ТАУТОХРОНА О.И. СОМОВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.091

https://doi.org/10.24412/2226-2296-2023-2-41-44

Таутохрона О.И. Сомова

Юлина А.О.

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 190005, Санкт-Петербург, Россия ORCID: http://orcid.org/0000-0001-7200-9272, Email: [email protected]

Резюме: В статье представлена история исследования решения модельной задачи механики - задачи о таутохроне. Показана постановка и решение задачи Абелем. Отмечено приведение этой задачи к интегральным уравнениям. Рассмотрены все основные сложности такого подхода. Проанализированы фундаментальные исследования О.И. Сомова, где он новаторски использовал теорию поля в приложении к задаче о таутохроне.

Ключевые слова: таутохрона, механика, Абель, Сомов, теория поля, интегральные уравнения.

Для цитирования: Юлина А.О. Таутохрона О.И. Сомова // История и педагогика естествознания. 2023. № 2. С. 41-44.

D0I:10.24412/2226-2296-2023-2-41-44

TAUTOCHRONA BY O.I. SOMOV Yulina Anna O.

St. Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering, 190005, St. Petersburg, Russia ORCID: http://orcid.org/0000-0001-7200-9272, Email: [email protected]

Abstract: The article presents a history of the tautochrone problem solutions, a model problem of mechanics. The formulation and solution of the problem by Abel is shown. The reduction of this problem to integral equations is noted. All the main difficulties of this approach are considered. Osip I. Somov's fundamental research where he innovatively used field theory as an application to the tautochrone problem was studied.

Keywords: tautochrone, mechanics, Abel, Somov, field theory, integral equations.

For citation: Yulina A.O. TAUTOCHRONA BY O.I. SOMOV. History and Pedagogy of Natural Science. 2023, no. 2, pp. 41-44. D0I:10.24412/2226-2296-2023-2-41-44

Все задачи динамики Леонард Эйлер разделил на два класса: прямая задача и обратная. Прямая, или первая задача состоит в нахождении силовых характеристик при заданных параметрах движения (уравнение движения, скорости, ускорения). Обратная, или вторая, задача определяет соответственно кинематику движения (траекторию, уравнения движения, скорость точки) при заданных силах, которые в общем случае могут зависеть от скорости, времени или положения точки. Математически прямая задача сводится к операции дифференцирования, а обратная - к интегрированию. Практически все инженерные проблемы относятся именно к обратным задачам динамики. Ожидаемое уравнение движения является решением дифференциального уравнения. Таким образом, Эйлер дал инженерам общий алгоритм, который с успехом применяется до сих пор.

Мы расскажем о задаче, которая позволяет избежать составления дифференциального уравнения.

В 1823 году Н.Х. Абель [1] поставил следующую задачу:

Определить кривую, расположенную в вертикальной плоскости и обладающую тем свойством, что тяжелая материальная точка, падающая по этой кривой, будучи выпущена без начальной скорости из любой точки кривой М на высоте h (рис. 1) над самой низкой точкой кривой О, приходит в точку О в течении времени Т, которое есть функция от высоты h.

Кратко приведем решение, данное Абелем.

Кинематика задачи. Точка движется по кривой, уравнение которой будем искать в виде: х = ^у). Скорость точки определим как изменение дуговой координаты 5 со време-dS

нем ¡: V = — . Записывая дифференциал дуги через декар-

товы координаты, Абель вводит следующую функцию для

dx

рассмотрения: и(у) = ^ 1 + ^—

Динамика задачи. На основании теоремы живых сил (теорема об изменении кинетической энергии в интегральной форме) Абель получает следующее решение:

T =

1 hu (y) dy

J

V2? О Jh^ ■

Рис. 1. Задача Абеля

2•2023

История и педагогика естествознания

К

Таким образом, в левой части уравнения стоит неизвестная функция времени от высоты, а в правой под знаком интеграла стоит неизвестная функция координаты. Абель приходит к интегральному уравнению. Дальнейшее решение широко известно, его можно найти в любом курсе математики, например у В.И. Смирнова [2]. Отметим только важные для дальнейшего изложения выводы:

1) Абель первый вышел на интегральные уравнения;

2) как частный случай рассмотрел задачу таутохроны: время не зависит от высоты;

3) решение такого интегрального уравнения в общем случае имеет следующие сложности:

- много замен переменных как в пределах интегрирования, так и в подынтегральных функциях (Эйлеровы подстановки);

- частые и скрытые переходы от прямоугольных координат к криволинейным координатам;

- избегая дифференциального уравнения в явном виде, необходимо распознать скрытое дифференцирование под знаком интеграла, являющегося, строго говоря, несобственным интегралом, то есть быстро проверить его на сходимость.

В 1869 году петербургский академик О.И. Сомов (18151876) не только упрощает решение Абеля, но и приводит фундаментальный вывод о расширении задачи таутохроны с поля силы тяжести на любое потенциальное поле.

Кинематика Сомова [3, 4]

Расскажем, как Сомов задает кинематику движения: определение величины и направления хорды, стягивающей пространство, пройденное точкой в данное время, геометрическое дифференцирование по разным переменным. Автор вводит следующие понятия: геометрическая вариация, функция точки, уровень, общий способ координат, дифференциальные параметры первого порядка.

Если величина Vзависит от точки т, взятой в некотором пространстве А, таким образом, что для каждого положения т в этом пространстве она имеет одно или несколько определенных значений, которые могут измениться только от движения точки т, то она называется функцией точки т, которую будем обозначать V = f(m).

Теорема. Если Vдля каждого положения точки т в пространстве трех измерений А имеет только одно значение, вещественное, не обращающееся в бесконечность и не представляющее ни максимум ни минимум относительно всех значений, соответствующих точкам, смежным с т, то через всякую точку М пространства А проходит поверхность, имеющая свойство, что для всех ее точек V имеет одно и то же значение.

Такую поверхность Сомов называет поверхностью уровня или уровнем.

Примерами функции точки могут служить: 1) прямая тА параллельная данной прямой I, проведенная от точки т до пересечения А с данной плоскостью Р; 2) расстояние точки т от данной точки О; 3) угол тОх, составленный прямой От с данной Ох; 4) двугранный угол, составленный плоскостью тОх с данной плоскостью Р, проходящей через прямую Ох. В первом случае уровень есть плоскость, параллельная плоскости Р; во втором - поверхность шара центра О и радиуса От; в третьем - поверхность конуса, полученного вращением угла тОх около оси Ох; в четвертом - плоскость тОх.

Переменная величина V может быть функцией точки т, обусловленной тем, что она должна находиться на данной поверхности 5. Если при этом V имеет одно конечное значение для всякого положения точки т на всем протяжении

поверхности 5 или только в некоторой его части, то через всякую точку т в этом протяжении можно провести линию, имеющую свойство, что V для всех ее точек имеет одинаковое значение. Такую линию будем называть линей уровня на поверхности.

Примерами функции точки т на плоскости могут служить: 1) прямолинейные координаты точки т на плоскости относительно декартовых осей, 2) полярные координаты. В первом случае линии уровня есть прямые, параллельные осям координат; а во втором: для радиуса - вектора линия уровня есть окружность круга, описанная этим радиусом г из полюса как центра, а линия уровня угла f есть прямая, по которой отложен радиус-вектор.

Долгота и широта точки на поверхности земного шара -функции этой точки. Уровень первой функции - меридиан, а уровень второй - параллель.

Функция f(V, V', V") нескольких функций V, V', V"... одной точки т есть также функция этой точки. Если V = f(V) есть функция только одной функции V, то уровень последней есть также уровень f(V); потому что при постоянной V и ^У) будет постоянна.

Когда точка т движется, оставаясь на одном и том же уровне, функция V остается постоянной. но она изменится, если точка т сойдет с уровня. Тогда V получает некоторое приращение AV - положительное при движении точки в одну сторону и отрицательное при движении в противоположную. Так что неравенства AV > 0 и AV < 0 принадлежат двум пространствам, разделенным уровнем, и могут служить для отличия точки одного пространства от точки другого пространства. При движении точки т по какой-либо траектории, пересекающей уровень этой точки, V становится функцией времени движения t и также функцией пространства 5, пройденного точкой за это время.

На основании этих понятий о функциях точки можно получить самое общее понятие о координатах точки т.

Пусть будут три вещественные однозначные функции q1, q2, q3 точки т пространства трех измерений. Каждая из них будет иметь уровень, проходящий через т. Если эти три уровня не проходят через одну линию или не совмещаются, то они своим пересечением определяют место точки т. Поэтому можно принять q1, q2, q3 за координаты точки т. Уровни ^2), будем называть координатными поверхностями, а их пересечения координатными линиями: через пересечение поверхностей ^2) и ^3), через

пересечение поверхностей ^3) и через пересечение поверхностей и ^2).

Если при каждом положении точки т касательные к координатным линиям взаимно перпендикулярны, то координаты называются ортогональными, или прямоугольными; сюда относятся прямолинейные прямоугольная и полярная. Касательные к координатным линиям в точке т назовем осями координат.

Если q1 и q2 есть функции точки т некоторой поверхности (5) и линии уровня этих функций пересекаются, то можно взять q1 и q2 за координаты точки т. Линии уровня и ^2) будем называть координатными линиями. Координаты будут ортогональными, если касательные к координатным линиям в точке т взаимно перпендикулярны при всяком положении точки.

Когда движущаяся точка т определится тремя координатами: q1, q2, q3, тогда по крайней мере одна из координат становится функцией времени t. Если только координата q1 есть функция t, то координатная линия есть траекто-

рия движущейся точки. В том случае, когда две координаты q1 и q2 - функции времени, а третья q3 постоянна, точка т описывает линию на неподвижной координатной поверхности ^3). Пусть q1 = f1(t), q2 = f2(t). Исключив из этих уравне-

История и педагогика естествознания 2 ■ 2023

ний время t, получим уравнение F(q1, q2) = 0, которое вместе с уравнением q3 = const принадлежит траектории точки m. Наконец, в том случае, когда все три координаты функции времени траектория пересекает все три координатные поверхности, и если q1 = f1(t), q2 = f2(t), q3 = f3(t), то, исключая время t, будем иметь три уравнения вида:

ji (q2, q3) = о,Ф2 (q3, qi) = о, фз (qi, q2) = 0.

Эти уравнения принадлежат трем поверхностям, пересекающимся по траектории точки m. Два из этих уравнений достаточны для определения этой линии. И легко видеть, что уравнение всякой поверхности, проходящей через эту линию, будет вида

F (Ф1,Ф2 )= F (0,0),

где ф1 и ф2 функции координат q1, q2, q3, а F(j1, ф2) функция от (ф1, ф2) , которая явно не содержит эти координаты.

Во многих вопросах геометрии и механики употребление прямолинейных координат представляет неудобство, состоящее в длинных выкладках, маскирующих весьма часто прямой путь к достижению желаемого результата. Во избежание этого стали использовать другого рода координаты, называемые криволинейными, так как между координатными линиями, определяющими своим пересечением положение точки, есть кривые линии. К криволинейным координатам относят полярные, на плоскости и в пространстве, сферические и многие другие, прочно укоренившиеся в механике и математической физике.

Приведем анализ работы Сомова «О решении одного вопроса из механики, предложенного Абелем» [1].

Для нахождения дуги, пройденной телом, в функции высоты, в том случае, когда время не зависит от высоты (таутохрона), Сомов не использует интегралы Эйлера. Он получает пройденную дугу с помощью простого преобразования переменных в двойном интеграле. В кинематической и динамической задаче он сразу же отказывается от декартовых координат, переходя на полярные координаты, избавляя читателя от бесконечных замен. После того как Сомов приходит к результату Абеля, он показывает, что результаты Абеля можно применить к решению более общей задачи:

«Найти кривую, описываемую точкой на поверхности какого ни есть вида, при действии на эту точку силы, имеющей какой-нибудь потенциал, зная, как выражается время движения в функции потенциала» [3, 4]. Эта новаторская постановка задачи таутохроны на языке теории поля и ее решение с помощью элементов поля так и остались незамеченными современниками!

Перескажем это блестящее решение О.И. Сомова.

Представим себе точку, на которую действует сила, имеющая потенциал и, под действием которой точка движется по данной поверхности.

Уравнение поверхности в обобщенных координатах q1, q2, q3 имеет вид

F (^2^3 ) = 0.

Это уравнение и другое неизвестное определяют траекторию точки. Если к этому уравнению добавить выражение потенциала как функции координат q1, q2, q3, то получим зависимость дуги 5 траектории от потенциала.

Сомов берет начало дуги 5 таким образом, чтобы при увеличении времени значение дуги уменьшалось. Тогда, по началу живых сил (теорема об изменении кинетической энергии), он получает

| = -,/2^.

Начальная скорость точки равна нулю, а и0 - начальная скорость потенциала. Из этого уравнения Сомов получает

u

— i

u0

ds du

du

л]2и - 2u0

Здесь т - время движения по дуге 5, ограниченной поверхностями уровня (и0) и (и1). Далее автор выполняет замены разности потенциалов и1 - и0 = а, и - и0 = а - х и получает соответствующую этим разностям зависимость времени от текущего потенциала точки Ф(и1). Тогда пройденная дуга зависит от разности потенциалов следующим образом:

s=

V2 J

Ф (u1) du1 л/u

- u1

Если траекторией движения является таутохрона, то для Л/2Ф(и1) Сомов получает постоянную величину, которую обозначает через А.

Окончательно пройденная дуга в таутохронной задаче может быть выражена через разность потенциалов следующим образом:

S = AJ du1

u - u

2 A^u

- u0

Таким образом, Сомов поставил и решил более общую задачу самым лаконичным способом. Метод Сомова проявился также и во многих других задачах механики, о которых можно посмотреть в работах [5-7].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Abel N.H. Oplosning af et Par Opgaver ved. Hjelp af bestemte Integraler. Magazin for Naturvidenskaberne, Aargang I, Bind 2, Christiania, 1823.

2. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. II. М.: Наука, 1967. С. 249-252.

3. Сомов О.И. О решении одного вопроса из механики, предложенного Абелем // Записки Императорской Академии Наук, 1869. Т.15. Кн. 2. СПб: Типографии ИАН. С. 1-5.

4. Сомов О.И. Рациональная механика. Кинематика.

СПб.: Типография Императорской Академии Наук. 1872. 491 с.

5. Юлина А.О. К истории задачи о вращении твердого тела около неподвижной точки в случае первоначального удара. // История науки и техники. 2021. № 12. С. 3-8.

6. Юлина А.О., Синкевич Г.И. История развития теории эллиптических функций в работах Абеля, Якоби, Вейерштрасса, Сомова // Таврический вестник информатики и математики. 2021. № 3. С. 79-92.

7. Юлина А.О. Механика О.И. Сомова // История науки и техники. 2023. № 2. С. 3-7.

REFERENCES

1. Abel N.H. Solving a few tasks by using definite integrals. Magazin for Naturvidenskaberne, 1823, vol. 2 (In Danish).

2. Smirnov V.I. Kurs vysshey matematiki. T. II [Course of higher mathematics. Vol. II]. Moscow, Nauka Publ., 1967. pp. 249-252.

3. Somov O.I. On the solution of one question from mechanics proposed by Abel. Zapiski ImperatorskoyAkademii Nauk, 1869, vol. 15, pp. 1-5 (In Russian).

2-2023

История и педагогика естествознания

£3

Somov O.I. Ratsional'naya mekhanika. Kinematika [Rational mechanics. Kinematics]. St. Petersburg, Tipografiya Imperatorskoy Akademii Nauk Publ. 1872. 491 p.

Yulina A.O. On the history of the problem of rotation of a rigid body around a fixed point in the case of an initial impact. Istoriya nauki i tekhniki, 2021, no. 12, pp. 3-8 (In Russian).

Yulina A.O., Sinkevich G.I. The history of the development of the theory of elliptic functions in the works of Abel, Jacobi, Weierstrass, Somov. Tavricheskiy vestnikinformatikiimatematiki, 2021, no. 3, pp. 79-92 (In Russian). Yulina A.O. Mechanics of O.I. Somov. Istoriya nauki i tekhnik, 2023, no. 2, pp. 3-7 (In Russian).

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ / INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Юлина Анна Олеговна, ст. преподаватель кафедры строительной механики, Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.

Yulina Anna O., Senior Lecturer, Department of Structural Mechanics, St. Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering.

44}

История и педагогика естествознания

2•2023