Связь делимых и редуцированных групп с гомоморфной устойчивостью Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Математика и механика № 2(6)

УДК 512.541

С.Я. Грипшпоп, Т.А. Ельцова СВЯЗЬ ДЕЛИМЫХ И РЕДУЦИРОВАННЫХ ГРУПП С ГОМОМОРФНОЙ УСТОЙЧИВОСТЬЮ

В статье исследуется связь делимых и редуцированных групп с гомоморфной устойчивостью. Рассматривается также гомоморфная устойчивость относительно периодических групп.

Ключевые слова: гомоморфный образ, группа гомоморфизмов, делимая группа, редуцированная группа.

При изучении групп гомоморфизмов абелевых групп и исследовании вполне характеристических подгрупп интерес представляет следующий вопрос: в каких случаях объединение (теоретико-множественное) гомоморфных образов группы Л в группе В является подгруппой группы В.

Группа Л называется гомоморфно устойчивой относительно группы В, если объединение гомоморфных образов группы Л в группе В является подгруппой группы В, то есть если ^ 1шу - подгруппа группы В.

уеИот(А, В)

В [1] и [2] решен вопрос о гомоморфной устойчивости прямых сумм абелевых групп, получено полное описание гомоморфно устойчивых вполне разложимых и жестких групп. Также исследована гомоморфная устойчивость произвольных абелевых групп относительно прямых произведений. В [3] доказаны результаты о гомоморфной устойчивости вполне транзитивных групп. В [4] исследована гомоморфная устойчивость прямых произведений абелевых групп.

В настоящей статье исследуется гомоморфная устойчивость делимых и редуцированных групп, а также гомоморфная устойчивость относительно делимых и редуцированных групп. Рассматривается также гомоморфная устойчивость относительно периодических групп. Везде далее в этой статье под группой будем понимать аддитивно записанную абелеву группу.

Рассмотрим гомоморфную устойчивость относительно периодических групп. Обозначим через Т(Л) - периодическую часть группы Л. Будем говорить, что Л -группа с нулевой характеристикой, если выполняется одно из двух условий: 1) Л - непериодическая группа и фактор-группа Л/Т(Л) содержат хотя бы один элемент нулевой характеристики; 2) Л - периодическая группа.

Теорема 1. Всякая группа с нулевой характеристикой гомоморфно устойчива относительно любой периодической группы.

Доказательство. I. Пусть В - периодическая группа, Л - непериодическая группа с нулевой характеристикой, Н = ^ 1т а и Ъ\, И2 е Н, И\ - И2 ^ 0.

аеИош( А, В)

Рассмотрим в группе Л/Т(Л) элемент а + Т(Л), имеющий характеристику

(0,0,_,0,__). Обозначим через {а + Т(Л))* подгруппу, сервантно порожденную в

группе Л/Т(Л) элементом а + Т(Л). Так как х(а + Т(Л)) = ( 0,0, _,0, _), то {а + Т(Л))* = {а + Т(Л)). {а + Т(Л)) - бесконечная циклическая группа, и поэтому

существует в е Нот({а + Т(Л)), {И1 - И2)) такой, что Р({а + Т(Л))) = к1 - И2.

{Н1 - И2) как ограниченная группа является алгебраически компактной группой. Так как алгебраически компактные группы сервантно инъективны, то существует гомоморфизм в группы Л/Т(Л) в группу {Н1 - И2), продолжающий гомоморфизм р. в можно рассматривать как гомоморфизм группы Л/Т(Л) в группу В.

Пусть ф - естественный эпиморфизм группы Л на группу Л/Т(Л) и у = вф. Имеем у е Нот(Л, В) и у (а) = в (а + Т(А)) = в(а + Т(А)) = Ь1 - Ь2 . Значит,

Н1 - Н2 е Н. Следовательно, группа Л гомоморфно устойчива относительно группы В.

II. Пусть Л и В - периодические группы. Так как Нот(А, В) ^ П Нот(Ар, Вр),

р

где Лр, Вр - ^-компоненты групп Л и В соответственно, то, не умаляя общности, можно считать, что Л и В - ^-группы. Пусть Н = ^ 1т а, И1, Н2 е Ни

аеИот( А, В)

Н1 - Н2 Ф 0. Запишем группу Л в виде Л = Б ® С, где Б - делимая часть группы Л, С - редуцированная группа.

а) Рассмотрим сначала случай, когда С - неограниченная группа. Известно, что неограниченная редуцированная _р-группа имеет циклические прямые слагаемые сколь угодно больших порядков [5, с.142]. Выберем в группе С циклическое прямое слагаемое {с) такое, что о(с)>о(Н\ - Ь2). Имеем С = С1®{с) и Л = Б®С1®{с). Существует гомоморфизм р группы {с) в группу {Н1 - Н2), такой, что Р(с) = Н1 - Н2. Пусть п - группы Л на прямое слагаемое {с) и у = Рп. Можно рассматривать у как гомоморфизм группы Л в группу В. Имеем у(с) = Ъ1- Н2 и, значит, Н1 - Н2еН.

б) Пусть С - ограниченная группа и Б = 0. Всякая ограниченная _р-группа является прямой суммой циклических _р-групп [5, с.107]. Группу Л (Л = С) можно записать в виде Л = {с) ® Л1, где о(с) = рт и ртЛ1 = 0 (то есть рт - наибольший порядок циклических прямых слагаемых в разложении группы Л). Так как гомоморфизмы не увеличивают порядок элемента, то о(Н1-Н2) < рт, и поэтому о(с) > о(Н1-Н2). Проведя рассуждения, аналогичные вышеприведенным (см. случай а)), получаем, что существует у е Нот(Л, В) такой, что у(с) = Н1 - И2.

в) Пусть теперь С - ограниченная группа и Б Ф 0. Запишем группу В в виде В = Б1 ® С1, где Б1 - делимая часть группы В, С1 - редуцированная группа. Если Б1 = 0, то Нот(Л, В) = Нот(С, С1) и мы находимся в ситуации случая б).

Пусть Б1# 0. Запишем элемент Н1 - Н2 в виде й1 + с1, где ^1еБ1, с1еС1. Выберем в группе Б элемент с1 такой, что о(^) > о(^1). Учитывая инъективность группы Б1, получаем, что существует гомоморфизм ф1 группы Б в группу Б1 такой, что ф1С = С1. Запишем группу С в виде С = {с) ® С1, где о(с) = рт и ртС1 = 0. Имеем о(с) > о(с1), и поэтому существует гомоморфизм ф2 е Нот(С, С1) такой, что

ф2(с) = с1.

Пусть п1, п2 - проекции группы Л на прямые слагаемые Б и С соответственно, и пусть у = ф1п1 + ф2п2. Имеем у е Нот(Л, В) и у(С + с) = С1 + с1 = Н1 - Н2. Значит, Н1 - Н2еН.

Итак, любая периодическая группа Л гомоморфно устойчива относительно группы В.

Следствие 2. Всякая периодическая группа гомоморфно устойчива относительно любой группы.

Доказательство. Пусть Л - периодическая группа, В - произвольная группа. Для всякого гомоморфизма пеНот(Л, В) имеем 1тп с Т(В), где Т(В) - периодическая часть группы В, и поэтому п можно рассматривать как гомоморфизм группы Л в периодическую группу Т(В). Остается применить предыдущую теорему.

Теперь рассмотрим гомоморфную устойчивость делимых групп. Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Всякая делимая группа гомоморфно устойчива относительно любой группы.

Доказательство. Пусть Л - делимая группа, В - произвольная группа.

По теореме 23.1 [5, с.124] группа Л есть следующая прямая сумма:

Используя лемму 5 и теорему 1 из [2] получаем, что группа Л гомоморфно устойчива относительно любой группы.

При рассмотрении гомоморфной устойчивости относительно делимых групп получаем такой результат.

Теорема 4. Всякая абелева группа гомоморфно устойчива относительно любой делимой группы.

Доказательство. Пусть Л - произвольная абелева группа, Б - произвольная делимая группа.

Если Л - периодическая группа, то по следствию 2 группа Л гомоморфно устойчива относительно группы Б.

Пусть Л - непериодическая группа. Тогда она является либо группой без кручения, либо смешанной.

Рассмотрим ^ 1т а . Обозначим это объединение через Н, то есть

Н = и 1т а .

аеИош (А, В )

Рассмотрим вначале делимую группу Б без кручения.

Пусть Н1, Н2 е Н, Н1 Ф Н2. Тогда существуют гомоморфизмы а1, а2 группы Л в группу Б и элементы а1, а2 группы Л, такие, что Н1 = а1а1, Н2 = а2а2. Рассмотрим разность Н1 - Н2. Обозначим ее через Н, то есть пусть Н1 - Н2 = Н, Н Ф 0. Имеем Н е Б. Так как Б - группа без кручения, то о(Н) = да. В группе Л существует элемент а, такой, что его порядок также равен бесконечности, то есть о(а) = да. Рассмотрим циклическую группу {а), порожденную элементом а, и гомоморфизм ^:{а) Б, такой, что 1т{а) = {Н) и £(а) = Н. По теореме Бэра [5, с. 119, теорема 21.1] группа Б - инъективная, и, следовательно, существует гомоморфизм П: Л ^ Б, делающий следующую диаграмму коммутативной.

где 1 - естественное вложение группы {а) в группу Л и г(а) = а. Тогда имеем, с одной стороны, п 1(а) = £(а) = Н, с другой - п 1(а) = пО'(а)) = п(а). Таким образом, существуют гомоморфизм п группы Л в группу Б и элемент а группы Л, такие,

а = ф 208 0 г(р

го (Л) р \_гр (Л) ^

аеИош (А, В)

что Н1 - Н2 = Н = п а е Н. Следовательно, группа Л гомоморфно устойчива относительно группы Б.

Пусть теперь группа Б не является группой без кручения, то есть она либо периодическая, либо смешанная.

Пусть Н1, Н2 е Н, Н1 Ф Н2. Тогда существуют гомоморфизмы а1, а2 группы Л в группу Б и элементы а1, а2 группы Л, такие, что Н1 = а1а1, Н2 = а2а2. Пусть Н = Н1 - Н2, Н Ф 0.

Пусть а ненулевой элемент группы Л бесконечного порядка. Рассмотрим гомоморфизм у группы {а) в группу {Н), такой, что у а = Н. Тогда гомоморфизм у можно рассматривать как гомоморфизм группы {а) в группу Б. Существует гомоморфизм п: Л ^ Б, такой, что следующая диаграмма коммутативна:

Значит, п а = у а = Н, то есть Н е 1т п и поэтому группа Л гомоморфно устойчива относительно группы Б.

При рассмотрении гомоморфной устойчивости относительно редуцированных групп получаем следующий результат.

Предложение 5. Если группа Л гомоморфно устойчива относительно группы В, то группа Л гомоморфно устойчива относительно редуцированной части группы В.

Доказательство. Пусть группа Л гомоморфно устойчива относительно группы В. Группа В представима в виде прямой суммы своей делимой части Б и редуцированной части Л: В = Б ® Я. Используя теорему 2 из [2], получаем, что группа Л гомоморфно устойчива относительно редуцированной части группы В.

Для групп без кручения справедлива теорема.

Теорема 6. Группа без кручения Л гомоморфно устойчива относительно группы В тогда и только тогда, когда группа Л гомоморфно устойчива относительно редуцированной части группы В.

Доказательство. Необходимость следует из предложения 5. Докажем достаточность.

Пусть Л и В - произвольные группы. Имеем В = Б ® Я, где Б - делимая часть группы В, Я - ее редуцированная часть. Пусть группа Л гомоморфно устойчива относительно редуцированной части группы В.

Возьмем элементы с и й из объединения ^ 1т а . Тогда существуют

гомоморфизмы в и у группы Л в группу В и элементы а и Ь группы Л, такие, что с = ва, й = уЬ.

Пусть п1, п2 - проекции группы В на прямые слагаемые Я и Б соответственно. Тогда п1в, л1у есть гомоморфизмы группы Л в группу Я - редуцированную часть группы В, а п2в, л2у - гомоморфизмы группы Л в группу Б - делимую часть группы В. Тогда с = ва = п1ва + п2ва, й = уЬ = л1уЬ + л2уЬ. Следовательно, с - й = (п1ва - л1уЬ) + (п2ва - л2уЬ). Так как п1ва - л1у Ь есть элемент группы Я, а группа Л гомоморфно устойчива относительно группы Я, то существуют гомоморфизм X группы Л в группу Я и элемент g группы Л, такие, что п1ва - л1уЬ = Xg

Б

аеИош (А, В)

(если п1ва - л1уЬ = 0, то X = 0, а в качестве элемента g берем любой ненулевой элемент группы Л).

Существует гомоморфизм £:(§-) ^ Б, такой, что £ g = п2в а - л2у Ь. В силу инъ-ективности группы Б гомоморфизм £ можно продолжить до гомоморфизма п группы Л в группу Б. Следовательно, с - й = X g+n g. Так как гомоморфизмы X и п можно рассматривать как гомоморфизмы группы Л в группу В (Б и Я - подгруппы группы В), то с - й = (Х+п) g, где Х+п е Нот(Л, В). Следовательно, группа Л гомоморфно устойчива относительно группы В.

Теперь рассмотрим гомоморфную устойчивость редуцированных групп. Получена следующая теорема.

Теорема 7. Если редуцированная часть группы Л гомоморфно устойчива относительно группы В, то группа Л гомоморфно устойчива относительно группы В.

Доказательство. Пусть Л и В - произвольные группы и Л = Я ® Б, где Я - редуцированная часть группы Л, Б - делимая часть группы Л. Пусть Я гомоморфно устойчива относительно группы В. По теореме 3 группа Б гомоморфно устойчива относительно группы В. Тогда группа Л гомоморфно устойчива относительно группы В [2, теорема 1].

Для групп без кручения справедлив следующий критерий.

Теорема 8. Группа без кручения Л гомоморфно устойчива относительно группы В тогда и только тогда, когда редуцированная часть группы Л гомоморфно устойчива относительно группы В.

Доказательство. Достаточность следует из теоремы 7. Докажем необходимость.

Пусть Л и В - произвольные группы и Л гомоморфно устойчива относительно группы В.

Представим группы в виде прямых сумм своих редуцированных частей Я, Я1 и делимых частей Б, Б1: Л = Я ® Б и В = Я1 ® Б1. Используя теорему 2 из [2], получаем, что группа Л гомоморфно устойчива относительно Я1. Рассмотрим Нот(Л, Я1).

Так как Нот(Б, Я1) = 0, то существует изоморфное отображение ф группы Нот(Л, Я1) на группу Нот(Я, Я1) [5, с. 213]. Если а е Нот(Л, Я1), то ф(а) = а|д. Отсюда и 1т а = и 1т р . Так как, в силу гомоморфной устойчи-

аеИош (А, Щ) реИош (Я, Щ)

вости группы Л относительно группы Я1, ^ 1т а - подгруппа группы Я1,

аеИош (А, К-[ )

то и и 1т в - подгруппа группы Я1. Следовательно, группа Я гомоморфно

реИош (й, Ку)

устойчива относительно группы Я1.

По теореме 6 группа Я гомоморфно устойчива относительно группы В.

Из предложения 5 и теоремы 7 вытекает

Следствие 9. Если редуцированная часть группы Л гомоморфно устойчива относительно группы В, то Л гомоморфно устойчива относительно редуцированной части группы В.

Доказательство. Пусть редуцированная часть группы Л гомоморфно устойчива относительно группы В. Тогда по теореме 7 группа Л гомоморфно устойчива относительно группы В. Следовательно, по предложению 5 группа Л гомоморфно устойчива относительно редуцированной части группы В.

Из теорем 6 и 8 вытекает

Следствие 10. Группа без кручения A гомоморфно устойчива относительно группы B тогда и только тогда, когда редуцированная часть группы A гомоморфно устойчива относительно редуцированной части группы B.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гриншпон С.Я., Ельцова Т.А. Гомоморфно устойчивые абелевы группы // Вестник ТГУ. 2003. № 280. С. 31 - 33.

2. Гриншпон С.Я., Ельцова Т.А. Гомоморфные образы абелевых групп // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13. № 3. С. 17 - 24.

3. Гриншпон С.Я., Ельцова Т.А. Гомоморфная устойчивость и вполне транзитивность абелевых групп // Вестник ТГУ. 2007. № 298. С. 114 - 116.

4. Гриншпон С.Я., Ельцова Т.А. Гомоморфная устойчивость прямых произведений абелевых групп // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2008. № 1(2). С. 32 - 36.

5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т.1. 335 с.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

ГРИНШПОН Самуил Яковлевич - профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: grinshpon@math.tsu.ru

ЕЛЬЦОВА Тамара Александровна - старший преподаватель кафедры высшей математики отделения фундаментального образования Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники. E-mail: yeltsova@sibmail.com

Статья принята в печать 30.04.2009 г.