CC BY
59
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
То м VI 19 7 5
№ 6
УДК 533.6.011.8 • .
ТЕЧЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
С. Л. Горелов
Исследуется течение разреженного газа в круглой цилиндрической трубе под действием продольных градиентов давления и температуры при нулевом расходе.
В настоящей статье исследуется вопрос о профилях скорости в круглой цилиндрической трубе при различных числах Кнудсена, начатый в [1]. При рассмотрении течения газа в плоском канале [2, 3] было отмечено, что при достаточно больших значениях числа Кнудсена и нулевом расходе газ около стенки течет в направлении, обратном градиенту температуры стенки. В случае малых чисел Кнудсена направление скорости у стенки совпадает с направлением градиента температуры. Аналогичные результаты были получены в [4].
1. При числе Кп-»0 течение газа в трубе (при малых градиентах) описывается уоавнениями Навье — Стокса для вязкого несжимаемого газа с граничными условиями скольжения. В течении Пуазейля (течение газа под действием малого градиента давления р') скорость газа Кр и объемный расход <?р имеют вид
А
Р' + -ГР' (/-з — I);
1 / а
Яр — — "4- р' (Л + ~д~
В случае течения газа под действием градиента температуры Т' соответственно имеем В „ 1 В
Р' ■
- Г; = \ г==
р0 дг ’
Г-—
а '
Я_дЛ Тп дг
у7Я
'/ ПС 1\2
/ , ^
/ /ос=А? \ ос-/
здесь скорость газа V отнесена к \Z2kTlm, коор- № 0 У-10г 2,5
динаты отнесены к радиусу трубы И; щ — масса мо- ф ,
лекулы; Т — температура; к-постоянная Больцмана; ч>иг. 1
А = 1,015 [5]; В = 0,402 [6]; а==^^^/Г2~Цт величина, обратная числу Кнудсенч;
у. — коэффициент: вязкости; р0 - характерное давление, расход газа отнесен к 2 у 2 /гТ/т. В случае совместного действия градиента давления и температуры при нулевом расходе скорость газа, отнесенная к Т’, выражается формулой
„ 2 В Г А а 1 В
На фиг. 1 представлен профиль скорости (кривая /) при а = 20.
2. Рассмотрим течение газа при больших числах Кнудсена (т. е. при а-ИЗ). Воспользуемся модельным уравнением Больцмана. Расчет течения Пуазейля и крипа в трубе на основе модельного уравнения делался в работах [7, 8]. Преобразуя модельное уравнение, можно получить уравнение для скорости газа в следующем виде:
для течения Пуазейля
2 те / 2 тс I
ур~ 2~гс ~§г I ^ I 7о[“ (*-«)] :*+ *4 1 ^/0 [«(/-*)]*; (1)
для крипа
2 т. I 2 тс I
УТ= ^ 5 ^ [“ V - -/о Й8+"Г 1**5 Уг(*Уо1*(1-»)]аг,(2)
^я аг о О 0 0
здесь введены обозначения: /—длина траектории, которая начинается на поверхности трубы (г = 1) и кончается в точке г; <р—угол между направлением I и осью х;
4<г
0,2
/ОТ / дг
0,01
0,1 1,0 Фиг. 2
Ь(х)= § М.
ос Ю
При малых х имеем:
/0 (х) — к 2 /2 4- л: 1п л: + О (х), тогда при малых о можно записать решения уравнений (1) и (2) следующим образом:
Ур = » ^-«0 (Г) + -1 1п а ах (г) + О (а),
4 % 02 4 % дг
1 аг 8 УТ дг «оМ +
1 дГ
+ 4я “ 1п “ дг а' ^ + ° (а)’
где
2тс
«о ('■) = | Щ’ а1 (г) = [ р *Р-
Для расхода газа получим формулы:
где
1 др 1 др
0р = ГуТ А°+Грт Й? “1п аА + 0 {а)
1 дТ \ дТ
£?г = 8уТ ^ А° + 41? ~дг “ 1п + 0 (я);
-4о = ^ й0 (г) г йг, Д = ^ ах (г) г йг.
Вычислим интегралы а0 (/"), «1 (г), А>. ^1, в этих интегралах / = (1 + г2 — 2 г совф) , ф угол между прямой, соединяющей центр трубы и точку начала траектории на поверхности трубы и осью х. Тогда заменяя интегрирование по <р на интегрирование по ф, получаем
С 1 — г совф
а“-.)-рТТЗ-2,со,» .
О
— полный эллиптический интеграл второго рода. Аналогично вычисляется а\ = 2т,-Ш
Интегралы Л0 и Аг вычисляются элементарно:
А0 = 8/3, А1 — п.
При нулевом расходе
др/дТ _ 1 Уть Л0 -|- 2 а 1п аЛ} дг/дг ~ 2 |/л Л0 + а 1п аЛ! ‘
Профиль скорости при совместном действии градиента давления и температуры при нулевом расходе имеет вид (а = 0,1, см. фиг. 1 кривая 2)
У= Ут + у дг!дг
где У-р и Ур отнесены к соответствующим градиентам.
3. В работе [1]’решалось уравнение Больцмана методом Монте-Карло. Взятые оттуда и дополнительно рассчитанные кривые профилей скорости при числах я = 1; 10 представлены на фиг. 1. .
На фиг. 2 представлено отношение ^ в зависимости от числа а.
дг!дг
Если величины градиентов таковы, что расход газа равен нулю, то при малых числах Кп профиль скорости у стенок направлен в сторону увеличения температуры, при больших, но конечных числах Кп профиль скорости направлен в сторону уменьшения температуры, причем при Кпоо (а н> 0) скорость газа стремится к нулю, при числах Кп ~ 1 профиль скорости имеет сложный характер (см. фиг. 1, кривая а — 1).
ЛИТЕРАТУРА
1. Горелов С. Л. Течение разреженного газа в трубе. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1974, № 1.
2. Коган Макашев Н. К. О течении газа в плоском
канале, вызванном продольным градиентом температуры при произвольном числе Кнудсена. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 2, 1У70.
, 3. Макашев Н. К. К решению задач о течении Пуазейля и
темйературн'Ьм крипё в плоском канале при произвольном значении числа Кнудсена. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 5, 1970.
4. Ивановский А. И., Р о з е н ф е л ь д С. X. Теория термической эффузии в пёреходном режиме. Труды Центральной аэрологической обсерватории. Вып. 115, 1У73.
5. Г о р е л о в . С. Л., К о г а н М. Н. Решение линейных задач динамики разреженного газа методом Монте-Карло. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1968, № 6.
6. Горелов С. Л., Коган М. Н. Течения разреженного газа между двумя параллельными пластинами. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 6, 1970.
7. Cercignani С., Sernagiotto F. Cylindrical poiseuille flow
of a rearefied gas. Phys. Fluids, vol. 9, N 1, 1966. »
8. Sone Y., Yamamoto K. Flow of rarefied gas throvgh a circular paip. Phys. Eluids, vol. 11, N 8, 1968.
Рукопись поступила 3/VII 1974 г.
7—Ученые записки ЦАГИ № 6
