conf, 2018, vol. 153, no. 6, p. 04009.
2. Zheng Q, Yan-gang L, Jian-ping Z. An optimization tool for satellite equipment layout. Advances in Space Research, 2018, vol. 61, no. 1, pp. 223-234.
3. Genta G., Delprete C. Some considerations on the experimental determination of moments of inertia. Meccanica. Kluwer Academic Publishers, 1994, vol. 29, no. 2, pp. 125-141.
4. Ratobyl'skii V.F., Gernet M.M. Opredelenie momentov inertsii [Determination of moments of inertia]. Moscow, Mashinostroeniepubl, 1969. 246p.
5. Pandit S.M., Yao Y.X., Hu Z.Q. Dynamic properties of the rigid body and supports from vibration measurements. Journal of Vibration and Acoustics, 1994, vol. 116, no. 3, pp. 269-274.
6. Belokonov I.V., Lomaka I.A. In-flight calibration of nanosatellites inertia tensor: The algorithm and requirements for on-board sensors. Proceedings of the 69 International Astronautical Congress, IAC. International Astronautical Federation, IAF, 2018, vol. 2018-0ctob.
7. Belokonov I.V., Kramlikh A.V., Lomaka I.A., Nikolaev P.N. Reconstruction of a spacecraft's attitude motion using the data on the current collected from solar panels. Journal of Computer and Systems Sciences International, 2019, vol. 58, no. 2, pp. 286-296.
8. Xu W., Hu Z., Zhang Y., Liang B. On-orbit identifying the inertia parameters of space robotic systems using simple equivalent dynamics. Acta Astronautica, 2017, vol. 132, pp. 131-142.
9. Harris C.M., Piersol A.G. Harris' shock and vibration handbook. New York: McGraw-Hill, 2002. 1457p.
10. Olmedo N.A., Barczyk M., Lipsett M. Experimental determination of the inertial properties of small robotic systems using a torsion platform. Mechanical Systems and Signal Processing Journal, 2019, vol. 131, pp. 71-96.
11. Hou Z.C. et al. A new trifilar pendulum approach to identify all inertia parameters of a rigid body or assembly. Mechanism and Machine Theory, 2009, vol. 44, no. 6, pp. 1270-1280.
12. Tang L, Shangguan W. An improved pendulum method for the determination of the center of gravity and inertia tensor for irregular-shaped bodies. Measurement: Journal of the International Measurement Confederation, 2011, vol. 44, no. 10, pp. 1849-1859.
13. Khaligh S.P., Fahimi F., Robert Koch C. A system identification strategy for nonlinear model of small-scale unmanned helicopters. Journal of the American Helicopter Society, 2016, vol. 61, no. 4, pp. 1-13.
14. Fakhari V., Shokrollahi S. A theoretical and experimental disturbance analysis in a product of inertia measurement system. Measurement: Journal of the International Measurement Confederation, 2017, vol. 107, pp. 142-152.
15. Resonic, Resonic K. Available at: https://resonic.de/resonic-k/ (accessed 01.03.2021).
16. SpaceElectronics, Gb moi series. Available at: https://raptor-scientific.com/content/ uploads/2021/01/M0I-Instruments-m.pdf (accessed 01.03.2021).
17. SMARTMechanical-Company, Intenso full mass properties measurement. Available at: http://www.smartmechanical-company.it/en/products/intenso#information (accessed 01.03.2021).
18. Inertia dynamics. Available at: https://www.idicb.com/products/moment-of-inertia-measurement-instruments/moment-of-inertia-measurement-instruments (accessed 01.03.2021).
19. Central Aero hydro dynamic Institute. Test Facilities to Determine the Mass-Inertial Characteristics of Moving Objects. Available at: http://www.tsagi.ru/research/ measurements/stendy/ (accessed 01.03.2021).
20. Patent № 2698536. Rossiiskaya Federatsiya. Ustroistvo dlya opredeleniya polozheniya tsentra mass i momentov inertsii ob'ektov [A device to determine the position of the center of mass and moments of inertia of objects]. Belokonov I.V., Barinova E.V., Ivliev A.V., Klyuchnik V.N., Timbai I.A.; the patent owner — Samara National Research University named after academician S.P. Korolev; application 2018135827; priority of 09.10.2018; published 28.08.2019. Bulletin no. 25.
