CC BY
37
----------------------------------------- © Н.Н Арефьев, С.М. Штин,
2010
УДК 532.542
Н.Н. Арефьев, С.М. Штин
ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОЙ ЖИДКОСТИ С ГИДРОСМАЗКОЙ В КАНАЛЕ ПРИ НАЛИЧИИ СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЫ
Приведено теоретическое исследование течения вязкопластичной жидкости в канале при наличии свободной границы со слоем гидросмазки на его стенке. Определены математические выражения для расчета скоростей течения и расходов транспортируемой и смазывающей жидкостей для различных режимов течения.
Ключевые слова: сапропель, вязкопластичная жидкость, смазывающая жидкость, транспортируемая жидкость.
Неделя горняка
ш ш ри добыче сапропеля шнековы--1м. ми грунтонасосными установками транспортирование его часто осуществляется по лоткам, на дне которых формируется слой смазывающей жидкости с текучестью большей, чем текучесть сапропеля. Известно [1], что сапропель является вязкопластичной жидкостью, реологические свойства которой описываются уравнением Шведова — Бингама. Для проектирования таких установок необходимо решить задачу по определению основных характеристик течения вязкопластичной жидкости с гидросмазкой в канале при наличии свободной поверхности.
Рассмотрим течение вязкопластичной жидкости (ВПЖ) с гидросмазкой под действием силы тяжести на плоской поверхности бесконечной ширины при наличии одной плоской стенки и одной свободной границы. На рис. 1 и 2 показаны схемы течения ВПЖ под действием силы тяжести, где Л, — толщина
слоя смазывающей жидкости (СЖ) с реологическими характеристиками: р02 — предельное напряжение сдвига,
Ц,в2 — структурная вязкость; ф - ^) —
толщина слоя транспортируемой жидкости (ТЖ) с реологическими характеристиками р01 и , а - угол наклона
стенки к горизонту. Предполагаем, что жидкости друг с другом не перемешиваются, а их плотности равны или близки. Известно [2], что давление на свободной поверхности постоянно, поэтому вдоль этой границы оно не будет зависеть от х, то есть
др / дх = 0 . (1)
Проекция силы веса единицы массы на ось Ох равна
Fx = gSinа, (2)
где g - ускорение свободного падения.
Компоненты скорости Уу и V принимаем равными нулю, т.е. траектории всех частиц прямолинейны и параллельны, режим движения ламинарный. Тогда из уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости [3] получим дУх / дх = 0 . Откуда следует, что скорость течения вдоль оси ох не изменяется. Тогда из системы дифференциальных уравнений движения в напряжениях в декартовой системе координат первое уравнение [3]
V
ді
дк
дх
+ У
У
ду
■ +
+у,
У
дz
= Fx +~ (
1 ,дР„ дРху дР
+
р дх ду
+
дz
)
с учетом стационарности течения (дVx / дt = 0) можно записать
Fx +~ (
1 ,дР„ дРху дР
+
+ -
-) = 0.
(3)
р дх ду дz
Составляющие тензора скоростей де формации в декартовой системе коор динат [3] имеют следующие значения:
дУ
= 2^ = 0;
дх
й =
ху дх
ОУу + ВУх_ бУ,
ду ду
дУх дУ7
йх7 =+—7 = 0; х7 д7 дх
дУу = 2—у- = 0;
уу
°у7 ду
ду
дУ дУу + -
д7
= 0;
(4)
^ дV7
D = 2—7 = 0.
77 д7
С учетом (4) интенсивность скоростей деформаций (инвариант тензора скоростей деформаций) в соответствии с [3, 4] имеет вид:
J =
^(й2 + й2 + Ь2) + й2 +
2 хх уу 77/ ху
о о -|1/ 2
+й2 + й21 1 ^ у7 ' ^7х J
дУ„
ду
(5)
С учетом (4) и (5) составляющие определяющего уравнения (реологические уравнения) ВПЖ [3, 4] в декартовой системе координат можно записать в виде:
Рхх =- Р + (“У +^'ё )йхх = - Р;
Рху = (-Г + 4, )йху = Р0
■ J
дУх / ду
дУхт
дУх дУх дУх (6)
+цгв = Р0 +ЯгЄ^г-;
ду ду ду
р = р + -п.-)й = 0.
х7 J х2
С учетом (1) и (6) уравнение (3) перепишем в виде:
1 дРху
д^га +-------- = 0.
Р ду
После интегрирования (7) получим
(7)
Рху = -рдуЯпа + С ,
(8)
где С1 - постоянная интегрирования.
На поверхности жидкости напряжение равно нулю: при у^ Рху=0. Откуда из (8) найдем
1Ч1 = рghSinа . (9)
Тогда из (8) с учетом (9) получим
Рху,=рд (h — у) Зга, (10)
где i=1 — для ТЖ, i=2 - для СЖ.
С учетом второго уравнения системы (6) и знака производной дVx / ду У 0 из (10) имеем
= -рд- ( h — у) Э'Па — . (11)
^У Чё Чё
Выражения (10) и (11) справедливы для ТЖ и СЖ.
При условии, что слой СЖ мал по сравнению со слоем ТЖ (^ ^ h — Л,), а ее текучесть выше, можно принять, что стержневой режим течения возможен только для ТЖ.
После интегрирования (11) получим
Ух, =
рд
Ґ
у2 hy— — 2
Л
3/па —
+
—^ у + С2,, Пгві
(12)
где С2i - константа интегрирования.
Учитывая условие прилипания СЖ к стенке (Ух2=0 при у=0), из (12) получим С22=0. Тогда
Ух2 =
рд
п,
ё2
Г y2^
hy — ?— 2
3/па —
Р,
02
Чгб2
у.
(13)
Рассмотрим два режима течения:
а) Если (рху2 )^ % < Р01 , то ТЖ
движется как квазитвердое тело по всему сечению без сдвига слоев (рис. 1). Условие такого режима течения можно записать с учетом (10) в виде
рд (h — %) 3па< Р01.
(14)
Скорость течения У1 СЖ на границе раздела двух сред определим по выражению (13) при у=^:
V =
рд
(
п
%
,2 Л
Р
02
їе2
%.
3па —
(15)
02
(17)
О, = Л, (Л — Л, )х
^ {Л—А ] ага—Р-
Ч„2 \ 2 ) Ч,.2
Объемный расход СЖ через единицу ширины наклонной поверхности найдем по выражению:
Ог = I Ух2 Оу.
(18)
После подстановки (13) в (18) и интегрирования получим
02 = % ^
2п
їе2
Ч,ё2
Скорость У1 является скоростью движения квазитвердого тела ТЖ.
Объемный расход ТЖ через единицу ширины наклонной поверхности найдем по выражению:
О, = V (Л — Л,). (16)
С учетом (15) из (16) получим
%
рд(апа)| % — -3. |_р
02
(19)
б) Если (Рху2 )^^ у рт , то ТЖ течет со сдвигом слоев (рис. 2). При этом стержневой режим течения возможен на расстоянии у > Л0 от стенки, где ТЖ
течет со скоростью У0 как квазитвердое тело. Из уравнения (10) найдем ho из условия, что Рху=р01 при у=^:
рси
рд ап а
(20)
х
Для рассматриваемого режима течения напишем следующие граничные условия:
при у=Ь УХ2 = УГ, при у^1 Ух1=Уи при у=го Ух1=Уо.
Подставляя граничные условия в (12) и преобразуя, получим:
( ,2
Ух1 =
рд
х 3па —
—у — — — —— + — Vу 2 12 ,
01
п
2
(у — —) +
їе1
+
рд
п
їе2
2
——1 — — 1 2
3іпа — -Р°^ —1 . (21)
пї
ё2
У0 =
рд
(
п
їе1
% —"
——0 —- — —— + —1-0 2 1 2
,2 Л
х3па — -Р°3 ( —0 — —1) + П-,61
+
рд
г
п
ї 62
—
2
——---------1
1 2
3іпа — -Р°^ —1 . (22)
пї
ё2
0, = У0 (— — —0) + I Ух, Оу.
(23)
—
01 = У0 (— — —0 )
+
+ -р^3іпа
п
їе1
——2 ——2
2
+
2
—3 —3 —2 — ^
— —0— —1_ — —— —0 + —1 —0
6 3
2
Р01 (—0 — —1 )2 + -^ 3па х
2Пїе1
300
Пг
ё2
Р
02
п
(—0 — —1 ) —1 .
(24)
Гё2
Объемный расход СЖ и скорость определяются по (19) и (13).
Если течет ТЖ без смазки (Ь=0), то из (21), (22) и (24) получим:
У =
рд
,Х1 = у (2 — — у) 3па — у; (25)
2 п ї ё1 пїе1
Ус =
рд
Объемный расход ТЖ через единицу ширины наклонной поверхности найдем по выражению:
2пё1
х3па —
—0 (2 — — —0):
п,в\
0
(26)
01 = У0 ( — — —0 )
+
рд
п«
2 6
После подстановки в (23) выражения (21) и интегрирования получим
(3па —
Р
01 2
—02 .
2 0 (27)
2Л,в\
Если течет ньютоновская ТЖ (р01 =0) с коэффициентом динамической вязкости р1 (вместо Ч,ё1) без гидросмазки, то из (25), (24) и (27) с учетом (20) имеем:
рд
Ух1 =
2^1
у (2 — — у) 3па ;
01 =-рд—3 3па. 1 3*
(28)
(29)
X
х
Vmax = 2^h2 Sina. 2^i
Выражения (28) - (30) согласуются с (30) результатами исследований [2].
------------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лопотко М.З., Лецко А.П., Дубинин С.К.
Рекомендации по технологии промышленной добычи сапропелей из открытых водоемов. —
Минск: Наука и техника, 1981. - 77 с.
2. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. - М.: Госиздат, 1955. - 519 с.
— Коротко об авторах --------------------------------------------------
Арефьев Н.Н. — кандидат технических наук, ООО «Октябрьский ССРЗ» Штин С.М. — кандидат технических наук,
Московский государственный горный университет,
Moscow State Mining University, Russia, ud@msmu.ru
A
----------------------------------- ДИССЕРТАЦИИ
ТЕКУЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ЗАЩИТАХ ДИССЕРТАЦИЙ ПО ГОРНОМУ ДЕЛУ И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ
Автор Название работы Специальность Ученая степень
ЧИТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СЕРГЕЕНКО Елена Николаевна Обоснование экологической безопасности рентгенорадиометрической сепарации сурьмяных руд Восточного Забайкалья 25.00.36 к.т.н.
МЕДВЕДЕВ Валерий Васильевич Обоснование эффективной технологии формирования породо-бетонной закладки при камерных системах разработки 25.00.22 к.т.н.
ГОНЧАРОВ Денис Сергеевич Критерии геоинформационного моделирования рационального размещения отходов горнопромышленного комплекса 25.00.36 к.т.н.
3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Издание 5-е. - М.: Наука, 1978. — 736 с.
4. Прагер В. Конечные пластические деформации. // В кн. Реология: Теория и приложения. Под редакцией Ф. Эйриха. — М.: Изд-во ИЛ, 1962, с. 86 - 126. \ЕШ
