CC BY
8
Связи между температурами внутри многомерных тел, прогреваемых радиацией
В.В. Иванов, Л.В. Карасева
Донской государственный технический университет Академия строительства и архитектуры, Ростов - на - Дону
Аннотация: Представлена схема расчета нестационарных температур в прогреваемых радиацией телах на основе установленных зависимостей между ними. Для исследования процесса радиационного прогрева тел используется линеаризующее преобразование, с помощью которого нелинейные граничные условия приводятся к линейной форме третьего рода. Предложенные формулы позволяют рассчитывать температурные поля в многомерных телах, если известно распределение температуры вдоль координатных осей или на поверхности. При этом нет необходимости знать физические параметры материала и степень черноты поверхности тела.
Ключевые слова: Температурное поле, радиационный нагрев, линеаризующее преобразование, линейные граничные условия третьего рода.
В работе [1] показаны связи между нестационарными температурами внутри тела с распределением температуры вдоль координатных осей при линейных граничных условиях третьего рода. Эти связи имеют большие практические приложения, так как дают возможность определить тепловое состояние нагреваемого объекта по температурам, замеренным в небольшом числе точек объема тела. Особую ценность полученные зависимости представляют тогда, когда необходимо знать температурное поле по значениям его поверхностных температур, а к центральным точкам объема невозможно проникнуть с термодатчиком.
Зависимость [1], справедливая в стадии регулярного теплового режима, выполняется не всегда с заданной точностью при других стадиях тепловых процессов. В [2] дана формулировка условий, когда будет точно выполняться связь [1].
Используя идею работы [1], удалось получить закономерности, позволяющие «прослушивать» температурное поле внутри нагреваемых радиацией тел, если найдены температуры вдоль координатных осей, идущих
1
перпендикулярно соответствующим поверхностям. Начало координат может быть расположено в любой точке объема.
Получение искомой закономерности будет показано на примере радиационного нагрева двухмерного тела с размерами 2Я1 х 2 Я2 и начальной температурой 90.
Математическая постановка задачи в обобщенных переменных имеет
вид:
де д2е г 5е ,2 д20 - +--+ ь2
д Го д х2 ' х д х ' 0 д у 2 '
е = е0, го = 0 ;
де,
'д х
= 0, X = 0:
де
'д У
= 0, У = 0;
д%х = ^(1 -е4), х = 1 д/дУ = Бк2(1 -е4), у = 1.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Здесь
е0<е = ут <1; е = е(х,у,го);
Го = а/2; ь02 = 2, /я?' 0
х = х/ • у = У х /ях; У 7
Бк, = 8 ° 0 ТС Яу/ ;
Бк = 8 2 а 0 Тс Я2/
X' Бк2 = Л
Для решения задачи (1) - (6) использован метод линеаризующих функций [3-6]. Не повторяя основных положений работ [3,4], будут приведены лишь окончательные результаты.
2
:
Линеаризующая функция
, 0 d 0 ,
W = exp (- m ]-4) = exp
0 1 - 0
- — ( Aг^ 0 + arctg 0)
(7)
'д X
в которой ш - корректирующий параметр, не изменяя условий симметрии
(3), (4)
дЖ/ = 0, X = 0, (8)
,5У = 0, У = 0, (9)
линеаризует граничные условия (5), (6), приводя их к линейным граничным условиям третьего рода:
д Жу
д Ж д Ж
= -ш$кх Ж; X = 1;
ду
= -ш 8к2 Ж; У = 1.
(10) (11)
Начальная температура (2) запишется тогда как
Ж = /0(ш, 00) = Ж0; Го = 0, (12)
а уравнение теплопроводности (1) для новой переменной Ж примет вид
(13)
д Ж д2 Ж Г д Ж ,2 д2 Ж -=-т +--+ Ъ02 —г-
-2 V XV 0
д Го д X 2 X д X
д У2
+ V (X, У, Го),
где
V (X, У, Го) = шЖ
чд X у
+ Ъ2
чд У у
(4 03 - ш) (1 -04 )2
(14)
Минимизация нелинейного комплекса (14) производится из условия V (X, У, Го) ^ 0, когда ш ^ 4 03. Учитывая, что 0 в процессе нагрева меняется от 00 до 1, можно принять у ~ 0, когда ш = 4[(00 +1)/2]3. Чтобы повысить точность расчета, область изменения 0 разбивалась на несколько интервалов, и для каждого интервала выбирался по соотношению ш1 = 403 [3,4].
2
:
Решение задачи для новой переменной у (X, У, Ео) при у (X, У, Ео) = 0, как показано в [7-9], находится путем перемножения соответствующих решений одномерных задач переноса.
Подстановка в (7) дает окончательное решение задачи (1) - (6).
В стадии упорядоченного температурного режима величина Ж при у =0 может быть выражена в форме [7-11]
Ж (х, у, Ео) = Е (Ео) X (х) У (у). (15)
Так как W = exp
- — (Arth 9 + arctg 9)
, то
F (Fo) X (x) Y (y) = exp | -—[Arth 9 (x, y, Fo) + arctg 9 (x, y, Fo)]j. (16)
Задаемся некоторыми фиксированными значениями координат x = x0 , а затем y = y0 . В результате получим
exp \ - m [Arth 9 (xo, y, Fo) + arctg 9 (xo, y, Fo)] L
Y (y) =--^ ; (17)
F (Fo) X (xo) ' V }
exp \- т [Arth 9 (x, yo, Fo) + arctg 9 (x, yo, Fo)] l
X (x) =-LJ-1 . (18)
F (Fo) Y (yo) V }
Объединяя (15) - (18), после преобразований получим зависимость между температурами внутри тела и распределением температуры вдоль координат xo , yo:
Arth 9 (x y, Fo) + 9 (xo, Уo, Fo) + arctg 9 (x, У, Fo) + 9 (xo, yo, Fo) =
1 + 9(х,у, Ео)-9(хо,Уо, Ео) 1 -9(х,у, Ео)-9(хо,Уо, Ео)
= Апк 9 (хо, У, Ео) + 9 (x, Уо, Ео) + 9 (хо, ^ Ео) + 9 (x, Уо, Ео) . (19)
1 + 9(хо,У, Ео)-9(х,Уо, Ео) 1 -9(хо,У, Ео)-9(х,Уо, Ео)
На основе уравнения (19) можно найти ряд частных случаев, например:
Аг^ 9 (^ ^ Ео) + 9 (°Д Ео) + агс^ 9 (^ y, Ео) + 9 (0,0, Ео) =
1 + 9(x,y, Fo)-9(o,o, Fo) 1 -9(x,y, Fo)-9(o,o, Fo)
1
= АгЛ 9(0,у, Го> + 9(х,0, Ро) 9 (0,у, Ро) + 9 (х,0, . (20)
1 + 0(0,у, Го)-0(х,0, Го) 1 -0(0,у, Го)-0(х,0, Го)
Аналогичные зависимости получаются для трехмерных тел. Следует подчеркнуть, что при использовании уравнений типа (19) совсем нет необходимости знать физические параметры материала, а также степень черноты поверхности тела и температуру греющей среды.
Выполненные расчеты, а также анализ ряда экспериментальных данных подтверждают теоретические уравнения (19), (20). В качестве примера рассмотрен радиационный разогрев квадратной заготовки 78 х 78 мм в печи с температурой 1500°С. В таблице приведено сравнение температур, определенных по уравнению (20), с экспериментальными и расчетными данными, полученными в работе [12].
Таблица
Значения относительных температур, полученных в [12] и вычисленных по формуле (20)
Бо 0(0, 0, Бо) 0(0,795; 0,795; Бо) 0(0; 0,795; Бо) = = 0(0,795; 0; Бо)
Согласно (20) Опытные данные Расчет Опытные данные Расчет Опытные данные Расчет
0,75 0,310 - 0,323 - 0,425 - 0,370
1,50 0,382 0,399 0,3795 0,514 0,532 0,455 0,444
2,25 0,4805 - 0,4705 0,661 0,655 0,576 0,571
3,00 0,588 0,584 0,553 0,729 0,728 0,656 0,656
3,75 0,637 - 0,635 0,818 0,800 0,735 0,729
4,5 0,714 0,717 0,718 0,878 0,876 0,808 0,793
Литература
1. Бойков Г.П. Закон связи между избыточными температурами тел конечных размеров // Инженерно-физический журнал. 1962. Т. №1. С. 107109.
2. Логинов В.С. Приближенные методы теплового расчета активных элементов электрофизических установок. М.: Физматлит, 2009. 272 с.
3. Иванов В.В. Исследование процессов переноса при нелинейных граничных условиях // Теплофизика высоких температур. 1973. Т. XI. № 1. С. 128-132.
4. Иванов В.В., Кореньков А.И. Решение задач тепломассопереноса при нелинейных граничных условиях // Изв. СКНЦ. ВШ. Технические науки. 1982. №2. С. 21-25.
5. Иванов В.В., Карасева Л.В., Тихомиров С.А., Пономаренко А.С. Пограничные слои на стенках, подвергаемых с противоположной стороны нагреву конвекцией и радиацией одновременно // Инженерный вестник Дона, 2017, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2017/4188.
6. Иванов В.В., Карасева Л.В., Тихомиров С.А. Теплообмен в пограничных слоях на излучающих поверхностях при градиентном течении // Инженерный вестник Дона, 2017, №3 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2017/4317.
7. Карлслоу Г.С., Егер Д.К. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 487 с.
8. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. М.: Госэнергоиздат, 1963. 536 с.
9. Карташев Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности. М.: Высшая школа, 1985. 480 с.
10. Lotkin M. The numerical of heat conduction equations // J. Math and Phys. 1958. Vol.37. № 2. pp.178-187.
11. Keramidas G.A., Edward C. Ting. Variational formulations for heat conduction problems // J. Appl. Phys. 1979. Vol.50. № 2. pp.673-677.
12. Портнов А. А. Исследование опытной секционной печи при нагреве квадратных заготовок // Сталь. 1965. № 4. С. 370-372.
References
1. Boykov G.P. Injenerno-fizicheskiy jurnal. 1962. vol. № 1. pp.107-109.
2. Loginov V.S. Priblijonnye metody teplovogo raschyota aktivnyh elementov elektrofizicheskih ustanovok [Approximate methods of thermal calculation of active elements of electrophysical installations]. Moscow, 2009. 272 p.
3. Ivanov V.V. Teplofizika vysokih temperatur. 1973. vol. XI, № 1. pp. 128132.
4. Ivanov V.V., Korenkov A.I. Izvestiya SKNC. VSh. Tehnicheskie nauki. 1982. № 2. pp. 21-25.
5. Ivanov V.V., Karaseva L.V., Tihomirov S.A., Ponomarenko A.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2017, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2017/4188.
6. Ivanov V.V., Karaseva L.V., Tihomirov S.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2017, №3 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2017/4317.
7. Carslaw H., Jaeger J. Teploprovodnost tvyordyh tel [Conduction of Heat in Solids]. Moscow, 1964. 487 p.
8. Lykov A.V., Mikhailov Yu.A. Teoriya teplo- i massoperenosa [Theory of heat and mass transfer]. Moscow, 1963. 536 p.
9. Kartashov E.M. Analiticheskie metody v teorii teploprovodnosti [Analytical methods in the theory of thermal conductivity]. Moscow: ,1985. 480 p.
10. Lotkin M. J. Math and Phys. 1958. Vol.37. № 2. pp.178-187.
11. Кегаш1ёаБ О.Л., Edward С. Ting. I. Арр1. РИуБ. 1979. Уо1.50. № 2. рр.673-677.
12. РоПпоу Л.Л. 8Ы. 1965. № 4. рр. 370-372.
