CC BY
24УДК 378.147
СВЯЗЬ ТЕОРИИ С ПРАКТИКОЙ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ
Гончарова Оксана Николаевна
доктор педагогических наук, профессор e-mail: oxanagon@gmail.com Стус Елена Александровна студентка
Таврическая Академия Крымского федерального университета им. В. И. Вернадского, г. Симферополь, Российская Федерация
Goncharova Oksana The Doctor of Pedagogical Sciences, Рrofessor,
Elena Stus Student
V.I. Vernadskiy Crimea Federal University Simferopol, RussianFederation
i......-!
Рассматриваются связи математических дисциплин между собой. Системность изложения математических дисциплин в школе даёт возможность учащимся осознать структуру и логику математики, подметить основные, ведущие идеи, обнаружить внутреннюю связь между отдельными вопросами предмета. Осуществление принципа системности и последовательности воспитывает у учащихся логическое мышление и приучает их к творческой работе. Показ связи математических дисциплин между собой и применение одной из них при изучении другой придает большую значимость каждой дисциплине и вызывает у учащихся более глубокий интерес к математике.
Ключевые слова: математика, алгебра, тригонометрия, геометрия, практическое применение математики, математическая теория, связь математических дисциплин между собой, связь алгебры с геометрией, связь алгебры с тригонометрией.
j......i
Постановка проблемы. Вопрос о связи теории с практикой является одним из основных как в теории познания, так и в теории обучения.
Применение теории на практике дает возможность лучше, глубже, сознательнее и прочнее овладеть теорией, поднять её на более высокую ступень.
Практика является не только критерием истинности теории, но и основой, на которой возникает, развивается теория.
Формирование математических понятий и овладение их системой является
одной из основных задач преподавания математики, оно основано на наблюдении, связи с реальными предметами и явлениями.
Примеры из окружающей действительности на уроках математики необходимо использовать в качестве стимула для последующего логического обоснования замечаемых свойств. Так, необходимость доказательства свойства смежных и равенства вертикальных углов может быть вызвана невозможностью непосредственного измерения од-
ного из смежных углов или одного из вертикальных углов. Зная сумму смежных углов и найдя непосредственным измерением величину одного из них можно вычислением найти величину и другого смежного угла, нам недоступного. Для решения задачи надо знать сумму смежных углов. Возникает необходимость в доказательстве теоремы.
Такой подход к изучению математической теории вызывает интерес у учащихся, привлекает их внимание, облегчает усвоение ими учебного материала и показывает огромное значение логических рассуждений.
Особое значение для лучшего усвоения математики и для осуществления задач обучения приобретает применение математических знаний на практике путем выполнения самими учащимися различных упражнений вычислительного, измерительного и конструктивного характера. А также путем решения практических задач из различных отраслей знания и деятельности человека.
При подборе упражнений и при решении практических задач необходимо преследовать, прежде всего, цели математической подготовки учащихся. Выполняемые упражнения и практические задачи должны иметь непосредственное отношение к программному материалу по математике и не должны нарушать системы ее изложения.
Отраженные в упражнениях и практических задачах факты должны быть хорошо известны учащимся из других дисциплин.
Анализ актуальных исследований.
Актуальность данной темы состоит в доказательстве значимости и необходимости математических знаний в самых разных предметах.
Недаром многие классики независимо высказывали одну и ту же мысль: «Область знания становится наукой, когда она выражает свои законы в виде математических соотношений».
Целью статьи является выявление межпредметных связей в математике.
Изложение основного материала
1. Связь между вопросами каждой дисциплины.
Между отдельными вопросами программных тем и между темами того или иного курса математики существует связь. В ходе обучения необходимо выявлять и подчеркивать эту связь. Значение логических связей в процессе обучения математики велико. Каждый из предметов школьной математики строится таким образом, что последующие вопросы вытекают из предыдущих и ими обосновываются.
Осуществление принципа систематичности и последовательности способствует установлению ассоциативных и логических связей между отдельными вопросами способствует обзорное повторение учебного материала. Повторение имеет целью подготовить сознание учащихся к лучшему восприятию нового материала, а также сделать приобретаемые знания и навыки более прочными и осознанными [12].
Особое место должно занимать обзорное повторение в выпускных классах.
Повторение целесообразно сопровождать приведением кратких исторических сведений, биографических данных о математиках. При повторении уместно показывать взаимосвязь и развитие математических понятий, иллюстрировать это развитие соответствующими схемами, подчеркивать значение математики в познании человеком реального мира, применения её в различных дисциплинах: физики, химии, технике, астрономии, географии и др. При проведении повторения целесообразно использовать различные наглядные пособия: графики, схемы, таблицы классификаций математических понятий (классификация треугольников и четырехугольников, классификация многогранников, элементарных функций, чисел, уравнений и др.).
Алгебраическая символика достаточно широко используется при записи свойств и законов арифметических действий, при записи различных правил и
действий над целыми и дробными числами, при записи свойств пропорции, при выводе формул процентных вычисле-ний[1].
Например:
а + Ь = Ь + а (переместительный закон сложения);
а к о.№+Ь к
- (правило сложения дро-
ЪпЪп
бей);
(а + Ь + с)п = ап + Ьп + сп (распределительный закон умножения относительно суммы).
Буквенная символика применяется при выводе формул площадей фигур, поверхностей и объемов тел, длины окружностей, площади круга, при определении величин углов. Например:
5 = а2 (формула площади круга);
£ = а • И (формула площади параллелограмма);
£ = 2пКк (формула боковой поверхности цилиндра);
С =п • Б (формула длины окружности).
В начальной школе широко используется геометрическая интерпретация для иллюстрации различных свойств, законов и некоторых действий. Приведём примеры таких интерпретаций [6].
1. Переместительный закон умножения (рис. 1).
гтггп
5*3 = 15
3 * 5 = 15
Рисунок 1
5 * 3 = 3 * 5; а * Ь = Ь * а.
2. Переместительный закон сложения (рис. 2).
Рисунок 2 3. Распределительный закон умножения относительно сложения (рис. 3).
Рисунок 3
(3 + 5 + 4) * 3 = 3 * 3 + 5 * 3 + 4 * 3; (а + Ь + с) • т = ат + Ьт + с т.
4. Построение суммы и разности чисел (рис. 4).
•—*
-Ьн?
Рисунок 4 Геометрическая интерпретация применяется и при решении задач для наглядного изображения некоторых величин, встречающихся в условии задачи. Например, при решении задач на части. Графическая наглядность помогает учащимся лучше осознать зависимость между величинами и успешно решить задачу.
2. Связь алгебры с геометрией и тригонометрией.
При решении геометрических задач на вычисление в общем виде и при выводе формул, устанавливающих зависимость между элементами геометрических фигур, обойтись без буквенной символики, т.е. без применения алгебры не предоставляется возможным.
Алгебраическая символика используется при доказательстве целого ряда геометрических теорем. Элементы, входящие в условие и заключение теорем, часто обозначаются буквами. К таким теоремам относятся теоремы о сумме внутренних и внешних углов выпуклых многоугольников; о взаимном расположении двух окружностей; теоремы о соотношениях в треугольнике (теоремы синусов, косинусов, терема Пифагора, формула Герона и др.). Вычисление биссектрисы, медианы, высоты треугольника, вывод формул для вычисления сторон правильных вписанных и описанных многоугольников представляют собой примеры особенно яркого применения алгебры в геометрии[2].
В свою очередь геометрия имеет широкое применение в алгебре. Многие геометрические задачи на вычисление решаются методом составления уравнений. Для конкретизации алгебраических выражений и действий над ними, а также для более отчетливого представления некоторых формул и свойств функций необходимо применять геометрическую интерпретацию. Так, например, геометрическая интерпретация применяется при построении числовой оси, графиков температуры, равномерного движения, прямой и обратной пропорциональности, графиков уравнений, графиков линейных, квадратичных, показательных и логарифмических функций; при графическом решении системы линейных уравнений с двумя неизвестными и геометрическом истолковании решений (одно решение, бесконечное множество решений, отсутствие решений), при графическом решении квадратных и простейших иррациональных уравнений, а также при решении простейших систем уравнений второй степени. Геометрическую интерпретацию полезно применять при решении неравенств первой степени и систем неравенств. Приведём несколько примеров.
1. Умножение дроби на дробь (рис. 5)
[9].
Рисунок 5
4 2_4 -2_8 а т _ а •т
5 3 _ 5 3 ~ 15 Ь п ~ Ь •п'
2. Построение произведения многочлена на многочлен (рис. 6).
3.
ак Ък ск
am Ьт cm
Рисунок 6
(а + Ь + с) • (к + т) = ак + Ък + ск + ат + Ьт + ст.
4. Построение формулы квадрата суммы двух чисел (рис. 7).
5. Построение формулы квадрата разности двух чисел (рис. 8).
К
/
/
/
а+Ъ \
\
\
v
Ъ /
cib
%
— а.
аЪ
-ггУ
\
/
~а+Ъ~
Рисунок 7 (а + Ъ)2 = а2 + 2 ab + Ъ2.
©
Рисунок 8 (a — b)2 = а2 — 2ab + b2. 6. Построение формулы произведения суммы двух чисел на их разность (рис. 9).
Г
-(— „
b '
Рисунок 9 (а + Ь) • (а — b) = а2 — ab + ab — Ъ2; (а + Ъ) • (а — Ь)= а2 — Ъ2;
Приведённые примеры убеждают нас в исключительном значении алгебры для изучения геометрии и геометрии для изучения алгебры.
В тригонометрии, как и в алгебре, имеется много формул с буквенной символикой, много упражнений на преобразование тригонометрических выражений с использованием алгебраических формул, например:
(1+cos a)*tg2a(1-cos a)=sin2 а * tg2a;
■4 4 -2 2
sin а - coy а = sin а - coy а.
В тригонометрии большое внимание уделяется доказательствам тригонометрических тождеств, которые приводятся к преобразованию выражений, выполняемых часто так, как это делается в алгебре.
При решении тригонометрических уравнений используются свойства,
установленные в алгебре, а некоторые уравнения решаются по формулам, выведенными для решения квадратных уравнений, например, уравнение 2 sin2x- 3sin х+1=0 решается относительно sin х по формуле полного квадратного уравнения.
При построении графиков тригонометрических функций используются навыки и приемы, приобретенные учащимися на уроках алгебры при построении графиков линейных и квадратичных функций, а также графиков показательной и логарифмической функции.
3. Связь геометрии с тригонометрией.
При первом ознакомлении с тригонометрическими функциями приходиться решать достаточное число интересных геометрических задач, сводящихся к определению элементов прямоугольного треугольника.
Решение геометрических задач с применением тригонометрии следует проводить с самого начала изучения тригонометрии в целях более сознательного усвоения учебного материала и во избежание формально заучивания многочисленных формул тригонометрии и различных свойств тригонометрических функций.
Выводы. Связь между математическими дисциплинами даёт возможность образовать дополнительные и более яркие ассоциативные связи, сделает знания учащихся более конкретными. Все это вместе взятое поможет лучшему усвоению программного материала по каждой математической дисциплине, сделает знания более действенными, осознанными, глубокими и прочными, создаст предпосылки к дальнейшему изучению математики и решению задач практического характера.
1. Алгебра 8 кл.: учебн. для общеобра-зоват. организаций / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]. - М.: Просвещение, 2013. - 287 с.
2. Геометрия 7-9 классы: учеб.для
©
общеобразоват. организаций / [Л.С. Ата-насян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. -М.: Просвещение, 2014. - 383 с.
3. За страницами учебника алгебры / [Л.Ф. Пичурин]. - М.: Просвещение, 1990. -223 с.
4. Математика после уроков / [МБ. Балк, Г.Д. Балк]. - М.: Просвещение, 1971. - 462 с.
5. Материал для внеклассной работы по математике / [Ф.М. Шустеф]. - Минск: НАРОДНАЯ АСВЕТА, 1968. - 207 с.
6. Математика. 3 кл. / [М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.И. Волкова, С.В. Степанова]. - М.: Просвещение, 2012. - 112с.
7. Математика 6 кл.: учебн. для общеобразоват. организаций / [Н.Я. Вилен-
кин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Швар-цбурд]. - М. : Мнемозина, 2013. - 288 с.
8. Математические головоломки и развлечения / [Мартин Гарднер]. - М.: Мир, 1971. - 510 с.
9. Методика преподавания обыкновенных дробей / [И.Н. Шевченко]. - М.: Академия педагогических наук, 1958. - 200с.
10. Практикум по математике / [Л.А. Клюева, Д.А. Тальский]. - М. : Высшая школа, 1970. - 445 с.
11. Сб. практических задач по математике / [П.И. Сорокин]. - М.: Просвещение, 1971. - 272 с.
12. Учимся доказывать и рассуждать / [И.Л. Никольская, Е.Е. Семенов]. - М.: Просвещение, 1989. - 192 с.
Abstract. GoncharovaO., Stus E. The relationship of theory and practice in teaching mathematics. The relationship between theory and practice is one of the most fundamental in studying of any subject. The article regards the relationship between mathematical disciplines. Systematic presentation of mathematical disciplines in the school allows pupils to understand the structure and logic of mathematics, to notice the main leading ideas, discover the inner connection between elements of the subject. Implementation of the principle of systematic and consistency educates pupils ' logical thinking and teaches them to creative work. Showing connection between a mathematical disciplines and the application of one of them in studying other attaches great importance each discipline and makes pupils a more profound interest in mathematics.
The connection between mathematical disciplines makes it possible to form additional and more vivid associative connections, making students ' knowledge more concrete. All this together will help to better assimilate the program material for each mathematical discipline, make knowledge more effective, conscious, deep and lasting, will create prerequisites for further study of mathematics and solving practical problems.
Key words: mathematics, algebra, trigonometry, geometry, the practical application of mathematics, mathematical theory, the relationship between mathematical disciplines, the relationship between algebra with geometry, the relationship between algebra with trigonometry.
Поступила в редакцию 27.09.2016 г.
