CC BY
3ТЕХНОЛОГИИ И МАТЕМАТИКА Шевцов Александр Александрович, студент (e-mail: dim669@live.ru) Боженов Андрей Геннадьевич, студент (e-mail: dim669@live.ru) Волобуева Татьяна Александровна, к.э.н., доцент
(e-mail: dim669@live.ru) Орловский государственный аграрный университет имени Н.В. Парахина, г. Орел, Россия
Несмотря на свою практическую важность, связь между технологией и математикой не привлекала особого научного внимания. Отношения между технологией и математикой начинались с использования простых пособий для счёта и арифметики, через использование математики в ткацком деле, строительстве и других профессиях, а также внедрение исчисления для решения технологических задач, до современного использования компьютеров для решения как технологических, так и прикладных задач. Отсюда вытекают три важных философских вопроса: как математические знания зависят от технологии, определение технологических вычислений и полезность математики в технологии. Для анализа данных вопросов необходимо объединить инструменты и идеи, как из философии технологии, так и из философии математики. Много ответов можно найти в исторически и философски неисследованных областях взаимосвязи технологии и математики.
Ключевые слова: математика, технология, вычисление, анализ, взаимосвязь.
Искусство счёта, пожалуй, является самой фундаментальной математической процедурой. Мы не рождаемся с такой способностью. При подсчёте мы часто прибегаем к помощи взаимно однозначных соответствий. Если мы хотим сохранять числа в памяти в течение длительного периода времени, то такой способ не будет для нас надёжным. Нужны более действенные методы. С этой целью в древности во многих частях мира использовались зарубки на кости и куске дерева или холста. Зарубки и сучки обеспечивали более надёжную и долговечную запись чисел, чем камни и палочки, выложенные в определенной последовательности. Однако последние имели то преимущество, что они больше подходили для поддержки арифметических операций, таких как сложение и вычитание. Также часто использовались небольшие подвижные предметы для выполнения арифметических действий. В нескольких культурах эта практика получила развитие в виде более сложных устройств, таких как счётные доски с позиционной системой. На счётной доске один камешек мог представлять числа больше 1, такие как 5, 10 или 50, в зависимости от его места на доске. Такие счетные доски использовались древними греками и, согласно Геродоту, также египтянами.
Римляне использовали ручные счёты размером с современный карманный калькулятор или большой смартфон. Подвижные камешки на счётах дали начало нашему слову «вычисление». Подобные устройства также известны в средневековой Европе и в основных древних цивилизациях Азии и Латинской Америки.
Философский урок из истории этих устройств заключается в том, что с самого зарождения математики надёжность наших математических операций в решающей степени зависит от стабильности и долговечности технологий, которые мы используем для их поддержки. Древние калькуляторы предполагали, что камешки не перемещаются сами по себе на счетной доске. Сегодня, выполняя вычисления ручкой на бумаге, мы предполагаем, что цифры, которые мы записываем, остаются неизменными. Общепринятая концепция математического знания, как независимого от физической реальности, является в этом отношении идеализацией.
Уже в дописьменных обществах многие технологические виды деятельности требовали математического мышления. Ярким примером является концепция пропорций. Она необходима в кулинарии и при производстве различных смесевых материалов, таких как клей, строительный раствор, керамика, стекло и, не в последнюю очередь, сплавы. Например, несколько древних цивилизаций были способны производить бронзу с удивительно оптимизированным и постоянным составом, чего они вряд ли смогли бы достичь, не овладев такой операцией, как пропорции.
Современные технологии в значительной степени основаны на научных теориях, таких как механика твёрдого тела и жидкости, электродинамика, термодинамика и квантовая механика. Все они требуют значительной математической подготовки. Инженерам также нужны дополнительные математические инструменты, например, для моделирования, оптимизации, теории управления и статистического анализа.
На протяжении длительного развития, при неуклонно растущем использовании математики в технологиях, обратная взаимосвязь развивалась незначительно. На протяжении многих столетий использование технологий в математике не выходило за рамки счёта. В семнадцатом веке было представлено несколько счетных машин, использующих вращающиеся колёса. Однако из-за технических проблем эти машины оставались раритетами без особого практического применения. Коммерческое производство и широкое использование механических калькуляторов началось только во второй половине девятнадцатого века. В восемнадцатом и девятнадцатом веках было выполнено несколько крупных расчётных проектов, в основном, для составления математических и астрономических таблиц, но они полностью опирались на ручную работу. Вычислительные задачи были разделены на большое количество элементарных операций (часто просто сложений и вычитаний), которые затем распределялись между большим количеством вычислителей. Например, в крупном французском вычислительном проекте 1790-х годов работало около 70 специалистов по вычислительной тех-
нике, многие из которых были женщинами-парикмахерами, потерявшими прежнюю работу.
Первые серьезные попытки автоматических вычислений были предприняты английским математиком Чарльзом Бэббиджем (1791-1871). Он изобрёл две вычислительные машины общего назначения: разностную машину в начале 1820-х годов и программируемую аналитическую машину в 1834 году. Аналитическая машина управлялась инструкциями — тем, что мы сейчас называем программами — записанными на перфокартах. Ни одна из этих машин не была завершена при его жизни, но они указали путь для будущих разработок. С одной стороны, машина была основана на математических принципах, которые были разработаны ранее для организации работы людей-вычислителей. С другой стороны, технологические принципы, заложенные в машину, вдохновили на новые математические идеи. Фактически, они породили совершенно новое видение математических операций. [1]
Первые программируемые компьютеры были созданы в 1940-х годах. Взлом кода военного времени во многом послужил толчком для их развития. «Колосс», который использовался британскими криптоаналитиками с 1943 по 1945 год, был первым созданным программируемым компьютером. Двумя другими важными машинами в период становления были ENIAC и EDVAC, обе были построены в США в 1940-х годах. ENIAC был создан для расчета траекторий ракет, а EDVAC - для обработки данных в аэродинамической трубе. Обе задачи требовали решения больших систем дифференциальных уравнений. Операция включала в себя многократное повторение небольших последовательностей математических операций, каждая из которых использовала численные результаты своих предшественников. Быстрое извлечение сохраненных промежуточных результатов было более важным, чем быстрые операции ввода или вывода. Эти компьютеры решали сложные вычислительные задачи, разделяя их на большое количество очень простых подзадач. Это был тот же метод, что использовался в крупномасштабных проектах ручного вычисления.
Электронные вычислительные машины оказали глубокое влияние на математику. В дополнение к предоставлению ранее немыслимых возможностей они вдохновили на новые подходы к осмыслению фундаментальных понятий математики, таких как понятия доказательства, вычисления и математического знания. Кроме того, как и в других дисциплинах, компьютерные информационные технологии произвели революцию в коммуникациях между исследователями. Мгновенная электронная коммуникация между математиками сделала возможными новые формы сотрудничества. Например, «массовая совместная математика» была представлена на открытых форумах, где каждый мог внести свой вклад. Это привело к появлению нового стиля математических исследований с быстрым обменом мнениями, очень похожего на то, что происходит, когда пара математиков
работает вместе над классной доской, но теперь с гораздо большей группой участников. [2]
Цифровые компьютеры стали использоваться для автоматической обработки всех видов символов, а не только чисел. Поскольку математика в значительной степени состоит из манипулирования символами, вычислительная техника оказала значительное влияние на математику. В некотором смысле, это представляло собой частичное осуществление мечты философа.
Повышенная точность, полученная машинами, привела к важным математическим разработкам. Особый интерес для связи технологии с математикой представляют две основополагающие статьи 1930-х годов, написанные Алонзо Черчем (1936) и Аланом Тьюрингом (1937а). Они оба предложили характеристики операций с символами, которые могут выполняться рутинно.
Сведение доказательств к простым шагам, позволило использовать компьютеры для решения математических задач, которые ранее всегда выполнялись учеными. Компьютеры можно было запрограммировать на систематический поиск более длинных цепочек шагов доказательства, основанных на заданном наборе аксиом и получить все возможные выводы при заданных «начальных» условиях. Кроме этого компьютеры использовались для создания и тестирования большого количества обращений.
Эти новые разработки породили, по крайней мере, два важных философских вопроса. Первый из них, по сути, представляет собой компьютеризированную версию проблемы физической надежности: можем ли мы полагаться на результаты компьютерных вычислений, даже если они настолько велики, что на практике их невозможно проверить? Это затруднение вышло на первый план в конце 1970-х годов, когда проблема четырех цветов, которая ускользала от математиков с 1850-х годов, была, наконец решена с помощью грубой компьютерной силы (Аппель и Хакен, 1976). Проблему можно выразить как вопрос: возможно ли разделить евклидову плоскость на области (например, карту) таким образом, чтобы для раскрашивания всех областей требовалось более четырех цветов, не присваивая один и тот же цвет двум областям с общей границей (отличной от угла)? Доказательство того, что это невозможно, было опубликовано в 1977 году. Оно было основано на обширном компьютеризированном поиске доказательств по каждому из 1482 дел. Доказательство было слишком длинным, чтобы человек мог проверить все его детали. Это вызвало обширную и до сих пор продолжающуюся философскую дискуссию о том, можем ли мы полагаться на такие доказательства так же, как мы полагаемся на доказательства, которые достаточно коротки, чтобы люди могли рассмотреть их в деталях.
Второй вопрос: какие типы манипуляций с символами можно выполнять рутинно, т.е. без необходимости воображения или умственных усилий? И как эти операции соотносятся с математическими операциями, которые может выполнять компьютер? В частности, можно ли сконструировать
машину, которая выходит за пределы того, что человек может выполнять в обычном режиме?
Попытаемся ответить на сложившиеся философские вопросы.
Существует технологическая зависимость математических знаний. С самого начала человеческие знания о математике зависели от вспомогательных средств, таких как зарубки на палочке, камешки на счётной доске или символы на бумаге. Нам нужны обозначения не только для запоминания чисел, но и для отслеживания последовательных шагов вычисления, вывода или доказательства. Сейчас мы всё больше зависим от более совершенных технологических устройств, а именно компьютеров, не только для записи, но и для выполнения этапов математических операций.
Понятие вычисления определено математически, оно имеет значение для нашего понимания операций, выполняемых на физических устройствах. Например, если мы определяем вычисление как процесс, состоящий из определенного типа элементарных операций, то машина, выполняющая вычисление, должна будет делать это путем выполнения подопераций, которые можно разумно понимать как представляющие такие элементарные операции. О технологическом устройстве, которое достигает желаемого результата каким-либо другим способом, нельзя сказать, что оно получило его путем вычислений. По этой и другим причинам нам необходимо прояснить взаимосвязь между математической и технологической вычислимостью.
Полезность математики в технологии представляет собой головоломку, которая аналогична, но, возможно, не идентична гораздо более широко обсуждаемой головоломке полезности математики в науке.
Сомнительно, чтобы какой-либо математик когда-либо проводил бессонную ночь, беспокоясь о том, что его записи могли каким-то образом быть изменены неизвестными силами, заменив правильное доказательство неправильным. Более распространённое беспокойство связано с собственными ошибками. Это также наиболее реалистичная проблема. Существует множество исторических свидетельств того, что опубликованные работы, даже очень уважаемых математиков, иногда содержат серьезные ошибки.
С появлением компьютеров технология стала использоваться для выполнения математических операций, а не просто для записи операций, которые мы выполняем сами. Компьютерное доказательство теоремы о четырёх цветах вызвало бурную дискуссию, как среди математиков, так и среди философов о значении компьютерных доказательств для математических знаний. В одной из первых философских статей, посвящённых этому доказательству, Томас Тимочко (1979) усомнился в том, что компьютерные операции вообще установили теорему. Он утверждал, что компьютер выполнил «не традиционное доказательство, не априорный вывод утверждения из посылок», а вместо этого «эмпирический эксперимент». Принятие этого в качестве доказательства, по его словам, противоречило бы распространенному предположению, что «математика, в отличие от ес-
тественных наук, не имеет эмпирического содержания» и что ее теоремы «достоверны до такой степени, с которой не может сравниться ни одна теорема естественных наук».
Другие участники этой дискуссии утверждали обратное, что риск ошибок, как правило, меньше при компьютерных корректурах, чем при таких же длинных корректурах, выполняемых вручную. На самом деле, математики меньше беспокоились о точности многих случаев, которые компьютер доказал для теоремы о четырёх цветах, чем о правильности и исчерпы-ваемости списка этих случаев, который был получен математиками-людьми обычным способом - ручкой на бумаге.
В математике спор касается того, могут ли компьютерные знания иметь статус доказательства, который обычно присваивается процедурам, независимым от эмпирических наблюдений.
Вычисление, такое как сложение или умножение двух чисел, является выполнением детерминированной процедуры для манипулирования символами, представляющими числа. То, что он детерминирован, означает, что его выполнение однозначно определено, шаг за шагом, так что результат предопределен. Математикам давно известно, что существует большое разнообразие таких процедур для манипулирования символами. Общий термин - «алгоритм». В то время как вычисление использует числа как в качестве входных, так и в качестве выходных данных, алгоритм может работать с любым типом символов. Однако для современного математика разница между вычислением и выполнением алгоритма несущественна, поскольку все символы могут быть представлены последовательностью чисел. Следовательно, «вычисление» используется как общий термин для обозначения производительности любого алгоритма, а «вычислимый» означает «достижимый путем выполнения алгоритма».
Концепция вычисления (или выполнения алгоритма) стала важной в математике начала двадцатого века, когда были предприняты попытки основать математику на системах аксиом и доказательств. Чтобы убедиться в правильности доказательства, нужно было убедиться, что оно разбивается на небольшие шаги, каждый из которых может быть выполнен как обычная манипуляция символами. Мы можем выполнять операции с листами клетчатой бумаги. Ширина бумаги не имеет существенного значения. Страницы обычной тетради по математике имеют ширину примерно 30-40 квадратов, но мы можем обойтись гораздо меньшим. Действительно, мы можем работать с квадратной лентой, бумагой шириной всего в один квадрат. Это было бы неудобно и отнимало бы много времени, но с математической точки зрения это было бы упрощением. Возможно несколько других подобных упрощений: нам нужны только два символа, поскольку любое конечное число символов может быть закодировано в последовательностях только из двух символов. Нам нужно двигаться на ленте только по одному шагу за раз, при условии, что мы отслеживаем, сколько раз нам нужно сделать такое одношаговое движение. Нам нужно смотреть только
на один квадрат за раз, так как мы можем перемещаться и смотреть на соответствующие квадраты последовательно и т.д. Результатом этих обсуждений стала сильно упрощенная структура вычислений. Он имеет квадратную ленту и головку, которая пошагово перемещается по ленте, считывая по одному квадрату за раз. В зависимости от символа, который он считывает по прибытии в квадрат, и состояния, в котором он находился до этого, он переходит в определённое состояние. Новое состояние указывает ему, что делать дальше из небольшого набора возможных действий (записать 0, записать 1, переместить на один шаг влево, переместить на один шаг вправо, остановиться).
Понятие вычисления обладает двумя важными особенностями, которые делают его в значительной степени технологической концепцией. Во-первых, вычисление - это преднамеренная операция в обычном смысле этого слова, которая «выполняется намеренно, в результате намерения». Во-вторых, вычисление - это операция ввода-вывода. Инструкция «запишите число 5 пять раз подряд» не указывает, как вычислить 205, умноженное на 271, хотя 205*271 действительно равно 55555. Вычисление должно быть выполнением в конкретном случае инструкции (алгоритма), которая обеспечивает правильный ответ и в других случаях. Отсюда - вычисления - это, по сути, технологический, а не естественный процесс.
Природа математики раскрывается и в философии. Такие философские подходы как платонизм, логицизм, формализм и интуиционизм, имеют непосредственную связь с математикой и ее интерпретацией с окружающим миром. Рассматривая их с точки зрения различных приложений математики, мы можем получить новое представление о самой математике, как науки.
Современное развитие технологий породили новые приложения математических методов в различных областях науки и технике [3].
В заключение отметим, что технологии и математика взаимосвязаны во многих отношениях, эти взаимосвязи не могут быть правильно поняты без исследований того, как каждая из них связана с наукой. Существует необходимость в непосредственном изучении взаимосвязи технологии и математики. Исторические исследования этих отношений носили зарождающий характер, и нам не хватает значительной части информации, необходимой для написания последовательной истории того, как эти два понятия влияли друг на друга на разных этапах своего развития. Философские аспекты этих отношений изучены ещё меньше. В этой статье определены некоторые проблемы и темы, которые могут послужить проникновением в философски неисследованные области взаимоотношений технологии и математики, что, в свою очередь, даёт толчок к более глубокому исследованию и пониманию рассмотренного вопроса.
Список литературы
1. Полякова Т. С. История математики Европа XVII-начало XVIII краткий очерк / Т. С. Полякова. - Ростов-на-Дону: Издательство Южного Федерального Университета, 2015. - 126 с.
2. Краткая история математики (часть 2) [Электронный ресурс]. - URL: https://shkesper.livejournal.com/43001.html (дата обращения: 05.04.2023)
3. Елагина Т.В., Волобуева Т. А. Математика в финансовой системе // В сборнике: Физика и современные технологии в АПК. Материалы международной молодежной научно-практической конференции. 2016. С. 29-33.
Shevtsov Alexander Alexandrovich, student (e-mail: dim669@live.ru) Bozhenov Andrey Gennadievich, student (e-mail: dim669@live.ru)
Volobueva Tatiana Alexandrovna, Ph.D. in Economics, Associate Professor of the Department of Digital Economics and Information Technology Orel State Agrarian University named after N.V. Parakhin, Orel, Russia (e-mail: dim669@live.ru) TECHNOLOGY AND MATHEMATICS
Abstract: Despite its practical importance, the connection between technology and mathematics has not attracted much scientific attention. The relationship between technology and mathematics began with the use of simple manuals for counting and arithmetic, through the use of mathematics in weaving, construction and other professions, as well as the introduction of calculus to solve technological problems, to the modern use of computers to solve both technological and applied problems. This leads to three important philosophical questions: how mathematical knowledge depends on technology, the definition of technological computing and the usefulness of mathematics in technology. To analyze these issues, it is necessary to combine tools and ideas from both the philosophy of technology and the philosophy of mathematics. Many answers can be found in historically and philosophically unexplored areas of the relationship between technology and mathematics. Keywords: mathematics, technology, calculation, analysis, interrelation.
