CC BY
11УДК: 511.41 М8С2010: 11А55
Т-ДИСКРИМИНАНТЫ С ПАРАМЕТРАМИ © В. В. Пискунова, Д. В. Третьяков
Крымский ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В. И. ВЕРНАДСКОГО ТАВРИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
просп. акад. Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация
Е-МА1Ь: VIKTORYAPISKUNOYA@YANDEX.RU, DYTTYD@MAIL.RU
¿-discriminants with parameters. Piskunova V. V., Tretyakov D. V.
Abstract. Quadratic irrationalities which have continues fractions decomposes of next forms:
„ , VD - b r -5-.
a(M) =-a— = [qo,qi,q2,...,qn,h,qn,...q2,qi,tqo\,
ai (h,t) = ^^ = [qo ,q1,q2,...,qn,h,h,qn,...q2,q1,tq o\, ai
vD - b2
a2(hi,h2,t) =-= [qo,qi,q2, ...,qn,hi,h2,qn, ...q2,qi,iqo]
a2
are considered in this paper. h, hi, h2, t > 2 are natural parameters and number system (qi, q2,..., qn, qn, ...q2, qi) is palindrome.
Formulas for calculating D, Dj, a, a^, b, bj, i = 1,2 are obtained.
Monotone irrationalities properties with respect to parameters are investigated. Case t = 2 is previously considered.
In first of two cases indicated monotonicity is depend on "semiperiod" length n for everyone t > 2.
In third case for everyone t > 2 the monotone dependence is a more complicated. For fixed hi a2 is monotonically increasing (decreasing) with respect to h2 and for fixed h2 a2 is monotonically decreasing (increasing) with respect to hi depending on "semiperiod" length n.
The monotonicity with respect to parameter t > 2 investigated too. Obtained dependence is rather different and is not depending on "semiperiod".
Oblique asymptote is found in all cases.
Every considered case is illustrated by examples.
Keywords : t-discriminants, continued periodic fractions with parameters, monotonicity.
Введение
Предлагаемая работа посвящена решению некоторых частных случаев одной из нерешенных задач теории цепных дробей, которая заключается в упорядочении двух цепных дробей по их внешнему виду.
Более точно, в данной статье исследуются свойства монотонности цепных дробей следующего вида:
/О - Ь
a(h,t) =-= [qo,qi,... ,qn, ..., qi, tqo]
a
VD - b
а(М) =-= [20,21,... ,2и, Н,2и,... , 2ъ^2о],
а
а(Л,ь ^2,^) = —Ь = [2о,21,... ,2и, Л-1 ,^,2и,... ,21,%], а
где Л,, Л,2, £ — натуральные параметры и £ > 2.
Случай £ = 2 рассмотрен в работе [5]. Найдена наклонная асимптота для каждого вида указанных цепных дробей. Некоторые результаты работы анонсированы в [3, 4, 6].
1. Исследование цепных дробей вида
/О - Ь
а =-= [<?о, 21,... ,2и,^,2и,... ,2ъ^2о]
а
/О - Ь
Определение 1. [7] Квадратичные иррациональности а = -, которые рас-
кладываются в ЦД вида [до, 2ъ 22,..., 22,21, ¿20], где £ > 2 — натуральное число, называются ¿-дискриминантами.
Теорема 1. [7] Равенство
/О - Ь _
а = -= [2о,21,22,... ,22,21,¿20],
а
где £ > 2 — натуральный параметр, возможно тогда и только тогда, когда
2Ь = (£ - 2)2оа, 2о = [а] > 1. Если это условие выполнено, то
Ь = (£ - 2)2оРи-1, а = 2Ри-1, О = (%Ри-1 + 2^-1)2 + 4(-1)и,
где
Ри— 1
-= [21,22,...,22,21].
Чи-1
Используя известные сведения и теоремы из теории бесконечных цепных дробей (см., напр., [1, 2, 8]), убеждаемся в справедливости следующего предложения.
/О - Ь _
Лемма 1. [3] 1) если а(Л,,£) = - = [2о,21,..., 2и, 2и,..., 2ъ ¿2о] —
а
дискриминант, то
О = (й(£2оР„2_1 + 2Ри-1 Зи-1) + (2£2оРи-1Ри-2 + 2(^-1 Ри-2 + Ри-^и-г)))2 - 4,
Ь = (£ - 2)2оРи-1(йРи-1 + 2Ри-2), а = 2(йР2-1 + 2Ри-1Ри-2);
/О - Ь _
2) если а(Л,,£) = - = [2о, 21,..., 2и, Л-, 2и,..., 21, ¿2о] — ¿-дискриминант,,
то
где
О = (¿2о (А^) + Рга2-1) + (2^(й)в (й) + Ри-^и-О) +4, а = 2(^(й) + Р^),
Ь =(£ - 2)2о(^2(^) + Рга2-1),
М^) = Ри-1^ + Ри-2, в = + ^и-2;
/О - Ь _
3) если а(^1, ^2,£) =-= [2о,21,..., 2и, ^1,^2, 2и,..., 21, ¿2о], то
а
О = (¿2о7(^) + (^1-^2)(-1)и+2#(Л,))2+4, Ь = (£-2)2о7(й) + (-1)и+1(й1-й2), а = 27 (й). Здесь
7(й) = ММММ + Р2-1, ВД = в (^1 + Ри-1^и-1.
Доказательство этой леммы при £ = 2 было проведено в [5]. Доказательство настоящей леммы проводится аналогично. Рассмотрим дробь
/О - Ь _
а =-= [2о,21,...,2и,Ми,... ,21,*2о].
В силу леммы 1, а принимает вид:
а=
(2-*)д0Рп-1( ьрп-1+2рП-2) +
п- 1 Рп-2 +2(^п-1 Рп-2+Рп-1дп-2^] -
2 [адП-1+2Рп-1Рп-2]
где
(2 - £)2оРи-1(^Ри-1 + Ри-2) = 0. Для удобства в формуле для а введем следующие обозначения:
£2оР„2 _1 + 2Ри-1^и-1 = 2^2о Ри -1 Ри - 2 + 2(^и-1Ри-2 + Ри-1^и-2) = В
к
4
= С 2Рп-1Рп-2 = Б, (2 - ¿^Рп-^НРп-! + Рп—2) = м.
Исследуем теперь величину а на монотонность, считая, что Н Е [1, — независимая переменная. Тогда а = а(Н) является непрерывно дифференцируемой на [1, функцией и, следовательно, можно применить дифференциальное исчисление. Вычислим функцию а'(Н) :
(2 - ¿)?оРга2_1 + ^НА^В)^- 4) (2(НС + Б)) - 2С(М + /(НА + В)2 - 4)
а'
(2(hC + E))2
Рассмотрим подробнее числитель данной дроби:
2(2-i)qoP2-1(hC+E ) + 2A(hA + -2(2-t)ChqbP2-i-4C (2-t)qoPn-iPn-2-
/(hA + B)2 - 4
-2C\/(hA + B)2 - 4 = 2A(hA + B)(hC + E) - 2C((hA + B)2 - 4).
\(hA + B)2 - 4
Отсюда
. A(hA + B)(hC + E) - C((hA + B)2 - 4)
а =-. --.
2(hC + E )2 • / (hA + B )2 - 4
Очевидно, что:
2(hC + E)2 • /(hA + B)2 - 4 > 0.
Нам необходимо узнать, при каких условиях производная функции положительна, а при каких отрицательна. Для этого преобразуем числитель а':
A(ACh2 + (AE+BC)h+BE) - A2Ch2-2hABC-CB2+4C = (Ah+B)(AE-BC)+4C.
Так как
Ah + B = (iqoP2-i + 2Pn-iQn-i)h + (2tqoPn-iPn-2 + 2Qn-iPn-2 + 2Pra-iQn-2) > 0, AE - BC =(iqoP2
+ 2Pn-iQn-2 )Pn-i = 2(- 1)n+lPn-l,
то а' > 0 при нечетном n и, следовательно, а' < 0 при четном n, h =1 — точка экстремума для а(Л,) (max при четном n и min при нечетном). Таким образом, доказана
Теорема 2. t-дискриминанты [q0, qb ..., qn, h, qn,..., qi, tqo] при нечетном n возрастают, а при четном n убывают, с ростом натурального параметра h и для любого t.
Для функции а вычислим наклонную асимптоту, которая задается уравнением y = kh + b, где
k = lim ( ^, b = lim (a(h) — kh).
, n a(h) ((2 — t)qoPra_i(hPra_i + 2P«_2)) + V(Ah + B)2 — 4
k = lim —— = lim - -—-=
h 2h(Ch + E)
2 \ 2 B2 4
(2 — i)qoP„2_i + ^(2 — i)qoPn_iPn_^ + у A2 + ^B + — — ^
lim 4
2h(C+h
(2 — t)qo P„2_i + A
= lim -ttftt-= 0.
2Ch
Так как k = 0, то
, п п ((2 — t)qoPn_i(hP„_i + 2P„_2)) + ^(Ah + B)2 — 4
b = lim a(h) = lim -——-—-
2(Ch + E)
2 2 B2 4
h | (2 — t)qoP„2_i + h(2 — t)qoPn_iPn_2 + W A2 + ^B + — — —
lim
2h(C+1)
lim
h
(2 — t)qoP2_i + A (2 — i)qoPra2_i + A
2C 2C
Поскольку A = tqoP?2_i + 2Pn_iQn_i, C = P?2_i, то b принимает вид:
(2 — t)qoPn_i + A (2 — t)qo . tqo Q i i
b = 2C = 2 + V + P =qo + P . 2C 2 2 P _i P _i
Таким образом, доказана
Теорема 3. Для t-дискриминантов [qo, qi,..., qn, h, qn,..., qi, tqo] наклонная асимп-
Qn _i
тота задается уравнением y = qo +
P i
Следствие 1. 1) [qo, qi,... , q«, h, q«... , qi, tqo] = o(h);
, Г -7-1 Q™ _i 7
2) [qo,qi,...,qn,h,qn,...,qi,tqo] ~ qo + ^-, при h ^
P i
Рассмотрим примеры периодических ЦД вида [2о, 21,... , 2и, к, 2и,... , 2ъ £2о], когда к = 1,... , 8, £ = 4 и £ = 10, при постоянных 2о, 21,... , 2и.
Пример 1. а) при четном п:
, ч г _п 4/35 - 10
а(1) = [2,1, 2,1, 2,1, 8] = —-и 2, 7328 ...
5
г _п /798 - 12
а(2) = [2,1, 2, 2, 2,1, 8] = --и 2, 7081...
6
а(3) = [2,1, 2, 3, 2,1, 8] = ^^ООб-бб и 2, 6968 ...
/'22_2
а(4) = [2,1, 2, 4, 2,1, 8] = 2- и 2, 6904 ...
а(5) = [2,1, 2, 5, 2,1, 8] = - 102 и 2, 6862 ...
, ч г _, /4935 - 30
а(6) = [2,1, 2, 6, 2,1, 8] = —-—-и 2, 6833 ...
, ч г _, 6/322 - 46
а(7) = [2,1, 2, 7, 2,1, 8] = -и 2, 6811...
23
а(8) = [2,1, 2, 8, 2,1, 8] = - 78 и 2, 6794 ...
39
б) при нечетном п:
, ч г _п /979141914255
а(1) = [1, 2, 3, 4, 2, 5,1, 5, 2, 4, 3, 2,10] = -4 + --и 1, 432871...
V ) I >>>>>>>>>>>> ] 182135
а(2) = [1, 2, 3, 4, 2, 5, 2, 5, 2, 4, 3, 2,101 = -4 + ^566248955 и 1, 432873 ...
\ ) [>>>>>>>>>>>>] 4380 '
а(3) = [1, 2, 3, 4, 2, 5, 3, 5, 2, 4, 3, 2,10] = -4 ^59394856_55235 и 1, 4328744 ... к ' 448585
а(4) = [1, 2, 3, 4, 2, 5,4, 5, 2, 4, 3, 2,10] = -4 + ^9991295^ и 1,4328749 ...
V ) I >>>>>>>>>>>> ] 58181 '
а(5) = [1, 2, 3,4, 2, 5, 5,5, 2, 4, 3, 2,10] = -4 + /1676762556935 и 1, 432875 ...
238345
, ч г _, /5309547324270
а(6) = [1, 2, 3, 4, 2, 5, 6, 5, 2, 4, 3, 2,10] = -4 + --—-и 1, 4328755 ...
V ) I >>>>>>>>>>>> ] 424130 '
а(7) = [1, 2, 3, 4, 2, 5, 7, 5, 2, 4, 3, 2,10] = -4 + /2843Ш3985795 и 1, 4328756 ...
981485
, ч г _, 2/254695257490
а(8) = [1, 2, 3, 4, 2, 5, 8, 5, 2, 4, 3, 2,10] = -4 + —---и 1, 4328758 ...
185785
Таким образом, рассматриваемые дроби ведут себя следующим образом: возрастают при нечетном п, а при четном п — убывают.
Теорема 4. 1) -дискриминанты [2о, 21,..., 2и, к, 2и,..., 2ъ £2о] возрастают по £ для любого к и п;
2) для ЦД вида [2о, 2ъ ..., 2и, к, 2и,..., 2ъ £2о] наклонная асимптота задается
(4А2 + 2В <7 2о)
уравнением y =
2B(A + B qo)
Доказательство. 1) считая £ вещественным параметром, меняющимся на полуинтервале [2, продифференцируем функцию
(2 - + ^(В£2о + <)2 - 4
а(к,£) =--—~-
2Е
по £ на указанном промежутке:
£) 1 / я , (В£2о + С0В2о '
а (М) = 7? + / ~ ~ =~ 2Е V ^/(В£2о + <4)2 - 4/
=-, 1 _ = ■ ((В£2о + <)В2о - £2о + С4)2 - 4
(В£2о + С4)2 - 4 ^
1 (В£2о + С4)2вВ22о2 - А?2 (В£2о + С4)2 + 4А2
2E\J (B tqo + C )2 — 4 (B tqo + C)B qo + (B tqo + C )2 — 4
_(B tqo + (4 )2(B 2qo2 — A2) + 4a42_
2E^(Btqo + C)2 — 4 ■ ^(Btqo + C)Bqo + A^(Btqo + £)2 — 4^
4a42
> 0.
2Е^(В^о + С?)2 - 4 ■ ^(В£2о + С?)В2о + А^(В% + <)2 - 4^
Здесь
В22о2 - А2 = 0, А = 2оРи-1(кРи-1 + 2Ри-2),
(7 = 2кРи-1^и-1 + 2Ри-2^и-1 + ^и-^и^ В = Е = кРга-1 + 2Ри-1Ри-2.
2) теперь найдем наклонную асимптоту функции а(к, £) по
. 2A //„ <4\2 4 a(t) — 4 + Т + V (Bq° + Tj — ¡5
k = lim -= lim -~-=
t 2E4
A0tB q0 = -qo(hP„2-i + 2P„-iP„-2) + (hPra2-i + 2P„-iPra-2)q^ = 0. 2B 2B \ /
(2 - t)a! W(Btqo + (7)2 - 4
b = lim a(t) = lim --—~-=
2B
1 (2 - t)2A2 - (Btqo + C)2 + 4 = —- lim --: =
2B (2 - t)A (B tqo + C)2 - 4
1 t2 (A2 - B2qo2) - (4A2 + 2iBCqo) t + 4A2 - (72 + 4 =--- lim --:-=
2B (t - 2)A -у/ (B tqo + C)2 - 4
, . „ „ ^ 4A2 C2 4
1 - (4A2 + 2B(7qo) + ----- + -
=--- lim --t t t =
2B _ 2a4 //_ £\2 4
A - т -V li7qo + TJ -
- (4A2 + 2B(7qo) (4A2 + 2BCqo)
2B(A + B qo) 2B(A + B qo)
□
Рассмотрим t-дискриминанты вида [qo, qi,... , qn, h, qn,..., qi, tqo], когда h = 1, t > 2, при постоянных qo, qi,... , qn.
Пример 2.
a(2) = [2,1, 2,1, 2,1,4] = - 2, 732520 ...
, , r _, л/3135 - 15
a(3) = [2,1, 2,1, 2,1, 6] = --—-- 2, 732738 ...
a(4) = [2,1, 2,1, 2,1, 8] = 4л/35 - 10 - 2, 732863 ...
5
_ /7395 _ 45
a(5) = [2,1, 2,1, 2,1,10] = —45 - 2, 732945 ...
, , r _, 2/102 - 12
a(6) = [2,1, 2,1, 2,1,12] = —-- 2, 733003 ...
3
_ /1495 — 25
a(7) = [2,1, 2,1, 2,1,14] = --- 2, 733045 ...
5
, , r _, 2/4290 - 90
a(8) = [2,1, 2,1, 2,1,16] = ———-- 2, 733078 ...
7/435 - 105
a(9) = [2,1, 2,1, 2,1,18] = ———-- 2, 733105 .
24л/5 - 40
а(10) = [2,1, 2,1, 2,1, 20] = —--и 2, 733126 ..
5
Следствие 2. 1) [2о, 21,... , 2и, к, 2и,... , 21, *2о] = о(Ь);
(4А2 + 2В (42о)
2) [2о,21,...,2и,к,2и,...,21,*2о] ~ —~~~-, при £ ^
2В(А + В 2о)
2. Исследование цепных дробей вида
/О - Ь _
а =-= [2о,21,... ,2и, к,к,2и,... ,2ъ^2о]
Теорема 5. 1) £-дискриминанты [2о, 21,..., 2и, к, к, 2и,..., 2ъ £2о] при нечетном п возрастают•,, а при четном п убывают, с ростом натурального параметра к и для любого
2) для ЦД вида [2о, 21,..., 2и, к, к, 2и,..., 2ъ £2о] наклонная асимптота задается
^и-1
уравнением у = 2о + -5—.
Ри-1
Доказательство. 1) рассмотрим дробь
/О - Ь
а =-= [2о,21,...,2и,к,к,2и,... , 2ъ*2о],
а
которая в силу леммы 1 принимает следующий вид:
а
2о(2 - £)(^2(к) + РП-1) + Л ^2о(^2(к) + Р„2-1) + 2(^(к)в(к) + Ри-^и-О) + 4
2(^2(к) + Рга2-1) где
(2 - £)2о(^2(к) + Рга2-1) = 0. Для удобства введем следующие обозначения:
Р (к) = ^2(к) + Р„2-1, С(к) = ^(к)в (к) + Ри-^и-Ь
Тогда
(2 - £)2оР(к) + ^(£2оР(к) + 2С(к))2 + 4
(2.1)
а=
2Р(к)
Вычисление функции а' (к) проводится аналогично пункту 1.
Таким образом, a'(h) примет следующий вид:
F (h) (tq°F (h) + 2G(h))(tq°F'(h) + 2G'(h)) Г-T^-
( П (— ( )A =-^ - F'(hW (tq°F (h) + 2G(h))2 + 4
V(iqcF (h) + 2G(h))2 + 4
a(h) =-2F2(h)-
= 2(-1)n+1(tq°F(h) + 2G(h)) (p2_x(h - 1)2 - 2P2-1 + P^) +
+2hPra2-^ 2(-1)n+1(tq°F (h)+2G(h))-^+2Pra-iPra-^ 2(-1)n+1(tq° F (h)+2G(h))h-4 где
(tq°F(h) + 2G(h)) > 0.
Нам необходимо узнать, при каких условиях производная функции положительна, а при каких отрицательна. Так как
(tq°F(h) + 2G(h)) > 0,
то a'(h) > 0 при нечетном n и, следовательно, a'(h) < 0 при четном n, h =1 — точка экстремума для a(h) (max при четном n и min при нечетном n).
2) наклонная асимптота для a(h) вычисляется аналогичным образом (см. предыдущий пункт):
a(h) Qn-1
k = lim —-— = 0, b = lim a(h) = q° + ——.
h Pn-1
□
Следствие 3. 1) [q°, qb... , q„, h, h, q„,... , qb tq°] = o(h);
2) [q°,q1,..., qn, h, h, qn,... , q1, tq°] ~ q° + —-, при h ^ и <9ля любого t.
Pn-1
Рассмотрим примеры периодических ЦД вида [^0, ... , Н, Н, ... , ¿?0], когда Н =1,..., 8, г = 5 и г = 6, при постоянных q0, ... ,
Пример 3. а) при четном n:
а(1) = [2,1, 2,1,1, 2,1,10] = ^^—15 w 2, 7201...
5
, ч г _, >/109562 - 174
а(2) = [2,1, 2, 2, 2, 2,1,10] = --w 2, 7069 .
58
/385642 - 327
а(3) = [2,1, 2, 3, 3, 2,1,10] = --—-w 2, 6972
109
, ч г _п л/1026170 - 534
а(4) = [2,1, 2, 4,4, 2,1,10] = --—-и 2, 6910 ...
, ч г _, /90842 - 159
а(5) = [2,1, 2, 5, 5, 2,1,10] = --и 2, 6867...
53
а(6) = [2,1,2,6,6,2,1,10] = - 1110 и 2,6837...
V ) у ,,,,,, , \ 370 >
а(7) = [2,1,2,7,7,2,1,10] = ^^ " 1479 и 2,6815...
1 ; 1 ''''''' ] 493 '
, , г _п /12967202 - 1902
а(8) = [2,1, 2, 8, 8, 2,1,10] = ----и 2,6798 ...
1 ; 1 ''''''' ] 634 '
б) при нечетном п:
а(1) = [1,2,3,5,1,1,5,3,2,6] = " 1322 и 1,4320...
661
, , г _, /740765090 - 15860
а(2) = [1, 2, 3,5, 2, 2, 5, 3, 2, 6] = --и 1, 4321...
\ ) I ,,,,,,,,, 1 7930 >
г _п 13/9698 - 746
а(3) = [1, 2, 3, 5, 3, 3, 5, 3, 2, 6] = —---и 1, 43222 ...
V > I ,,,,,,,,, \ 373 ,
а(4) = [1,2,3,5,4,4,5,3,2,6] = " 50788 и 1,43226...
V } ,,,,,,,,, } 25394 '
а(5) = [1,2,3,5,5,5,5,3,2,6] = /17220525530 - 76466 и 1,43229...
V ) I ,,,,,,,,, \ 38233 '
г _п /1364460170 - 21524
а(6) = [1, 2, 3, 5, 6,6, 5, 3, 2,6] = ----и 1, 43231...
V ) I ,,,,,,,,, \ Ю762 '
, ч г _п /2451378730 - 28850
а(7) = [1, 2, 3, 5, 7, 7, 5, 3, 2,6] = ----и 1, 43233 ...
^ I ,,,,,,,,, 1 14425 >
/102284192762 - 186356
а(8) = [1, 2, 3, 5, 8, 8, 5, 3, 2, 6] = ----и 1,43234 ....
V ) I ,,,,,,,,, \ 93178
Таким образом, рассматриваемые дроби возрастают при нечетном п, а при четном п — убывают.
3. Исследование цепных дробей вида
/О - Ь
а =-= [2о,21,... ,2и, к1 ,к2,2и,... ,21,^2о]
а
Рассмотрим дробь
/О - Ь
а =-= [2о,21,... ,2и, к1, к2,2и,...,21,*2о],
а
которая принимает следующий вид по лемме 1:
_ qо(2 - г)т(Н) + (-1)п+1(Н1 - Н2) + ^(tqо7(Н) + (Н1 - Н2)(-1)п + 2£(Н))2 + 4
а = ЗД ,
(3.1)
где
^(Н1) = Н1Рп-1 + Рп-2, ^(Н2) = Н2Рп_1 + Рп-2, в (Н1) = Н1^п-1 + Фп-2,
в (Н2) = Н2^п-1 + Зп-2, 7(Н) = ^(Н1)^(Н2) + Рп2-1, 5(Н) = в(Н1)^(Н2) + Рп-1^п-1.
Для удобства введем следующие обозначения:
А =(2 - г^от(Н), В = (-1)п+1(Н1 - Н2), С = 7(Н), Р =(-1)п(Н1 - Н2), Б = 25(Н). Тогда
А + В ^^(¡¡^4
а =-2С-.
Теперь вычислим функцию (Н1,Н2), считая Н2 постоянной:
2СА' + 2СВ' + 2С ^^_ 2С'(А + В + С + Р + Е)2 + 4) (^1,^2) =-4С-
(iqoC+F+e) +4(C(A +B')-(A+B)C') + (tqoC+F+Ё) (c(iqoC'+F'+e')-(iqoC+F+E)C') -4C
2С(%°С+Р+ё) +4
Преобразуем выражения, составляющие числитель:
СА' - АС' = (2 - ¡^о (МН1МН2) + Рп-1,'7(Н) - (2 - ^0(^1)^2) + Рп2-1)7(Н) = 0
СВ'-ВС' = (-1)п+17(Н)-(-1)п+1(Н1 -Н2МН1МН2) + Рп2-1' = (-1)п+1(^2(Н2)+Рп2-1) С(%С" + Р' + Б') - (¡¡оС + Р + Б)С' = 7(Н) (¡¡о^(Н2)Рп-1 + (-1)п + 2^2)^-1) --(¡¡07(Н) + (-1)п(Н1 - Н2) + 25(Н))^(Н2)Рп-1 = (-1)п(Рп2-1 - ^2)). Таким образом, получаем следующую формулу:
_ ак1(Н1,Н2) =
)м(^2)+р2-1) V +е)2+4
Рассмотрим подробнее числитель данной дроби, считая, что п нечетное: (Рп2-1 + ^2(Н2)^ у''(¡¡оС + Р + Б)2 + 4 - (¡¡оС + Р + Б)(Рп2-1 - м2(Н2)) - 4^(Н2)Рп-1.
Заметим, что выражение -(tqoC+F + E)(P2-1 -^2)) = (tqoC+F + E)((h2- 1)Pn2_i + 2h2Pn_iPn_2 + Pra2-2) > 0, где (h2 - 1) > 0.
Остается определить, какой знак принимает оставшаяся часть числителя при нечетном n.
(P2-1 +ß2(h2))^(tqoC + F + E)2 + 4 -4^(h2)Pn_i = A-4^(h2)Pn_i > A-(^(h2)+P„_i)2 > > 2(^2(h2) + P2_i) - (MM + Pn_i)2 = 2^2(h2) + 2Pra2_i - ^2) - 2^(h2)P„_i - Pra2_i =
= + P2_i - 2MÜ2)P„_i > o.
Пусть теперь n — четное, тогда
-(Pra2_i+^2(h2)^(tqoC + F + E)2 + 4 + (tqoC+F+E)(Pra2_iV(^2))-4^(h2)Pn_i < 0,
где Pra2_i - = P„2_i(1 - h2) - 2h2P„_iP„_2 - P2_2 < 0, (1 - h2) < 0.
Таким образом, при фиксированном h2 функция ведет себя следующим образом: при нечетном n она положительна, а при четном — отрицательна. Следовательно, доказана
Теорема 6. Если h2 — фиксированный параметр, то ЦД вида [qo, qi,..., qn, hi, h2, qn,..., qi, tqo] при нечетном n возрастают, а при четном n убывают, с ростом параметра hi и для любого t.
Наклонная асимптота для a(h) вычисляется аналогичным образом (см. пункт 1):
, п a(hi,^2^ (2 - t)qoAi + (-1)n+i + /С"
k = lim ---= lim --—--= 0,
hi 2hiAi
где
Ai = h2P2_i+Pn_iPn_2, Ci = t2q2(h2p4_i+2h2Pra3_iPn_2+Pra2_iP2_2)+1+tqo(2(-1)nh2P2_i + +2(-1) n Pn_iPn_2 + 4h2p3_iQn_i + 8h2P2_i Pn_2Qn _i + 4Pn _ i P2_ 2 Qn_ i) + +4(-1)n(h2Pn_iQn_i + Qn_iPn_2).
b = lim a(hi,h2) = qo + Qn_i.
Pn_i
Таким образом, доказана
Теорема 7. Для ЦД вида [qo, qi,..., qn, hi, h2, qn,..., qi, tqo] наклонная асимптота
Qn_ i
задается уравнением y = qo + ——.
Pn i
Следствие 4. 1) [qo, qi,..., qn, hi, h2, qn,..., qi,tqo] = o(hi);
2) [qo,qi,... ,q„, hi, h2,q„,... ,qi,tqo] ~ qo + —-, при hi ^
Рассмотрим примеры периодических ЦД вида [q0, q1,... , qn, h1, h2, qn,... , q1, tq0], когда h1 = 1,..., 8, h2 = 1, t = 5 и t = 3, при постоянных q0, q1,... , qn.
Пример 4. а) при n четном:
, , r _п /818 - 15
a(1) = [2,1, 2,1,1, 2,1,10] = --w 2, 7201...
5
л/178933 - 223
a(2) = [2,1, 2, 2,1, 2,1,10] = --—-w 2, 7027
a(3) = [2,1, 2, 3,1, 2,1,10] = ----w 2,6939 ...
a(4) = [2,1, 2, 4,1, 2,1,10] = --w 2, 6885 ...
a(5) = [2,1, 2, 5,1, 2,1,10] = ----w 2, 6849 ...
a(6) = [2,1, 2, 6,1, 2,1,10] = ----w 2, 6823 ...
a(7) = [2,1, 2, 7,1, 2,1,10] = --—-w 2, 6804 ...
74
/78401 - 148 r
49
/485813 - 369
122
/173890 - ■ 221
73
/942845 - 515
170
/306917 - 294
97
/1550029 - - 661
a(8) = [2,1, 2, 8,1, 2,1,10] = --—-w 2, 6789 ...
218
б) при n нечетном:
, ч г _, л/988037 - 269
a(1) = [2,1, 2, 3,1,1, 3, 2,1, 6] = --w 2, 6951.
w L >>>>>>>>> J 269
a(2) = [2,1,2,3,2,1,3,2,1,6] = /8696Ш - 797 w 2,6967.
\ J 798 '
a(3) = [2,1,2,3,3,1,3,2,1,6] = - 528 w 2,6975.
529
/23726645 - 1315
a(4) = [2,1, 2, 3, 4,1, 3, 2,1, 6] = --w 2,6980
a(5) = [2,1, 2, 3,5,1, 3, 2,1, 6] = --—-w 2, 6983
a(6) = [2,1, 2, 3, 6,1, 3, 2,1, 6] = --——-w 2,6985
1318
/8503057 - 787
789
/46144853 - 1833
1838
/15031130 - 1046
a(7) = [2,1, 2, 3, 7,1, 3, 2,1, 6] = --——-w 2,6987.
1049
л/75951229 - 2351
а(8) = [2,1, 2, 3, 8,1, 3, 2,1, 6] = --——-« 2,6988 ....
235о
Таким образом, при фиксированном параметре h2 рассматриваемые дроби возрастают при нечетном n, а убывают при четном n. Теперь зафиксируем переменную hi . Аналогично доказывается
Теорема 8. Если hi — фиксированный параметр, то ЦД вида [qo, qi,..., qn, hi, h2, qn,..., qi, tqo] при нечетном n убывают, а при четном n возрастают, с ростом параметра h2 и для любого t.
Так же, как и в пункте 1, получаем:
a(hi,h2) (2 - t)qoK - (-1)n+i + Ri
k = lim ---= lim -———-= 0,
h2 2h2K
где
Ri = tqohiPn_i + tqoPn_iPn_2 - (-1)n + 2hiPn_iQn_i + 2Pn_iQn_2,
K = hiPn2_i + Pn_iPn_2.
Так как k = 0, то
1- /7 7 4 , hiQn_i + Qn_2
b = lim а(hi, h2) = qo + -¡-"5-.
hiPn_i + Pn_2
Таким образом, имеет место
Теорема 9. Для ЦД вида [qo, qi,..., qn, hi, h2, qn,..., qi, tqo] наклонная асимптота
hiQn_i + Qn_2
задается уравнением y = qo +
hiPn-1 + Pn 2
Следствие 5. 1) [qo, qi,..., qn, hi, h2, qn,..., qi,tqo] = o(h2);
hiQn_i + Qn_2
2) [qo,qi,...,qn,hi,h2,qn,...,qi,tqo] ~ qo + -7—5-—5-, при h2 ^
hiPn_i + Pn_2
Рассмотрим примеры периодических ЦД вида [до, , ... , Л,2, ... , ^,¿30],
когда Л,2 = 1,..., 8, = 1, £ = 3 и £ = 5, при постоянных д0, д1,...,
Пример 5. а) при четном п:
, ч г _п /346 - 5
а(1) = [2,1, 2,1,1, 2,1, 6] = --и 2, 7202 ...
5
/75629 - 73
а(2) = [2,1, 2,1, 2, 2,1, 6] = --—-« 2, 7298 ...
a(3) = [2,1, 2,1, 3, 2,1, 6] = 25v/53 48 w 2, 7347...
49
a(4) = [2,1, 2,1, 4, 2,1, 6] = w 2, 7377...
a(5) = [2,1, 2,1, 5, 2,1, 6] = ^^ ~ 71 w 2, 7397...
a(6) = [2,1, 2,1, 6, 2,1, 6]= /398165 " 165 w 2, 7411... L ''''''' J 170 '
a(7) = [2,1, 2,1, 7, 2,1, 6] = v71296^1 - 94 w 2, 7422 ...
,, r _, /654485 - 211
a(8) = [2,1, 2,1, 8, 2,1, 6] = --w 2, 7431...
218
б) при нечетном n:
, , r _, 5/93881 - 807
a(1) = [2,1, 2, 3,1,1, 3, 2,1,10] = —-w 2, 6951...
\ j 269 '
/20657029 - 2395
a(2) = [2,1, 2, 3,1, 2, 3, 2,1,10] = ----w 2, 6942
a(3) = [2,1, 2, 3,1, 3, 3, 2,1,10] = --w 2,6937...
a(4) = [2,1, 2, 3,1, 4, 3, 2,1,10] = --w 2, 6934...
~ 798
/9078170 - 1588 r
529
/56355053 - 3957
1318
/20196037 - 2369
789
/109599965 - - 5519
1838
/35700626 - 3150
1049
/180391765 - - 7081
a(5) = [2,1, 2, 3,1, 5, 3, 2,1,10] = ----w 2, 6932 ...
a(6) = [2,1, 2, 3,1, 6, 3, 2,1,10] = --——-w 2, 6931...
a(7) = [2,1, 2, 3,1, 7, 3, 2,1,10] = --——-w 2, 6930 ...
a(8) = [2,1, 2, 3,1, 8, 3, 2,1,10] = --w 2, 6929 ....
2358
Таким образом, при фиксированном параметре h1 рассматриваемые дроби возрастают при четном n, а убывают при нечетном n.
Исследуем теперь поведения указанных ЦД по параметру t. 1) будем считать, что параметр t меняется непрерывно на полуинтервале [2, Продифференцируем функцию
(2 - t)A + B + J(tqoC + F + E)2 + 4 a(h1,h2,t) =-—-
по переменной t:
2С
2С
2С
2С
Здесь
, £) 1 / ^ + 2(%с + Р + Е) ■ СОо а (й , ^2 , ¿) = — -А +
2С
2
+ 4
+ 4 - М/ (¿Оо
+4
(¿ОоС + Р + Е)2С%2 - А2(%С + Р + Е)2 - 4А2
+4
+4
(¿доС + Р + Е)2(0о2С2 - А2) - 4А2
+4
оС + — 4А2
+4
+ 4 (¿ОоС +
+4
< 0.
Оо2С2 - А2 = Оо272(й) - Оо272(й) = 0, А = дот(й), В = (-1)га+1(^1 - М, С = 7(й), Р =(-1)га(^1 - М, Е = 2ВД,
где
7(й) = ММММ + р2-1, ^(й) = в (МММ + р«-1^«-1, ММ = Рга-1^1 + Р„-2, ММ = Рга-1^2 + Рга-2, в(М = ^п-1^1 + фп-2.
2) теперь найдем наклонную асимптоту функции а(й1, й2,£) по ¿:
о
1
2
2
о
1
2
2
о
о
о
2
о
о
2
2
о
о
2А + В \( Р + Е\2 4
а(£) . - А + Ч (*С + —) + ¿3
Иш -= Иш ^
г^+те £ г^+те 2С
_ - А + до С _ - Оо7(й) + Оо7(й)
= 2С = 2С
0.
(2 - ¿)А + В + / (¿ОоС + Р + Е)2 + 4 Ь = Иш а(£) = Иш -—-=
г^+те г^+те 2С
1 (2 - ¿)2А2 + В2 + 2(2 - ¿)АВ - (£доС + Р + Е)2 - 4 = —- Иш -. =
2С г^+те , , . // „ „)2
(2 - ¿)А + В - ^(¿ооС + Р + Е)2 + 4
к
1 t2 (A2 - q0C2) - (4A2 + 2AB + 2q0C(F + E))t + 4A(A + B) + B2 - F2 - E2 - 4
=--;; lim
2C(t - 2)A + B + ^(%C + F + E)2 + 4
- (4A2 + 2AB + 2q0C(F + E)) (4A2 + 2AB + 2q0C(F + E))
2С (А + 9сС) 2С (А + 9сС)
Сформулируем то, что получилось в пунктах 1) и 2) в виде следующего предложения:
Теорема 10. 1) ЦД вида [90, 9Ь..., 9П, Л^, Л2, 9П,..., 9ъ ¿9о] убывают по £ для любых и п;
2) для ЦД вида [дс, (1,..., 9„, Л2, 9„,..., , £дс] наклонная асимптота задается (4А2 + 2АВ + 2^сС (Р + Е))
уравнением у
2C (A + q0C)
Следствие 6. 1) [9с, 91,..., 9™, Лъ 9™,..., 91, ¿9с] = о(£);
Л г _п (4А2 + 2АВ + 29с С (Р + Е))
2) [90,91, — ,9^,^1,^2,9™,... ,91,£9О] ~ -2С(А + 9 С)-' пРи 1 ^
для любых Л, Л2.
Следствие 7. Для ЦД вида 9, 91,..., 9П, Л, Л, 9П,..., 91 , %] наР (Л)9с + ОД
клонная асимптота задается уравнением у = -Р(^)-' где
Р (Л) = ^2(Л) + Р?2-1, С(Л) = в (Л)^(Л) + Рга-1^га-1 (формулы для в (Л), ^(Л) смотреть в доказательстве теоремы 9).
В случае, когда Л1 = Л2, приходим к следствию 3.
Рассмотрим периодические ЦД вида а(£) = [90, 91,... , 9™, Л1, Л2, 9„,... , 91, ¿90], когда Л1 = Л2 = 1, £ > 2, при постоянных 90, 91,... , 9„.
Пример 6.
а(2) = [2, 3, 4,1,1, 4, 3, 4] = ^38573 w 2, 310589433 ...
85
а(3) = [2, 3,4,1,1, 4, 3, 6] = - 5 w 2, 310589071...
5
_ /134249 — 170
а(4) = [2, 3,4,1,1, 4, 3, 8] = --w 2, 310588877..
85
, ч г _, /203762 - 225
а(5) = [2, 3, 4,1,1, 4, 3,10] = --w 2, 310588756 .
85
/11509 - 68
а(6) = [2, 3, 4,1,1, 4, 3,12] = --—-w 2, 310588673 .
л/386138 - 425
а(7) = [2, 3, 4,1,1, 4, 3,14] = --—-и 2, 310588613 ...
а(8) = [2, 3, 4,1,1, 4, 3,16] = --—-и 2, 310588568 ...
85
/499001 - 510
85
13/3706 - 595
85
/768077 - 680
а(9) = [2, 3, 4,1,1, 4, 3,18] = —--и 2, 310588532
а(10) = [2, 3,4,1,1, 4, 3, 20] = --и 2, 310588503
85
Рассмотрим периодические ЦД вида а(£) = [до, д1,... , й, й, ... , , ¿до], когда й = 1,..., 8, £ = 5 и £ = 6, при постоянных до, ,... ,
Пример 7. При четном п, £=5.
, ч г _п /818 - 15
а(1) = [2,1, 2,1,1, 2,1,10] = --и 2, 7201...
5
а(2) = [2,1,2,2,2,2,1,10] = /ШШ " 174 и 2,7069...
58
, , г _, /385642 - 327
а(3) = [2,1, 2, 3, 3, 2,1,10] = --—-и 2, 6972 ...
109
, ч г _п /1026170 - 534
а(4) = [2,1, 2, 4,4, 2,1,10] = --—-и 2, 6910 ...
, ч г _, /90842 - 159
а(5) = [2,1, 2, 5, 5, 2,1,10] = --и 2, 6867...
53
г _п /4422610 - 1110
а(6) = [2,1, 2, 6, 6, 2,1,10] = --—-и 2, 6837...
а(7) = [2,1,2,7,7,2,1,10] = 1479 и 2,6815...
V ) у ,,,,,, , \ 493 ,
/12967202 - 1902
а(8) = [2,1, 2, 8, 8, 2,1,10] = --и 2,6798 ...
V ) у ,,,,,, , \ 634 '
Пример 8. При нечетном п, £=6.
а(1) = [1,2,3,5,1,1,5,3,2,6]= - 1322 и 1,4320...
661
, , г _, /740765090 - 15860
а(2) = [1, 2, 3,5, 2, 2, 5, 3, 2, 6] = --и 1, 4321..
\ ) I ,,,,,,,,, 1 7930 >
г _п 13/9698 - 746
а(3) = [1, 2, 3, 5, 3, 3, 5, 3, 2, 6] = —---и 1, 43222 ...
V > I ,,,,,,,,, 1 373
/7596691282 - 50788
а(4) = [1, 2, 3, 5, 4,4, 5, 3, 2,6] = --——-и 1, 43226 ...
25394
, ч г _п /17220525530 - 76466
а(5) = [1, 2, 3, 5, 5, 5, 5, 3, 2, 6] = --« 1, 43229 ...
v ) 38233 '
г _п /1364460170 - 21524
а(6) = [1, 2, 3, 5, 6,6, 5, 3, 2,6] = ----« 1, 43231...
v t 10762 '
а(7) = [1,2,3,5,7,7,5,3,2,6] = - 28850 « 1,43233...
V ) 14425 '
/102284192762 - 186356
а(8) = [1, 2, 3, 5, 8, 8, 5, 3, 2, 6] = ----и 1,43234 ....
V ) I ,,,,,,,,, \ 93178 >
Таким образом, рассматриваемые дроби возрастают при нечетном п, а при четном п — убывают.
Пример 9. Построим график (см. рис. 1) функции
P„._ 1 P2 .8
а(й1,й2) = [1, 2,1, 2,й1,й2, 2,1, 2, 2], п = 3, --= —=[2,1, 2] = -,
Чп-1 3
на котором можно наблюдать возрастание данной функции по й2 и убывание по й1
Рис. 1
Пример 10. Аналогично строится график функции в случае четного п (см. рис. 2).
Рис. 2 Заключение
Таким образом, в работе рассмотрены свойства монотонности t - дискриминантов, а также ЦД более общего вида, при различном количестве параметров по каждому из них. Полученные результаты являются обобщением работы [5].
Основными результатами данной работы являются теоремы 2 — 4, 6 — 10.
Список ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арнольд, В. И. Цепные дроби. — М.:Изд-во МЦНМО, 2009. — 40 с. ARNOLD, V. I. (2009) Continued fractions. Moscow: Publishing house ICNMO. 40 p.
2. Бухштаб, А. А. Теория чисел. — М.:Просвещение, 1966. — 384 с. BUKHSHTAB, A. A. (1966) Number theory. Moscow: Prosveshenie. 384 p.
3. Пискунова, В. В. Об асимптотических свойствах бесконечных периодических цепных дробей с параметрами // Математика, информатика, компьютерные науки, моделирование, образование: сборник научных трудов Всероссийской научно-практической конференции МИКМ0-2018 и Таврической научной
школы-конференции студентов и молодых специалистов по математике и информатике / Под ред. В. А. Лукьяненко. — Симферополь: ИП Корниенко, А. А., 2018. — № 2. — C. 41-51.
PISKUNOVA, V. V. (2018) On the asymptotic properties of infinite periodic continued fractions with parameters. Mathematics, informatics, computer science, modeling, education: a collection of scientific papers of the All-Russian Scientific and Practical Conference MIKMO-2018 and the Taurida Scientific School-Conference of Students and Young Specialists in Mathematics and Informatics. (2). p. 41-51.
4. Пискунова, В. В. Монотонность бесконечных периодических цепных дробей по параметрам // Теория и практика приоритетных научных исследований. Сборник научных трудов по материалам IV Международной научно-практической конференции. — Смоленск: МНИЦ Наукосфера, 2018. — C. 82-88.
PISKUNOVA, V. V. (2018) Monotonicity of infinite periodical continued fractions by parameters. Theory and practice of priority research. Collection of scientific papers based on the IV International Scientific Practical Conference. p. 82-88.
5. Пискунова, В. В. Об одном классе бесконечных периодических цепных дробей / Пискунова, В. В., Третьяков, Д. В. // В книге: ДНИ НАУКИ КФУ им. В.И.ВЕРНАДСКОГО. Сборник тезисов участников III научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава, аспирантов, студентов и молодых ученых. — Симферополь, 2017. — Т. 7. — C. 1109-1111.
PISKUNOVA, V. V., TRETYAKOV, D. V. (2017) On a class of infinite periodic continued fractions. In the book: THE DAYS OF SCIENCE KFU them.. VIVERADSKOGO. The collection of theses of the participants of the III scientific-practical conference of the teaching staff, post-graduate students, students and young scientists. Vol. 7. p. 1109-1111.
6. Пискунова, В. В. О монотонности t-дискриминантов с параметрами / Пискунова, В. В., Третьяков, Д. В. // В книге: ДНИ НАУКИ КФУ им. В.И.ВЕРНАДСКОГО. Сборник тезисов участников IV научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава, аспирантов, студентов и молодых ученых. — Симферополь, 2018. — Т. 2. — C. 159-160.
PISKUNOVA, V. V., TRETYAKOV, D. V. (2018) On the monotony of t-discriminants with parameters. In the book: THE DAYS OF SCIENCE KFU named after V.I.VERNADSKY. The collection of theses of the participants of the IV scientific-practical conference of the teaching staff, post-graduate students, students and young scientists. Vol. 2. p. 159-160.
7. Третьяков, Д. В. Об одном обобщении уравнения Пелля // Spectral and Evolution problems. International scientific journal.. — 2008. — Vol. 18. — C. 141-147.
TRETYAKOV, D. V. (2008) On some generalization of Pell equation. Spectral and Evolution problems. International scientific journal.. Vol.18. p. 141-147.
8. TRIGNAN, J. L. (1994) Introduction aux problèmes d'approximation: fractions continues, différences finies. Editions du Choix. Rue de medicis, Paris: Albert Blanchard. 101 p.
