CC BY
29
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Связь между унитарным и кварковым описанием слабых радиационных распадов гиперонов
E.H. Дубовик1, B.C. Замиралов2а
1 Объединенный институт ядерных исследований, лаборатория теоретической физики имени H.H. Боголюбова. Россия, 141980, Московская обл., г. Дубна. 2Научно-исследовательский институт ядерной физики имени Д. В. Скобельцына МГУ. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. E-mail: "zamir@depni.sitip.msu.ru
Статья поступила 01.10.2008, подписана в печать 26.12.2008.
Слабые радиационные распады гиперонов рассмотрены в унитарной и кварковой моделях. Решена задача перехода от одной модели к другой как для нарушающих четность амплитуд, так и для сохраняющих четность. Этим снимается противоречие о несовместимости этих описаний, обсуждаемое более 20 лет. Модель феноменологическая и хорошо описывает экспериментальные данные, давая предсказания для асимметрии распадов Л ^ га + 7 и S- —»■ Е- + 7.
Ключевые слова: ядерная физика.
УДК: 539.1. PACS: 13.30.-а.
Введение
Почти полвека назад впервые был обнаружен слабый радиационный распад £+ —^ Р7 [1, 2]. Тогда же была предложена и проанализирована простая полюсная модель для описания таких распадов [3, 4]. Несколько позже, в 1964 г., Хара показал, что в рамках унитарной симметрии 5(7(3) асимметрия в слабых радиационных распадах заряженных гиперонов £+ —^ Р7 и !Е- —^ £^7 должна обращаться в нуль [5]. Интерес к этим распадам резко возрос после обнаружения большой отрицательной асимметрии в распаде £+ —^ Р7 [6]. (Сравнительно недавно было показано [7], что основное противоречие с экспериментом, связанное с большой ненулевой асимметрией в распаде £+ —^ р'у, снимается переходом от модели унитарной симметрии с тремя ароматами к модели с четырьмя ароматами Глэшоу-Илиопулоса-Май-яни [8].)
В последние годы было поставлено несколько новых экспериментов по измерению ширин и параметров асимметрии в слабых радиационных распадах гиперонов (СРРГ). Особенно заметно ситуация изменилась для распадов —^ Л7 и £°7, для которых параметр
асимметрии оказался отрицательным [9], хотя ранние опыты указывали на возможность положительной асимметрии [10]. В этой связи возобновился интерес к старой задаче описания этих распадов.
Многие годы обсуждалось и расхождение между результатами кварковой и унитарной моделей. Прямые вычисления по кварковой модели (см., напр., [11]) не согласовывались с вычислениями по унитарным моделям (см., напр., [12, 13]) и не сводились к этим последним. Недавно для амплитуд радиационных распадов гиперонов с сохранением четности было показано, что расчеты по унитарным моделям содержат в себе и результаты расчета кварковых диаграмм [14].
Ниже мы покажем, каким образом кварковые вычисления амплитуд радиационных распадов гиперонов с несохранением четности связаны с расчетами по унитарным моделям. Сравнение с экспериментом проведено в духе работы [15].
1. Кинематика процессов слабого радиационного распада гиперонов
Градиентно-инвариантная форма амплитуды слабого радиационного распада Д- —^ Щ + 7 обычно записывается в виде суммы магнитного и нарушающего четность электрического дипольных переходов:
Аа. = В{(Врс+Аруъ)кВ1, (1)
где В[ и В( — дираковские спиноры начального и конечного барионов, — поляризация, а 6,, - 4-импульс излучаемого фотона (соответственно — величина 3-импульса фотона в системе покоя начального гиперона).
Ширина радиационного распада гиперона, выраженная через феноменологические амплитуды с нарушением четности Арч и сохранением четности Врс, дается формулой
Г=^(\Ап'\2 + \Врс\2), (2)
7Г
а соответствующая асимметрия распада записывается как [16]
_ 2Ке(А*р^Врс)
' |ЛР¥|2 + |ВРС|2'
Экспериментальные данные вероятностей распадов, в том числе в относительных ширинах ВИ = Г7/Г(Ма1), и параметры асимметрии распадов [9] даны в табл. 1.
2. Теорема Хара и модель ГИМ
Напомним, что вклад переходного электрического диполя в процесс В В' + 7 при эрмитовом сопряжении переходит во вклад сопряженного процесса В' В + 7 с обратным знаком. С другой стороны, симметрия эффективного слабого гамильтониана относительно замены индексов 2 -и- 3 в модели унитарной симметрии (или, на кварковом языке, й -и- я) приводит к требованию сохранения знака вкладов при замене местами начального и конечного состояний в процессе £+ -и- р'у, т.е. как раз при переходе к эрмитово сопряженному вкладу. Это
Таблица 1
Слабые радиационные распады гиперонов (СРРГ): эксперимент [9], ЕШ — доля радиационного распада, Г7 — парциальная ширина распада и А, - параметр асимметрии
Decay BR (х 103) Г7 х 101,5 МэВ МэВ/с
Е1 Ч-р7 1.23 ±0.05 10.25 ±0.40 -0.76 ±0.08 225
Е° ->• щ — — — 226
Л и- п -( 1.75 ±0.15 4.43 ± 0.40 — 162
1.16 ± 0.08 2.67 ±0.20 -0.78 ±0.19 184
Н° Е°7 3.33 ±0.10 7.65 ±0.19 -0.63 ±0.09 117
Н-^Е-7 0.127 ±0.023 0,502 ± 0.090 — 118
и приводит к теореме Хара о нулевом вкладе амплитуды с нарушением четности в этом процессе [5]. Этот результат справедлив и для амплитуды с нарушением четности в процессе S- —>-1!-7. В то же время замена индексов 2 -и- 3 во вкладах в процессы с нейтральными гиперонами просто переводит один процесс в другой, например S0—>-Л+7 в Л—>-«7, не накладывая на них жестких условий.
Как было показано в [7], при переходе к модели с четырьмя ароматами положение меняется, а именно, эффективный слабый гамильтониан инвариантен относительно замены индексов 1 -и- 4, 2 -и- 3 (или, на кварковом языке, и -и- с, d++s) и Ос —^ —Ос (Ос — угол Кабиббо). При этом процесс Y,+(uus) ++ p(uud)7 переходит в процесс, сопряженный к S+£;£:(ccs) -и- T,+Ci:(ccd)^, и проблема с теоремой Хара просто не возникает. Поэтому в этом случае все амплитуды с нарушением четности отличны от нуля.
В кварковой модели СРРГ описываются тремя сериями кварковых диаграмм (см, напр., [11]), а именно, 1-кварковыми диаграммами, где фотон излучается из эффективной вершины sdj, 2-кварковыми диаграммами, где между двумя кварками происходит обмен 1У'"-бозо-ном, причем один из них испускает фотон, а третий кварк остается наблюдателем, и, наконец, диаграммами, где между двумя кварками происходит обмен W-бозоном, а третий кварк испускает фотон. Как правило, вкладом последней серии диаграмм можно уверенно пренебречь.
Напомним также, что стандартный вклад однокварко-вых диаграмм (см. [11-13] и др.) дается эффективным нейтральным током, нарушающим странность
Jj = (DJs + FJs)BWX + (DJs - Fds)BiOßBt (4)
где ß" — октет барионов, a,ß= 1,2,3, и B\=p и т.д. Подставляя As = —b, /"к/As = 2/3, мы воспроизводим результаты кварковой модели (см., напр., [11]). В приложениях, вообще говоря, выбирают F^f ф (то же для Dds).
3. PC-амплитуды в унитарной и жваржовой моделях
Рассмотрим сначала амплитуды, сохраняющие четность, в рамках полюсной модели. Эта модель описывается диаграммами рис. 1. Как в первых работах (см., напр. [17]), так и в одной из новейших работ [18] использовались выражения
7) = ^-l)(l'h -f'ap)y ,
Рис. I. Полюсные диаграммы в распаде Е1 />7
ß(A-,„7)= [-^(1+1)04-/';)-ß(S°->E°7) = [(¿ + i)(//l<^/4„) + (f-1)/'^]
N_
N
t<p' N_
t<p' (5)
(Здесь через С обозначен эффективный множитель Ы//1р из [18].) Поскольку в формулы входят разности аномальных магнитных моментов, которые с точностью до массовых поправок совпадают с разностями полных магнитных моментов //д, воспользуемся формулами нарушенной унитарной симметрии из [13]
г, 1 г, 2 Г,
Ир = г + д А цп = -д А
//^ =^ + 1д + 1(1 -№-0), (6)
12 2 2
цЕ_ = —р + -£) + -(1 — е)/7, //=п = + д (1 — е)/\
//А = -1д + 1( 1 //У,Л = -1=Д.
(При О = 2.7цк, = 1.8//дг, е = 1/3 они разумно описывают экспериментальные данные.) В результате получаем другое часто используемое представление (см., напр., [12] или более ранние работы такого типа в ссылках [19])
4 1 /V \ /3 Р \
В(5-->-Е-7) = —+ + (7)
На первый взгляд не представляется возможным сравнить выводы этой и близких к ней моделей с кварковыми моделями, кроме как в пределе спин-унитарной симметрии 5(7(6). Однако недавно нами было показано [14], что именно эти формулы позволяют непосредственно связать унитарное описание РС-амплитуд с квар-ковым. Оказывается, для этого достаточно положить в РС-амплитудах (7) [12, формулы (5.2Ь)] Цй = —1+2, F/Z) = 2/3+Z. При этом они разделяются на часть, соответствующую 2-кварковым диаграммам вида рис. 2 (член, не имеющий множителей 2 и/или X), и части, отвечающие 1-кварковым диаграммам вида рис. 3, пропорциональные соответственно множителям 2, X и г-Х.
2+ а и \ЛЛ й и а
и и и и и ^у и
Рис. 2. Пример 2-кварковой диаграммы, т. е. диаграммы с 3-м кварком-спектатором, в распаде Е1 /г?
и и
и и
/2 2/2 /2 _ 9/2 9 2 3 ^ + 3 у/2.
(1 - б)- С:
-—6.36(2 - 0.06 - 0.867 + 0.007) = 3.12,
О
¿3(5° п7) =
4(5 + 6) 1 „ . 2 1 ..
]8 + д2(1 - () + - --г(\ -
7^6.36(2.00 + 0.06 - 0.867 + 0.007) = 2.54,
•С:
В{А п7) = "4(1+6) | . б/З Уз
2(1-6)--=(1 -е)г+-=2(1 -е)г
з/з Уз
•С:
—р6.36(-0.667 + 0.18 - 0.289) = -3.21, /3
В(Е° Л7) = 4(2+6)
:2(1-б)+—=(1-б)г—=2(1-е)г 3/3 /3
9/3 3/3
1 6.36(^0.06 + 0.578) = 1.91,
/3
В(Е° 5°7) 4 5
3 , д2(1 ^б) + о-г + -2(1 -е)г Ф-^6.36(-4.0 +0.3) = -7.84,
О
■С:
В(Е~ Е"7) = 5/2
= 0-С
/2
2(1 — б)С 0 • X • С — ———2(1 — €.)Х • С
У о
5/2
0.06-6.36 = -0.?
(В)
Рис. 3. Пример 1-кварковой диаграммы, т.е. диаграммы с эффективным переходом а- й + 7 и двумя кварка-ми-спектаторами, в распаде Е1 —¡>/>7
При Х = 0 1-кварковые амплитуды, пропорциональные 2, совпадают с точностью до переобозначений с полученными в [11] и из (4) при /^/Д^ = 2/3. Члены с Х^0 также соответствуют 1-кварковым амплитудам, но при другом выборе эффективных значений отношения в выражении (4), а именно члены, пропорциональные X, при 2 = 0 соответствуют выбору эффективного йя-тока с = — 1, а члены, пропорциональные г-Х, соответствуют чисто -току.
Последовательно рассмотрим все распады, начав с преобразования РС-амплитуды распада —^ /?7 из [12] и приводя сразу же результаты наилучшей подгонки (С = 6.36 в единицах 10^'//дг, 2 = —0.06, 2 = —0.14, б=—2) отдельно для каждого вида вкладов и их сумму:
Итак, первый член в каждой формуле для РС-ам-плитуд (т.е. для РС-амплитуд с 2 = Z = 0, или, что то же, при //¿=—1, Р/В = 2/3) в точности соответствует выражениям для 2-кваркового вклада из [11] при А' = 0, на что частично было указано в [12]. Пропорциональный 2 1-кварковый вклад также совпадает с точностью до переобозначений с результатами [11]) и [12].
4. РУ-амплитуды в унитарной и жваржовой моделях
Запишем амплитуды с нарушением четности (РУ-ам-плитуды) в полюсной модели, восходящей к описанию нелептонных распадов гиперонов (см., напр., [12-17]):
/Ц5+/?7) = у/2(^ - !)(//?;, +/1°Р+Ь,Р)Н, Л(Е°Л7)=
= [ - Й - !)</*. + /4 + %'п) - | + 1) АА, А(Ап-у) = [(^+ 1)(/4 + /4 + *лп) + (~1) А'^л] ЛА,
/1(2°Л7) =
Уз I- и
/Ч505°7) =
'I
(//|„ + /4 + %.л) + + у/ът] м,
[+ 004« + /4« + - з (-¡[ -А'Ыла,
(9)
= + +/4- +ГЕ
Здесь уже фигурируют суммы аномальных магнитных моментов и поэтому нам придется обсудить их подробнее. Члены вида tвв' введены для «достраивания» до кварковой модели, и мы их обсудим позднее.
Анализ сумм аномальных магнитных моментов бари-онов октета в задаче о радиационных распадах барионов
осложняется тем, что описание аномальных магнитных моментов барионов является задачей, которая не решена на уровне унитарной симметрии. Действительно, нормальные магнитные моменты должны бы соответствовать чистой Р-связи, так же как и электрические заряды барионов. Но если выбрать вышеприведенное значение Р = 1.8/хдг (см. (6) и далее) или характерное для точной симметрии значение Р = 2.0^дг. то нормальные магнитные моменты окажутся очень далеко от своих обычных значений на уровне ±1цм для заряженных барионов октета. Пытаться же разделить константу связи Р на «нормальную» и «аномальную» представляется нелогичным. Но пока просто констатируем, что константы Р-и О-связи с нарушением симметрии, вводимым через е, отличное от единицы, описывают полные магнитные моменты и не описывают аномальные при чистой О-связи. Видоизменим эти последние и выпишем предлагаемые нами выражения для аномальных магнитных моментов в виде, который не противоречит (6) и в конечном счете приводит к результатам кварковой модели в полной
аналогии со случаем РС-амплитуд:
= + - ,
а4_ =1д + |(1 -е)/7- (10)
2 2 / 2 \ = __£> + _(1 _ е)Р - [Р - -£>),
р
I = _(,^е)(зр+£)) _ (>--/)), = -^О.
ЯЕ1р = -У2(/
К^0п = (/ — й)1у
кАп = —(3/ + 5)гЛп, /са0А = __(з/-5)га0А> (11)
Я"=0т;0 = (/ +
;0Т]0,
= -У2(/ + 5)ГЕ
2 2 / 2 \ %>А = -е£> + -(-1 + е) - -йу,
— — — (
■е)£) + -(-1+е) (/="--£)),
= 4Т7 — -(1 — е)/7.
О
Окончательно получаем для нарушающих четность амплитуд Ару формулу через константы связи унитарной симметрии:
А(Е+р7) = у/2Ц/й - 1) • - ПМ,
Л(Е°«7) = [-±0 - (/Д/ - -Р)]Ы,
Л(Л«7) = [- + е)(3р +
(5 + е)(3 Р-0)\Ы,
Однако для перехода к кварковой модели полюсных вкладов оказывается достаточно только для РУ -амплитуд распадов Е+ —р + 7 и Е° —+ 7. Для остальных распадов это не так и приходится ввести еще эффективную вершину В В' 7, вклад которой мы и обозначили через 1вв> и которую можно связать с излучением виртуального К* -мезона с последующим переходом в гамма-квант (см., напр., [4, 12]). В модели унитарной симметрии эти вклады выражаются тоже через константы Р-н О -связи, которые мы назовем / и 5:
1 9
Л(2°£°7) = - (¡/й + 1) •
Л(~"5Г7) = -л/2(//Й+1). + (13)
С заменой (5 + е) на (1-е) она с точностью до общего фактора повторяет формулу (7) для амплитуд с сохранением четности. И точно так же достаточно положить в РУ-амплитудах (14) ЦЛ = -1 + 2, Р/О = 2/3 + 2, чтобы они разделялись на часть, соответствующую 2-квар-ковым амплитудам (члены при 2 = 0 и/или 2 = 0), и части, отвечающие 1-кварковым амплитудам, пропорциональные соответственно множителям г, 2 и г-2. Однако фигурирующие здесь г, 2 не совпадают, вообще говоря, со своими аналогами для РС-амплитуд.
Несколько упростим задачу, выбрав решение с 2 =0, и приведем здесь же результаты, полученные при значениях параметров Р = (2/3)/) =1.8, Ьру/ЗМ ■ N = 0.96, 2 = —2/3 (в единицах Ю-"//.у )• г = —2/3, еЯ1/ = —5/16):
Л(£+р7)л/2(-2 + г) ■ - Р)Ы
^ _(5+^)ЬрУ_(5+^)гЬРу_ 1 50+0 50) = _1-41 9^2 18л/2 У2
А(Е°п7) + (2 -
(\-€П) ру (Ъ + €П) ,ру\
18
-(—0.42 + 0.50) = 0.04, ЗЬ 2
Л(Л«7)-^= [+ (2 932)(5 + е)(3Р + £>)] #
_ (3 + еру\ьру + $ + 1 (1 35 + 2.25) = 2.08,
бУЗ
4УЗ УЗ
Л(2°Л7)
1 г 4 (4 З2)
Уз ьз
9
(5 + е)(ЗР -/))//
При //5 = 2/3, 5 = 1 и вырожденных = 4к/9 мы возвращаемся к [12, табл. VI]. Примем, что /=/, й = й и что симметрия констант 1цв> сильно нарушена от распада к распаду:
4
= 0, ¿т;вп = 0, £Ап = ——О,
^ _ (2+е^) ьРу_ (5+е^) г&ру'(„054„075) = _075 9УЗ 12л/3 УЗ
-Ьр¥ + -^—-рЛгЬ^'й™0.95 + 1.25 = 2.20, 3 ЗбУЗ
Л(~^7) = -у/2 г [^у^Ф + П]^ =>
О -ь
ру 5(5 + еР¥)
18У2
гЬру = -1.75.
(14)
Отметим, что формулы (14) в точности совпадают с полученными в [12] формулами (5.2а), если положить в них а = —с/2 и приравнять в (14) гЬп/2 = с/3,
Таблица 2
ССРГ, феноменологическая модель в сравнении с экспериментом [9]. Амплитуды Ару и Врс даны в ед. 10 7/*л. = |ЛР¥|2 + |ВРС|2 в ед. (10 7цх)2
Deacy дру ^pc 7гГ7/ А>у A\ x I01 ГэВ/с3
£+ —p-( —1.41 3.00 11.4 (11.0± 0.4)es,> -0.74 (-0.76 ± 0.08)es,> 11.4
E° -л Щ 0.04 6.27 40.0 0.01 11.6
A0 ->• n-f 2.08 -2.95 13.0 (13.0± 1.1) -0.94 4.25
-0.75 2.06 4.08 (5.4 ±0.4) -0.64 (-0.78 ±0.19) 6.23
2.20 -7.82 66.0 (59.75 ±2.0) -0.52 (-0.63 ±0.09) 1.60
S- S"7 -1.75 -0.81 3.7 (3.82 ±0.8) 0.76 1.64
включая фактор (5 + е). При йру = — г(5 + еР¥)ЬР¥/18 воспроизводятся выражения, полученные еще в [11].
Итак, описания РУ-амплитуды Ару в рамках унитарной модели (см. (13)) и в рамках кварковой модели (см. (14)) связаны между собой простыми правилами перехода. Единственно сложным и неоднозначным на данный момент оказывается описание аномальных магнитных моментов в рамках унитарной симметрии, из-за чего нам пришлось прибегнуть к довольно искусственным построениям при переходе от (9) к (13). Все наблюдаемые распады (кроме, естественно, последнего) имеют вклады в РУ-амплитуды от 2- и 1-кварковых диаграмм примерно одного порядка.
Результаты расчетов всех амплитуд, ширин радиационных распадов и параметров асимметрии сведены нами в табл. 2.
Заключение
Новые эксперименты по измерению ширин и параметров асимметрии в слабых радиационных распадах гиперонов вновь вызвали интерес к уже полувековой задаче описания этих распадов. Однако и в последних работах оставался открытым старый вопрос о совместности описания процессов в рамках унитарных и кварковых моделей, поднятый более 30 лет назад [18]. В настоящей работе показано, что не только для амплитуд с сохранением четности, в которые в рамках полюсной модели входят разности аномальных магнитных моментов цав, но и для амплитуд с несохранением четности, содержащим суммы Цд, возможно построить переход от унитарной модели к кварковой. Для этого для цав построено представление, непротиворечиво связанное с обычными формулами 5(7(3) для магнитных моментов барионов. При этом для амплитуд с нарушением четности в рамках унитарной симметрии оказался необходимым учет эффективной вершины В В' 7 с К* -полюсом.
Верно и обратное утверждение: суммы кварковых вкладов (8) и (14) «собираются» обратно в унитарные формулы (7) и (13).
В целом предложенное решение позволило согласовать описание радиационных распадов гиперонов в рамках унитарных и кварковых моделей. Феноменологическая модель хорошо описывает экспериментальные данные и дает предсказания для неизвестных параметров асимметрии.
Списож литературы
1. Quareni G. et al. // Nuovo Cimento. 1959. 14. P. 1179.
2. SchnepsJ., Kong Y.W. // Nuovo Cimento. 1961. 19. P. 1218.
3. Feldman G., Matthews P.Т., Salam A. // Phys. Rev. 1961. 121. P. 302.
4. Calucci G., Furlan G. // Nuovo Cimento. 1961. 21. P. 679.
5. Hara Y. // Phys. Rev. Lett. 1964. 12. P. 378.
6. Gershwin L.K. et al. // Phys. Rev. 1969. 188. P. 378.
7. Bukina E.N., Dubovik V.M., Zamiralov V.S. 11 Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.) 2001. 93. P. 34.
8. Glashow S., lliopoulos J., Maiani L. // Phys. Rev. D. 1970. 2. P. 1285.
9. Particle Data Group // J. Phys. G. 2006. 33. P. 1.
10. Particle Data Group // Eur. Phys. J. C. 1998. 3. P. 613; Phys. Rev. D. 1996. 54. P. 1-1.
11. Verma R.C., Sharma A. // Phys. Rev. D. 1988. 38. P. 1443; Kamal A.N., Verma R.C. // Phys. Rev. D. 1982. 26. P. 190; Kamal A.N., Riazuddin // Phys. Rev. D. 1983. 28, P. 2317.
12. Zenczykowski P. // Phys. Rev. D. 1989. 40. P. 2290.
13. Zenczykowski P. // Phys. Rev. D. 1991. 44. P. 1485.
14. Dubovik E.N., Zamiralov V.S., Lepshokov S.N., Shkolnikov A.E. // Phys. At. Nucl. 2008. 71. P. 136.
15. Neufeld H. 11 Nucl. Phys. B. 1993. 402. P. 166.
16. Behrends R.E. 11 Phys. Rev. 1958. 111. P. 1691.
17. Graham R.H., Pakvasa S. 11 Phys. Rev. D. 1965. 140. P. В1144.
18. Zenczykowski P. 11 Phys. Rev. D. 2006. 73. P. 076005; hep-ph/0512122.
19. Each J., Zenczykowski P. 11 Int. J. Mod. Phys. A. 1995. 10. P. 3817.
Relation between the unitary and quark description of the weak radiative hyperon decays E.N. Dubovik1, V.S. Zamiralov2'
1 Bogoliubov Laboratory of Theoretical Physics, Joint Institute of Nuclear Research, Dubna, Moscow Region 141980, Russia.
2 Skobeltsyn Research Institute of Nuclear Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
E-mail: "zamir@depni.sinp.msu.ru.
Weak radiative hyperon decays are considered in unitary and quark models. The problem of transition from one model to another is solved for parity violating as well as for the parity conserving amplitudes. This releases the contradiction between the two descriptions discussed for more than 20 years. The model is phenomenological and describes well experiments giving predictions for asymmetry in the decays A —► n + 7 and S- —► + 7.
Keywords: nuclear physics. PACS: 13.30.-a. Received 1 October 2008.
English version: Moscow University Physics Bulletin 3(2009).
Сведения об авторах
1. Дубовик Елена Николаевна — к. ф.-м. п., мл. научи, сотр.; тел.: 8(496) 216-34-43, e-mail: bukina@theor.jinr.ru.
2. Замиралов Валерий Семенович — к. ф.-м. п., вед. научи, сотр.; тел.: 939-25-58, e-mail: zamir@depni.sinp.msu.ru.
